专题 02 一次函数及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）一次函数图像与定义
（1）形如y= kx ＋ b （k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0 时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（2）注意：理解一次函数概念应注意下面两点：
①解析式中自变量x的次数是1 次
②自变量x的系数为常数
③正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
形如y= k x ＋ b（k、b为常数，k ≠ 0）的函数叫做一次函数。当b=0 时，函数y=kx（k ≠ 0）
叫做正比例函数。
（二）一次函数图像性质
（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与性质
k＞0 k<0
k，b符号
b＞0 b＜0 b=0 b>0 b<0 b=0
大致
图象
一、二、 一、三、 二、三、
经过象限 一、三 一、二、四 二、四
三 四 四
图象性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
（2）一次函数与坐标轴的交点坐标：
①求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的b
(− ,0)
k
交点是 ，
②求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故与y轴的交点是(0，b)；
③正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
（三）一次函数的平移
（1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
（2）左右平移变x，上下平移变等号右边的整体（口诀：左加右减；上加下减）
（四）待定系数法求解解析式
（1）关键：确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的字母 k
与
b
的值。
（2）步骤：
①设一次函数表达式；
②根据已知条件将x，y的对应值代人表达式；
③解关于k，b的方程或方程组；
④确定表达式。
（3）若两条直线平行，那么它们的k相等
（五）一次函数与方程、不等式关系
（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图
象与x轴交点的横坐标.
{y=k x+b ¿¿¿¿
1
y=k x+b
（2）一次函数与方程组：二元一次方程组 的解⇔两个一次函数 1 和
y=k x+b
2 图象的交点坐标.
（3）一次函数与不等式
①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
（六）一次函数的实际应用
（1）一般步骤
①设出实际问题中的变量；
②建立一次函数关系式；
③利用待定系数法求出一次函数关系式；
④确定自变量的取值范围；
⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
⑥做答.
（2）方案问题
①“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最
能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。②命题角度：
★求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值；
★利用一次函数进行方案选择；
★利用一次函数解决个税收取问题；
★利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。
（3）最值问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围
内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。
模块三 考点一遍过
考点1：正比例函数定义
典例1：若函数y=(k+3)x+k2−9是关于x的正比例函数，则（ ）
1
A．k=−3 B．k=±3 C．k=3 D．k=
3
【答案】C
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比
例函数的定义进行判断即可．
【详解】∵ y=(k+3)x+k2−9是关于x的正比例函数，
∴k2−9=0且k+3≠0，
解得k=3，
故选C．
【变式1】下列各关系中成正比例的有（ ）
①圆的周长与半径；
②速度一定，路程与时间；
③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高h；
④长方形的面积一定时，长与宽．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查正比例函数关系，根据成正比例则比值固定解决此题．
C
【详解】①设圆的半径为r，周长为C，则 =2π固定不变，那么圆的周长与半径是正比例关系；
rS
② =v，则速度一定，路程与时间是正比例关系；
t
③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高h乘积固定，不是比值固定，不成正比例．
④长方形的面积一定时，长与宽乘积固定，不是比值固定，不成正比例．
故符合条件的有：①②，
故选：C．
【变式2】已知y= y + y ，y 与x成正比例，y 与x−1成正比例，且当x=3时，y=4；当x=1时，
1 2 1 2
y=2，则y关于x的函数解析式为 ．
【答案】y=x+1
【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了待定系数法、求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
由y 与x成正比例，y 与x−1成正比例，可设出两个比例系数不同的正比例函数，再将其代入到
1 2
y= y + y 中，就得到了y关于x的解析式，最后将两个点代入解析式，求解系数即可得出结果．
1 2
【详解】解：∵y 与x成正比例，y 与x−1成正比例，
1 2
∴y =k x(k ≠0)，y =k (x−1)(k ≠0)，
1 1 1 2 2 2
∴y= y + y =k x+k (x−1)，
1 2 1 2
∵当x=3时，y=4；当x=1时，y=2，
∴¿，
解得，¿，
∴y=2x−(x−1)=x+1．
故答案为：y=x+1．
【变式3】已知函数y=(m−2)xm2−3+n+3（m，n是常数）是正比例函数，则m+n的值为
．
【答案】−5
【知识点】正比例函数的定义、求一元一次不等式的解集、解一元二次方程——直接开平方法、已
知式子的值，求代数式的值
【分析】由函数y=(m−2)xm2−3+n+3（m，n是常数）是正比例函数，可得¿，n+3=0，计算求解
m，n的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵函数y=(m−2)xm2−3+n+3（m，n是常数）是正比例函数，
∴¿，n+3=0，解得m=−2，n=−3，
∴m+n=−5，
故答案为：−5．
【点睛】本题考查了正比例函数，解一元一次不等式，解一元二次方程，解一元一次方程，代数式
求值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
考点2：正比例函数图像性质
k−3
典例2：若反比例函数y= 的图象在一、三象限，正比例函数y=(2k−9)x的图象在二、四象
x
限，则k的整数值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象、已知双曲线分布的象限，求参数范围
k
【分析】本题考查了反比例函数的性质和正比例函数的性质，掌握反比例函数y= (k≠0)，当
x
k>0，图象分布在第一、三象限；当k<0，图象分布在第二、四象限．
根据反比例函数的性质得k−3>0，解得k>3，根据正比例函数的性质得2k−9<0，解得k<4.5，
所以3<k<4.5，然后找出此范围内的整数即可．
k−3
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象位于第一、三象限，
x
∴k−3>0，
∴k>3，
∵正比例函数y=(2k−9)x的图象经过第二、四象限，
∴2k−9<0，解得k<4.5，
∴3<k<4.5，
∴整数k为4．
故选：C．
【变式1】七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线y=kx将这七个正方形分成面
积相等的两部分，则k的值为（ ）
3 2 3
A． B． C． D．1
5 3 4【答案】A
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质、根据正方形的性质求面积
【分析】本题考查求一次函数解析式，把图形补全得到一个边长为3的正方形，写出点A和点B的
9
坐标，根据梯形面积是 列出关于k的方程．解方程即可得到k的值．数形结合是解题的关键．
2
【详解】解：如图，把图形补全得到一个边长为3的正方形，直线y=kx将这个正方形分成面积相等
9
的两部分，每部分的面积为 ，则点A的坐标为(1,k)，点B的坐标为(4,4k)，
2
1 9
根据直线下方梯形的面积得到 ×3×(k+4k)= ，
2 2
3
解得k= ，
5
