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专题 01 实数及运算（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
22
1．在实数√5、 、π、√3−27、0.1212212221…(两个1之间依次多一个2)中，其中无理数的个数有
7
( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【详解】解：√5、π、0.1212212221…(两个1之间依次多一个2)是无理数，共3个
故选C.
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．通过严格实施低碳管理等措施，2022年北京冬奥会和冬残奥会全面实现了碳中和．根据测算，
北京冬奥会三个赛区的场馆共减少排放二氧化碳320000吨，实现了“山林场馆、生态冬奥”的目标，
其中的320000用科学记数法表示为（ ）
A．32×104 B．3.2×104 C．3.2×105 D．3.2×106
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数,确定n时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是
正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
【详解】320000=3.2×105，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|<10，n为整数,关键是确定a和n的值．
1
3．在实数 ，−√3，−3.14，0，π，2.61611611161⋅⋅⋅，√3125中，无理数有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】求一个数的立方根、无理数
【分析】本题考查了无理数及立方根的计算，熟记无理数的定义是解题的关键．先将能计算的进行
计算，再根据无理数的定义进行判断即可．【详解】解：√3125=5，
∴无理数有−√3，π，2.61611611161⋅⋅⋅共3个，
故选：C．
4．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
6
A．-2 B．0 C． D．√3
7
【答案】D
【知识点】无理数
【分析】根据有理数的定义，逐个选项进行判断即可得到答案；
【详解】解：A选项-2是整数，是有理数，故不符合题意；
B选项0是整数，是有理数，故不符合题意；
C选项是分数，是有理数，故不符合题意；
D选项不能写成分数，是无理数，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本
题的解题关键．
5．如图，数轴上两点A、B表示的数可能是（ ）
A．－1.5和2.5 B．－2.5和2.5 C．－1.5和3.5 D．－2.5和3.5
【答案】A
【分析】由点A、B在数轴上的位置可知点A表示的数在﹣2与﹣1之间，点B表示的数在2与3之
间，据此解答即可．
【详解】解：由点A、B在数轴上的位置可知点A表示的数在﹣2与﹣1之间，点B表示的数在2与
3之间，所以两点A、B表示的数可能是－1.5和2.5．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数在数轴上的表示，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
6．平川区努力打造全域旅游强区，在国庆黄金周期间共接待游客约396000人次，则396000用科学
记数法表示为（ ）
A．3.96×105 B．0.396×106 C．39.6×104 D．3.96×106
【答案】A
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：396000=3.96×105，
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．生物课上在制作酸奶的过程中，小华了解到：乳酸菌（lacticacidbacteria，LAB）是种能利用
可发酵碳水化合物产生大量乳酸的细菌的统称．已知某种球状乳酸菌的直径仅为0.0000006米，将
该数据用科学记数法表示为（ ）．
A．0.6×10−7 B．6×10−7 C．0.6×10−6 D．6×10−6
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数
左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000006=6×10−7，
故选：B．
1
8． 的相反数是（ ）
8
1
A．−8 B．8 C．− D．0
8
【答案】C
【知识点】相反数的定义
【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数”，进行判断即可．
1 1
【详解】解： 的相反数是− ；
8 8
故选C．
9．下列四个选项中，为无理数的是（ ）
A．0 B．3.14 C．−1 D．√3
【答案】D
【知识点】实数的分类、无理数
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：0，3.14，−1都是有理数，
√3是无理数，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π，√3，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．10．下列计算不正确的是（ ）
A．±√9=±3 B．2ab+3ba=5ab C．3x−2x=1 D．|−3|=3
【答案】C
【知识点】绝对值的意义、求一个数的绝对值、平方根概念理解、合并同类项
【分析】根据平方根的定义、合并同类项法则和绝对值的定义即可得出结论．
【详解】解：A．±√9=±3，故本选项正确；
B．2ab+3ba=5ab，故本选项正确；
C．3x−2x=x，故本选项不正确；
D．|−3|=3，故本选项正确．
故选C．
【点睛】此题考查的是求平方根、合并同类项和绝对值，掌握平方根的定义、合并同类项法则和绝
对值的定义是解题关键．
11．随着时间的变化，敦煌进入冬季，若今年夏天的最高气温是39℃，而冬天的最低气温是-5℃，
那么敦煌今年气候的最大温差是（ ）℃
A．44 B．34 C．−44 D．−34
【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【分析】用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相
反数进行计算即可．
【详解】39-(-5)=39+5=44
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的减法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题的关键．
12．2022年末2023年初，某县常住人口80万人，城镇化率65.46%，户籍人口81.47万人，城镇化
率32.4%，城镇人口26.44万人，乡村人口55.03万人，其中数字81.47万用科学记数法表示为
（ ）
A．8.147×106 B．8.147×105 C．81.47×104 D．0.8147×106
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小
数点移动的位数相同．
【详解】解：81.47万即为∶814700，
∴814700=8.147×105，故选：B．
13．实数−√0.81的值为（ ）
A．0.9 B．−0.9 C．0.3 D．−0.3
【答案】B
【知识点】求一个数的平方根
【分析】直接根据平方根的定义解题即可.
