文档内容
专题 02 一次函数及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）一次函数图像与定义
（1）形如y= kx ＋ b （k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0 时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（2）注意：理解一次函数概念应注意下面两点：
①解析式中自变量x的次数是1 次
②自变量x的系数为常数
③正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
形如y= k x ＋ b（k、b为常数，k ≠ 0）的函数叫做一次函数。当b=0 时，函数y=kx（k ≠ 0）
叫做正比例函数。
（二）一次函数图像性质
（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与性质
k＞0 k<0
k，b符号
b＞0 b＜0 b=0 b>0 b<0 b=0
大致
图象
一、二、 一、三、 二、三、
经过象限 一、三 一、二、四 二、四
三 四 四
图象性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
（2）一次函数与坐标轴的交点坐标：
①求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的b
(− ,0)
k
交点是 ，
②求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故与y轴的交点是(0，b)；
③正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
（三）一次函数的平移
（1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
（2）左右平移变x，上下平移变等号右边的整体（口诀：左加右减；上加下减）
（四）待定系数法求解解析式
（1）关键：确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的字母 k
与
b
的值。
（2）步骤：
①设一次函数表达式；
②根据已知条件将x，y的对应值代人表达式；
③解关于k，b的方程或方程组；
④确定表达式。
（3）若两条直线平行，那么它们的k相等
（五）一次函数与方程、不等式关系
（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图
象与x轴交点的横坐标.
{y=k x+b ¿¿¿¿
1
y=k x+b
（2）一次函数与方程组：二元一次方程组 的解⇔两个一次函数 1 和
y=k x+b
2 图象的交点坐标.
（3）一次函数与不等式
①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
（六）一次函数的实际应用
（1）一般步骤
①设出实际问题中的变量；
②建立一次函数关系式；
③利用待定系数法求出一次函数关系式；
④确定自变量的取值范围；
⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
⑥做答.
（2）方案问题
①“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最
能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。②命题角度：
★求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值；
★利用一次函数进行方案选择；
★利用一次函数解决个税收取问题；
★利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。
（3）最值问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围
内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。
模块三 考点一遍过
考点1：正比例函数定义
典例1：若函数y=(k+3)x+k2−9是关于x的正比例函数，则（ ）
1
A．k=−3 B．k=±3 C．k=3 D．k=
3
【答案】C
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比
例函数的定义进行判断即可．
【详解】∵ y=(k+3)x+k2−9是关于x的正比例函数，
∴k2−9=0且k+3≠0，
解得k=3，
故选C．
【变式1】下列各关系中成正比例的有（ ）
①圆的周长与半径；
②速度一定，路程与时间；
③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高h；
④长方形的面积一定时，长与宽．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查正比例函数关系，根据成正比例则比值固定解决此题．
C
【详解】①设圆的半径为r，周长为C，则 =2π固定不变，那么圆的周长与半径是正比例关系；
rS
② =v，则速度一定，路程与时间是正比例关系；