故选：A
【变式2】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，其中
a，b，c均为常数，则将a，b，c按从小到大排列为 （用“<”符号连接）
【答案】b<a<c
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，由正比例函数的图象可得a<0，b<0，c>0，b<a，
据此即可求解，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵正比例函数①②经过二四象限，正比例函数③经过一三象限，
∴a<0，b<0，c>0，
∵正比例函数②比正比例函数①更接近y轴，∴b<a，
∴b<a<c，
故答案为：b<a<c．
7
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A(3,m)在正比例函数y= x的图象上，点B(1,0)和点
3
C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，则点C的坐标是 ．
【答案】(−4,0)或(6,0)
【知识点】正比例函数的性质
7
【分析】本题考查了正比例函数图像上的点的坐标特征，把点A(3,m)代入y= x求出m=7，得
3
A(3,7)，设点C(a,0)，表示出BC=|a−1|，以BC为点的高是A点纵坐标7，根据三角形面积求得
a的值，进而写出点C坐标．
7
【详解】解：∵A(3,m)在正比例函数y= x的图象上，
3
7
∴m= ×3=7，
3
∴m=7，
∴A(3,7)；
设点C的坐标为(a,0)，
∵B(1,0)，
∴BC=|a−1|，
1
∴ ×7⋅|a−1|=17.5，
2
∴a=−4或a=6，
∴点C的坐标是(−4,0)或(6,0)，
故答案为：(−4,0)或(6,0)．
考点3：一次函数定义
典例3：一次函数y=(k+2)x+k2−4经过原点，则k=（ ）A．2 B．−2 C．±2 D．0
【答案】A
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数的定义求参数
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的定义等知识点，熟知一次函数
图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
把(0,0)代入函数y=(k+2)x+k2−4求出k的值，再结合一次函数的定义即可解答即可．
【详解】解：∵函数y=(k+2)x+k2−4经过原点(0,0)，
∴0=k2−4，解得k=±2，
∵k+2≠0，即k≠−2，
∴k=2．
故选A．
1
【变式1】下列函数：①y=−x；②y=2x+11；③y=−x2+(x+1)(x−2)；④y= 中，关于x的
x
一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义（y=kx+b的定义条件是：k、b为常
数，k≠0，自变量次数为1）是解题的关键．
根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
1
【详解】解：一次函数有：①y=−x；②y=2x+11；③y=−x2+(x+1)(x−2)=−x−2；④y=
x
不是一次函数；
综上所述，正确的有3个 ，
故选：B．
【变式2】已知一次函数y=(m−1)xm2−3+3，y随x的增大而减小，则m的值为
．
【答案】−2
【知识点】根据一次函数增减性求参数、根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的性质，利用一次函数的定义、函数的增减性可以
判定其比例系数的符号，从而确定m的值．
【详解】解：∵一次函数y=(m−1)xm2−3+3，y随x的增大而减小，∴¿，
解得m=−2，
故答案为：−2．
【变式3】当k= 时，函数y=(k+1)x2−|k|+4是一次函数．已知点(−4,y )，(2,y )都在这个
1 2
一次函数图像上，则y ，y 的大小关系是 ．
1 2
【答案】 1 y <y /y >y
1 2 2 1
【知识点】根据一次函数的定义求参数、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关
键．
（1）根据一次函数定义可得2−|k|=1，且k+1≠0，再解即可；
（2）根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）由题意得：2−|k|=1，且k+1≠0，
由2−|k|=1可得k=±1，
由k+1≠0可得k≠−1，
由此可得：k=1，
（2）∵一次函数y=2x+4的k=2，
∴ y随x的增大而增大，
∵−4<2，
∴y <y ．
1 2
故答案为：1；y <y ．
1 2
考点4：一次函数图像性质——画图
典例4：某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y=|x−1|的图象与性质进行了探究，下
面是该小组的探究过程，请补充完整：
(1)列表：
x … −1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
其中，b= ；
(2)描点并连线；
在下面平面直角坐标系中画出函数y=|x−1|的图象；(3)根据图象直接写出函数y=|x−1|图象的两条性质．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．
（1）将x=−1代入函数解析式求出y的值，即可得出b的值；
（2）描点、连线即可；
（3）根据图象即可得出结论．
【详解】（1）解：当x=−1时，y=|x−1|=|−1−1|=2，
∴b=2，
故答案为：2．
（2）解：描点、连线，画出函数图象，如图所示．
（3）观察函数图象，可知：
①当x≥1时，y随x值的增大而增大，当x<1时，y随x值的增大而减小；
②函数y=|x−1|图象关于直线x=1对称；
③当x=1时，函数有最小值1．【变式1】已知一次函数y=(a−2)x+a2−4（a为常数）．
(1)若a=3，则这个函数图象不经过第 象限；
(2)若这个函数的图象经过原点，求a的值．
【答案】(1)四
(2)−2
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活运用是解答关键．
（1）把a=3代入y=(a−2)x+a2−4中，结合一次函数的性质求解．
（2）根据这个函数经过原点，得到a2−4=0且a−2≠0来求解．
【详解】（1）解：∵a=3，
∴y=(a−2)x+a2−4=x+5．
∵k=1>0，b=5>0，
∴函数图象经过一、二、三象限，
则这个函数图象不经过第四象限.
故答案为：四．
（2）解：∵这个函数的图象经过原点，
∴a2−4=0，
∴a=±2．
又∵a−2≠0，
∴a≠2，
∴综合得a=−2．
【变式2】已知一次函数y=(1−4k)x+3k−6，请解答下列问题：
(1)k为何值时，该函数的图象与直线y=−3x+1平行？
(2)k为何值时，y随x增大而增大？
(3)k为何值时，该函数的图象经过第二、三、四象限？
【答案】(1)k=1
1
(2)k<
4
1
(3) <k<2
4
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象平移问题、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了两直线相交或平行的性质、一次函数y=kx+b图象与系数的关系，明确：①当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小，②两直线平行时，一次项系数相等．
（1）两直线平行，则一次项系数相等，常数项不等，列式求解即可；
（2）根据y随x的增大而增大可知：1−4k>0，求解即可；
（3）函数的图象经过第二、三、四象限可知：¿，求解即可．
【详解】（1）由题意得¿
解得k=1；
（2）由题意得1−4k>0，
1
解得k< ；
4
（3）由题意得¿
1
解得 <k<2．
4
【变式3】在平面直角坐标系中画出函数y=2x−4的图象，并完成下列问题：
(1)函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是______；
(2)观察函数y=2x−4的图象，当自变量x=______时，y=−4；当自变量______时，y≥−4．
【答案】(1)4
(2)0，x≥0
【知识点】画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查的是画一次函数图象一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
根据列表，描点，连线画出函数图象即可；
（1）根据三角形面积公式求解即可；
（2）根据函数图象直接解答即可．
【详解】（1）解：列表得，x ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯
y=2x−4 ⋯ −4 −2 0 2 4 ⋯
描点，连线得
，
解：由图象知，直线与x轴交点坐标为(2，0)，与y轴交点坐标为(0，−4)，
1
∴此三角形的面积S= ×2×4=4．
2
故答案为：4；
（2）解：根据图象得，当自变量x=0时，y=−4；当自变量x≥0时，y≥−4．
故答案为：0，x≥0
考点5：一次函数图像性质——平移
典例5：若将直线y=−2x−3向下平移3个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线
