文档内容
专题 01 平移与轴对称
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．确定平
移的两大要素是方向和距离．
（2）性质：
①经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线
上）且相等，对应角相等．
②平移改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
（二）图形的轴对称
（1）定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直
线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做 对应线段 .
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就
叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
模块三 考点一遍过
考点1：利用平移的性质求解
典例1：如图，正方形ABCD的边长为2cm，将正方形ABCD沿对角线BD向右平移1cm，则B D等
1于（ ）
A．(2√2−2)cm B．2cm C．(√2−1)cm D．(2√2−1)cm
【答案】D
【知识点】根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，平移的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
根据正方形的性质结合勾股定理可求出BD=2√2cm，再根据平移的性质得出BB =1cm，最后根据
1
B D=BD−BB 求解即可．
1 1
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2cm，
∴BD=√22+22=2√2cm．
∵将正方形ABCD沿对角线BD向右平移1cm得到正方形A B C D ，
1 1 1 1
∴BB =1cm，
1
∴B D=BD−BB =(2√2−1)cm．
1 1
故选：D．
【变式1】如图，在△ABC中，AB=8，BC=11，∠B=60°，将△ABC沿着BC的方向平移得到
△A′B′C′，连接A′C，若BB′=3，则△A′B′C的周长为（ ）
A．24 B．20 C．36 D．16
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质和判定，熟知以上知识点是解题的关键．
由A′B′,B′C的长度结合∠B=60°，判断△A′B′C的形状，得A′C的长度，可得△A′B′C的周长．
【详解】解：由平移可知：A′B′=AB=8,∠A′B′C′=∠B=60°，
∵BC=11,BB′=3，∴B′C=BC−B′B=8，
∴A′B′=B′C，
∴△A′B′C是等边三角形
∴A′C=B′C=8，
∴△A′B′C的周长为：A′B′+B′C+A′C=24，
故选：A．
【变式2】如图，将周长为16cm的△ABC沿BC方向平移到△≝¿的位置，已知四边形ABFD的周长
为20cm，那么平移的距离为 cm．
【答案】2
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质即可求解．
【详解】解：由平移知：AD=BE=CF，AC=DF；
∵四边形ABFD的周长为20cm，△ABC的周长为16cm，
∴AB+BF+DF+AD=20，AB+BC+AC=16，
∵BF=BC+CF，
∴AB+BC+AC+2AD=20，
即16+2AD=20，
∴AD=2cm，
即平移的距离为2cm；
故答案为：2．
【变式3】如图（图在上一页），在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，将三角形ABC沿直线BC
向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①AD∥BE；②∠B=∠AED；③
DE⊥AC；④BE=AD=CF=2cm，其中一定成立的有 ．
【答案】①③④
【知识点】两直线平行同位角相等、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新
图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据平移的性质得出AD∥BE，
BE=AD=CF=2cm，根据AB∥DE，结合平行线的性质得出∠CGE=∠BAC=90°，
∠≝=∠B，即可得出DE⊥AC．
【详解】解：∵三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，
∴AD∥BE，BE=AD=CF=2cm，AB∥DE，故①④正确，
∵AB∥DE，
∴∠CGE=∠BAC=90°，∠≝=∠B，
∴DE⊥AC，故③正确；
无法证明∠B=∠AED，故②错误；
综上分析可知：正确的有①③④．
故答案为：①③④．
考点2：坐标系中的平移
典例2：若实数m和n是整数，m<0，n>2，将A(2m−4,n−3)向右平移10个单位，再向下平移2
个单位，得到B点．若B点位于第四象限，则点C(m,n)的可能位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【知识点】已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标、求不等式组的解集
【分析】本题考查了点坐标平移的规律，象限内点的坐标的特点和解一元一次不等式组，先根据平
移得出点B的坐标，再根据点B所在象限列出不等式组，然后结合m和n是整数，m<0，n>2，即
可求出答案．
【详解】解：∵ A(2m−4,n−3)向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到B点，
∴B(2m+6,n−5)，
∵ B点位于第四象限，
∴¿，
∴¿，
又∵ m<0，n>2，m和n是整数，
∴m可能是−1、−2，n可能是3、4，
∴ C(m,n)可能是(−1,3)、(−1,4)、(−2,3)、(−2,4)，
故选：D．
【变式1】如图，△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，若△ABC上一点M的坐标为(m,n)，那么
M点的对应点M′的坐标为（ ）A．(m+4,n−2) B．(m−4,n−2) C．(m+4,n+2) D．(m−4,n+2)
【答案】C
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到△A′B′C′是由△ABC先向右平移4个单位，再向上
平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：观察图形可知，△A′B′C′是由△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，
∴点M(m,n)的对应点M′的坐标为(m+4,n+2)，
故选C．
【变式2】已知点B(1,2)将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B″，则点B″的坐标
是 ．
【答案】(−1,5)