t
③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高h乘积固定，不是比值固定，不成正比例．
④长方形的面积一定时，长与宽乘积固定，不是比值固定，不成正比例．
故符合条件的有：①②，
故选：C．
【变式2】已知y= y + y ，y 与x成正比例，y 与x−1成正比例，且当x=3时，y=4；当x=1时，
1 2 1 2
y=2，则y关于x的函数解析式为 ．
【答案】y=x+1
【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了待定系数法、求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
由y 与x成正比例，y 与x−1成正比例，可设出两个比例系数不同的正比例函数，再将其代入到
1 2
y= y + y 中，就得到了y关于x的解析式，最后将两个点代入解析式，求解系数即可得出结果．
1 2
【详解】解：∵y 与x成正比例，y 与x−1成正比例，
1 2
∴y =k x(k ≠0)，y =k (x−1)(k ≠0)，
1 1 1 2 2 2
∴y= y + y =k x+k (x−1)，
1 2 1 2
∵当x=3时，y=4；当x=1时，y=2，
∴¿，
解得，¿，
∴y=2x−(x−1)=x+1．
故答案为：y=x+1．
【变式3】已知函数y=(m−2)xm2−3+n+3（m，n是常数）是正比例函数，则m+n的值为
．
【答案】−5
【知识点】正比例函数的定义、求一元一次不等式的解集、解一元二次方程——直接开平方法、已
知式子的值，求代数式的值
【分析】由函数y=(m−2)xm2−3+n+3（m，n是常数）是正比例函数，可得¿，n+3=0，计算求解
m，n的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵函数y=(m−2)xm2−3+n+3（m，n是常数）是正比例函数，
∴¿，n+3=0，解得m=−2，n=−3，
∴m+n=−5，
故答案为：−5．
【点睛】本题考查了正比例函数，解一元一次不等式，解一元二次方程，解一元一次方程，代数式
求值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
考点2：正比例函数图像性质
k−3
典例2：若反比例函数y= 的图象在一、三象限，正比例函数y=(2k−9)x的图象在二、四象
x
限，则k的整数值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象、已知双曲线分布的象限，求参数范围
k
【分析】本题考查了反比例函数的性质和正比例函数的性质，掌握反比例函数y= (k≠0)，当
x
k>0，图象分布在第一、三象限；当k<0，图象分布在第二、四象限．
根据反比例函数的性质得k−3>0，解得k>3，根据正比例函数的性质得2k−9<0，解得k<4.5，
所以30，
∴k>3，
∵正比例函数y=(2k−9)x的图象经过第二、四象限，
∴2k−9<0，解得k<4.5，
∴30，b0，
∵正比例函数②比正比例函数①更接近y轴，∴by
1 2 2 1
【知识点】根据一次函数的定义求参数、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关
键．
（1）根据一次函数定义可得2−|k|=1，且k+1≠0，再解即可；
（2）根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）由题意得：2−|k|=1，且k+1≠0，
由2−|k|=1可得k=±1，
由k+1≠0可得k≠−1，
由此可得：k=1，
（2）∵一次函数y=2x+4的k=2，
∴ y随x的增大而增大，
∵−4<2，
∴y 0，b=5>0，
∴函数图象经过一、二、三象限，
则这个函数图象不经过第四象限.
故答案为：四．
（2）解：∵这个函数的图象经过原点，
∴a2−4=0，
∴a=±2．
又∵a−2≠0，
∴a≠2，
∴综合得a=−2．
【变式2】已知一次函数y=(1−4k)x+3k−6，请解答下列问题：
(1)k为何值时，该函数的图象与直线y=−3x+1平行？
(2)k为何值时，y随x增大而增大？
(3)k为何值时，该函数的图象经过第二、三、四象限？
【答案】(1)k=1
1
(2)k<
4
1
(3) 0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小，②两直线平行时，一次项系数相等．
（1）两直线平行，则一次项系数相等，常数项不等，列式求解即可；
（2）根据y随x的增大而增大可知：1−4k>0，求解即可；
（3）函数的图象经过第二、三、四象限可知：¿，求解即可．
【详解】（1）由题意得¿
解得k=1；
（2）由题意得1−4k>0，
1
解得k< ；
4
（3）由题意得¿
1
解得 0，
∴函数值y随着x值的增大而增大，故答案为：增大．
【变式2】一次函数y=kx+b的图象经过点(3,−2)和点(−1,6)．
(1)求出该一次函数的解析式；
(2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标．
【答案】(1)y=−2x+4
(2)A(2,0),B(0,4)
