文档内容
2028 届高一年级 TOP 二十名校十月调研考试
数学试题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数､方程和不等式，函数的概念及其表示.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
.
1 若集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合 ，再根据交集的定义求解即可.
【详解】因为 ，又 ，
所以 .
故选：A.
2. 下列从集合 到集合 的对应关系中， 是 的函数的是（ ）
A. ，对应关系
B. ，对应关系
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学科网（北京）股份有限公司C. ，对应关系
D. ，对应关系
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，因为 ，但是 没有意义，0在 中无对应的元素，A不符合题意；
对于B，因为对于任意一个实数 ，当 时， 无意义，B不符合题意；
对于C，任意一个实数 ， ，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意；
对于D，当 时， ，不满足函数值的唯一性，D不符合题意.
故选：C.
3. 已知命题 ；命题 ，则（ ）
A. 是假命题 B. 的否定是真命题
C. 是真命题 D. 的否定是真命题
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断命题 和命题 的真假，进而判断选项即可.
【详解】命题 ，
当 时， ，则 是真命题；
命题 ，
当 时， ，则 是假命题.
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学科网（北京）股份有限公司综上所述， 是真命题， 的否定是假命题， 是假命题， 的否定是真命题.
故选：D.
4 若函数 则（ ）
.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合一次函数的单调性求解即可.
【详解】当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
所以函数的值域为 .
故选：A.
5. 已知函数 ，则 的值域为单元素集合的充要条件是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简 ，进而求解判断即可.
【详解】由题意， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司的
要使 值域为单元素集合，
则 ，即 ，故B正确，AC错误；
对于D，由 ，等价于 ，即 ，
此时由 可得 ，
但由 得不到 ，故D错误.
故选：B.
6. 学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的
有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】设恰好报名参加两项比赛的有 人，兼报三项比赛的有 人，由题意可得
，进而得到 ，再分析求解即可.
【详解】设恰好报名参加两项比赛的有 人，兼报三项比赛的有 人，
则 ，所以 ，
要让 最大，则 需要最小，
若 ，则 ，不满足题意；
若 ，则 ，满足题意，
所以兼报三项比赛的最多有5人.
故选：C.
7. 已知函数 ，若 ，则 的最大值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的定义结合函数恒成立问题求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
故选：D.
8. 设 表示不超过 的最大整数，如 ，若 为正实数，则
的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】解题的关键在于理解 的定义，然后利用基本不等式求出 的最小值，再结
合 的定义求出 的最小值.
【详解】因为 为正实数，所以
，
当且仅当 时等号成立，
从而 中至少有一个不小于2，不妨设 ，则 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司.假设 的最小值为2， ，
，所以 ，
所以 ，与 矛盾，假设不成立，A错误；假设
的最小值为3，则 ， 或 ，
，
同理，可得 ，显然不成立，B错误；假设 的最
小值为4，同理，易得 ，
若取 ，则 ，即
，假设成立，C正确，D错误.
故选： .
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项中， 是 的必要不充分条件的是（ ）
A.
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学科网（北京）股份有限公司B.
C. ：关于 的方程 有解， 或
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义判断各选项即可.
【详解】对于A选项， ，即 ，
，即 ，
所以 是 的必要不充分条件，故A正确；
对于B选项，若取 ，则满足 ，不满足 ，则 不是 的充分条件，
显然 ，即 是 的必要不充分条件，故B正确；
对于C选项， ：关于 的方程 有解，即 ，
而 或 ，
所以 是 的充要条件，故C错误；
对于D选项， 仅是方程 的一组解，
所以 是 的充分不必要条件，故D错误.
故选：AB.
10. 已知正实数 满足 ，则（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式求解判断各选项即可.
【详解】因为 为正实数，所以 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，故A正确，B错误；
由 ，则 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，故C错误，D正确.
故选：AD.
11. 设集合 ，若 ，使得 （ 两两不等），则
称 为 集，下列结论错误的是（ ）
A. 若集合 是 集，集合 是非空数集，则 是 集
B. 若 是 集，则
C. 若集合 是 集，集合 ，则 为 集
D. 且 ，使得 是 集
【答案】AB
【解析】
【分析】 选项，结合题设定义举例判断即可；B选项，根据题设定义可得 ，或 ，或
，进而求解判断即可；C 选项，由 是 集可得存在 （ 两两不等），使得
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学科网（北京）股份有限公司，根据 中的元素个数不小于 2，可得 且 ，使得 ，进而得到
，即可判断；D选项，先假设 是 集，再推出矛盾即
可判断.
【详解】 选项，若取 ，则 ，显然不符合 集的定义，A错误；
B选项，由 集的定义及已知得， ，或 ，或 ，
解得 或 （舍去 ），B错误；
C选项，由 是 集，所以存在 （ 两两不等），使得 ，
因为 中的元素个数不小于2，所以 且 ，使得 ，
且 两两不等，由 ，得 ，所以 为 集，C正确；
D选项，设 ，
取 ，
满足 （ 两两不等），存在 ,
是 集，，D正确.