【详解】解：∵0.92=0.81，
∴−√0.81=−0.9，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用，理解其含义是解题的关键.
14．−24的相反数是（ ）
1 1
A．−24 B．24 C．− D．
24 24
【答案】B
【知识点】相反数的定义
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的
定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数
是正数．
【详解】解：根据相反数的定义可得：−24的相反数是24，
故选：B．
15．在数轴上，到点3的距离是6的点表示的数是（ ）
A．9 B．−3 C．3 D．9或−3
【答案】D
【知识点】绝对值方程、数轴上两点之间的距离
【分析】设到点3的距离是6的点的数为x，根据数轴上两点间的距离，列出绝对值方程进行求解即
可．
【详解】解：设到点3的距离是6的点的数为x，
∴可得：|3−x|=6，
由此可得：3−x=−6或3−x=6，
解得：x=9或−3，
∴在数轴上，到点3的距离是6的点的数为：9或−3．
故选：D
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，解本题的关键在根据数轴上两点间的距离，列出绝对值
方程并解出．7 √3
16．下列实数0.13113111311113…，3π，− ，0，√2，−3.15，√9， 中，无理数有（ ）
8 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】无理数、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了无理数，求一个数的算术平方根， 根据无理数即是无限不循环小数求解即
可．
【详解】解：∵√9=3，
∴√9是有理数，
7 √3
∴在0.13113111311113…，3π，- ，0，√2，−3.15，√9， 中，
8 3
√3
无理数有：0.13113111311113…,3π，√2， ，一共4个，
3
故选：D．
17．下列说法中，正确的是（ ）
A．近似数117.08精确到十分位
B．按科学记数法表示的数5.04×105，其原数是50400
C．将数60340保留2个有效数字是6.0×104
D．用四舍五入法得到的近似数8.1750精确到千分位
【答案】C
【知识点】求近似数的精确度、用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】根据近似数的精确度及科学记数法求解即可．
【详解】解：A、近似数117.08精确到百分位，故该选项错误；
B、按科学记数法表示的数5.04×105，其原数是504000，故该选项错误；
C、将数60340保留2个有效数字是6.0×104，正确；
D、用四舍五入得到的近似数8.1750精确到万分位，故该选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了近似数的精确度及科学记数法，掌握正确的科学记数法；精确到了某一位，即
应看这个数字实际在哪一位是解题的关键．
18．据媒体统计，2019年长春市中考的考生人数将超过61000人，61000这个数用科学记数法表示
为（ ）．
A．6.1×105 B．0.61×105 C．6.1×104 D．0.61×104
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数【分析】用科学记数法表示较大的数，表示形式为：a×10n，其中1≤a＜10．
【详解】根据科学记数法表示形式，a=6.1
要使61000变为6.1，则小数点需要向左移动4位，故n=4
故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，注意，科学记数法还可以表示较小的数，表示形式
为：a×10−n．
19．某班在一块展示板上同时展示形状与大小均相同的长方形（图甲）的班徽设计作品，并将这些
作品排成一个长方形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有
角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在展示板上，如图乙所
示）．若有38枚图钉可供选用，则最多可以展示设计作品件数（ ）
A．25 B．24 C．22 D．18
【答案】A
【分析】根据作品的装钉规则和图钉的个数，进行分类讨论，即可得到答案．
【详解】①展示成一行，38÷(1+1)−1=18（张），
38枚图钉可以最多展示18张作品．
②展示成两行，38÷(2+1)=12（张）余2枚，
12−1=11（张），2×11=22（张），
38枚图钉可以最多展示22张作品．
③展示成三行，38÷(3+1)=9（张）余2枚，
9−1=8（张），3×8=24（张），
38枚图钉可以最多展示24张作品．
④展示成四行，38÷(4+1)=7（张）余3枚，
7−1=6（张），4×6=24（张），
38枚图钉可以最多展示24张作品．
⑤展示成五行，38÷(5+1)=6（张）余2枚，
6−1=5（张），5×5=25（张），
38枚图钉可以最多展示25张作品．
⑥展示成六行，38÷(6+1)=5（张）余3枚，5−1=4（张），6×4=24（张），
综上38枚图钉可以最多展示25张作品．
故选A．
【点睛】本题主要考查用有理数的运算解决实际问题，对实际问题进行分类讨论，是解题的关键．
20．下列有理数中，最大的数是（ ）
1 1
A．0.4 B．− C． D．0
3 2
【答案】C
【知识点】有理数大小比较
【分析】根据有理数的大小比较法则即可解答．
1 1
【详解】∵− ≺0≺0.4≺ ，
3 2
1
∴最大的数为 .