【知识点】求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是
解决本题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令x=0，得到y=4，令y=0得到x=2，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点(3,−2)和点(−1,6)，
则有¿，
解得¿，
∴一次函数的解析式为y=−2x+4；
（2）解：对于直线y=−2x+4，令x=0，得到y=4，令y=0得到x=2，
∴A(2,0)，B(0,4)；
【变式3】如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为(−6,0)，点A的坐
标为(−4,0)．点P(x,y)是直线y=kx+6上的一个动点．
(1)求k的值；
(2)当点P(x,y)在第二象限时，
①试写出△OPA的面积S与x的函数关系式；
②当△OPA的面积是10时，求此时P点的坐标．
【答案】(1)k=1
(2)①S=2x+12(−60，
1 1
∴S= OA⋅|y |= ×4×(x+6)=2x+12，
2 P 2
∴S=2x+12(−60的解集是x<1
B．关于x的不等式kx+b>4的解集是x>3
C．关于x的方程kx+b=0的解是x=3
D．当00的解集是x>1，原说法错误；
B. 关于x的不等式kx+b>4的解集是x>3，原说法正确；
C. 关于x的方程kx+b=0的解是x=1，原说法错误；D. 当02时，y<0；④关于x的方程
kx+b=0的解为x=2；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根
据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：由图象得：
①当x<0时，y>3，错误；
②关于x的方程kx+b=3的解为x=0，正确；
③当x>2时，y<0，正确；
④关于x的方程kx+b=0的解为x=2，正确；
故选：C．
【变式2】如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,5)，则关于a的一元一次方程ka+b=5的解为
．
【答案】a=1
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据ka+b=5的解就是函数y=kx+b与直线y=5的交点即可得到答案．
【详解】解：一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,5)，
故关于a的一元一次方程ka+b=5的解为a=1，
故答案为：a=1．
1
【变式3】如图，直线y = x与直线y =kx+b相交于点A(m,2)，则关于x的方程kx+b=2的解为
1 2 2
．
【答案】x=4
【知识点】利用图象法解一元一次方程、求一次函数自变量或函数值
1
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式y = x求出m的值，然
1 2
后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=2的解可得答案．
1
【详解】解：∵直线y = x与直线y =kx+b相交于点A(m,2)，
1 2 2
1
∴2= m，
2
∴m=4，
∴A(4,2)，
∴当x=4时，y=kx+b=2，
∴关于x的方程kx+b=2的解是x=4，
故答案为：x=4．
考点8：一次函数与不等式
1
典例8：如图，直线l ：y =ax(a≠0)与直线l ：y = x+b(b≠0)交于点P，有四个结论：①a<0
1 1 2 2 2
②a>0③当x>0时，y >0④当x<−2时，y >y ，其中正确的是（ ）
1 1 2A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据正比例函数的性质结合函数图象可得答
案．
【详解】解：∵直线l ：y =ax(a≠0)从左往右呈下降趋势，
1 1
∴a<0，故①正确，②错误；
由函数图象可得当x>0时，y <0，故③错误；
1
∵两函数图象交于P，
∴x<−2时，y >y ，故④正确，
1 2
故选：C．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，若直线y =−x+a与直线y =bx−4相交于点P，则下列结
1 2
论正确的是（ ）
A．方程−x+a=bx−4的解是x=−3
B．不等式−x+a>−3和不等式bx−4>−3的解集相同
C．不等式组bx−4<−x+a<0的解集是−2−3的解集为x<1，由图象可得bx−4>−3的解集为
x>1，即可判断选项B；求出−x+a<0的解集是x>−2，当x<1时，bx−4<−x+a，即可判断选
项C；由图象可得方程组¿的解为¿，即可判断选项D．
【详解】解：A．由图象可得直线y =−x+a与直线y =bx−4相交于点P(1,−3)，
1 2
∴方程−x+a=bx−4的解是x=1，
故选项错误，不符合题意；
B．由图象可得−x+a>−3的解集为x<1，由图象可得bx−4>−3的解集为x>1，
∴不等式−x+a>−3和不等式bx−4>−3的解集不相同，
故选项错误，不符合题意；
C．将(1,−3)代入y =−x+a得−3=−1+a，
1
解得a=−2，