y=kx+b说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于(−2,0)
C．与y轴交于(0,6) D．y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数
图象平移问题
【分析】此题主要考查了一次函数图象的平移以及一次函数的性质，正利用一次函数图象的平移规
律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】解：将直线y=−2x−3向下平移3个单位长度后得到直线y=−2x−3−3=−2x−6，
A、直线y=−2x−6经过第二、三、四象限，故本选项错误；
B、直线y=−2x−6与x轴交于(−3,0)，故本选项错误；
C、直线y=−2x−6与y轴交于(0,−6)，故本选项错误；D、直线y=−2x−6，y随x的增大而减小，故本选项正确．
故选：D．
【变式1】一次函数y=x−1的图象平移后经过点(−4,2)，则平移后的函数解析式为 （ ）
A．y=x−6 B．y=−x−2 C．y=x+6 D．y=x−8
【答案】C
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查一次函数y=kx+b(k≠0)图像与几何变换，根据平移不改变k的值可设y=x+b，
然后将点(−4,2)代入即可得出直线的函数解析式．解题的关键是掌握：求一次函数y=kx+b(k≠0)
平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．
【详解】解：设平移后的函数表达式是y=x+b，
∵它经过点(−4,2)，
∴2=−4+b，
解得：b=6，
∴平移后的函数解析式为y=x+6．
故选：C．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点
A(2,2)，C(4,0)，直线y=2x+1以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行
四边形OABC的面积平分．
【答案】3
【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一次函数的图象与几何变换，依据题意，首先连接
AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D
且平行直线y=2x+1的直线解析式，进而可以判断得解．
【详解】解：连接AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平
分．∵ AOCB
四边形 是平行四边形，
∴AD=CD，即D点为AC中点，
∵A(2,2)，C(4,0)，
∴D(3,1)，
设DE的解析式为y=kx+b，
∵平行于y=2x+1，
∴k=2，
∵过D(3,1)，
∴DE的解析式为y=2x−5，
结合“左加右减，上加下减”的平移规律，
∴y=2x−5满足y=2(x−3)+1．
∴直线y=2x−5可以由直线y=2x+1要向右平移3个单位．
∴经过3秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．
故答案为：3．
【变式3】已知一次函数y=−x的图象向上平移2个单位后，与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
则△AOB的面积等于 ．
【答案】2
【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据“上加下减”
得平移规律即可求出点A、B坐标，从而求得OA、OB的长，最后根据三角形面积公式即可求解，
熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由一次函数y=−x的图象向上平移2个单位，
∴平移后得解析式为y=−x+2，
当x=0时，y=2；当y=0时，x=2；
∴A(2,0)，B(0,2)，
∴OA=2，OB=2，
1 1
∴△AOB的面积等于 OA×OB= ×2×2=2，
2 2故答案为：2．
考点6：一次函数的解析式
典例6：已知y−2与x+1成正比例，当x=7时，y=6，
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当y=−2时，求x的值；
(3)若点P(−6,m+4)在该函数图象上，求m的值．
1 5
【答案】(1)y= x+
2 2
(2)x=−9
9
(3)m=−
2
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数自变量或函数值，熟练掌握待定系
数法求一次函数解析式是关键．
（1）设y−2与x+1的函数关系式为：y−2=k(x+1)，用待定系数法即可求解；
（2）将y=−2代入解析式中，即可求解；
（3）将P(−6,m+4)代入解析式中，即可求解m的值．
【详解】（1）解：设函数关系式为：y−2=k(x+1)(k≠0)，
∵当x=7时，y=6，
∴6−2=k(7+1)，
1
∴k= ，
2
1 1 5
把k= 代入y−2=k(x+1)得y= x+ ，
2 2 2
1 5
故函数关系式为：y= x+ ．
2 2
1 5
（2）解：把y=−2代入y= x+ 得：
2 2
x=−9．
1 5
（3）解：将点P(−6,m+4)代入y= x+ 得：
2 2
1 5
m+4= ×(−6)+ ，
2 2
9
解得：m=− ．
2
【变式1】已知：一次函数y=kx+4的图象经过点A(−3,−2)．(1)求这个一次函数的表达式；
(2)在直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(3)函数值y随着x值的增大而________．（填“增大”或“减小”）．
【答案】(1)y=2x+4；
(2)见解析
(3)增大
【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点都满足一次函数解析
式．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作出点A(−3,−2)和(0,4)，过两点作直线即可；
（3）根据一次函数的性质即可作答．
【详解】（1）解：把点A(−3,−2)代入一次函数y=kx+4得：−2=−3k+4，
解得k=2，
则一次函数的解析式是：y=2x+4；
（2）解：如图所示：
（3）解：∵k=2>0，
∴函数值y随着x值的增大而增大，故答案为：增大．
【变式2】一次函数y=kx+b的图象经过点(3,−2)和点(−1,6)．
(1)求出该一次函数的解析式；
(2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标．
【答案】(1)y=−2x+4
(2)A(2,0),B(0,4)
【知识点】求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是
解决本题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令x=0，得到y=4，令y=0得到x=2，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点(3,−2)和点(−1,6)，
则有¿，
解得¿，
∴一次函数的解析式为y=−2x+4；
（2）解：对于直线y=−2x+4，令x=0，得到y=4，令y=0得到x=2，
∴A(2,0)，B(0,4)；
【变式3】如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为(−6,0)，点A的坐
标为(−4,0)．点P(x,y)是直线y=kx+6上的一个动点．
(1)求k的值；
(2)当点P(x,y)在第二象限时，
①试写出△OPA的面积S与x的函数关系式；
②当△OPA的面积是10时，求此时P点的坐标．
【答案】(1)k=1
(2)①S=2x+12(−6<x<0)；②(−1,5)
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数与几何综合．
（1）利用待定系数法求解即可；1
（2）①由（1）得：直线的解析式为y=x+6，求出OA=4，根据S= OA⋅|y |，计算求解即可；
2 P
②当S=10时，则2x+12=10，解得，x=−1，进而可得P点的坐标．
【详解】（1）解：将(−6,0)代入y=kx+6，得0=−6k+6，
解得，k=1；
（2）解：①由（1）得：直线EF解析式为y=x+6，
∵A(−4,0)，
∴OA=4，
∵点P(x,y)是直线y=kx+6上的一个动点，且点P(x,y)在第二象限，
∴y=x+6且y>0，
1 1
∴S= OA⋅|y |= ×4×(x+6)=2x+12，
2 P 2
∴S=2x+12(−6<x<0)；
②解：当S=10时，则2x+12=10，
解得，x=−1，
∴y=5，
∴P点的坐标为(−1,5)．
考点7：一次函数与一次方程
典例7：若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．关于x不等式kx+b>0的解集是x<1
B．关于x的不等式kx+b>4的解集是x>3
C．关于x的方程kx+b=0的解是x=3
D．当0<x<3时，一次函数值y的取值范围是0<y<4
【答案】B
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程的关