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了点的平移，根据平移中点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减，据此解答即可求解，掌握平移中点的坐标变化规律是解题的关键．
【详解】解：将点B(1,2)向左平移2个单位，横坐标变为1−2=−1，再向上平移3个单位，纵坐标
变为2+3=5，
∴点B″的坐标是(−1,5)，
故答案为：(−1,5)．
【变式3】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为A(4,1)，B(2,3)，C(2,1)．将
△ABC沿射线AC平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ．
【答案】(0,3)【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查了平移的性质以及图形与坐标，掌握平移的性质是解题关键．
根据点A和对应点C的坐标，得到平移方式，即可求解．
【详解】解：∵点A(4,1)的对应点与点C(2,1)重合，
∴平移方式为向左平移两个单位，
∴点B(2,3)的对应点的坐标为(2−2,3)，即(0,3)，
故答案为：(0,3)．
考点3：平移的综合
典例3：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(−3,−2)，B(0,−1)，C(−1,1)将三角形ABC
进行平移后，点A的对应点A′为(1,0)，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′．
(1)画出平移后的三角形A′B′C′并写出B′，C′的坐标；
(2)写出由三角形ABC平移得到三角形A′B′C′的过程；
(3)求出三角形A′B′C′的面积．
【答案】(1)图见解析，B′(4,1)，C′(3,3)
(2)先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
(3)3.5
【知识点】利用网格求三角形面积、由平移方式确定点的坐标、平移综合题(几何变换)、平移(作图)
【详解】（1）如图所示，△A′B′C′即为所求：
∴B′(4,1)，C′(3,3)；（2）△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A′B′C′；
（3）如图所示：
S =S −S −S −S
△A′B′C′ ▱A′DEF △A′FB′ △C′EB′ △A′DC′
1 1 1
=3×3− ×1×3− ×1×2− ×2×3=3.5，
2 2 2
答：△A′B′C′的面积是3.5．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(−3,0)，点B的坐标是(0,4)，将线段AB向右平
移得到线段CD，点D的坐标为(5,4)，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度
的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
1
(3)当点P在线段AE上运动时，是否存在点P使得三角形BCP的面积是四边形ABDC面积的 ，若
5
存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)(2,0)； (5,2)；
(2)点P在AE上运动时，(2t−3,0)，点P在ED上运动时，(5,2t−8)
(3)存在，P(0,0)或P(4,0).
【知识点】由平移方式确定点的坐标、平移综合题(几何变换)、列代数式
【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据题意，BD=AC，进而求出点C的坐标；由题意得，AE=3+5=8，ED=4，点P在ED
上，且EP=2，进而表示出点P的坐标；
（2）当点P在AE上运动时，当点P在ED上运动时，分别表示出点P的坐标即可作答；（3）先求出四边形ABDC的面积,点P在AE上运动时列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点B的坐标是(0,4)，点D的坐标为(5,4)，
由平移的性质得BD=AC=5，
∵点A的坐标(−3,0)，
∴C(2,0)；
由题意得，AE=3+5=8，ED=4，
∵点P的运动速度为每秒2个单位长度，
∴出发5秒时，运动的距离为10个单位长度，
此时点P在ED上，且EP=2，
∴点P的坐标为(5,2)，
故答案为：(2,0)，(5,2)；
（2）解：当点P在AE上运动时，
∵AP=2t，
∴点P的坐标为(−3+2t,0)；
当点P在ED上运动时，
∵EP=2t−8，
∴点P的坐标为(5,2t−8)，
∴点P的坐标为¿；
（3）解：∵四边形ABDC的面积为5×4=20，
1
∴S = ×20=4，
三角形BCP 5
当点P在AE上运动时，CP边上的高为4，
1
即 CP×4=4，
2
解得CP=2，
∴点P的坐标为(0,0)或(4,0)，
【变式2】如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方
向平移的数量为x（向右为正，向左为负，平移|x|个单位），沿竖直方向平移的数量为y（向上为
正，向下为负，平移|y|个单位），则把有序数对(x,y)叫做这一平移的“平移量”．如图，已知
△ABC，点A按“平移量”(2,3)可平移到点B．(1)填空，点B可看作点C按“平移量” 平移得到；
(2)若将△ABC依次按“平移量”(−1,1)平移得到△A′B′C′，请在图（1）中画出△A′B′C′；
(3)将点A按“平移量”(a,b)平移得到点D，使S =S ，写出所有满足条件的平移量(a,b)．
△ABD △ABC
【答案】(1)(−2,2)；
(2)图见解析；
(3)使S =S ，满足条件的平移量有(0,5)、(−2,2)、(−4,−1)、(2,−2)、(6,4)．
△ABD △ABC
【知识点】平移综合题(几何变换)、平移(作图)
【分析】本题考查作图-平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
（1）根据“平移量”的定义判断即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（3）过点C作AB的平行线，作点C关于AB的对称点D ，再过点D 作AB的平行线，取格点
1 1
D ，D ，D ，D ，D ，使S =S ，即可得出点D平移量．
1 2 3 4 5 △ABD △ABC
【详解】（1）解：依题意可知，点B在点C的左侧2个单位，上方2个单位，
∴点B可看作点C按“平移量”(−2,2)平移得到，
故答案为：(−2,2)．
（2）解：点A按“平移量”(−1,1)平移得到A′，点B按“平移量”(−1,1)平移得到B′，点C按“平
移量”(−1,1)平移得到C′，依次连接A′、B′、C′，如图：∴△A′B′C′为所求的三角形．
（3）解：要使S =S ，则点D到AB的距离等于点C到AB的距离，所以过点C作AB的平行
△ABD △ABC
线，作点C关于AB的对称点D ，再过点D 作AB的平行线，如图：
1 1
在网格上取格点D ，D ，D ，D ，D ，则S =S ，
1 2 3 4 5 △ABD △ABC
∴D 由点A按“平移量”(0,5)平移得到，
1
D 由点A按“平移量”(−2,2)平移得到，
2
D 由点A按“平移量”(−4,−1)平移得到，
3
D 由点A按“平移量”(2,−2)平移得到，