2
故选C.
【点睛】本题考查了有理数大小的比较法，则熟知有理数的大小比较法则是解决问题的关键．
二、填空题
21．向东走10米记作+10米，则向西走6米表示为 米；
【答案】−6
【知识点】相反意义的量
【分析】本题考查相反意义的量，根据正负数表示一对相反意义的量，向东走为正，则向西走为负，
进行作答即可。
【详解】解：向东走10米记作+10，则向西走6米表示为−6米；
故答案为：−6
22．如果|−x|=|−3|，那么x= ．
【答案】±3
【知识点】绝对值方程、化简绝对值
【分析】先将等号右边的绝对值符号去掉，再根据绝对值的意义给予解答即可．
【详解】解：∵|−x|=|−3|，
∴|−x|=3，
∴−x=±3，
∴x=±3，
故答案为：±3．
【点睛】本题主要考查了化简绝对值，解题的关键是熟练掌握化简绝对值的运算方法．23．极不平凡的2020年，云南统筹推进疫情防控和经济社会发展，在大战大考中交出优异答卷．
2021年初，云南高速公路通车里程超过9000公里，跃居全国第二．数据9000用科学记数法表示为
．
【答案】9×103
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】把小数点点在9的后面，得到a值，数出小数点右边的数位数即可得到n，写成a×10n即可
【详解】∵9000=9×103，
故答案为：9×103．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟练确定a，n的值是解题的关键．
24．明明的体重为53.47kg，用四舍五入法将53.47kg精确到0.1kg，其近似值为 kg．
1 107
【答案】53.5/53 /
2 2
【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数
【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，
精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，
所有的数字都是这个数的有效数字．把百分位上的数字7进行四舍五入即可．
【详解】解：53.47kg≈53.5kg（精确到0.1kg）．
故答案为：53.5
25．一次数学测试，如果90分为优秀，以90分为基准简记，例如93分记为+3，那么85分应记为
分．
【答案】-5
【分析】先计算85比90低的分数，再根据正负数可以表示具有相反意义的量解答．
【详解】解：85分比90分低5分，所以85分应记为﹣5分．
故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了正负数的意义，属于基础题目，明确可以用正负数表示具有相反意义的量是关
键．
26．中国古代数学著作《九章算术》方程一章，在世界数学史上首次引入负数．如果收入30元记作
+30，那么支出15元记作 ．
【答案】−15
【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“+”表示，
那么支出就用“−”表示，据此求解即可．
【详解】解：如果收入30元记作+30元，那么支出15元记作−15元，
故答案为：−15．27．点A是数轴上一点，一只蚂蚁从点A出发爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则点A所表
示的数是 ．
【答案】7或−3
【知识点】数轴上的动点问题
【分析】点A表示的数可以理解为数2向右移动5个单位为2+5=7，或数2向左移动5个单位为
2−5=−3，即可求解出答案．
【详解】解：∵一只蚂蚁从点A出发爬了5个单位长度到了表示的数2的点，
∴2+5=7，
或2−5=−3．
故答案为：7或−3．
【点睛】本题主要考查数轴的知识，解题的关键是点A可以向右移动5个单位，也可以向左移动5
个单位．
28．计算：−21+33−12+27−67= ．
【答案】−40
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】利用有理数的加减法法则，统一成加法，然后运算即可．
【详解】解：−21+33−12+27−67
＝−21+33+(−12)+27+(−67)
＝−40．
故答案为−40．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，关键是熟练掌握相应的运算法则．
29．代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，则x的值为
【答案】﹣3
【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解得到x的值即可．
【详解】解：根据题意得：x+6+3（x+2）=0，
去括号得：x+6+3x+6=0，
移项合并得：4x=-12，
解得：x=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为
1，求出解．
30．计算：(−2) −2+sin30°= ．3
【答案】
4
【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、实数的混合运算
【分析】首先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：(−2) −2+sin30°
1 1
= +
4 2
3
=
4
3
故答案为： ．
4
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，
和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先
算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适
用．
31．绝对值不大于3的非正整数有 个，它们的积是 .
