文档内容
专题 01 平移与轴对称
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．确定平
移的两大要素是方向和距离．
（2）性质：
①经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线
上）且相等，对应角相等．
②平移改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
（二）图形的轴对称
（1）定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直
线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做 对应线段 .
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就
叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
模块三 考点一遍过
考点1：利用平移的性质求解
典例1：如图，正方形ABCD的边长为2cm，将正方形ABCD沿对角线BD向右平移1cm，则B D等
1于（ ）
A． B． C． D．
(2√2−2)cm 2cm (√2−1)cm (2√2−1)cm
【变式1】如图，在△ABC中，AB=8，BC=11，∠B=60°，将△ABC沿着BC的方向平移得到
△A′B′C′，连接A′C，若BB′=3，则△A′B′C的周长为（ ）
A．24 B．20 C．36 D．16
【变式2】如图，将周长为16cm的△ABC沿BC方向平移到△≝¿的位置，已知四边形ABFD的周长
为20cm，那么平移的距离为 cm．
【变式3】如图（图在上一页），在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，将三角形ABC沿直线BC
向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①AD∥BE；②∠B=∠AED；③
DE⊥AC；④BE=AD=CF=2cm，其中一定成立的有 ．
考点2：坐标系中的平移
典例2：若实数m和n是整数，m<0，n>2，将A(2m−4,n−3)向右平移10个单位，再向下平移2
个单位，得到B点．若B点位于第四象限，则点C(m,n)的可能位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【变式1】如图，△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，若△ABC上一点M的坐标为(m,n)，那么
M点的对应点M′的坐标为（ ）A．(m+4,n−2) B．(m−4,n−2) C．(m+4,n+2) D．(m−4,n+2)
【变式2】已知点B(1,2)将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B″，则点B″的坐标
是 ．
【变式3】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为A(4,1)，B(2,3)，C(2,1)．将
△ABC沿射线AC平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ．
考点3：平移的综合
典例3：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(−3,−2)，B(0,−1)，C(−1,1)将三角形ABC
进行平移后，点A的对应点A′为(1,0)，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′．
(1)画出平移后的三角形A′B′C′并写出B′，C′的坐标；
(2)写出由三角形ABC平移得到三角形A′B′C′的过程；
(3)求出三角形A′B′C′的面积．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(−3,0)，点B的坐标是(0,4)，将线段AB向右平
移得到线段CD，点D的坐标为(5,4)，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
1
(3)当点P在线段AE上运动时，是否存在点P使得三角形BCP的面积是四边形ABDC面积的 ，若
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存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【变式2】如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方
向平移的数量为x（向右为正，向左为负，平移|x|个单位），沿竖直方向平移的数量为y（向上为
正，向下为负，平移|y|个单位），则把有序数对(x,y)叫做这一平移的“平移量”．如图，已知
△ABC，点A按“平移量”(2,3)可平移到点B．
(1)填空，点B可看作点C按“平移量” 平移得到；
(2)若将△ABC依次按“平移量”(−1,1)平移得到△A′B′C′，请在图（1）中画出△A′B′C′；
(3)将点A按“平移量”(a,b)平移得到点D，使S =S ，写出所有满足条件的平移量(a,b)．
△ABD △ABC
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点分别是A(−1,4),B(−4,−1),C(1,1)，
点 经过平移后对应点为 ，将三角形作同样的平移得到三角形 ．
A A (4,7) A B C
1 1 1 1(1)平移后的另外两个顶点坐标分别为：B （ ， ），C （ ， ）．
1 1
(2)在网格中，先画出平移后的三角形A B C ，再解决下列问题：
1 1 1
①若BC边上一点P(a,b)经过上述平移后的对应点为P ，点P 的坐标为______．（用含a,b的式子
1 1
表示）
②求平移过程中，三角形ABC扫过的面积S．
考点4：轴对称图形的识别
典例4：下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称
图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（ ）
A．线段 B．角 C．等腰三角形 D．正方形
【变式2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中．（1）轴对称图形有 （填序号）；
（2）中心对称图形有 （填序号）；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）．
【变式3】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观
察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D
中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
考点5：利用轴对称性质求解
典例5：小明用两个全等的等腰三角形△OAB与△ODC设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它