系逐项判断即可，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：A. 关于x不等式kx+b>0的解集是x>1，原说法错误；
B. 关于x的不等式kx+b>4的解集是x>3，原说法正确；
C. 关于x的方程kx+b=0的解是x=1，原说法错误；D. 当0<x<3时，一次函数值y的取值范围是−2<y<4；
故选B．
【变式1】如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点(2,0)，点(0,3)，有下列结论：
①当x<0时，y<3；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④关于x的方程
kx+b=0的解为x=2；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根
据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：由图象得：
①当x<0时，y>3，错误；
②关于x的方程kx+b=3的解为x=0，正确；
③当x>2时，y<0，正确；
④关于x的方程kx+b=0的解为x=2，正确；
故选：C．
【变式2】如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,5)，则关于a的一元一次方程ka+b=5的解为
．
【答案】a=1
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据ka+b=5的解就是函数y=kx+b与直线y=5的交点即可得到答案．
【详解】解：一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,5)，
故关于a的一元一次方程ka+b=5的解为a=1，
故答案为：a=1．
1
【变式3】如图，直线y = x与直线y =kx+b相交于点A(m,2)，则关于x的方程kx+b=2的解为
1 2 2
．
【答案】x=4
【知识点】利用图象法解一元一次方程、求一次函数自变量或函数值
1
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式y = x求出m的值，然
1 2
后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=2的解可得答案．
1
【详解】解：∵直线y = x与直线y =kx+b相交于点A(m,2)，
1 2 2
1
∴2= m，
2
∴m=4，
∴A(4,2)，
∴当x=4时，y=kx+b=2，
∴关于x的方程kx+b=2的解是x=4，
故答案为：x=4．
考点8：一次函数与不等式
1
典例8：如图，直线l ：y =ax(a≠0)与直线l ：y = x+b(b≠0)交于点P，有四个结论：①a<0
1 1 2 2 2
②a>0③当x>0时，y >0④当x<−2时，y >y ，其中正确的是（ ）
1 1 2A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据正比例函数的性质结合函数图象可得答
案．
【详解】解：∵直线l ：y =ax(a≠0)从左往右呈下降趋势，
1 1
∴a<0，故①正确，②错误；
由函数图象可得当x>0时，y <0，故③错误；
1
∵两函数图象交于P，
∴x<−2时，y >y ，故④正确，
1 2
故选：C．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，若直线y =−x+a与直线y =bx−4相交于点P，则下列结
1 2
论正确的是（ ）
A．方程−x+a=bx−4的解是x=−3
B．不等式−x+a>−3和不等式bx−4>−3的解集相同
C．不等式组bx−4<−x+a<0的解集是−2<x<1
D．方程组的解是¿解为¿
【答案】C
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线y =−x+a与直线y =bx−4相交于点
1 2
P(1,−3)即可判断选项A；由图象可得−x+a>−3的解集为x<1，由图象可得bx−4>−3的解集为
x>1，即可判断选项B；求出−x+a<0的解集是x>−2，当x<1时，bx−4<−x+a，即可判断选
项C；由图象可得方程组¿的解为¿，即可判断选项D．
【详解】解：A．由图象可得直线y =−x+a与直线y =bx−4相交于点P(1,−3)，
1 2
∴方程−x+a=bx−4的解是x=1，
故选项错误，不符合题意；
B．由图象可得−x+a>−3的解集为x<1，由图象可得bx−4>−3的解集为x>1，
∴不等式−x+a>−3和不等式bx−4>−3的解集不相同，
故选项错误，不符合题意；
C．将(1,−3)代入y =−x+a得−3=−1+a，
1
解得a=−2，
∴y =−x−2，
1
将y=0代入y =−x−2得x=−2，
1
由图象可知，−x+a<0的解集是x>−2，
由图象可知，当x<1时，直线y =bx−4在直线y =−x+a的下方，
2 1
∴当x<1时，bx−4<−x+a，
∴不等式组bx−4<−x+a<0的解集是−2<x<1，
故选项正确，符合题意；
D．∵直线y =−x+a与直线y =bx−4相交于点P，
1 2
∴方程组¿的解为¿，
故选项错误，不符合题意．
故选：C．
1 2
【变式2】如图，已知直线 y = x+2与直线 y =−2nx+n的交点的横坐标为− ，则不等式组 ¿
1 2 2 5
的解集为 ．
2 1
【答案】− ≤x<
5 2
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查直线与不等式，求出两直线的交点是解题的关键．先求出两直线的交点为
2 9
(− , )，代入y ，求出n，及直线y 与x的交点坐标，结合函数图象可得结论．
5 5 2 2
1 2
【详解】解：∵直线y = x+2与直线y =−2nx+n的交点的横坐标为− ，
1 2 2 5
1 2 9
∴ y = ×(− )+2= ，
1 2 5 51 2 9
∴直线y = x+2与直线y =−2nx+n的交点坐标为(− , )，
1 2 2 5 5
2 9
∴ −2×(− )n+n= ，
5 5
解得，n=1，
∴y =−2x+1，
2
1
当y =0时，x= ，
2 2
1
∴y =−2x+1与x轴的交点坐标为( ,0)，
2 2
2 1
∴不等式组 ¿的解集为− ≤x< ，
5 2
2 1
故答案为：− ≤x< ．
5 2
【变式3】已知一次函数y =mx+n和y =ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab>0；②
1 2
a+b<m+n；③ P(x ,y )，Q(x ,y )是直线y =ax+b上不重合的两点，则(x −x )(y −y )<0；
1 1 2 2 2 1 2 1 2
④2(a−m)=b−n．其中正确的有 （填写序号）．
【答案】①②③④
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系，由图象得出a<0，
b<0，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：∵y =ax+b的图象经过第二、三、四象限，
2
∴a<0，b<0，
∴ab>0，故①正确；
将x=1分别代入y =mx+n和y =ax+b得：y =m+n，y =a+b，
1 2 1 2
观察图象可得点(1,m+n)在点(1,a+b)的上方，
∴a+b<m+n，故②正确；∵P(x ,y )，Q(x ,y )是直线y =ax+b上不重合的两点，
1 1 2 2 2
∴由图象可得：当x >x 时，y <y ，则(x −x )(y −y )<0，当x <x 时，y >y ，则
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(x −x )(y −y )<0，故③正确；
1 2 1 2
由图象可得，y 与y 交点的横坐标为−2，
1 2
∴当x=−2时，−2a+b=−2m+n，
∴2(a−m)=b−n，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
考点9：一次函数与一次方程组
典例9：已知一次函数y =k x+b 与y =k x+b 的自变量x与因变量y ，y 的部分对应数值如下表，
1 1 1 2 2 2 1 2
则关于x，y的二元一次方程组¿的解为（ ）
x … −1 0 1 2 …
y … −3 1 5 9 …
1
y … −7 −3 1 5 …
2
A．¿ B．¿ C．¿ D．无解
【答案】D
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组及待定系数法求一次函数表达式，方程组的解就是
两个相应的一次函数图像的交点坐标．利用二元一次方程组的解，就是两个相应的一次函数图像的
交点坐标解决问题．
【详解】解：把(−1,−3),(0,1)代入y =k x+b，
1 1
得¿，
解得¿，
∴y =4x+1，
1
把(−1,−7),(0,−3)代入y =k x+b，
2 2
得¿，
解得¿，
∴y =4x−3，
2
∴y =4x+1与y =4x−3的图像是平行的，
1 2
∴一次函数y =k x+b与y =k x+b的图像无交点，
1 1 2 2∴关于x,y的二元一次方程组¿无解；
故选：D ．
【变式1】如图所示，一次函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）与正比例函数y=mx（m是常数，
且m≠0）的图象相交于点M(1,2)，下列判断正确的是（ ）
①关于x的方程mx=kx+b的解是x=1；