【答案】 4 0
【知识点】绝对值的意义
【分析】根据绝对值的意义求解即可；根据任何数同0相乘都等于0进行计算．
【详解】解：根据绝对值的意义，绝对值不大于3的整数有：±3、±2、±1、0，
其中非正整数有：-3、-2、-1、0，共4个.
它们的积是（-3）×（-2）×（-1）×0=0．
故答案为4；0．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解题的关键．
32．若3x+2与﹣2x+1互为相反数，则x的值 是 ．
【答案】-3
【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】根据互为相反数相加得零列方程求解即可.
【详解】∵3x+2与﹣2x+1互为相反数，
∴3x+2+(﹣2x+1)=0，
解之得
x=-3.
故答案为-3.
【点睛】本题考查了相反数的意义及一元一次方程的解法，根据相反数的意义列出方程是解答本题的关键.
33．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x为 ．
【答案】−√2+1/1−√2
【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴
【分析】根据勾股定理求得BC的长，进而求得CA=BC=√2，由CA−OC=OA即可求得A点表示
的数
【详解】解：如图，
∵OB＝OC＝1，
∴BC＝√12+12＝√2，
∴AC＝BC＝√2，OA＝√2﹣1，
∴点A表示的数为﹣√2+1，
故答案为﹣√2+1．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．
34．绝对值小于3的所有整数的积是 ．
【答案】0
【知识点】绝对值的其他应用
【分析】本题中绝对值小于3的整数其中有0，故所有整数的乘积是0.
【详解】绝对值小于3的所有整数有±1，±2，0，
∴1×（-2）×2×（-2）×0=0
故填：0.
【点睛】本题主要考查了绝对值，以及有理数的乘法，关键是找出绝对值小于3的整数.
1 −1
35．计算：( ) −√12+3tan30°+|√3−2|= ．
3
【答案】5−2√3．
【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、实数的混合运算
【分析】先计算特殊角三角函数值和负指数、二次根式化简、绝对值化简，再计算．√3
【详解】解：原式=3−2√3+3× +2−√3
3
=3−2√3+√3+2−√3
=5−2√3．
故答案为：5−2√3．
【点睛】本题考查了包含了特殊角三角函数值、负指数、绝对值、二次根式的实数运算，解题关键
是熟练运用所学知识进行准确计算．
三、解答题
36．计算：
(1) −1
+3tan30°−(√3−π) 0 −√38．
2
【答案】√3−1
【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，立方根，再根据实数的混合计算法
则求解即可．
【详解】解：
(1) −1
+3tan30°−(√3−π) 0 −√38
2
√3
=2+3× −1−2
3
=2+√3−1−2
=√3−1．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相
关计算法则是解题的关键．
37．计算：(−2) 3× ( −1+ 5 − 5 ) ．
8 16
11
【答案】
2
【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的乘方运算、有理数乘法运算律
【分析】先算乘方，再利用乘法分配律进行计算即可．
5 5
【详解】解：原式=(−8)×(−1)+(−8)× −(−8)×
8 16
5
=8−5+
211
= ．
2
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题关键．
38．计算：
（1）(−2021) 0+
(1) −2
+(−3) 3 （2）简算：982−97×99
2
【答案】（1）-22；（2）1
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、运用平方差公式进行运算、含乘方的有理数混合运算
【分析】（1）利用幂的有关运算性质计算即可确定正确的选项；
（2）直接利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）(−2021) 0+
(1) −2
+(−3) 3
2
=1+4−27
=-22；
（2）982−97×99
=982-（98-1）（98+1）
=982-（982-1）
=1．
【点睛】本题考查了平方差公式及幂的有关运算性质，解题的关键是能够了解这些基本知识，难度
不大．
1 ﹣2
39．计算：√9+(﹣1) 2015+(6−π) 0−(﹣ ) ．
2
【答案】﹣1．
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简
1 −2
【详解】√9+(﹣1) 2015+(6−π) 0−(﹣ )
2
=3-1+1-4
=﹣1．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确利用相关性质化简各数是解题关键．
40．计算：−14+|1−√2|−(π−3.14) 0．
【答案】√2−3
【知识点】化简绝对值、实数的混合运算、零指数幂
【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案．【详解】解：原式=−1+(√2−1)−1
=−1+√2−1−1
=√2−3.
