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第 37 讲 对策问题
一、知识要点
同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬
长避短”的策略，取得了胜利。
生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、
军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争
的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。哪一方的策略更胜一筹
哪一方就会取得最终的胜利。
解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。
二、精讲精练
【例题1】两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至
7根火柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。如果开始时有1000根火柴，首
先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。
先移火柴的人要取胜，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。
设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991
根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次类推，甲取的与乙取的之和
为8根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保证获胜。
所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。
练习1：
1、一堆火柴40根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜。每人每次可以拿1至3根，
不许不拿，乙让甲先拿。问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么策略？
12、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过8的自然数，把两人报的数累加起来，谁先
报到88，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？
3、把1994个空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动棋子，每人每次可
后移1格、2格、3格，谁先移到最后一格谁胜。先移者确保获胜的方法是什么？
【例题2】有1987粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能
不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还是后取
的能胜？怎样取法才能取胜？
从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下
5粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某一时刻留下5粒棋子就行了。不
妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取2粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿
的粒数之和正好等于5，这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是5的倍数，最后总能留下5粒棋
子，因此，甲先取必胜。
练习2：
1、甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒或2粒或3粒，谁取到最后一粒的是胜利者，
你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜，应采取什么策略？
22、有1997根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取1至10根，谁能取到最后一根谁
为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？取胜的策略是什么？
3、盒子里有47粒珠子，两人轮流取，每次最多取5粒，最少取1粒，谁最先把盒子的珠子
取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，先名先、小红后，谁胜？取胜的策略是什
么？
【例题3】在黑板上写有999个数：2，3，4，……，1000。甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数
（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。谁必胜？必胜的策略是什
么？
甲先擦去1000，剩下的998个数，分为499个数对：（2，3），（4，5），（6，7），……（998，
999）。可见每一对数中的两个数互质。如果乙擦去某一对中的一个，甲则接着擦去这对中的另
一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以，甲必胜。
练习3：
1、甲、乙两人轮流从分别写有1，2，3，……，99的99张卡片中任意取走一张，先取卡的人
能否保证在他取走的第97张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？
32、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列1，2，3，……，100，101勾去九个数。经过这
样的11次删除后，还剩下两个数。如果这两个数的差是55，这时判第一个勾数的人获胜。问第
一个勾数的人能否获胜？获胜的策略是什么？
3、在黑板上写n—1（n＞3）个数：2，3，4，……，n。甲、乙两人轮流在黑板上擦去一个数。如
果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。N分别取什么值时：（1）甲必胜？（2）乙必胜？
必胜的策略是什么？
【例题4】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过
的数的约数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法
这里关键是第一次写什么数，总共只有10个数，可通过归纳试验。
甲不能写1，否则乙写6，乙可获胜；甲不能写3，5，7，否则乙写8，乙可获胜；甲不能写4，
9，10，否则乙写6，乙可获胜。因此，甲先写6或8，才有可能获胜。
甲可以获胜。如甲写6，去掉6的约数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10这六个数中的一
个，将这六个数分成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，
甲就能获胜。
练习4：
1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的自然数。书写规则是：不允许写黑板上已写过
的数的约数，轮到书写人无法再写时就是输者。现甲先写，乙后写，谁能获胜？应采取什么对
策？
42、甲、乙两人轮流从分别写有3，4，5，……，11的9张卡片中任意取走一张，规定取卡人不
能取已取过的数的倍数，轮到谁无法再取时，谁就输。现甲先取，乙后取，甲能否必然获绳？应
采取的对策是什么？
3、甲、乙两人轮流在2004粒棋子中取走1粒，3粒，5粒或7粒棋子。甲先取，乙后取，取到
最后一粒棋子者为胜者。甲、乙两人谁能获胜？
【例题5】有一个3×3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片如图37-1所示，9张卡片分
别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数。小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格
中的一格，小兵计算上、下两行6个数的和；小强计算左、右两列6个数的和，和数大的一方取
胜。小兵一定能取胜吗？
如图37-1所示，由于4个角的数是两人共有的，因而和数的大小只与
A
放在
B D
A，B，C，D这4个格中的数有关。
C
小兵要获胜，必须采取如下策略，尽可能把大数填入A或C格，尽可能
将 37-1
小数填入B格或D格。
由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵应先将1放在B格，如小强把10放进D格，
小兵再把9放进A格，这时不论小强怎么做，C格中一定是大于或等于3的数，因而小兵获
胜。如小强把3放进A格，小兵只需将9放到C格，小兵也一定获胜。
练习5：
1、在5×5的棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下对角线走一格。两
人交替走，谁为胜者。必胜的策略是什么？
52、甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放一枚，硬币
不能重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜。如果甲先放，那么他怎样才
能取胜？
3、两人轮流在3×3的方格中画“√”和“×”，规定每人每次至少画一格，至多画三格，
所有的格画满后，谁画的符号总数为偶数，谁就获胜。谁有获胜的策略？
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