∴y =−x−2，
1
将y=0代入y =−x−2得x=−2，
1
由图象可知，−x+a<0的解集是x>−2，
由图象可知，当x<1时，直线y =bx−4在直线y =−x+a的下方，
2 1
∴当x<1时，bx−4<−x+a，
∴不等式组bx−4<−x+a<0的解集是−20；②
1 2
a+b0，故①正确；
将x=1分别代入y =mx+n和y =ax+b得：y =m+n，y =a+b，
1 2 1 2
观察图象可得点(1,m+n)在点(1,a+b)的上方，
∴a+bx 时，y y ，则
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(x −x )(y −y )<0，故③正确；
1 2 1 2
由图象可得，y 与y 交点的横坐标为−2，
1 2
∴当x=−2时，−2a+b=−2m+n，
∴2(a−m)=b−n，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
考点9：一次函数与一次方程组
典例9：已知一次函数y =k x+b 与y =k x+b 的自变量x与因变量y ，y 的部分对应数值如下表，
1 1 1 2 2 2 1 2
则关于x，y的二元一次方程组¿的解为（ ）
x … −1 0 1 2 …
y … −3 1 5 9 …
1
y … −7 −3 1 5 …
2
A．¿ B．¿ C．¿ D．无解
【答案】D
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组及待定系数法求一次函数表达式，方程组的解就是
两个相应的一次函数图像的交点坐标．利用二元一次方程组的解，就是两个相应的一次函数图像的
交点坐标解决问题．
【详解】解：把(−1,−3),(0,1)代入y =k x+b，
1 1
得¿，
解得¿，
∴y =4x+1，
1
把(−1,−7),(0,−3)代入y =k x+b，
2 2
得¿，
解得¿，
∴y =4x−3，
2
∴y =4x+1与y =4x−3的图像是平行的，
1 2
∴一次函数y =k x+b与y =k x+b的图像无交点，
1 1 2 2∴关于x,y的二元一次方程组¿无解；
故选：D ．
【变式1】如图所示，一次函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）与正比例函数y=mx（m是常数，
且m≠0）的图象相交于点M(1,2)，下列判断正确的是（ ）
①关于x的方程mx=kx+b的解是x=1；
②关于x，y的方程组¿的解是¿；
③关于x的不等式mx>kx+b的解集是x<1；
④当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大．
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式
的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据两直线的交点坐标即可判断①②，根据图象
即可判断③④．
【详解】解：∵两直线相交于点M(1,2)，
∴方程mx=kx+b的解是x=1，故①正确；
方程组¿的解是：¿，故②正确；
∵当x>1时，直线y=kx+b在直线y=mx的下方，
∴当x>1时，mx>kx+b，故③错误；
∵当x<0时，直线y=kx+b在直线y=mx的上方，
∴当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，故C正确．
故选：C．
1
【变式2】如图，直线y=x+m与直线y=− x−n相交于点A，则二元一次方程组¿的解为
2
．【答案】¿
【知识点】求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，先求出点A的坐标，再根据一次函数与二元
一次方程的关系求解即可．熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
1
【详解】解：根据图像可知：直线y=− x−n过点(−2,0)，
2
1
∴0=− ×(−2)−n，
2
∴n=1，
1
∵直线y=x+m与直线y=− x−n相交于点A，
2
1
当x=−4时，y=− ×(−4)−1=1，
2
1
∴直线y=x+m与直线y=− x−n相交于点A(−4,1)，
2
∴二元一次方程组¿的解为¿．
故答案为：¿．
1
【变式3】如图，已知一次函数L :y=− x+5与L :y=2x相交于点C，现有一次函数
1 2 2
L :y=kx+2，若L ，L ，L 不能围成三角形，则k的值为 ．
3 1 2 3
1
【答案】1或2或−
2
【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解【分析】本题主要考查一次函数的综合运用，先求出点C的坐标，再分三种情况讨论：①当L 经过
3
点C时，②当L ∥L 时，③当L ∥L 时，分别求k的值即可求解．
3 1 3 2
【详解】解：联立方程组¿，
解得，¿，
∴点C的坐标为(2,4)；
①当L :y=kx+2经过点C时，2k+2=4，
3
解得，k=1，
1
②当L ∥L 时，k=− ，
3 1 2
③当L ∥L 时，k=2，
3 2
1
所以，L ，L ，L 不能围成三角形，则k的值为1或2或− ，
1 2 3 2
1
故答案为：1或2或− ．
2
