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2028 届高一年级 TOP 二十名校十月调研考试
数学试题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数､方程和不等式，函数的概念及其表示.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 下列从集合 到集合 的对应关系中， 是 的函数的是（ ）
A. ，对应关系
B. ，对应关系
C. ，对应关系
D. ，对应关系
3. 已知命题 ；命题 ，则（ ）
A. 是假命题 B. 的否定是真命题
C. 是真命题 D. 的否定是真命题
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学科网（北京）股份有限公司4. 若函数 则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数 ，则 的值域为单元素集合的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
的
6. 学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛 有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的
有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 已知函数 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 设 表示不超过 的最大整数，如 ，若 为正实数，则
的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
的
9. 下列选项中， 是 必要不充分条件的是（ ）
A.
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学科网（北京）股份有限公司B.
C. ：关于 的方程 有解， 或
D.
10. 已知正实数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 设集合 ，若 ，使得 （ 两两不等），则
称 为 集，下列结论错误的是（ ）
A. 若集合 是 集，集合 是非空数集，则 是 集
B. 若 是 集，则
C. 若集合 是集，集合 ，则 为 集
D. 且 ，使得 是 集
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知非空集合 ，若 ，则 的取值范围是__________.
13. 不等式 解集为__________.
的
14. 如果 为正整数且不是一个完全平方数，那么 可以表示为 的形式.
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 的值分别为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 .
（1）求 ；
（2）求 .
16. 设 为正实数，且 .
（1）求 的最小值；
（2）若 ，求 的取值范围.
17. 设函数 .
（1）当 时，若 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若 ，求实数 的取值范围；
（3）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值.
18. 如图，在 坐标平面内，老张用竹篱笆 与 轴围成了一块空地作休闲之用，竹篱笆 可看作抛物
线的一部分，已知 的顶点为 ，且 与 轴的交点分别为 （ 为坐标原点）.另外，老张
拟在 的左侧铺设一条直路 作交通之用， 的解析式为 ，且 与 只有一个公共点 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 解的析式 ；
（2）设 与 轴，直线 分别交于点 ，直线 与 轴交于点 ，老张打算将 ，直线
轴和 轴围成的阴影部分作种菜之用，试问当 为何值时，菜园的面积取得最小值？
19. （1）已知 ，求证： ；
（2）设函数 的定义域均为 ，若 ，则称
是 上的“和有界函数对”.
（i）若 是 上的“和有界函数对”，证明： ；
（ii）当 ，且 时，若 是 上的“和有界函数对”，
是 上的“和有界函数对”，请判断 是否是 上的“和有界函数对”，若是，请给出
证明；若不是，请给出反例.
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