②关于x，y的方程组¿的解是¿；
③关于x的不等式mx>kx+b的解集是x<1；
④当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大．
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式
的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据两直线的交点坐标即可判断①②，根据图象
即可判断③④．
【详解】解：∵两直线相交于点M(1,2)，
∴方程mx=kx+b的解是x=1，故①正确；
方程组¿的解是：¿，故②正确；
∵当x>1时，直线y=kx+b在直线y=mx的下方，
∴当x>1时，mx>kx+b，故③错误；
∵当x<0时，直线y=kx+b在直线y=mx的上方，
∴当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，故C正确．
故选：C．
1
【变式2】如图，直线y=x+m与直线y=− x−n相交于点A，则二元一次方程组¿的解为
2
．【答案】¿
【知识点】求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，先求出点A的坐标，再根据一次函数与二元
一次方程的关系求解即可．熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
1
【详解】解：根据图像可知：直线y=− x−n过点(−2,0)，
2
1
∴0=− ×(−2)−n，
2
∴n=1，
1
∵直线y=x+m与直线y=− x−n相交于点A，
2
1
当x=−4时，y=− ×(−4)−1=1，
2
1
∴直线y=x+m与直线y=− x−n相交于点A(−4,1)，
2
∴二元一次方程组¿的解为¿．
故答案为：¿．
1
【变式3】如图，已知一次函数L :y=− x+5与L :y=2x相交于点C，现有一次函数
1 2 2
L :y=kx+2，若L ，L ，L 不能围成三角形，则k的值为 ．
3 1 2 3
1
【答案】1或2或−
2
【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解【分析】本题主要考查一次函数的综合运用，先求出点C的坐标，再分三种情况讨论：①当L 经过
3
点C时，②当L ∥L 时，③当L ∥L 时，分别求k的值即可求解．
3 1 3 2
【详解】解：联立方程组¿，
解得，¿，
∴点C的坐标为(2,4)；
①当L :y=kx+2经过点C时，2k+2=4，
3
解得，k=1，
1
②当L ∥L 时，k=− ，
3 1 2
③当L ∥L 时，k=2，
3 2
1
所以，L ，L ，L 不能围成三角形，则k的值为1或2或− ，
1 2 3 2
1
故答案为：1或2或− ．
2
考点10：一次函数实际应用
典例10：A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售
量y（件）与销售单价售价x（元/件）之间的函数图像如图所示．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若该商品进价为30（元/件）
①当售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）(a>0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超
80（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售
最大利润是6300元，求a的值．
【答案】(1)y与x的函数表达式为y=−2x+300
(2)①当x=90时，周销售利润w最大，最大利润为7200元；②a=5
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性
质和销售问题中利润公式．（1）设y=kx+b，把(50,200)和(80,140)代入可得解析式．
（2）①根据利润=（售价−进价）×数量，得w=(x−30)(−2x+300)，再化成顶点式，顶点的纵坐
标是最大值．②根据利润=（售价−进价）×数量，得w=−2x2+(360+2a)x−9000−300a，其对
a
称轴x=90+ >90，则0<x≤80时，w的值随x增大而增大，当x=80时，周销售利润最大，即可求
2
解．
【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为y=kx+b，将点(50,200)和(80,140)代入得：
¿，
解得：¿，
∴ y与x的函数表达式为y=−2x+300；
（2）①由题意得：w=(x−30)y=(x−30)(−2x+300)=−2(x−90) 2+7200，
∵ −2<0，
∴当x=90时，周销售利润w最大，最大利润为7200元；
②由题意得：w=(x−30−a)y=(x−30−a)(−2x+300)=−2x2+(360+2a)x−9000−300a，
a
其对称轴为直线x=90+ >90，
2
∴ 0<x≤80时，w的值随x增大而增大，
∴ x=80时周销售利润最大，
∵周销售最大利润是6300元，
∴ 6300=(80−30−a)(−2×80+300)，
解得：a=5．
【变式1】小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣
构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，
其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度x(cm)与双层部分的长度y(cm)满足
一次函数关系，经测量，得到如下数据：
单层部分的长度
… 60 70 80 90 100 110 …
x/cm
双层部分的长度
… 40 35 30 25 20 15 …
y/cm(1)请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象
猜想y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式，并验证你的猜想；
(2)当挎带的长度为110cm时，此时双层部分的长度为_______cm；
(3)若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为126cm，调节挎带长度的方
法是_________．
1
【答案】(1)画图见解析，y是x的一次函数，y=− x+70，验证见解析
2
(2)30
(3)调节挎带长度使单层部分的长度为112cm
【知识点】用描点法画函数图象、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键．
（1）描点并连线，根据图象的特征判断函数类型并利用待定系数法求出函数表达式即可；
（2）将x=110−y代入y关于x的函数表达式，解方程求出y的值即可；
（3）分别求出当x=0时对应y的值和当y=0时对应x的值，从而求出挎带长度的取值范围，根据
126cm是否在这个范围来判断挎带长度是否满足小林的身高要求；设调节挎带长度使单层部分的长
度为a cm，则双层部分的长度为(126−a)cm，将它们分别代入y关于x的函数表达式并求出a的值
即可．
【详解】（1）解：描点及函数图象如图所示：∵
图象是一条直线，
∴y是x的一次函数．
设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)．
将坐标(60,40)和(70,35)分别代入y=kx+b，
得¿，
解得¿，
1
∴y关于x的函数表达式为y=− x+70；
2
（2）解：当挎带的长度为110cm时，单层部分的长度为x=(110−y)cm．
1 1
将x=110−y代入y=− x+70，得y=− (110−y)+70，
2 2
解得y=30．
此时双层部分的长度为30cm．
故答案为：30；
（3）解：当斜挎包挎带全为双层时x=0，则y=70，此时挎带长度为0+70=70(cm)；
1
当斜挎包挎带全为单层时y=0，得− x+70=0，解得y=140，此时挎带长度为0+140=140(cm)；
2
∴挎带长度在70cm~140cm之间，
∵小林的身高最合适的挎带长度为126cm，
∴挎带长度满足小林的身高要求．
设调节挎带长度使单层部分的长度为a cm，则双层部分的长度为(126−a)cm，
1
− a+70=126−a，
2
解得a=112，
∴调节挎带长度使单层部分的长度为112cm．
故答案为：调节挎带长度使单层部分的长度为112cm
【变式2】高邮市大力发展本地特色产业——高邮湖大闸蟹养殖，中秋前后进入大闸蟹成熟期，某运输公司经过多轮竞标获得60吨大闸蟹转运权，负责运往M市，该公司中标的大闸蟹转运初始费用
为800元/吨．已知该公司安排了A、B、C型货车20辆用于装运大闸蟹，已知三种车型每辆车的最
大装载量、运输费用如表所示：
车型 A B C
最大装载量（吨） 5吨 3吨 2吨
运输费用（元/辆） 2000 1500 800
规定所有大闸蟹必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时B型
车的装载量不超过A型车和C型车的装载量总和，同时A型车的数量不超过6辆，设这次运输使用A
型车x辆，B型车y辆，根据以上信息回答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)设此次转运的利润为Q（元），求Q与x之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：