考点10：一次函数实际应用
典例10：A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售
量y（件）与销售单价售价x（元/件）之间的函数图像如图所示．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若该商品进价为30（元/件）
①当售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）(a>0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超
80（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售
最大利润是6300元，求a的值．
【答案】(1)y与x的函数表达式为y=−2x+300
(2)①当x=90时，周销售利润w最大，最大利润为7200元；②a=5
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性
质和销售问题中利润公式．（1）设y=kx+b，把(50,200)和(80,140)代入可得解析式．
（2）①根据利润=（售价−进价）×数量，得w=(x−30)(−2x+300)，再化成顶点式，顶点的纵坐
标是最大值．②根据利润=（售价−进价）×数量，得w=−2x2+(360+2a)x−9000−300a，其对
a
称轴x=90+ >90，则090，
2
∴ 00，
∴Q随x的增大而增大，
∴当x=6时，Q的最大值为：18000+900×6=23400（元），
B型车有：y=2辆，C型车有：20−6−2=12（辆），
答：当用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元；
（3）解：Q=800×60−(2000+a)x−1500 y−800(20−x−y)=18000+(900−a)x，
①当900−a=0时，无解，故a≠900；
②当900−a>0时，即a<900，则x=6时取到最大值17400元，
∴18000+(900−a)×6=17400，
解得：a=1000，不符合题意；
③当900−a<0时，即a>900，则x=4时取到最大值17400元，
∴18000+(900−a)×4=17400
解得：a=1050，符合题意．
综上可知，a的值为1050．
【变式3】《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，
箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读
取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．
研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到如表：
供水时间
0 2 4 6 8
x(h)
箭尺读数 1 4
6 30 54
y(cm) 8 2
(1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x(h)，纵轴表示箭尺读数y(cm)，描出以表格
中数据为坐标的各点，并连线；
(2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式（写过程）；
(3)应用上述得到的规律计算：
如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么当箭尺读数为90cm时是几点钟？
【答案】(1)见详解(2)y=6x+6(0≤x≤19)
(3)22:00
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、其他问题(一次函数
的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式．
（1）由表格描点，连线即可；
（2）根据函数图象可得是一次函数，用待定系数法可求出函数关系式；
（3）求出y=90cm时的值，然后计算即可．
【详解】（1）解：描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图：
（2）解：设解析式为y=kx+b(k≠0)，
当x=0,y=6,x=2,y=18，
则有¿，
解得¿，
∴解析式为：y=6x+6，
∵6x+6=120时，x=19，
∴函数解析式为：y=6x+6(0≤x≤19)．
（3）解：当y=90时，即6x+6=90，
解得：x=14，
即经过14h，箭尺读数为90cm，
∵本次实验记录的开始时间是上午8:00，
∴当箭尺读数为90cm时是22:00．
【变式4】小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一
条路回家，线段OA与折线B−C−D−E分别表示两人离家的距离y(km)与小华的行驶时间t(h)之间
的函数关系的图象，请解决以下问题．(1)小华家到图书馆的路程是________km；线段OA对应的函数表达式为________（0≤t≤0.8）；
(2)求线段CD对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围）