故选：AB.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知非空集合 ，若 ，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由 得 ，进而根据包含关系求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，又集合 为非空集合，
则 ，解得 ，
则 的取值范围是 .
故答案为： .
13. 不等式 的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】当 ，即 时，不等式 成立；
当 时，由 .
综上所述，不等式 的解集为 .
故答案为： .
14. 如果 为正整数且不是一个完全平方数，那么 可以表示为 的形式.
若 ，则 的值分别为__________.
【答案】4，3，8
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据给定条件，推理可得 ，再由表示式的结构形式列出方程，借助恒等式求出 即可.
【详解】由 ，则 ，
而 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：4，3，8.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 .
（1）求 ；
.
（2）求
【答案】（1） 或
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）首先解不等式得到 ，再求其补集即可.
（2）首先解不等式得到 或 ，再求 即可.
根据集合 ，
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
因为 ，
所以
【小问2详解】
因为 或 ，
所以 或 ，
所以 .
16. 设 为正实数，且 .
（1）求 的最小值；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）9 （2）
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.
（2）基本不等式得， ，根据条件得 ，整理计算，即可得答案.
【小问1详解】
由 ，得 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为9.
【小问2详解】
由基本不等式得， ，当且仅当 时等号成立，
因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
解得 ，
又 为正实数，所以 ，
即 的取值范围是 .
17. 设函数 .
（1）当 时，若 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若 ，求实数 的取值范围；
（3）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当 时，将条件转化为关于 的不等式 有解，则判别式
，即可得答案.
（ 2 ） 当 时 ， 将 条 件 转 化 为 关 于 的 不 等 式 恒 成 立 ， 则 判 别 式
，即可得答案.
（3）将条件转化为 为方程 的两个根，根据韦达定理即可得答案.
【小问1详解】
当 时， ，
因为 ，
所以关于 的不等式 有解，
所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
当 时， ，
因为 ，
所以关于 的不等式 恒成立，
所以 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即实数 的取值范围是 .
【小问3详解】
，
因为不等式 的解集为 ，
所以 为方程 的两个根，
所以 ，解得 .
18. 如图，在 坐标平面内，老张用竹篱笆 与 轴围成了一块空地作休闲之用，竹篱笆 可看作抛物
线的一部分，已知 的顶点为 ，且 与 轴的交点分别为 （ 为坐标原点）.另外，老张
拟在 的左侧铺设一条直路 作交通之用， 的解析式为 ，且 与 只有一个公共点 .
（1）求 的解析式 ；
（2）设 与 轴，直线 分别交于点 ，直线 与 轴交于点 ，老张打算将 ，直线
轴和 轴围成的阴影部分作种菜之用，试问当 为何值时，菜园的面积取得最小值？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设抛物线方程的顶点式方程，结合点的坐标代入，即可求得答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由题意知菜园的面积取得最小值等价于梯形 的面积取得最小值，从而结合直线以及抛物线方
程求出相关点的坐标，求出梯形 的面积的表达式，利用基本不等式判断其最小值情况，即可求得
答案.
【小问1详解】
因为 的顶点为 ，设其方程为 ，
因为 通过原点 ，所以 ，所以 ，
所以 .
【小问2详解】
由题意可知， 与x轴围成的区域的面积为定值，
故菜园的面积取得最小值等价于梯形 的面积取得最小值.
由 消去 得， ，
因为 在 的左侧，且与 只有一个公共点 ，则方程 有两个相同的实数根，
所以 ，所以 ，
且 ，即 ，则 的解析式为 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 .
所以梯形 的面积
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 时，菜园的面积取得最小值.
19. （1）已知 ，求证： ；
（2）设函数 的定义域均为 ，若 ，则称
是 上的“和有界函数对”.
（i）若 是 上的“和有界函数对”，证明： ；
（ii）当 ，且 时，若 是 上的“和有界函数对”，
是 上的“和有界函数对”，请判断 是否是 上的“和有界函数对”，若是，请给出
证明；若不是，请给出反例.
【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）是，证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合绝对值的几何意义去绝对值，再利用不等式的性质证明即可；
（2）（i）根据题干所给定义证明即可；
（ii）根据题干所给定义，结合（1）的结论证明即可.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（2）（i）证明：因为 是 上的“和有界函数对”，
所以 ，
令 ，则 ，
由 的任意性，得 .
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学科网（北京）股份有限公司（ii）解： 是 上的“和有界函数对”，证明如下：
因为 是 上的“和有界函数对”， 是 上的“和有界函数对”，
所以 .
①若任取 ，由 ，易知存在 ，不妨令 ，
所以 （*），
由（1）的结论得， 式
，
由（i）得， ，又 ，
所以 ，
即 ，
同理可得，当 时， ，
令 ，即 ，
所以 .
②若任取 ，则 ；
若任取 ，则 .
综上， ，即 是 上的“和有界函数
对”.
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学科网（北京）股份有限公司第19页/共19页
学科网（北京）股份有限公司