4
D 由点A按“平移量”(6,4)平移得到，
5
∴使S =S ，满足条件的平移量有(0,5)、(−2,2)、(−4,−1)、(2,−2)、(6,4)．
△ABD △ABC【变式3】在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点分别是A(−1,4),B(−4,−1),C(1,1)，
点A经过平移后对应点为A (4,7)，将三角形作同样的平移得到三角形A B C ．
1 1 1 1
(1)平移后的另外两个顶点坐标分别为：B （ ， ），C （ ， ）．
1 1
(2)在网格中，先画出平移后的三角形A B C ，再解决下列问题：
1 1 1
①若BC边上一点P(a,b)经过上述平移后的对应点为P ，点P 的坐标为______．（用含a,b的式子
1 1
表示）
②求平移过程中，三角形ABC扫过的面积S．
【答案】(1)1,2,6,4
(2)图见解析；①(a+5,b+3)；②30.5
【知识点】平移(作图)、平移综合题(几何变换)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形
的平移，求点的坐标
【分析】（1）根据点A平移后的坐标，得出平移方式为向右平移5个单位，向上平移3个单位，据
此作答即可；
（2）先根据（1）中确定的点的坐标作出平移后的三角形；①根据平移的方式进行求解即可；②利
用割补法进行计算即可．
【详解】（1）∵点A(−1,4)经过平移后对应点为A (4,7)，
1
∴平移方式为向右平移5个单位，向上平移3个单位，
∴B(−4,−1),C(1,1)经过平移后的坐标分别为B (1,2),C (6,4)，
1 1
故答案为：1,2,6,4；（2）如图，
①点P(a,b)经过上述平移后的对应点P 的坐标为(a+5,b+3)，
1
故答案为：(a+5,b+3)；
1 1 1 1
②三角形ABC扫过的面积S=5×5− ×5×2− ×2×3− ×3×5+ ×7×3×2=30.5．
2 2 2 2
【点睛】本题主要考查了平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移
的方式确定对应点后，再顺次连接对应点，即可得到平移后的图形，能够根据平移前后点的坐标的
变化，得出平移的方式是解题的关键．
考点4：轴对称图形的识别
典例4：下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称
图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1】下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（ ）
A．线段 B．角 C．等腰三角形 D．正方形
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，
根据定义，对选项进行一一分析找出对称轴最多的图形即可．
【详解】解：A、线段有2条对称轴；
B、角有1条对称轴；
C、等腰三角形有1条对称轴；
D、正方形有4条对称轴；
故对称轴最多是正方形，有4条；
故选：D．
【变式2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中．
（1）轴对称图形有 （填序号）；
（2）中心对称图形有 （填序号）；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）．
【答案】 ②④⑤⑦⑧ ①③⑥⑦ ①③⑥ ⑦【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对
称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对
称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此
逐一分析判断即可．
【详解】解：①是中心对称图形，但不是轴对称图形；
②是轴对称图形，但不是中心对称图形；
③是中心对称图形，但不是轴对称图形；
④是轴对称图形，但不是中心对称图形；
⑤是轴对称图形，但不是中心对称图形；
⑥是中心对称图形，但不是轴对称图形；
⑦既是中心对称图形，也是轴对称图形；
⑧是轴对称图形，但不是中心对称图形．
所以，（1）轴对称图形有②④⑤⑦⑧；
（2）中心对称图形有①③⑥⑦；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有①③⑥；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有⑦．
故答案为：（1）②④⑤⑦⑧；（2）①③⑥⑦；（3）①③⑥；（4）⑦．
【变式3】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观
察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D
中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【答案】A或C
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．考点5：利用轴对称性质求解
典例5：小明用两个全等的等腰三角形△OAB与△ODC设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它
们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB,CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（ ）
A．BE=CF B．OE=OF
C．∠BOC+∠AOD=180° D．∠BOC=∠COD
【答案】D
【知识点】全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等；根据轴对称图
形的性质可得△AOB≌△DOC，从而得到AB=CD，可判断A，B；过点O作MG⊥l，则
∠GOH=90°，根据题意可得OA=OB,OC=OD，∠BOE+∠BOF=90°，再由
△AOB≌△DOC，可得△AOB≌△DOC，从而得到∠BOH=∠DOG，然后根据轴对称图形的
性质可得∠COH=∠DOG，即可求解．
【详解】解：∵它们关于直线l对称，
∴△AOB≌△DOC，
∴AB=CD，
∵点E，F分别是底边AB,CD的中点，
1 1
∴BE= AB,CF= CD,OE=OF，故选项B正确，不符合题意；
2 2
∴BE=CF，故选项A正确，不符合题意；
根据题意无法得到∠BOC和∠COD大小关系，故选项D错误，符合题意；
如图，过点O作MG⊥l，则∠GOH=90°，
∵点E，F分别是底边AB,CD的中点，OE⊥OF，∴OA=OB,OC=OD，∠BOE+∠BOF=90°，
1 1
∴∠DOF= ∠DOC,∠BOE= ∠AOB，
2 2
∵△AOB≌△DOC，
∴∠DOC=∠AOB，
∴∠DOF=∠BOE，
∴∠DOF+∠BOF=∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠GOH，
∴∠BOH=∠DOG，
∵它们关于直线l对称，
∴∠AOD=2∠DOH,∠BOC=2∠COH=2∠BOH，
∴∠COH=∠DOG，
∴∠BOC+∠AOD=2∠DOG+2∠DOH=2∠GOH=180°，故C选项正确，不符合题意；