(3)图象中线段OA与线段CD的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________；
(4)设小华和妈妈两人之间的距离为3km，t的值为________(h)．
【答案】(1)8，y=10t；
(2)y=−20t+10
(1 10) 1 10
(3) , ；小华骑自行车行驶 小时，在离家 km处与回家的妈妈相遇．
3 3 3 3
7 13
(4) 或 ．
30 30
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的应用：
（1）由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是8km；设OA的解析式为y=kt，代入(0.8,8)，求出
k的值即可；
（2）设CD的函数表达式为y=mt+n，把(0.5,0),(0.1,8)代入，求出m,n的值即可；
（3）联立方程组¿，再解方程组求出方程组的解即可；
1
（4）根据题意四种情况：当t=0.1时，小华离家y=10×0.1=1(km)，当0.1340，
∴m<60，
当00,x越大，W越大，得出x=80即甲店A型80件，B型60件；乙店A型0
件，B型60件，能使总利润最大，
当m=40时，40−m=0,W为定值，20≤x≤80符合题意的各种方案使总利润最大，
当400，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=7时总费用最小为w=2×7+801=815（元），
②当0≤m<7时，13+m<20,18−m>11，
∴订餐总费用W =30×(13+m)+25×0.8×(7+11−m)=10m+750，
∵k=10>0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=0时，w最小为750元，
③若选择优惠方案三，订餐总费用为w=30×(13+m)+25×(7+11−m)=5m+840，
∵总费用满850元立减90元，且5m+840≥850，
∴当m=2时，订餐费用最小为5×2+840−90=760（元），
综上所述，当订购A套餐13份，订购B套餐18份时，订餐总费用最低750元．
【变式7】问题情境：国庆假期，小李陪爸爸一起去种子公司购买一种新品种玉米种子，经过多次
协商，种子公司销售玉米种子，零售价格为每千克5元，并提出多买可优惠：如果一次性购买10千
克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打八折，销售价表格如下：
购买种子的数量/千克 2 5 10 12 20 30 …
13
付款金额/元 10 50 58 …
0
任务一：由于表格中有两处印刷不清，爸爸要求小李直接写出表格中空缺的值，你能否帮小李完成？
请直接写出；
任务二：爸爸说这次购买数量大于10千克，但不确定具体数量，小李想利用所学知识为爸爸建立一
个数量关系，便于爸爸计算，若设购买种子数量为x(x>10)千克，付款金额为y元，请你为小李建
立y与x的函数关系式；
任务三：小李爸爸计划第一次购买种子40千克，第二次再购买8千克，若考虑两次购买种子的数量
合在一起购买，请你帮小李爸爸计算出可省多少钱？
【答案】任务一：25，90；任务二：y=4x+10； 任务三：可省8元
【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值、梯度计价问题
【分析】本题考查了有理数的混合运算、求函数关系式，
任务一：根据有理数的混合运算的法则列式计算即可；任务二：根据题意写出y与x的函数关系式即可；
任务三：分别计算出两次购买的金额，再求和，再计算合在一起购买时花费的钱，进行比较即可．
【详解】解：任务一：∵5×5=25，50+5×(20−10)×0.8=90，
故填表如下
1
购买种子的数量/千克 2 5 10 20 30 …
2
2 5 13
付款金额/元 10 50 90 …
5 8 0
任务二：y=5×10+5×0.8(x−10)=4x+10；
任务三：购买40千克付款金额=4×40+10=170（元），
购买8千克付款金额=5×8=40（元），
一起购买付款金额=4×(40+8)+10=202（元），
∴170+40−202=8（元），
答：一起购买可省8元．
【变式8】我们把一只手掌，大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距．根据最近人体构
造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h和指距d成某种关系．数学综合与实践小组从函数角
度进行了身高h与指距d的关系进行如下探究：
[观察测量]
数学综合与实践小组通过对我校师生抽样调查，收集数据，并抽取部分作为样本得到下表：
指距
19 20 21 22 23
d(cm)
身高 17
151 160 169 187
h(cm) 5
[探究发现]
（1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，横轴表示指距d(cm)，纵轴表示身高h(cm)，描出以表
格中所有数据为坐标的各点．
（2）经过观察思考，实践小组发现表格中有一组身高的数据有误，重新测量后证实了这一发现．经
过纠正，该组数据应为：指距为________cm时，身高约为________cm．