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
41．计算：
(7 5 5 )
(1) − + ×(−18)
9 6 18
(2)(−7)×(−5)−90÷(−15)+3×(−1)
(3)(−1) 2÷ [1 − ( −12+1 1)] ×6
2 3
(4)(−1) 2018÷(−52)× ( − 5) +|0.8−1|
3
【答案】(1)−4
(2)38
(3)36
4
(4)
15
【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查有理数有混合运算：
（1）原式根据乘法分配律把括号展开后进行乘法运算，最后进行加减运算即可得到答案；
（2）原式先进行乘除法运算，然后再进行加减运算即可得到答案；
（3）原式先计算乘方和括号内的，再从左向右依次计算即可；
（4）原式先计算乘方和化简绝对值，再进行除法和乘法运算，最后进行加减运算即可．
(7 5 5 )
【详解】（1） − + ×(−18)
9 6 18
7 5 5
= ×(−18)− ×(−18)+ ×(−18)
9 6 18
=−14+15−5
=−4；
（2）(−7)×(−5)−90÷(−15)+3×(−1)
=35−(−6)+(−3)
=35+6−3=38；
（3）(−1) 2÷ [1 − ( −12+1 1)] ×6
2 3
[1 ( 1)]
=1÷ − −1+1 ×6
2 3
(1 1)
=1÷ − ×6
2 3
1
=1÷ ×6
6
=1×6×6
=36；
（4）(−1) 2018÷(−52)× ( − 5) +|0.8−1|
3
( 5) 1
=1÷(−25)× − +
3 5
1 5 1
=1× × +
25 3 5
1 1
= +
15 5
4
= ．
15
42．计算
（1）−20−(−18)+(−14)+13
( 2)
（2）−1.25×0.4÷ − ×(−8)
5
2 | 1| 1
（3） − −1 −(+2 )−(−2.75)
5 2 4
(1 3 2)
（4）−42× − +
6 14 7
18
（5）−9 ×5
19（6）−14− [ − 4 + ( 1−0.8× 3) ÷(7−32) ]
5 4
3 14
【答案】（1）−3；（2）−10；（3）− ；（4）−10；（5）−49 ；（6）0
5 19
【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算
【分析】（1）利用加法的运算法则计算即可；
（2）先算乘除，后算加减，按从左到右的顺序进行计算；
（3）去绝对值符号，再利用加法的运算法则计算即可；
（4）利用乘法的分配律计算即可；
18 1
（5）把9 转化成(10− )，再利用乘法的分配律计算即可；
19 19
（6）先算乘方和括号里面的运算，再算中括号里面的运算，最后算括号外面的运算．
【详解】（1）−20−(−18)+(−14)+13
=−20+18−14+13
=−34+31
=−3；
( 2)
（2）−1.25×0.4÷ − ×(−8)
5
5 2 5
=− × × ×8
4 5 2
=−10；
2 | 1| 1
（3） − −1 −(+2 )−(−2.75)
5 2 4
2 3 9 11
= − − +
5 2 4 4
2 3 1
= − +
5 2 2
2
= −1
5
3
=− ；
5
(1 3 2)
（4）−42× − +
6 14 71 3 2
=−42× −(−42)× +(−42)×
6 14 7
=−7+9−12
=−10；
18
（5）−9 ×5
19
1
=−(10− )×5
19
1
=−(10×5− ×5)
19
5
=−(50− )
19
14
=−49 ；
19
（6）−14− [ − 4 + ( 1−0.8× 3) ÷(7−32) ]
5 4
[ 4 ]
=−1− − +0.4÷(−2)
5
=−1−(−0.8−0.2)
=−1+1
=0．
【点睛】本题考查了有理数混合运算，注意：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按
从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，有时利用乘法结合律、加法结合律
进行简便运算．
43．已知2a-1的算术平方根为3，3a+b-1的算术平方根为4，求a+2的平方根．
【答案】a+2的平方根是±√7
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根
【分析】利用平方根及算术平方根列出式子，得到a的值，确定出a+2的值，即可求出平方根．
【详解】解：由题意得2a-1=9，3a+b-1=16，
解得：a=5，b=2，
则a+2=7，
∴a+2的平方根是±√7．
【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，读懂题意并列出式子是解本题的关键．
44．阅读材料，并回答问题．
钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然10+4=14，但在表盘上看到的是2点钟．如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4=2．
若问2点钟之前4小时是几点钟，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊖”表示钟表上的减法．
（注：我们用0点钟代替12点钟）
由上述材料可知：
(1)6⊕9= ，1⊖6= ；
(2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则9的相反
数是 ．
【答案】(1)3；7
(2)3
【知识点】有理数的加减混合运算、相反数的定义
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，相反数的定义：
（1）分别按照钟表上的加法和减法概念，进行计算即可解答；