（利润=转运初始总费用−运输总费用）
(3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆A型车的运输费用要增加a元，该公司在本次转运中获得的
最大利润为17400元，请求出a的值．
(10 )
【答案】(1)y=20−3x ≤x≤6
3
(2)Q=18000+900x；当用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元
(3)1050
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答的关键是理解清楚题意，
找到相应的等量关系．
（1）表示出C型车的数量，从而可求y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=转运初始费用-运输费用，列出相应的关系式，再结合x的取值分析即可；
（3）根据利润=转运初始费用-运输费用，列出相应的关系式，再结合x的取值分析即可．
【详解】（1）解：由题意得：C型车有：(20−x−y)辆，
则5x+3 y+2(20−x−y)=60，
整理得：y=20−3x．
∵¿，
10
∴ ≤x≤6，
3
(10 )
∴y=20−3x ≤x≤6 ；
3（2）解：由题意得：Q=800×60−2000x−1500 y−800(20−x−y)=18000+900x，
∵900>0，
∴Q随x的增大而增大，
∴当x=6时，Q的最大值为：18000+900×6=23400（元），
B型车有：y=2辆，C型车有：20−6−2=12（辆），
答：当用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元；
（3）解：Q=800×60−(2000+a)x−1500 y−800(20−x−y)=18000+(900−a)x，
①当900−a=0时，无解，故a≠900；
②当900−a>0时，即a<900，则x=6时取到最大值17400元，
∴18000+(900−a)×6=17400，
解得：a=1000，不符合题意；
③当900−a<0时，即a>900，则x=4时取到最大值17400元，
∴18000+(900−a)×4=17400
解得：a=1050，符合题意．
综上可知，a的值为1050．
【变式3】《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，
箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读
取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．
研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到如表：
供水时间
0 2 4 6 8
x(h)
箭尺读数 1 4
6 30 54
y(cm) 8 2
(1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x(h)，纵轴表示箭尺读数y(cm)，描出以表格
中数据为坐标的各点，并连线；
(2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式（写过程）；
(3)应用上述得到的规律计算：
如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么当箭尺读数为90cm时是几点钟？
【答案】(1)见详解(2)y=6x+6(0≤x≤19)
(3)22:00
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、其他问题(一次函数
的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式．
（1）由表格描点，连线即可；
（2）根据函数图象可得是一次函数，用待定系数法可求出函数关系式；
（3）求出y=90cm时的值，然后计算即可．
【详解】（1）解：描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图：
（2）解：设解析式为y=kx+b(k≠0)，
当x=0,y=6,x=2,y=18，
则有¿，
解得¿，
∴解析式为：y=6x+6，
∵6x+6=120时，x=19，
∴函数解析式为：y=6x+6(0≤x≤19)．
（3）解：当y=90时，即6x+6=90，
解得：x=14，
即经过14h，箭尺读数为90cm，
∵本次实验记录的开始时间是上午8:00，
∴当箭尺读数为90cm时是22:00．
【变式4】小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一
条路回家，线段OA与折线B−C−D−E分别表示两人离家的距离y(km)与小华的行驶时间t(h)之间
的函数关系的图象，请解决以下问题．(1)小华家到图书馆的路程是________km；线段OA对应的函数表达式为________（0≤t≤0.8）；
(2)求线段CD对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围）
(3)图象中线段OA与线段CD的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________；
(4)设小华和妈妈两人之间的距离为3km，t的值为________(h)．
【答案】(1)8，y=10t；
(2)y=−20t+10
(1 10) 1 10
(3) , ；小华骑自行车行驶 小时，在离家 km处与回家的妈妈相遇．
3 3 3 3
7 13
(4) 或 ．
30 30
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的应用：
（1）由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是8km；设OA的解析式为y=kt，代入(0.8,8)，求出
k的值即可；
（2）设CD的函数表达式为y=mt+n，把(0.5,0),(0.1,8)代入，求出m,n的值即可；
（3）联立方程组¿，再解方程组求出方程组的解即可；
1
（4）根据题意四种情况：当t=0.1时，小华离家y=10×0.1=1(km)，当0.1<t≤ 时，小华和妈妈
3
1
两人之间的距离为3km，可得−20t+10−10t=3，当 <t≤0.5时，小华和妈妈两人之间的距离为
3
3km，可得10t−(−20t+10)=3，当0.5<t≤0.8不符合题意，舍去，从而可得答案．
【详解】（1）解：由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是8km；
设OA的函数表达式为y=kt，
把A(0.8,8)代入函数表达式得：8=0.8k，
解得k=10，
∴OA的函数表达式为y=10t；
（2）解：由图象知，D(0.5,0),C(0.1,8)，
设CD的函数表达式为y=mt+n，则¿，
解得¿，
∴CD的函数表达式为y=−20t+10．
（3）解：联立方程组¿，
解得¿，
(1 10)
∴点K的坐标为 , ；
3 3
1 10
∴K的坐标的实际意义是小华骑自行车行驶 小时，在离家 km处与回家的妈妈相遇．
3 3
（4）解：当t=0.1时，小华离家y=10×0.1=1(km)，
1
当0.1<t≤ 时，小华和妈妈两人之间的距离为3km，
3
∴−20t+10−10t=3，
7
解得：t= ，
30
1
当 <t≤0.5时，小华和妈妈两人之间的距离为3km，
3
∴10t−(−20t+10)=3，
13
解得：t= ，
30
当0.5<t≤0.8不符合题意，舍去，
7 13
∴当小华和妈妈两人之间的距离为3km时，t的值为 或 (h)．
30 30
【变式5】某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140
件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件
340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元．
(1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？
(2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润
仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A、B型产品的每件利润不变，问该
公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？
【答案】(1)有四种不同的分配方案
(2)见解析
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】此题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，得到总利润的关系式是解决本题的关
键．（1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数
量，那么总利润等于每件相应商品的利润×相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非
负数可得自变量的取值范围；
（2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得m的取值，结合（1）得