故选：D
【变式1】如图，已知△ABC和△AB′C′关于直线l对称，连接CC′，BC与B′C′的延长线交于点
D，则下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△AB′C′ B．∠ACD=∠AC′D
C．直线l垂直平分CC′ D．直线l不经过点D
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的判定、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了图形轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练
掌握图形轴对称的性质是解题的关键．根据图形轴对称的性质，可判断A、B、C三个选项均正确，
对于选项D，根据等腰三角形的判定与性质，及线段垂直平分线的判定，即可解答．
【详解】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△AB′C′，
∴A选项正确，不符合题意；
∵△ABC≌△AB′C′，
∴∠ACB=∠AC′B′，
∴∠ACD=∠AC′D，∴B选项正确，不符合题意；
∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，
∴点C和点C′关于直线l对称，
∴直线l垂直平分CC′，
∴C选项正确，不符合题意；
∵△ABC≌△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACD=∠AC′D，
∴∠DCC′=∠DC′C，
∴DC=DC′，
∴点D在线段CC′的垂直平分线上，
∵直线l垂直平分CC′，
∴直线l经过点D，
∴D选项不正确，符合题意．
故选D．
【变式2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接A A'与BB'，CC'，其中BB′分别交
AC，A′C′于点D，D′，下列结论：①A A′∥BB′；②∠ADB=∠A′D′B′；③直线l垂直平分
A A′；④直线AB与A′B′的交点不一定在直线l上．其中正确的是 (填序号)．
【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的判定、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对
对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解：解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴A A′∥BB′，故①正确，
∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，点D与点D′关于直线l对称的对称点，
∴∠ADB=∠A′D′B′，故②正确；
∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴线段A A′，BB′，CC′被直线l垂直平分，
∴直线l垂直平分A A′，故③正确；
∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴线段AC、A′C′所在直线的交点一定在直线l上，故④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【变式3】如图，∠A=28°，∠C′=62°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B= ．
【答案】90°/90度
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的
性质及三角形内角和定理是解答此题的关键．
先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′，由全等三角形的性质可知∠C=∠C′，再由三角形
内角和定理可得出∠B的度数．
【详解】解：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=62°，
∵∠A=28°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−28°−62°=90°．
故答案为：90°．
考点6：坐标系中的轴对称求解
典例6：已知(a−2) 2+√b+3=0，则P(−a,−b)关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．(−2,−3) B．(2,−3) C．(−2,3) D．(2,3)
【答案】A
【知识点】绝对值非负性、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查点的坐标，非负数的性质和关于x轴的对称点坐标特征，根据几个非负数的和等
于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．根据非负数的性质列式求出a、b的值，结合关于
x轴对称的对称点坐标特征，即可得解．【详解】解：根据题意得，a−2=0，b+3=0，
解得a=2，b=−3，
则P(−a,−b)的坐标为(−2,3)．
∴P(−a,−b)关于x轴对称的点的坐标为(−2,−3)，
故选A．
【变式1】如图，已知点A(−2,0)，B(0,4)，A与A′关于y轴对称，连接A′B，现将线段A′B以A′
点为中心顺时针旋转90°得A′B′，点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．(8,2) B．(4,2) C．(6,2) D．(6,4)
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，坐标与图形．过点B′作
B′C⊥x轴于点C，证明△A′OB≌△B′C A′，可得C A′=OB=4,B′C=A′O=2，即可求解．
【详解】解：∵点A(−2,0),B(0,4)，A与A′关于y轴对称，
∴OA=OA′=2,OB=4，
如图，过点B′作B′C⊥x轴于点C，
∵将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A′B′，
∴∠BA'B'=90°,A'B=A'B'，
∴∠OA′B+∠C A′B′=90°，
∵∠OA′B+∠OBA′=90°，
∴∠OBA′=∠C A′B′，
∵∠A′OB=∠A′CB′=90°，
∴△A′OB≌△B′C A′，∴C A′=OB=4,B′C=A′O=2，
∴OC=6，
∴点 B的对应点B′的坐标为(6,2)．
故选：C
【变式2】如图，正方形ABCD的顶点A(1,1),B(3,1)，规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向
左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为
．
【答案】(−2021,3)
【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变化−对称、规律型−点的坐标、坐标与图形变化−平移，解决本题
的关键是掌握对称性质和平移旋转的性质．根据正方形ABCD的顶点A(1,1)，B(3,1)，可得