（2）根据钟面上用0点钟代替12点钟，可得9的相反数．
【详解】（1）解：由题意得，6⊕9=6+9−12=3，1⊖6=1+12−6=7，
故答案为：3；7；
（2）∵3+9=12，0点钟代替12点钟，
∴3⊕9=0，
∴9的相反数是3，
故答案为：3．
45．如图，已知A、C是数轴上两点，点A表示的数为−10，点C在点A的右侧，且距离A点28个
单位长度．现有P，Q两个动点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点C运动，
动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴运动．
（1）点C表示的有理数为______．
（2）动点P先出发，2秒钟后点Q再由点C出发向点A运动，当点P运动x秒时两点相遇，求相遇点
对应的有理数是多少？
（3）动点P出发的同时，动点Q从点C出发沿数轴向右运动，运动时间为t秒，请求出P，Q之间的
距离为23个单位长度时t的值．
【答案】（1）18（2）10（3）t=5或t=51
【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】(1)根据AC的距离即可求解；
（2）根据相遇问题即可列出方程求解；（3）分相遇前与相遇后分别列方程即可求解．
【详解】（1）∵A、C是数轴上两点，点A表示的数为−10，点C在点A的右侧，且距离A点28个
单位长度，
∴点C表示的有理数为18
故答案为：18；
（2）当点P运动x秒时两点相遇，
依题意可得18-（-10+2×2）=（2+1）x
解得x=8
故点P运动8秒时两点相遇，
则相遇点表示的数为18-8×1=10；
（3）运动时间为t秒，当P,Q相遇前距离为23个单位长度，依题意可得（18+t）-(-10+2t)=23
解得t=5；
当P,Q相遇后距离为23个单位长度，依题意可得（-10+2t）-(18+t)=23
解得t=51
综上，当t=5或t=51时，P,Q距离为23个单位长度．
46．已知A=a−b √a+b+31是a+b+31的算术平方根，B=2b是27的立方根，求：A+B的平方根．
❑
【答案】±3
【知识点】立方根概念理解、求一个数的平方根、平方根概念理解
【分析】根据A=a−b √a+b+31是a+b+31的算术平方根得到a−b=2，再由B=2b是27的立方根
❑
得到B3=(2b) 3=27，求出a、b值即可得到A+B，求出平方根即可得到答案．
【详解】解：∵ A=a−b √a+b+31是a+b+31的算术平方根，
❑
∴ a−b=2，
∵ B=2b是27的立方根，
1 3
∴ B3=(2b) 3=27，解得B=3，b= B= ，
2 2
3 7
将b= 代入a−b=2得到a=b+2= ，
2 2
∴ A=a−b √a+b+31
❑
√3 7
=❑ + +31
2 2
=√36=6，
∴A+B=6+3=9，
∴ A+B的平方根是±3．
【点睛】本题考查平方根定义、算术平方根定义、立方根定义及计算，熟记平方根定义、算术平方
根定义、立方根定义是解决问题的关键．
47．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足
|a+2|+|c−7|=0．
(1)a=______，b=______，c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合；
(3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分
别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离
表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB=______，BC=______．
(4)那么3BC−2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1)−2，1，7
(2)4
(3)3t+3，2t+6
(4)不变，理由见解析
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、整式的加减运算
【分析】（1）利用|a+2|+|c−7|=0，得a+2=0,c−7=0，求出a，c的值，由b是最小的正整数，
可得b=1；
（2）先求出对称点，即可得出结果；
（3）直接根据题意列代数式即可；
（4）由3BC−2AB=3(2t+6)−2(3t+3)求解即可．
【详解】（1）∵|a+2|+|c−7|=0，
∴a+2=0,c−7=0，
解得a=−2,c=7，
∵b是最小的正整数，
∴b=1；
故答案为：−2，1，7．
（2）(7+2)÷2=4.5，
对称点为7−4.5=2.5，2.5+(2.5−1)=4；故答案为：4．
（3）AB=t+2t+3=3t+3，
AC=t+4t+9=5t+9，
BC=2t+6；
故答案为：3t+3，2t+6．
（4）不变．
3BC−2AB=3(2t+6)−2(3t+3)=12．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
48．有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：
(1)在数轴上表示|a|；
|ab| |bc| |ca| |abc|
(2)化简： + + + = ；
ab bc ca abc
(3)用“>”或“<”填空：b−c 0，b−a 0，c−a 0；
化简：|b−c|+|b−a|−|c−a|．
【答案】(1)见解析；
(2)−2
(3)<，>，>；0
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的意义、化简绝对值、整式的加减运算
【分析】（1）a为负数，负数的绝对值是它的相反数，根据绝对值的意义即可表示出|a|的位置；
（2）分别计算ab、bc、ca和abc与0的大小关系，再根据有理数混合运算法则进行计算即可；
