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专题 01 平移与轴对称（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具△ABC，其中∠ABC=90°，AB=3cm，AC=5cm，
学具△ABC放置在直尺的一侧，AB边与直尺的边缘重合，点A对应直尺的刻度为3cm，现将学具
△ABC沿直尺边缘平移到△A′B′C′所在位置，点A′对应直尺的刻度为13cm，连接CC′，则边AC扫
过的面积为（ ）
A．20cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．40cm2
2．如图，在空心圆柱口放置一面平面镜EF，EF与水平线CD的夹角∠EBC=70°，入射光线AB
经平面镜反射后反射光线为BM（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），已知
∠ABE=∠FBM．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线AB与水平线CD
的夹角∠ABC的度数调整为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．60°
3．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都
是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推
断错误的是（ ）
A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°
4．点(−1,2)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．(1,2) B．(1,−2) C．(−1,−2) D．(2,−1)
5．如图，用平移三角尺的方法可以检验出图中平行线共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
6．如图，已知A(−3，3)，B(−1，1.5)，将线段AB向右平移d个单位长度后，点A′,B′恰好同
6
时落在反比例函数y= （x>0）的图象上，则d等于( )
x
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，△AOB是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． B．
(−1,√3) (−1,−√3)
C． D．
(1,√3) (1,−√3)
8．有以下说法：
①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等；②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；
③△ABC在平移过程中，周长保持不变；
④△ABC在平移过程中，对应角分别相等.
正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
9．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，∠ABC=120°，点M，N是对角线AC上的三等分点，
若点P是菱形ABCD边上的动点，则满足PM+PN=6的点P有（ ）
A．0个 B．4个 C．8个 D．12个
11．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将 DEC沿CE折叠至 D′EC处，若∠B＝48°，
∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（ ） △ △
A．33° B．34° C．35° D．36°
12．如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F处．若点D为AB边的
中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线，成立
的有（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
13．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9cm，BC＝8cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角
形，使顶点C落在AB边上的点E处， 折痕为BD，则△ADE的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．9cm D．12cm
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(2,0)，(0,1)，将线段AB平移至A′B′，那
么2a+b的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点
C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON＝50°，则∠CPD＝( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
二、填空题
16．如图，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，AB=3A′B，△ABC面积为36，那么它们重
叠的部分的面积为 ．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，CD⊥AB于D．△BCD沿CD折叠
到△ECD，则点A到边CE的距离为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=8√3，AD=m(m>8)，点E是CD的中点，点M在线段AD上，
1
点N在直线AB上，将△AMN沿MN折叠，使点A与点E重合，连接MN；当BN= CE时，则m的
2
值为 ．
19．如图，等边三角形ABC的顶点A、B坐标分别为(1，1)和(3，1)，规定将等边三角形ABC先沿x
轴翻折，再向左平移1个单位为第一次变换，则这样连续经过2021次变换后，等边三角形ABC的顶
点C的坐标为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点B坐标为(8,6)，点A在x轴上，点C在y轴上，点
D是边AB上的动点，连接OD,作点A关于线段OD的对称点A′． 已知一条抛物线经过 三点，且点 恰好是抛物线的顶点，则 的值为 ．
y=ax2+bx+c(a≠0) O,A′,A A′ b
21．如图， ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点C关于直线AB的对称点为点D，连接AD，DB，
线段DB，A△C的延长线交于点E，若DE=√6，则CE＝ ．
22．在平面直角坐标系中，点M和点N关于y轴对称，若点M的坐标是(−3,5)，则点N的坐标是
．
23．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在B ，C 处，若∠AEB =70°，则
1 1 1
∠BEF= °．
24．点 和点 关于x轴对称，则 ．
A(a−3,7) B(2,b−1) (a+b) 2021=
25．如图，CD是⊙O的直径，CD=8，∠ACD=20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上
的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
三、解答题
26．【操作】如图，点E是 ▱ABCD边AB的中点，连接DE，将△ADE沿着DE所在直线折叠得到△FDE，点A的对称点为点F，连接BF并延长交边CD于点G．
(1)求证：∠EFB=∠EBF；
(2)求证：四边形DEBG是平行四边形；
【应用】连接AF，其他条件不变．若AB=8，AD=DE=6，则AF的长为______．
27．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×14网格中，已知△ABC的顶点都在格点
上，直线l与网线重合．
(1)以直线l为对称轴，画出△ABC关于l对称的△A B C ；