们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB,CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（ ）
A．BE=CF B．OE=OF
C．∠BOC+∠AOD=180° D．∠BOC=∠COD
【变式1】如图，已知△ABC和△AB′C′关于直线l对称，连接CC′，BC与B′C′的延长线交于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△AB′C′ B．∠ACD=∠AC′D
C．直线l垂直平分CC′ D．直线l不经过点D
【变式2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接A A'与BB'，CC'，其中BB′分别交
AC，A′C′于点D，D′，下列结论：①A A′∥BB′；②∠ADB=∠A′D′B′；③直线l垂直平分
A A′；④直线AB与A′B′的交点不一定在直线l上．其中正确的是 (填序号)．
【变式3】如图，∠A=28°，∠C′=62°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B= ．
考点6：坐标系中的轴对称求解
典例6：已知 ，则 关于 轴对称的点的坐标为（ ）
(a−2) 2+√b+3=0 P(−a,−b) x
A．(−2,−3) B．(2,−3) C．(−2,3) D．(2,3)
【变式1】如图，已知点A(−2,0)，B(0,4)，A与A′关于y轴对称，连接A′B，现将线段A′B以A′
点为中心顺时针旋转90°得A′B′，点B的对应点B′的坐标为（ ）A．(8,2) B．(4,2) C．(6,2) D．(6,4)
【变式2】如图，正方形ABCD的顶点A(1,1),B(3,1)，规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向
左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为
．
【变式3】若点A(2,5)与点C关于x轴对称，则C点的坐标为 ，若点A与点B关于y轴对
称，则B点的坐标为 ．则A，B两点间的距离为 ．
考点7：坐标系中的轴对称作图
典例7：如图，平面直角坐标系xOy中，点A(−2,−1)，B(−4,−3)，C(−1,−4)．
(1)在平面直角坐标系xOy中画出下面各图形：
①△ABC；
②△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
③△A B C 关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(2)求△A B C 的面积．
2 2 2【变式1】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，每个小正方形的边长都为1个单位长度．
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ；
1 1 1
(2)求△A B C 的面积；
1 1 1
(3)在x轴上找一点P，使PA +PB的和最小，并写出点P的坐标（保留作图痕迹，不写作法）．
1
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(−4,4)，
C(−2,1)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
(2)请直接写出A 、B 、C 的坐标：A ；B ；C ；
1 1 1 1 1 1
(3)在x轴上找一点P，使得PA=PC，则点P的坐标为 ．
【变式3】在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′,B′,C′分别是A,B,C的对应点，不写画法）；
(2)在x轴上求作点P，使PA+PB的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
(3)点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有____________个．
考点8：利用轴对称求最值
1
典例8：如图，MN是⊙O的直径，A´N= M´N，点B是A´N的中点，点P是直径MN上一动点．
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连接AB，AP，BP．若MN=2√2，AB=√3−1，则△PAB的周长的最小值是（ ）
A．√3+1 B．√3+3 C．2 D．4
【变式1】如图所示：∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为5cm,M、N分别是射线
OA、OB上的动点．若∠AOB=30°，则△PMN周长的最小值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】如图，在 △ABC 中，AB=16，BC=10，AM平分∠BAC，∠BAM=15∘，D，E 分
别为 AM，AB 上的动点，则 BD+DE 的最小值是 ．【变式3】如图，点C，D在AB的同侧，AC=5，AB=10√2，BD=10，点M为AB的中点，若
∠CMD=120°，则CD的最大值是 ．
考点9：轴对称的综合问题
典例9：定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于
点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
如图2，在△ABC、△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE、BD．
(1)猜想BD与CE的数量关系是______；并证明你的结论．
(2)延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM=EN，连接AM．
①先补全图形．
②求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
【变式1】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线m交BC于点D，P是直线m上的一动点．(1)连结BP，CP，求证：BP=CP；
(2)连结AP，若AB=6，AC=4，BC=7，求△APC的周长的最小值．
【变式2】在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD，交AP于
点E，连接BE．
(1)依题意补全如图；
(2)若∠PAB=20°，求∠ACE；
(3)若0°<∠PAB<60°，用等式表示线段DE，EC，CA之间的数量关系并证明．
【变式3】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，射线AM与射线AC关于直线AB对称．E
是AM上的一点，连接CE交AB于点D．
(1)若CE⊥AM，求证：△ADC是等腰三角形；
(2)若AE=AD，连接BE，求∠ABE的度数；
(3)若BE=BC，求∠ACE的度数．
