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高 2024 级高一下期中期考试数学试题
命题人：程远见
一、单项选择题(本题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1．若复数 ，则 ＝
A．2 B． C．10 D．
2．已知平面向量 ＝（1，3）， ＝（2，﹣1），若 ⊥（ +λ ），则实数λ的值为
A．10 B．8 C．5． D．3
3．用斜二测画法画水平放置的 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形 ，已
知点 是斜边 的中点，且 =2，则 的面积为
A． B． C． D．
4.下列说法正确的是
A.若空间四点共面，则其中必有三点共线
B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面
C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
D.若空间四点不共面，则任意三点不共线
5．在梯形 ABCD 中， ， ， ， .若点 P 在线段 BC 上，则
的最小值是
A． B．4 C．8 D．
6．如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为 4，杯底的半
径为3，高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放
入一个半径为r的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则r＝
A．1.5 B．2 C．3 D．3.25
7.已知正方体 的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足
平面 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
18.在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为 的面积，且
，则 的取值范围为
A． B． C． D．
二、多项选择题(本题共3个小题,每小题6分,共18分;在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选得0分)
9．已知z，z均为复数，且z≠0，则下列结论正确的是
1 2 2
A．若zz＝0，则z＝0 B．若 ，则z+z是实数
1 2 1 1 2
C．若 ，则z是纯虚数 D．若 ，则z＝z
1 1 2
10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为
，满足 ，△ABC的面积 ，则
A． B．
C． D．
11．如图1，扇形ABC的弧长为24π，半径为 ，线段AB上有一动点M，弧AB上一点N
是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在图2的圆
锥中（ ）
A．圆锥的表面积为
M为AB中点时，线段MN的长为
B．当
C．存在M，使得MN⊥AB
D．
三、填空题(本题共3个小题,每小题5分,共15分)
12.已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 在 上的投影向量为
213．18世纪英国数学家辛卜森推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体 的
统一体积公式 )(其中 分别为 的高、上
底面面积、中截面面积、下底面面积),我们也称为“万能求积公
式”.例如,已知球的半径为 ,可得该球的体积为
;已知正四棱锥的底面边长为 ,高
为 ,可得该正四棱锥的体积为 .类似地,运用该公式求解下
列问题:如图,已知球 的表面积为 ,若用距离球心 都为 的两个平行平面去截
球 ,则夹在这两个平行平面之间的几何体 的体积为 .
14.锐角 的内角所对边分别是 且 ,若 变化时,
存在最大值,则正数 的取值范围
四、解答题(本题共5个小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题13分)
已知向量 ， ， .
(1)求向量 与 的夹角 的大小；
(2)若向量 ， （ ），当 取得最小值时，求 .
16.(本小题15分)
如图，正方体ABCD﹣ABCD的棱长为 3，点E在棱AA上，点F在棱CC上，点G在棱BB
1 1 1 1 1 1 1
上，且AE＝CF＝BG＝1，点H是棱BC中点．
1 1 1 1
（1）求证：E，B，F，D四点共面；
1
（2）求证：平面AGH∥平面BEDF．
1 1
317.(本小题15分)
已知 分别是 对边，且 ．点 为三角形内部一点，且满足
．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的值；
18.(本小题17分)
现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥P﹣ABCD，下部是正四棱柱
1 1 1 1
ABCD﹣ABCD（如图所示），且正四棱柱的高OO是正四棱锥的高PO的4倍．
1 1 1 1 1 1
（1）若AB＝6，PO＝2，求该几何体的体积．
1
（2）若正四棱锥的侧棱长为6，PO＝2．
1
（i）求正四棱锥P﹣ABCD的侧面积．
1 1 1 1
（ii）若Q，N分别是线段AB，PB上的动点，求AQ+QN+NC的最小值．
1 1 1 1
19.(本小题17分)
在 中， ， ， 对应的边分别为 ， ， ，
.
(1)求 ；
(2)若 为 边中点， ，求 的最大值；
(3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），.法国著名数
学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯
西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
现在，在（1）的条件下，若 ，P是 内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别
4为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式： ， ， ， ，
当且仅当 时等号成立.求 的最小值.
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