（3）数轴上的点，右边总比左边的大，据此确定各项的符号，再根据绝对值的意义化简计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：由图可得：a<00、ca<0、abc<0，
|ab| |bc| |ca| |abc|
∴ + + +
ab bc ca abc
=−1+1−1−1
=−2
故答案为：−2；
（3）解：∵a<00，c−a>0；∴|b−c|+|b−a|−|c−a|
=c−b+b−a−(c−a)
=c−b+b−a−c+a
=0
故答案为：<，>，>．
【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号，整式的加减，以及化简绝对值，掌握绝对值的意义是
解题的关键．
49．（1）设a，b是有理数，且满足a+√2b=3−2√2，求ba的值．
（2）设x，y都是有理数，且满足x2−2y+√5 y=8+4√5，求x+ y的值．
【答案】（1）−8；（2）8或0
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、实数的混合运算
【分析】本题考查实数的运算，对式子正确的变形是解题关键．
（1）对所求式子进行变形，求出a、b的值，从而可以求得ba的值；
（2）对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+ y的值．
【详解】解：（1）由题意得(a−3)+(b+2)√2=0，
∵a，b都是有理数，
∴a−3，b+2也是有理数，由于√2是无理数，
∴a−3=0，b+2=0，
∴a=3，b=−2，
∴ba=(−2) 3=−8．
（2）∵x2−2y+√5 y=8+4√5，
∴(x2−2y−8)+(y−4)√5=0，
∴x2−2y−8=0，y−4=0，
解得：x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+ y=4+4=8，
当x=−4，y=4时，x+ y=(−4)+4=0，
即x+ y的值是8或0．
50．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两
点之间的距离AB=|a−b|．
回答下列问题：
①数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________．（填出计算结果）②数轴上表示数x和5的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示数x和-2的两点之间的距
离表示为_____ _____
③若数轴上点P表示的有理数x，则式子|x−1|+|x+3|表示
④式子|x−1|+|x+3|有最小值吗？若有，最小值为多少？简要说明理由．若没有，也简要说出其理
由．
【答案】①4；②|x−5|，|x+2|；③数轴上的点P到表示1和-3的点的距离之和；④有，最小值为
4，理由见解析
【知识点】数轴上两点之间的距离
【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离公式AB=|a−b|求解；
（2）根据数轴上A、B两点之间的距离公式AB=|a−b|求解；
（3）根据给出的式子反过来叙述数轴上点与点之间距离的含义；
（4）分情况讨论，点P在线段AB之间和线段AB两边，求式子|x−1|+|x+3|的取值范围．
【详解】（1）根据题目给的公式，1和-3之间的距离是|−3−1|=4，
故答案是：4；
（2）根据题目给的公式，x和5之间的距离表示为|x−5|，
x和-2之间的距离表示为|x+2|，
故答案是：|x−5|，|x+2|；
（3）式子|x−1|表示数轴上点P 到表示数1的点之间的距离，
式子|x+3|表示数轴上点P 到表示数-3的点之间的距离，
|x−1|+|x+3|表示这两段距离的和，
故答案是：数轴上的点P到表示1和-3的点的距离之和；
（4）式子|x−1|+|x+3|有最小值为4，
理由如下：
设数轴上点A表示数1，点B表示数﹣3，则|x−1|+|x+3|=PA+PB，
当点P在线段AB上时，PA+PB=|x−1|+|x+3|=4，
当点P在点B的左边时，PA+PB=|x−1|+|x+3|>4，
当点P在点A的右边时，PA+PB=|x−1|+|x+3|>4，
所以PA+PB=|x−1|+|x+3|有最小值4．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法．
【能力提升】1．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，
将原来900m2的正方形场地改建成765m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
(1)求原来正方形场地的周长；
(2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否
够用？试利用所学知识说明理由．
【答案】(1)120m
(2)这些铁栅栏够用，理由见解析
【知识点】实数的大小比较、算术平方根的实际应用
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，实数比较大小：
（1）先求出原正方形场地的边长，进而求出其周长即可；
（2）设新长方形场地的长和宽分别为5xm，3xm，根据长方形面积公式得到方程5x⋅3x=765，
解方程得到新长方形场地的长和宽分别为5√51m，3√51m，则新长方形场地的周长为16√51m，
再证明120>16√51，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵原来正方形场地的面积为900m2，
∴原来正方形场地的边长为30m，
∴原来正方形场地的周长为30×4=120m；
（2）解：这些铁栅栏够用，理由见解析
设新长方形场地的长和宽分别为5xm，3xm，
由题意得：5x⋅3x=765，
∴x=√51（负值舍去），