AB=BC=2，C(3,3)，先求出前几次变换后C点的坐标，一次变换即点C的横坐标向左移一个单位，
又翻折次数为奇数时点C的纵坐标为−3，翻折次数为偶数时点C的纵坐标为3，再求出点C的横坐
标即可．
【详解】解：∵正方形ABCD的顶点A(1,1)，B(3,1)，
∴AB=BC=2，
∴C(3,3)，
一次变换后，点C 的坐标为(2,−3)，
1
二次变换后，点C 的坐标为(1,3)，
2
三次变换后，点C 的坐标为(0,−3)，
3
…，
通过观察得：翻折次数为奇数时点C的纵坐标为−3，翻折次数为偶数时点C的纵坐标为3，
∵2024是偶数，
∴点C的纵坐标为3，其横坐标为3−2024×1=−2021．
∴经过2024次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为(−2021,3)．
故答案为：(−2021,3)．
【变式3】若点A(2,5)与点C关于x轴对称，则C点的坐标为 ，若点A与点B关于y轴对
称，则B点的坐标为 ．则A，B两点间的距离为 ．【答案】 (2,−5) (−2,5) 4
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查的是平面直角坐标系内点的对称规律，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标
互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，然后根据两点间的距离公式计
算即可．
【详解】解：∵点A(2,5)与点C关于x轴对称，
∴点C的坐标为(2,−5)，
∵点A与点B关于y轴对称，
∴B点的坐标为(−2,5)，
∴A，B两点间的距离为|2−(−2)|=4，
故答案为：(2,−5)，(−2,5)，4．
考点7：坐标系中的轴对称作图
典例7：如图，平面直角坐标系xOy中，点A(−2,−1)，B(−4,−3)，C(−1,−4)．
(1)在平面直角坐标系xOy中画出下面各图形：
①△ABC；
②△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
③△A B C 关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(2)求△A B C 的面积．
2 2 2
【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)4
【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题
的关键
（1）①先描点，再顺次连接即可得出△ABC；②根据轴对称的性质作图即可；③根据轴对称的性质作图即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可
【详解】（1）解：①△ABC如图所示；
②△A B C 如图所示；
1 1 1
③△A B C 如图所示；
2 2 2
1 1 1
（2）解：S =3×3− ×3×1− ×2×2− ×3×1=4
△A 2 B 2 C 2 2 2 2
【变式1】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，每个小正方形的边长都为1个单位长度．
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ；
1 1 1
(2)求△A B C 的面积；
1 1 1
(3)在x轴上找一点P，使PA +PB的和最小，并写出点P的坐标（保留作图痕迹，不写作法）．
1
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)图见解析，P(2,0)
【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ；
1 1 1（2）根据网格利用割补法即可求出△A B C 的面积；
1 1 1
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接A B′交x轴于点P，即可使PA +PB的和最小．
1 1
【详解】（1）解：作出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ，如图所示；
1 1 1
1 1 1
（2）解：△A B C 的面积=2×7− ×1×3− ×1×7− ×2×4=5；
1 1 1 2 2 2
（3）解：x轴上点P如图所示，P(2,0)
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(−4,4)，
C(−2,1)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
(2)请直接写出A 、B 、C 的坐标：A ；B ；C ；
1 1 1 1 1 1
(3)在x轴上找一点P，使得PA=PC，则点P的坐标为 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)(0,−3)；(−4,−4)；(−2,−1)
(3)(1,0)
【知识点】正方形性质理解、画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标、线段垂直平分线的性质
【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可；
（2）根据（1）所作图形写出坐标即可；（3）利用正方形对角线互相垂直平分画出AC的垂直平分线，交x轴于点P，则有PA=PC，再根据
图形写出点P坐标即可；
本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，正方形的性质，掌握轴对称图形和正方形的性质是解题的
关键．
【详解】（1）解：如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）解：由图可得，A (0,−3)，B (−4,−4)，C (−2,−1)，
1 1 1
故答案为：(0,−3)；(−4,−4)；(−2,−1)；
（3）解：如图，利用正方形对角线互相垂直平分画出AC的垂直平分线，交x轴于点P，则有
PA=PC，由图可得点P的坐标为(1,0)，
故答案为：(1,0)．
【变式3】在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′,B′,C′分别是A,B,C的对应点，不写画法）；
(2)在x轴上求作点P，使PA+PB的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
(3)点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有____________个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、两点之间线段最短、根据成轴对称图形的
特征进行求解
【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三
角形的方法是解题的关键．
（1）由点的对称性，作出图形即可；
（2）作点B关于x轴的对称点，连接点B的对称点和点A交轴于点P，点P即为所作；
（3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解.
