文档内容
邢台市 2025-2026 学年高一（上）第二次月考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章4.4．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的元素特征及交集的定义可得.
【详解】由 ，所以 ，得 .
所以 ．
故选：C.
2. 函数 的图象恒过定点 ，则 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数过定点的性质即得
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学科网（北京）股份有限公司【详解】令 ，
故 的图象恒过定点 ．
故选：C.
3. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” 已知 ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据“狄利克雷函数”的定义，判断“ ”和“ ”的互相推出情况，由此可知结
果.
【详解】若 ，则 ，所以 ，故 ，
但当 时， 可能都是无理数，不妨设 ，此时 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B.
4. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性，化简分析，即可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
5. “空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不
宜开展户外活动．某地某天 时的空气质量指数 随时间 变化的趋势由函数
描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（ ）
A. 6小时 B. 8小时 C. 16小时 D. 18小时
【答案】D
【解析】
【分析】当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动；即 小于或等于200时适合开展
户外活动，根据分段函数的解析式，分情况讨论求出不等式解集，再求出区间长度即可.
【详解】由AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动，
得当 小于或等于200时，可开展户外活动，即 ，
因为
所以当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ．
综上，可开展户外活动的时长至多为 小时．
故选:D.
6. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】根据 的定义得 的定义域，进而可得所求结果.
【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 ，
所以 的定义域为 ，
故函数 中的 需满足 得 ，
故函数 的定义域为 ．
故选：A.
7. 函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数定义域、奇偶性与函数正负，借助排除法即可得.
【详解】 的定义域为 ，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司又 ，则 为奇函数，故A错误；
当 时， ，所以 ，故C错误.
故选：D.
8. 已知函数 ，若 恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 由题意 零点相同，求得 ；再分 和
分析是否恒有 即可判断.
【详解】由题意 的定义域为 ，
令
由题意 零点相同，
所以 ，得 ,
若 ，当 时， ， 不符合题意；
若 ，
时， ，
时， ，
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学科网（北京）股份有限公司时， .
恒有
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，与函数 为同一个函数的是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】逐项比较定义域与解析式进行判断.
【详解】对于A： ，定义域为 ，与已知函数定义域不同，A错误；
对于B： ，定义域为 ，与已知函数定义域相同，解析式相同，B正确；
对于C： ，定义域为 ，与已知函数定义域相同，解析式相同，C正确；
对于D： 定义域为 ，与已知函数定义域不同，D错误．
故选：BC.
10. 已知实数 满足 ，则（ ）
A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
【答案】ACD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案.
【详解】由实数 满足 ，可得 ，所以 ，
又由 ，且 ，可得 ，所以 ，
所以 的取值范围为 的取值范围为 ，所以A正确，B错误；
由 ，因为 ，
所以 ，所以 的取值范围为 ，所以C正确；
由 ，当 时，可得 ，
当 时，可得 ，所以 的取值范围为 ，所以D正确．
故选：ACD.
11. 定义在 上的函数 ，对任意 ，都有 ，且当 时，
，则（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 在 上单调递减
D. 不等式 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过赋值法可判断 A、B；令 ， ，其中 ，由定义法得到 在
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学科网（北京）股份有限公司上单调性即可判断C；根据B中结论将 转化为 ，再利用C中
结论得到不等式求解即可判断D.
【详解】对于A，令 ，则 ，令 ，则 ，A错误．
对于B，令 ，则 ，所以 为偶函数，B正确．
对于C，令 ， ，其中 ，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减，C正确．
对于D，因为 是偶函数，且 ，所以 ．
又 在 上单调递减，所以 ，且 ，解得 ，且 ．
故不等式 的解集为 故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式直接求值可得.
【详解】因 ，令 ，则 .
所以
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
13. 已知 且 ，函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
___________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定每一段在定义域范围内都是单调递增，再根据左半段函数在端点处的最大值小于等于右半
段函数在端点处的最小值即可求得.
【详解】因为 在 上单调递增，所以 解得 ，即 的取值范围是
.