（3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这
个函数最有可能是________．（填写函数类型）；该函数的表达式为________；
[结论应用]（4）应用上述发现的规律推测：
①小婉的指距为20.5cm，则她的身高约为________cm．
②李老师的身高为173.5cm，则他的指距约为________cm．
【答案】（1）描点见解析；（2）22，178；（3）一次函数，h=9d−20；（4）164.5；21.5
【知识点】坐标系中描点、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，坐标系内描点；
（1）根据表格信息，在坐标系内描出各点即可；
（2）由指距每增加1cm，身高增加9cm，可得指距22cm，身高175cm这组数据错误，从而可得答
案；
（3）由描出的点的位置信息可得函数最大可能是一次函数，再利用待定系数法求解一次函数的解析
式，再验证即可；
（4）①根据（3）中的函数解析式把d=20.5代入进行计算即可；②根据（3）中的函数解析式把
h=173.5代入进行计算即可．
【详解】解：（1）描点如图所示，
（2）由指距每增加1cm，身高增加9cm，
∴指距22cm，身高175cm这组数据错误；
∴该组数据应为：指距为22cm时，身高约为178cm．
（3）这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是一次函数；
设函数的表达式为：h=kd+b，
将(19,151)，(20,160)代入，
可得¿，
解得：¿ ，
∴直线的表达式为：h=9d−20，
当d=21时，h=169，
当d=22时，h=178，当d=23时，h=187，
∴函数表达式为：h=9d−20．
（4）①由（2）得，h与d的函数关系式为：h=9d−20，
当d=20.5时，h=9×20.5−20=164.5，
②当h=173.5时，173.5=9d−20，
解得：d=21.5，
【变式9】五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示：
收费方 包时上网时间（小
月使用费（元） 超时费（元/小时）
案 时）
A 30 25 m
B 38 32 m+1
C n 无限 0
方案A和方案C每月所需的费用y（元）与每月使用的时间x（时）之间的函数关系图象如下图所示：
(1)填空：表中的m=____________，n=____________；
(2)请在图中画出方案B的图象，并写出当上网时间不少于33小时方案B每月所需的费用y（元）与每
月使用的时间x（时）之间的函数关系式；
(3)当每月使用的时间x在什么范围时，选择方案A最省钱；
当每月使用的时间x在什么范围时，选择方案B最省钱；
当每月使用的时间x在什么范围时，选择方案C最省钱．
【答案】(1)3，120；
(2)当x>32时，方案B每月所需的费用y（元）与每月使用的时间x（时）之间的函数关系式
y=4x−90；
2 2
(3)当0≤x≤27 或45≤x≤55时，该用户选择A收费方式；当27 55时，该用户选择C收费方式．【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式
【分析】（1）根据图象求出m和n的值；
（2）根据表中数据写出y 与x的函数解析式，再分段画出函数图象即可；
B
（3）根据题意可以分别写出y 、y 、y 关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围，然
A B C
后根据题意可以帮助用户选择较省钱的收费方式，通过计算可以说明理由；
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
120−30
【详解】（1）解：由图象知：m= =3，n=120，
55−25
故答案为：3，120；
（2）解：由表中数据可知，当x≤32时，y=38，
当x>32时，y=38+4(x−32)=4x−90，
当x=40时，y=70，
图象如图所示：
∴当x>32时，方案B每月所需的费用y（元）与每月使用的时间x（时）之间的函数关系式
y=4x−90；
（3）解：由题意知：
y =¿，
A
y =¿，
B
y =120(x≥0)，
C
令3x−45=38或3x−45=4x−90，
2
解得x=27 或x=45，
3
令4x−90=120，1
解得x=50 ，
2
2
∴当0≤x≤27 或45≤x≤55时，该用户选择A收费方式；
3
2
当27 55时，该用户选择C收费方式．
考点11：一次函数的性质
典例11：已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象经过点(−1,6)，(1,2)，则下列说法
不正确的是（ ）
A．图象不经过第三象限 B．y随着x的增大而减小
C．图象与x轴交于(−2,0) D．图象与y轴交于(0,4)
【答案】C
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、根据一次函数解析式判断其经过的象
限、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的图象与性