∴新长方形场地的长和宽分别为5√51m，3√51m，
∴新长方形场地的周长为2×(5√51+3√51)=16√51m，
∵7.52=56.25>51，
∴7.5>√51，
∵120>16√51，
∴这些铁栅栏够用．
2．如图，社区有一块面积为500m2的正方形空地ACDE，空地的B处有一个凉亭，BC，AB为两
条小路，现在△ABC内种植月季花，其余地方种植郁金香，测得AB=10m，BC=20m．(1)求正方形空地的边CD的长；
(2)求郁金香的种植面积．
【答案】(1)CD=10√5m
(2)400m2
【知识点】化为最简二次根式、算术平方根的实际应用、根据正方形的性质求线段长、勾股定理逆
定理的实际应用
【分析】（1）根据算术平方根的意义结合二次根式的性质计算即可．
（2）利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°．
利用三角形面积公式求出△ABC的面积即可得到答案．
本题考查了算术平方根的应用，勾股定理的逆定理，正方形的性质等等．
【详解】（1）解：∵正方形ACDE的面积为500m2，
∴CD2=500，
∴CD=10√5(m)．
（2）解：由（1）可得，CD2=AC2=500，
∵AB=10m，BC=20m，CD2=AC2=500．
∴AB2=100，BC2=400，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°．
1 1
∴S = AB·BC= ×10×20=100(m2)，
△ABC 2 2
∴郁金香的种植面积为500−100=400m2.
3．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和
正方形两种，每种扇面面积均为500cm2．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处
长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留π）cm，正方形团扇的边长为 cm；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．10√5π
【答案】(1) ，10√5
π
(2)圆的周长较小
【知识点】实数运算的实际应用
【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计
算方法是正确解答的关键．
（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可；
（2）求出两种形状的扇子的周长即可．
【详解】（1）解：设圆形扇的半径为rcm，正方形的边长为bcm，
由题意得，πr2=500，b2=500，
√500 10√5π
∴r= = (cm)，b=√500=10√5(cm)，
π π
10√5π
故答案为： ，10√5；
π
10√5π
（2）解：圆形扇的周长为：2π× =20√5π(cm)≈√6000cm，
π
正方形扇的周长为：4×10√5=40√5(cm)≈√8000cm，∵√6000<√8000，
∴圆的周长较小．
4．如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27．
(1)求出这个魔方的棱长．
(2)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
(3)如图2，把图1中的正方形ABCD放到数轴上，使得点A与−1重合，那么点D在数轴上表示的数
为 ．
【答案】（1）3；（2）面积为：5，边长为：√5；（3）−1−√5
【知识点】求小立方块堆砌图形的表面积、用勾股定理解三角形、实数与数轴、立方根的实际应用
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，
即可得解；（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
【详解】解：（1）设魔方的棱长为x，
则x3=27，解得：x=3；
（2）∵棱长为3，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形ABCD的边长为：√12+22=√5，
∴S =(√5) 2=5；
正 方 形ABCD
（3）∵正方形ABCD的边长为√5，点A与−1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：−1−√5，
故答案为：−1−√5．
【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的
边长．
5．某装修公司现有一块面积为64m2的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如
下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料，且长宽比为4：3．
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析
【知识点】算术平方根的实际应用、估计算术平方根的取值范围
【分析】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小．
先求出正方形的边长为8m，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可．
【详解】解：方案一可行．
∵正方形木板的面积为64m2，
正方形木板的边长为√64=8(m)．
如图所示，沿着EF裁剪，
∵BC=EF=8m，
∴只要使BE=CF=60÷8=7.5(m)就满足条件；
方案二不可行．理由如下：
设所裁长方形装饰材料的长为4xm、宽为3xm，则4x·3x=60，即12x2=60，
解得x=√5（负值已舍去），
∴所裁长方形的长为4√5m，
∵4√5>8，
∴所裁长方形的长大于正方形的边长，
∴方案二不可行．