1 1 1
(2)将△ABC向右平移10个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A B C ，画出△A B C ，
2 2 2 2 2 2
并连接B B 、B A ，直接判断四边形A B B C 的形状．
1 2 1 2 2 1 2 2
28．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，△ABC的顶点均在格点上，直
线l经过A,C两点．
(1)四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线l，请将四边形ABCD补充完整；
(2)将△ABC缩小后得到△A′B′C′（点A′,B′,C′均在格点上），则AB与A′B′的比值为______．
m
29．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y= (x>0)的图象
x交于点A（8，1）．
（1）k＝ ；m＝ ；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交
于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对
应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．
30．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上（两条网格
线的交点叫格点）．
(1)将△ABC平移得到△OB C ，使得点A和点O重合；
1 1
(2)用无刻度的直尺作出AB边上一个点，使AE:EB=2:3．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，5），B（-3,3），C（1，2），点P（m,n）是三角
形ABC内任意一点，三角形经过平移后得到三角形AB C ，点P的对应点为P（m+6,n-2）．
1 1 1 1
（1）直接写出平移后点A、B C 的坐标分别为 ．
1 1、 1
（2）画出三角形ABC平移后的三角形AB C ．
1 1 1．4
32．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=8，sinB= ，点D是斜边AB的中点，点E是边AC
5
的中点，连接CD，点P为线段CD上一点，作点C关于直线EP对称点F，连接EF、PF，设DP长
为x（x>0）．
(1)AB的长为________．
(2)求PF长度（用含x的代数式表示）．
(3)当点F落在直线CD上时，求x的值．
(4)探究：直线PF会与△ABC的边BC或AC垂直吗？如果会，请直接写出x的值．
33．如图，正方形ABCD中，点E是边AD上的动点（不与点A，D重合），连接BE，CE．
(1)试问是否存在某个点E使EB平分∠AEC？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△BEC周长的最小值为4，求此时AE的长．
34．如图，平面直角坐标系中，已知点A(−3,3)，B(−5,1)，C(−2,0)，P(a,b)是△ABC中的任意
一点， 经过平移后得到 ，点 的对应点为 ．
△ABC △A B C P P (a+4,b−3)
1 1 1 1(1)在图中画出△A B C ，并写出点A ，B ，C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
(2)连接A A ，CC ，求四边形ACC A 的面积；
1 1 1 1
(3)若有一点D(0,3)，已知AD∥BE，且AD=BE，则E点的坐标为______．
35．综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片ABCD，开展数学活动．
(1)折一折，画一画：
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：P为AD上一点，沿BP折叠，使点A落在EF上的点M处，连接PM并延长交BC于点Q．
①sin∠EMB=______(填数字结果)；
②△BPQ的形状是______；
(2)剪一剪，移一移：
操作三：把纸片展平，沿BP，PQ剪开；
操作四：将△ABP沿BQ方向平移得到△A′B′P′，若A′B′交BP于点G，B′P′交PQ于点H．连接
GH，若AB=3，平移距离为m，
S
①求 △PGH；
S
△BGB′
②当△PGH为直角三角形时，请直接写出m的值．
【能力提升】
36．在平面直角坐标系xOy中，对于任意线段PQ，给出如下定义；线段PQ上各点到y轴距离的最
大值叫做线段PQ的“轴距”，记作W ，例如，图，P(1，−2)，Q(3，1)，则线段PQ的“轴
PQ
距”为3，记作W =3．
PQ(1)若A(−1,3)，B(2,1)，则线段AB的“轴距”W =___________；
AB
(2)把过点(2,0)且垂直于x轴的直线记作直线x=2，点C(m,−1)、D(m+2,2)关于直线x=2的对称点
分别为点E、F，连接CD和EF
①若W =3，则m的值为___________；
EF
②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，以 的值总不变，请直接写出此时
|W −W |
CD EF
m的取值范围．
37．在△ABC中，∠A=90°,AB=AC，给出如下定义：作直线l分别交AB,AC边于点M，N，
点A关于直线l的对称点为A′，则称A′为等腰直角△ABC关于直线l的“直角对称点”．（点M可与
点B重合，点N可与点C重合）
(1)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2),B(2,0)，直线l:y=kx+1，O′为等腰直角△AOB关于直线l
的“直角对称点”．
①当k=−1时，写出点O′的坐标__________；
②连接BO′，求BO′长度的取值范围；
(2)⊙O的半径为10，点M是⊙O上一点，以点M为直角顶点作等腰直角△MPQ，其中MP=2，直
线l与MP、MQ分别交于E、F两点，同时M′为等腰直角△MPQ关于直线l的“直角对称点”，连
接OM′．当点M在⊙O上运动时，直接写出OM′长度的最大值与最小值．38．如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、E、F都在格点
上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面直角坐标系，仅用无刻度的直尺在
给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)如图1，画出线段AB绕点O逆时针旋转180°后的图形CD(A与C对应）；
(2)如图1，点M是线段AB上一点，在（1）中的线段CD上找到一点N，使得DN=BM；
(3)如图1，线段EF是由线段AB绕点P顺时针旋转得到的(A与E对应），请直接写出P的坐标
________；
(4)如图2，点G为格点，点H是线段EF上一点，在线段EG上找到一点Q，使得FQ+HQ最小．
39．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO顶点A、C分别在y轴和x轴上，已知OA=3
cm，OB=5 cm．
(1)求直线OB的解析式；
(2)若射线OB上有一点P(x,y)，△OCP面积为S，求S与x的函数关系式，并求S=3 cm2时，点P
的坐标；
(3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使PQ+BQ最小，求出最小值和点Q的坐标．
40．如图，已知△ABC的面积S =25，BC=10，M为AB边上一动点（M与点A、B不重合），
△ABC
过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x．(1)△ABC的边BC的高h=______；△AMN的面积S =______（用含x的代数式表示）
△AMN
(2)把△AMN沿MN折叠，设折叠后点A的对应点为A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积
为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的范围；
②当x为何值时重叠部分的面积y最大，最大值是多少？