【详解】（1）解：如图1，△A′B′C′即为所作；（2）解：由图可知，点P即为所作；
（3）如图：以B为圆心，BC长为半径作圆，此圆与坐标轴有4个交点，
以C为圆心，BC长为半径作圆，此圆与坐标轴有4个交点，
作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，
∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10个，
故答案为10．考点8：利用轴对称求最值
1
典例8：如图，MN是⊙O的直径，A´N= M´N，点B是A´N的中点，点P是直径MN上一动点．
3
连接AB，AP，BP．若MN=2√2，AB=√3−1，则△PAB的周长的最小值是（ ）
A．√3+1 B．√3+3 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解
三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和圆心角等知识点，作点A关于MN
的对称点A′，连接A A′，A′B，A′B交MN于点P，连接OA′，OA，OB，由轴对称性可得
PA=PA′，则PA+PB=PA′+PB≥A′B，故当A′、P、B三点共线时，PA+PB最小，最小值为
A′B，由圆周角定理，弧和圆心角的关系可求∠A′ON=∠AON=60°，∠BON=30°，进而求出
∠A′OB=90°，由勾股定理可求A′B=2，即可求解．
【详解】解：如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A A′，A′B，A′B交MN于点P，连接OA′，
OA，OB，∵点A与点A′关于MN对称，
∴PA=PA′，OA=OA′，
∴PA+PB=PA′+PB≥A′B，
则当A′、P、B三点共线时，PA+PB最小，最小值为A′B，
1
∵MN是⊙O的直径，A´N= M´N，点B是A´N的中点，
3
∴∠A′ON=∠AON=60°，∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
1
又OA=OA'= MN=√2，
2
∴A′B=√OB2+OA′2=2，
∴PA+PB的最小值为2，
∵AB=√3−1，
∴△PAB的周长的最小值是2+√3−1=√3+1，
故选：A．
【变式1】如图所示：∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为5cm,M、N分别是射线
OA、OB上的动点．若∠AOB=30°，则△PMN周长的最小值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】此题主要考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质问题，熟知两点之间线段最
短是解答此题的关键．
设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连
接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA，
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=5cm，
∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=5cm．
∵△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD，
∴当点D,N,M,C共线时，
∴△PMN的周长取得最小值，最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm．
故选：C．
【变式2】如图，在 △ABC 中，AB=16，BC=10，AM平分∠BAC，∠BAM=15∘，D，E 分
别为 AM，AB 上的动点，则 BD+DE 的最小值是 ．
【答案】8
【知识点】含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、垂线段最短、三角形三边
关系的应用
【分析】作E关于AM的对称点E，连接DE，根据角平分线的性质以及轴对称的性质，垂线段最短，
进而根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，作E关于AM的对称点E′，连接DE′，∵AM平分∠BAC，
∴E′在CA上，
∴ED=E′D，
∴BD+DE≥BE′，
则当E′、B、D三点共线，且BE′⊥AC时，BD+DE最小，
∵AM平分∠BAC，∠BAM=15°，
∴∠BAE′=30°，
∵AB=16，BE′⊥AC，
1
∴BE′= AB=8，
2
即：BD+DE最小值为8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，轴对称的性质求最短距离，垂线段最短，含30°角的直角三
角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
【变式3】如图，点C，D在AB的同侧，AC=5，AB=10√2，BD=10，点M为AB的中点，若
∠CMD=120°，则CD的最大值是 ．
【答案】5√2+15/15+5√2
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定
【分析】本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短．作点A关于CM的对称点A′，点B关于
DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，∴∠AMC=∠CM A′，∠DMB=∠DMB′，M A′=AM，MB′=BM，C A′=AC=5，
DB′=BD=10，
∵点M为AB的中点，AB=10√2，
∴M A′=AM=MB′=BM=5√2
∵∠CMD=120°，
∴∠AMC+∠DMB=60°，
∴∠CM A′+∠DMB′=60°，
∴∠A'MB'=60°
∵M A′=MB′，