到相应的总利润，根据m的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可．
【详解】（1）解：设公司给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有(140−x)件；乙店A型有
(80−x)件，B型有(x−20)件．公司总利润为W元，根据题意得：
W =400x+320(80−x)+340(140−x)+300(x−20)=40x+67200．
由W =40x+67200≥70280，
∴x≥77，
由¿，解得20≤x≤80
∴77≤x≤80，
∵x为整数，
∴x=77,78,79,80，
∴有四种不同的分配方案；
（2）解：依题意：W =(400−m)x+340(140−x)+320(80−x)+300(x−20)
=(40−m)x+67200，
∵400−m>340，
∴m<60，
当0<m<40时，40−m>0,x越大，W越大，得出x=80即甲店A型80件，B型60件；乙店A型0
件，B型60件，能使总利润最大，
当m=40时，40−m=0,W为定值，20≤x≤80符合题意的各种方案使总利润最大，
当40<m<60时，40−m<0,x越小，W越大，得出x=20即甲店A型20件，B型120件；乙店A型
60件，B型0件，使总利润最大．
【变式6】根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案
某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信
息及团购优惠方案如下所示：
套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案
素
材 A：米饭套
30元
方案一：A套餐满20份及以上每份均打9
1 餐 折；
方案二：B套餐满12份及以上每份均打8折；
B：面食套
25元
餐 方案三：总费用满850元立减90元．（方案三不可与方案一、方案二叠加使用）
素 该班级共31位同学，每人都从A、B两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统
材 计，有20人已经确定A或B套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，
2 三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任
务 已知确定套餐的20人中，有_________人选择A套餐，___________人选择B套餐．
1
任
设两种套餐皆可的同学中有m人选择A套餐，该班订餐总费用为w元，当全班选择A套餐人数
务
不少于20人时，请求出w与m之间的函数关系式．
2
任
务 要使得该班订餐总费用最低，则A、B套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
3
【答案】任务一：13，7；任务二：w=2m+801；任务三：订购A套餐13份，订购B套餐18份时，
订餐总费用最低750元
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用：
任务一：设20人中有x人选择A套餐，则有(20−x)人选择B套餐，根据总费用为565元列一元一
次方程，解方程即可；
任务二：先判断选择B套餐人数是否满足优惠方案二的条件，再根据优惠方式列函数关系式即可；
任务三：先计算出m≥7以及0≤m<7时，w与m之间的函数关系式，计算出所需的低费用，再计算
出按照优惠方案三所需的最低费用，最后比较大小即可．
【详解】解：任务一：
设20人中有x人选择A套餐，
由题意知，30x+25(20−x)=565，
解得x=13，
20−x=20−13=7，
即20人中有13人选择A套餐，7人选择B套餐，
故答案为：13，7；
任务二：∵两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐，
∴当A套餐人数不少于20人时，13+m≥20，
∴m≥7，则选择B套餐人数为18−m≤11，不满足优惠方案二的条件，
∴订餐总费用为：w=30×0.9×(13+m)+25(7+11−m)=2m+801；
任务三：∵两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐，
①当m≥7时，由（2）得：w=2m+801，
∵k=2>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=7时总费用最小为w=2×7+801=815（元），
②当0≤m<7时，13+m<20,18−m>11，
∴订餐总费用W =30×(13+m)+25×0.8×(7+11−m)=10m+750，
∵k=10>0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=0时，w最小为750元，
③若选择优惠方案三，订餐总费用为w=30×(13+m)+25×(7+11−m)=5m+840，
∵总费用满850元立减90元，且5m+840≥850，
∴当m=2时，订餐费用最小为5×2+840−90=760（元），
综上所述，当订购A套餐13份，订购B套餐18份时，订餐总费用最低750元．
【变式7】问题情境：国庆假期，小李陪爸爸一起去种子公司购买一种新品种玉米种子，经过多次
协商，种子公司销售玉米种子，零售价格为每千克5元，并提出多买可优惠：如果一次性购买10千
克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打八折，销售价表格如下：
购买种子的数量/千克 2 5 10 12 20 30 …
13
付款金额/元 10 50 58 …
0
任务一：由于表格中有两处印刷不清，爸爸要求小李直接写出表格中空缺的值，你能否帮小李完成？
请直接写出；
任务二：爸爸说这次购买数量大于10千克，但不确定具体数量，小李想利用所学知识为爸爸建立一
个数量关系，便于爸爸计算，若设购买种子数量为x(x>10)千克，付款金额为y元，请你为小李建
立y与x的函数关系式；
任务三：小李爸爸计划第一次购买种子40千克，第二次再购买8千克，若考虑两次购买种子的数量
合在一起购买，请你帮小李爸爸计算出可省多少钱？
【答案】任务一：25，90；任务二：y=4x+10； 任务三：可省8元
【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值、梯度计价问题
【分析】本题考查了有理数的混合运算、求函数关系式，
任务一：根据有理数的混合运算的法则列式计算即可；任务二：根据题意写出y与x的函数关系式即可；
任务三：分别计算出两次购买的金额，再求和，再计算合在一起购买时花费的钱，进行比较即可．
【详解】解：任务一：∵5×5=25，50+5×(20−10)×0.8=90，
故填表如下
1
购买种子的数量/千克 2 5 10 20 30 …
2
2 5 13
付款金额/元 10 50 90 …
5 8 0
任务二：y=5×10+5×0.8(x−10)=4x+10；
任务三：购买40千克付款金额=4×40+10=170（元），
购买8千克付款金额=5×8=40（元），
一起购买付款金额=4×(40+8)+10=202（元），
∴170+40−202=8（元），
答：一起购买可省8元．
【变式8】我们把一只手掌，大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距．根据最近人体构
造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h和指距d成某种关系．数学综合与实践小组从函数角
度进行了身高h与指距d的关系进行如下探究：
[观察测量]
数学综合与实践小组通过对我校师生抽样调查，收集数据，并抽取部分作为样本得到下表：
指距
19 20 21 22 23
d(cm)
身高 17
151 160 169 187
h(cm) 5
[探究发现]
（1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，横轴表示指距d(cm)，纵轴表示身高h(cm)，描出以表
格中所有数据为坐标的各点．
（2）经过观察思考，实践小组发现表格中有一组身高的数据有误，重新测量后证实了这一发现．经
过纠正，该组数据应为：指距为________cm时，身高约为________cm．
（3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这
个函数最有可能是________．（填写函数类型）；该函数的表达式为________；
[结论应用]（4）应用上述发现的规律推测：
①小婉的指距为20.5cm，则她的身高约为________cm．
②李老师的身高为173.5cm，则他的指距约为________cm．
【答案】（1）描点见解析；（2）22，178；（3）一次函数，h=9d−20；（4）164.5；21.5
【知识点】坐标系中描点、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，坐标系内描点；
（1）根据表格信息，在坐标系内描出各点即可；
（2）由指距每增加1cm，身高增加9cm，可得指距22cm，身高175cm这组数据错误，从而可得答
案；
（3）由描出的点的位置信息可得函数最大可能是一次函数，再利用待定系数法求解一次函数的解析
式，再验证即可；
（4）①根据（3）中的函数解析式把d=20.5代入进行计算即可；②根据（3）中的函数解析式把