质是解题关键．先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象与性质逐项判断
即可得．
【详解】解：将点(−1,6)，(1,2)代入一次函数y=kx+b得：¿，解得¿，
则一次函数的解析式为y=−2x+4，
∵−2<0,4>0，
∴这个函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，y随着x的增大而减小，选项A和选项
B说法都正确；
当y=0时，−2x+4=0，解得x=2，
则这个函数的图象与x轴交于(2,0)，选项C说法不正确；
当x=0时，y=4，
则这个函数的图象与y轴交于(0,4)，选项D说法正确；
故选：C．
【变式1】已知一次函数y=kx+b(k≠0)，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是
（ ）
x … −1.5 0 1 2 …
… 6 3 1 −1 …
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限C．关于x的方程kx+b=−1的解是x=2
D．该函数的图象与y轴的交点是(0,2)
【答案】C
【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的
交点问题、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图像与性质，熟记一次函数图像与性质
是解决问题的关键．根据信息的，求出一次函数表达式，根据一次函数图像与性质逐项判断即可得
到答案．
【详解】解：将(0,3)和(1,1)代入y=kx+b(k≠0)得到¿，解得¿，
∴一次函数为y=−2x+3，
A、由k=−2<0可知，y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意；
B、由k=−2<0,b=3>0可知，该函数的图像经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意；
C、当y=−1时，−1=−2x+3，解得x=2，该选项正确，符合题意；
D、由一次函数为y=−2x+3，当x=0时，y=3，函数图像与y轴的交点是(0,3)，该选项错误，不
符合题意；
故选：C．
【变式2】已知一次函数y=(m−1)x−2m+1，其中m≠1．
（1）若点B(1,t),C(3,t+2)都在该一次函数的图象上，则m= ．
（2）当−2≤x≤3时，函数有最大值为2，则函数表达式为 ．
3 1
【答案】 2 y=3x−7或y=− x+ ．
4 2
【知识点】加减消元法、求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查的是一次函数的性质，二元一次方程组的解法；
（1）把点B(1,t),C(3,t+2)代入y=(m−1)x−2m+1，再解方程组即可；
（2）分两种情况讨论：当m>1时，y随x的增大而增大；当x=3时，函数有最大值为2，当m<1时，
y随x的增大而减小；当x=−2时，函数有最大值为2，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）∵点B(1,t),C(3,t+2)都在该一次函数的图象上，
∴¿，
解得：m=2；
故答案为：2
（2）当m>1时，y随x的增大而增大；
∴当x=3时，函数有最大值为2，
∴3(m−1)−2m+1=2，
解得：m=4，∴函数为：y=3x−7；
当m<1时，y随x的增大而减小；
∴当x=−2时，函数有最大值为2，
∴−2(m−1)−2m+1=2，
1
解得：m= ，
4
3 1
∴函数为：y=− x+ ；
4 2
3 1
故答案为：y=3x−7或y=− x+ ．
4 2
【变式3】如图，已知直线L：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A ，点A ，A ，…在直线L上点
1 2 3
B ，B ，B ，…在x轴的正半轴上，若△A OB ，△A B B ，△A B B ，…均为等腰直角三角
1 2 3 1 1 2 1 2 3 2 3
形，直角顶点都在x轴上，则点A 的坐标为 ．
2024
【答案】(22024−2,22024)
【知识点】数字类规律探索、等腰三角形的定义、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的
规律探究问题
【分析】本题考查数字规律型、一次函数图象与性质、等腰直角三角形的性质，根据题意求得
A (0,2)，根据等腰三角形的性质可得B (2,0)，即AB =A B =4，从而求得A (2,4)，进而求得
1 1 1 2 1 2
A (6,8)，A (14,16)，总结出规律，即可求解．
3 4
【详解】解：∵y=x+2交y轴于点A ，
1
∴A (0,2)，
1
∵△A OB 是等腰直角三角形，
1 1
∴B (2,0)，
1∵AB =A B =4，
1 2 1
∴A (2,4)，
2
∵若△A OB ，△A B B ，△A B B ，…均为等腰直角三角形，
1 1 2 1 2 3 2 3
∴A (6,8)，A (14,16)，
3 4
⋯，
∴A (2n−2,2n)，
n
∴点A 的坐标为(22024−2,22024)，
2024
故答案为：(22024−2,22024)．