∴△A′MB′为等边三角形，
∴A′B′=M A′=5√2
∵CD≤C A′+A′B′+B′D=CA+AM+BD=5+5√2+10=5√2+15，
∴CD的最大值为5√2+15，
故答案为：5√2+15．
考点9：轴对称的综合问题
典例9：定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于
点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
如图2，在△ABC、△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE、BD．(1)猜想BD与CE的数量关系是______；并证明你的结论．
(2)延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM=EN，连接AM．
①先补全图形．
②求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
【答案】(1)BD=CE，证明见解析
(2)①图见解析；②证明见解析
【知识点】角度问题(轴对称综合题)、同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和SAS综合
（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角
点”的概念是解题的关键．
（1）根据题意∠CAE=∠BAD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出
△CAE≌△BAD，根据全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）①根据题意，作图即可求解；
②根据全等三角形的对应角相等得出∠ADB=∠AEC，根据等角的补角相等得出
∠ADM=∠AEN，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出△ADM≌△AEN，全
等三角形的对应角相等得出∠DAM=∠EAN，推得∠MAN=∠DAE，即∠MAN=∠BAC，过
点M作关于BN的对称点M′，连接AM′，根据对称的性质可得出∠MAN=∠M′ AN=∠BAC，推
得C、A、M′三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明．
【详解】（1）解：BD=CE，
证明如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
即∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
∴¿，
∴△CAE≌△BAD(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE．
（2）①解：如图：②证明：由（1）得：△CAE≌△BAD，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠ADM+∠ADB=180°，∠AEN+∠AEC=180°，
即∠ADM=∠AEN，
在△ADM和△AEN中，
¿，
∴△ADM≌△AEN(SAS)，
∴∠DAM=∠EAN，
∴∠DAM+∠MAE=∠EAN+∠MAE，
∴∠MAN=∠DAE，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠MAN=∠BAC，
过点M作关于BN的对称点M′，连接AM′，如图：
则∠MAN=∠M′ AN=∠BAC，
∵∠BAC+∠CAN=180°，
∴∠M′ AN+∠CAN=180°，
∴C、A、M′三点共线，
即M′C交直线BN于点A，
∴点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
【变式1】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线m交BC于点D，P是直线m上的一动点．
(1)连结BP，CP，求证：BP=CP；(2)连结AP，若AB=6，AC=4，BC=7，求△APC的周长的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)△APC周长的最小值是10．
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P
的位置．
（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，即
可求解．
【详解】（1）证明：∵m是BC的垂直平分线，P是直线m上的一动点，
∴BP=CP；
（2）解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，如图：
∵BP=CP，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是：
AP+CP+AC=AB+AC=6+4=10．
【变式2】在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD，交AP于
点E，连接BE．
(1)依题意补全如图；
(2)若∠PAB=20°，求∠ACE；
(3)若0°<∠PAB<60°，用等式表示线段DE，EC，CA之间的数量关系并证明．【答案】(1)见解析
(2)40°
(3)C A2=DE2+EC2−CE·DE，理由见解析
【知识点】角度问题(轴对称综合题)、全等三角形综合问题、等边三角形的性质、画轴对称图形
【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的
性质等知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键．
（1）依题意补全图形；
（2）由等腰三角形的性质和外角性质即可求解；
（3）连接AD、BE，BE交AC于点F，证明∠CEF=∠BAF=60°，过点C作CM⊥BE于点M，