h=173.5代入进行计算即可．
【详解】解：（1）描点如图所示，
（2）由指距每增加1cm，身高增加9cm，
∴指距22cm，身高175cm这组数据错误；
∴该组数据应为：指距为22cm时，身高约为178cm．
（3）这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是一次函数；
设函数的表达式为：h=kd+b，
将(19,151)，(20,160)代入，
可得¿，
解得：¿ ，
∴直线的表达式为：h=9d−20，
当d=21时，h=169，
当d=22时，h=178，当d=23时，h=187，
∴函数表达式为：h=9d−20．
（4）①由（2）得，h与d的函数关系式为：h=9d−20，
当d=20.5时，h=9×20.5−20=164.5，
②当h=173.5时，173.5=9d−20，
解得：d=21.5，
【变式9】五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示：
收费方 包时上网时间（小
月使用费（元） 超时费（元/小时）
案 时）
A 30 25 m
B 38 32 m+1
C n 无限 0
方案A和方案C每月所需的费用y（元）与每月使用的时间x（时）之间的函数关系图象如下图所示：
(1)填空：表中的m=____________，n=____________；
(2)请在图中画出方案B的图象，并写出当上网时间不少于33小时方案B每月所需的费用y（元）与每
月使用的时间x（时）之间的函数关系式；
(3)当每月使用的时间x在什么范围时，选择方案A最省钱；
当每月使用的时间x在什么范围时，选择方案B最省钱；
当每月使用的时间x在什么范围时，选择方案C最省钱．
【答案】(1)3，120；
(2)当x>32时，方案B每月所需的费用y（元）与每月使用的时间x（时）之间的函数关系式
y=4x−90；
2 2
(3)当0≤x≤27 或45≤x≤55时，该用户选择A收费方式；当27 <x≤45时，该用户选择B收费方
3 3
式；当x>55时，该用户选择C收费方式．【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式
【分析】（1）根据图象求出m和n的值；
（2）根据表中数据写出y 与x的函数解析式，再分段画出函数图象即可；
B
（3）根据题意可以分别写出y 、y 、y 关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围，然
A B C
后根据题意可以帮助用户选择较省钱的收费方式，通过计算可以说明理由；
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
120−30
【详解】（1）解：由图象知：m= =3，n=120，
55−25
故答案为：3，120；
（2）解：由表中数据可知，当x≤32时，y=38，
当x>32时，y=38+4(x−32)=4x−90，
当x=40时，y=70，
图象如图所示：
∴当x>32时，方案B每月所需的费用y（元）与每月使用的时间x（时）之间的函数关系式
y=4x−90；
（3）解：由题意知：
y =¿，
A
y =¿，
B
y =120(x≥0)，
C
令3x−45=38或3x−45=4x−90，
2
解得x=27 或x=45，
3
令4x−90=120，1
解得x=50 ，
2
2
∴当0≤x≤27 或45≤x≤55时，该用户选择A收费方式；
3
2
当27 <x≤45时，该用户选择B收费方式；
3
当x>55时，该用户选择C收费方式．
考点11：一次函数的性质
典例11：已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象经过点(−1,6)，(1,2)，则下列说法
不正确的是（ ）
A．图象不经过第三象限 B．y随着x的增大而减小
C．图象与x轴交于(−2,0) D．图象与y轴交于(0,4)
【答案】C
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、根据一次函数解析式判断其经过的象
限、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的图象与性
质是解题关键．先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象与性质逐项判断
即可得．
【详解】解：将点(−1,6)，(1,2)代入一次函数y=kx+b得：¿，解得¿，
则一次函数的解析式为y=−2x+4，
∵−2<0,4>0，
∴这个函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，y随着x的增大而减小，选项A和选项
B说法都正确；
当y=0时，−2x+4=0，解得x=2，
则这个函数的图象与x轴交于(2,0)，选项C说法不正确；
当x=0时，y=4，
则这个函数的图象与y轴交于(0,4)，选项D说法正确；
故选：C．
【变式1】已知一次函数y=kx+b(k≠0)，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是
（ ）
x … −1.5 0 1 2 …
… 6 3 1 −1 …
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限C．关于x的方程kx+b=−1的解是x=2
D．该函数的图象与y轴的交点是(0,2)
【答案】C
【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的
交点问题、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图像与性质，熟记一次函数图像与性质
是解决问题的关键．根据信息的，求出一次函数表达式，根据一次函数图像与性质逐项判断即可得
到答案．
【详解】解：将(0,3)和(1,1)代入y=kx+b(k≠0)得到¿，解得¿，
∴一次函数为y=−2x+3，
A、由k=−2<0可知，y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意；
B、由k=−2<0,b=3>0可知，该函数的图像经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意；
C、当y=−1时，−1=−2x+3，解得x=2，该选项正确，符合题意；
D、由一次函数为y=−2x+3，当x=0时，y=3，函数图像与y轴的交点是(0,3)，该选项错误，不
符合题意；
故选：C．
【变式2】已知一次函数y=(m−1)x−2m+1，其中m≠1．
（1）若点B(1,t),C(3,t+2)都在该一次函数的图象上，则m= ．
（2）当−2≤x≤3时，函数有最大值为2，则函数表达式为 ．
3 1
【答案】 2 y=3x−7或y=− x+ ．
4 2
【知识点】加减消元法、求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查的是一次函数的性质，二元一次方程组的解法；
（1）把点B(1,t),C(3,t+2)代入y=(m−1)x−2m+1，再解方程组即可；
（2）分两种情况讨论：当m>1时，y随x的增大而增大；当x=3时，函数有最大值为2，当m<1时，
y随x的增大而减小；当x=−2时，函数有最大值为2，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）∵点B(1,t),C(3,t+2)都在该一次函数的图象上，
∴¿，
解得：m=2；
故答案为：2
（2）当m>1时，y随x的增大而增大；
∴当x=3时，函数有最大值为2，
∴3(m−1)−2m+1=2，
解得：m=4，∴函数为：y=3x−7；
当m<1时，y随x的增大而减小；
∴当x=−2时，函数有最大值为2，
∴−2(m−1)−2m+1=2，
1
解得：m= ，
4
3 1
∴函数为：y=− x+ ；
4 2
3 1
故答案为：y=3x−7或y=− x+ ．
4 2
【变式3】如图，已知直线L：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A ，点A ，A ，…在直线L上点
1 2 3
B ，B ，B ，…在x轴的正半轴上，若△A OB ，△A B B ，△A B B ，…均为等腰直角三角
1 2 3 1 1 2 1 2 3 2 3
形，直角顶点都在x轴上，则点A 的坐标为 ．
2024
【答案】(22024−2,22024)
【知识点】数字类规律探索、等腰三角形的定义、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的
规律探究问题
【分析】本题考查数字规律型、一次函数图象与性质、等腰直角三角形的性质，根据题意求得
A (0,2)，根据等腰三角形的性质可得B (2,0)，即AB =A B =4，从而求得A (2,4)，进而求得
1 1 1 2 1 2
A (6,8)，A (14,16)，总结出规律，即可求解．
3 4
【详解】解：∵y=x+2交y轴于点A ，
1
∴A (0,2)，
1
∵△A OB 是等腰直角三角形，
1 1
∴B (2,0)，
1∵AB =A B =4，
1 2 1
∴A (2,4)，
2
∵若△A OB ，△A B B ，△A B B ，…均为等腰直角三角形，
1 1 2 1 2 3 2 3
∴A (6,8)，A (14,16)，
3 4
⋯，
∴A (2n−2,2n)，
n
∴点A 的坐标为(22024−2,22024)，
2024
故答案为：(22024−2,22024)．