故答案为：
14. 某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量 与时间 （单位：年）的关系式为 ，其中 为
初始量， 为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要
经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据： ）
【答案】50
【解析】
【分析】根据已知条件可以得出 ，将 代入结合对数的运算化简即可得结果.
【详解】由 ，可得 ，故 ．
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，当 时， ，
两式相除可得
故答案为：50.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得；
（2）根据对数的运算性质计算可得.
【详解】（1）
.
（2）
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知集合 ，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合 、 后，利用并集与补集定义即可得；
（2）由题意可得 ，再分 与 讨论即可得.
【小问1详解】
由 ，解得 ，则 ，
由 可得 ，故 ，则 或 ，
故 或 ；
【小问2详解】
因为 ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，
由 ，得 ，所以 ；
综上， 的取值范围为 .
17. 已知函数 为幂函数，且在 上单调递增．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的值，并求 的解析式；
（2）若存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义直接可得；
（2）先将不等式进行参数分离，再由基本不等式可得.
【小问1详解】
因为 为幂函数，
所以 ，解得 或 .
当 时， 在 上单调递增，符合题意；
当 时， 在 上单调递减，不符合题意．
综上所述， 的值为 的解析式为 .
【小问2详解】
因存在 ，则 ，
令 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，即 取得最小值 .
故 ，即 的取值范围为 .
18. 已知函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）设 ．
（i）求 的最小值，并求出当 取得最小值时 的值；
（ii）求 的单调递减区间．
（2）对任意 、 ， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）（i） 最小值为 ， ；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）令 ， ，则 ，利用二次函数的基本性质可求
出 的最小值及其对应的 的值；
（ii）利用复合函数法可求得函数 的单调递减区间；
（2）令 ，则 可化为 ，记函数 在
上的最大值为 ，最小值为 ，问题可化为 ，对实数 的取值进行分类讨论，分析二
次函数 在 上的单调性，结合 可求得实数 的取值范围.
【小问1详解】
（i）当 时， ，
的定义域为 ，
令 ， ，则 ，
当 ，即当 时，即 时， 取得最小值，最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司在
（ii） 上单调递增，
在 上单调递减，令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 .
【小问2详解】
当 时，令 ，
可化为 ．
记函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，
由对任意 、 ， 恒成立，得 恒成立．
，其图象开口向上且对称轴为直线 ．
当 时， 在 上单调递增，
①
可得 ， ，
由 ，得 ，解得 ，不符合题意；
当 时，函数 在上单调递减，在 上单调递增，
②
则 ， ，
当 时，由 ，可得 ，所以 ，
解得 ，此时 ；
当 时，由 ，可得 ，解得 ，此时 ；
当 时， ，
③
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学科网（北京）股份有限公司由 ，可得 ，解得 ，不符合题意．
综上， 的取值范围为 .
19. 定义 已知函数
（1）求 的单调区间．
（2）已知 是关于 的方程 的三个不同的实根．
的
（i）求 取值范围；
（ii）已知 ，求 的最小值．
【答案】（1）单调递减区间为 和 ，单调递增区间为
（2）（i）（0，1）；（ii）2
【解析】
【分析】（1）根据题意，分类讨论，求得函数 的解析式，结合反例函数与二次函数的性质，即可求
解；
（2）（i）根据题意，分别求得 和 时，方程的根，结合题意，列出不等式组，即可求解；
（ii）由（i）知 ，根据不等式的性质，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：当 时， ，即 ，
当 时，令 ，可得 ，即 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ；当 时， ，
所以 ，
当 时， ，可得 在 单调递减；
当 时，函数 ，可得 在 单调递减，在 单调递增，
综上可得：函数 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 .
【小问2详解】
解：（i）当 时，令 ，可得 ；
当 时，令 ，可得 ，解得 或 ，
因为关于 的方程 有三个不同的实根，则满足 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
（ii）由（i）可知 ，
令 ，所以 ，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司第17页/共17页
学科网（北京）股份有限公司