设EM=m，BM=n，则CE=2m，BE=m+n，根据勾股定理求出CM=√3m，在Rt△BMC中，
由勾股定理得出BC2=BM2+CM2，代入相关数据得出BC2=(n+m) 2+(2m) 2−2m⋅(m+n)
=BE2+CE2−CE⋅BE，由BC=CA，BE=DE可得出结论．
【详解】（1）解：过点B作直线AP的垂线，交于点O，取点D，使得OD=OB，连接CD，交AP
于点E，连接BE，则点D为点B关于直线AP的对称点，图1为所求的图：
（2）如图2：连接AD，
∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD=AB，DE=BE，
∴∠ADB=∠ABD，∠EDB=∠EBD，
∴∠ADB−∠EDB=∠ABD−∠EBD，即∠EDA=∠EBA，
∵AB=AC，AB=AD，
∴AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ABE=∠ACE，
在△FAC与△FEB中，
∠AFC=∠EFC，∠ABE=∠ACE，
∴∠BAC=∠BEC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BEC=∠BAC=60°，
∵∠PAB=20°，BD⊥AP，
∴∠ABO=90°−∠PAB=70°，
∵∠EDB=∠EBD，
1 1
∴∠EBD= ∠BEC= ×60°=30°，
2 2
∴∠ABE=∠ABO−∠EBD=70°−30°=40°，
∴∠ACE=∠ABE=40°；
（3）解：C A2=DE2+CE2−CE⋅DE，理由如下：
如图，连接AD、BE，BE交AC于点F，
∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD=AB，DE=BE，
∴∠ADP=∠ABP，∠EDP=∠EBP，
∴∠EDP−∠ADP=∠EBP−∠ABP，即∠EDA=∠EBA，
∵AB=AC，AB=AD，
∴AD=AC，
∴∠ADE=∠ACE，
∴∠ABE=∠ACE，
∵∠AFB=∠CFE，
∴在△FAB与△FEC中，
∠FCE=∠FBA,∠CFE=∠BFA∴∠BAF=∠CEF
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∴∠CEF=∠BAF=60°，
过点C作CM⊥BE于点M，
设EM=m，BM=n，则CE=2m，BE=m+n，
在Rt△CEM中，CM=√CE2−EM2=√3m，
在Rt△BMC中，BC2=BM2+CM2，
∴BC2=n2+3m2
=(n+m) 2+(2m) 2−2m⋅(m+n)
=BE2+CE2−CE⋅BE，
∵BC=CA，BE=DE，
∴C A2=DE2+CE2−CE⋅DE
【变式3】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，射线AM与射线AC关于直线AB对称．E
是AM上的一点，连接CE交AB于点D．
(1)若CE⊥AM，求证：△ADC是等腰三角形；
(2)若AE=AD，连接BE，求∠ABE的度数；
(3)若BE=BC，求∠ACE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)45°
(3)60°或45°
【知识点】角度问题(轴对称综合题)、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合
（SAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）证明∠ACD=∠CAD=30°，可得结论；
（2）证明△AEB≌△ADC，推出∠ABE=∠ACD，求出∠ACD即可解决问题；
（3）过点B分别作AM和AC的垂线，垂足分别为H，G，证明△AHB≌△AGB，推出BH=BG，
AH=AG，分两种情形：①当点E在M，H之间时，如图中的点E ，连接CE ，②当点E在A，H
1 1之间时，如图中的E ，连接CE ，分别求解即可．
2 2
【详解】（1）证明： ∵ CE⊥AM，
∴ ∠AEC=90°，
∵射线AM与射线AC关于直线AB对称，
∴ ∠BAE=∠CAB=30°，
∴ ∠CAE=60°，
∴ ∠ACE=90°−∠CAE=90°−60°=30°，
∴ ∠DAC=∠ACD=30°，
∴ DA=DC，
∴ △ADC是等腰三角形；
（2）如图2中，在△AEB和△ADC中，
¿，
∴ △AEB≌△ADC(SAS)，
∴ ∠ABE=∠ACD，
∵ AE=AD，∠EAD=∠CAB=30°，
1 1
∴ ∠ADE= (180°−∠EAD)= ×(180°−30°)=75°，
2 2
∴ ∠ABE=∠ACD=∠ADE−∠DAC=75°－30°=45°，
∴ ∠ABE=45°；
（3）如图3中，过点B分别作AM和AC的垂线，垂足分别为H，G，
∵ ∠MAB=∠BAC，∠AHB=∠AGB=90°，AB=AB，
∴ △AHB≌△AGB(AAS)，
∴ BH=BG，AH=AG，
①当点E在M，H之间时，如图中的点E ，连接CE ，
1 1
∵ BE =BC，BH=BG，
1
∴ Rt△BE H≌Rt△BCG(HL)，
1
∴ E H=CG，
1
∴ AE =AC，
1
∵ ∠E AC=60°，
1
∴ △ACE 是等边三角形，
1
∴ ∠ACE =60°；
1
②当点E在A，H之间时，如图中的E ，连接CE ，
2 2
∵ BE =BE ，
1 2
∴ ∠BE H=∠BE H=∠ACB=75°，
2 1∴ ∠ABE =∠BE H−∠E AB=75°−30°=45°，
2 2 2
∴ ∠E BC=∠ABE +∠ABC=45°+75°=120°，
2 2
∵ BE =BC，
2
1
∴ ∠E CB= (180°−∠E BC)=30°，
2 2 2
∴ ∠ACE =∠ACB−∠E CB=75°−30°=45°，
2 2
综上所述，∠ACE的度数为60°或45°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称变换，全等三角形的判
定和性质，三角形的外角性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
