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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题32四边形与新定义综合问题
【例1】（2022•汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例
如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补
四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．
①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝ 度．
②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝ ．
【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边
形ABCD是“对补四边形”．
【例2】．（2022•赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，
例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．
（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D
＝ 度．
（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．
①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；
②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．
（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为
E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点
P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．
（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，
∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2
dm，AD＝3dm，BD＝ dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求
△DEM与△CEN的周长之和．【例3】（2022•常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个
角的夹边称为邻余线．
（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD
上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形
ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；
（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC
＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．
【例4】（2022•工业园区模拟）【理解概念】
如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点
恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，
矩形ABDE即为△ABC的“矩形框”．
（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的 ；
（2）钝角三角形的“矩形框”有 个；
【巩固新知】
（3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的
最小值为 cm；
（4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形
框”的周长；
【解决问题】
（5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该
木板的“矩形框”周长的最小值．一．解答题（共20题）
1．（2022•罗湖区模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的
夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重
合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF （填“是”或“不
是”）“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞
AB，过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．
2．（2022•越秀区校级模拟）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍
角梯形．
（1）已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件
的∠D的度数；
（2）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形
ABCD是倍角梯形；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．3．（2022•嘉祥县一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角
的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD
上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长
EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
4．（2021•任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边
形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子： ；
（2）问题探究；
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边
上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图 2，在 Rt△ABC 与 Rt△ABD 中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将
Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角 （0°＜∠ ＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），
当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
α α
5．（2022春•曾都区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等
角线四边形”的是 （填序号）；
（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EC＝DF，连接
EF，AF，求证：四边形ABEF是等角线四边形；（3）如图2，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为线段AB的垂直平
分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边
形的面积．
6．（2022春•南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形
叫做等腰梯形．
【性质初探】如图1，已知， ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四
边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；
▱
【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF
＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；
【拓展应用】如图3， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过
点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．
▱
7．（2022春•长汀县期末）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1＞b且b+1＞
a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，
则称这个图形为“自大忘形”．
（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p （1，0），
1
， ．
（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．
（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，
6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为
t秒（t＞0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围．8．（2022春•江北区期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的
新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我
们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ．
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
性质探究：如图 1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形
ABCD的两条结论：
；
．
问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE
和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中
点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．
9．（2022春•铜山区期末）新定义；若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直
四边形．
（1）下列四边形为对直四边形的是 （写出所有正确的序号）；①平行四边形；②矩形；③菱形，④正方形．
（2）如图，在对直四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，O为AC的中点．
①求证：BD的垂直平分线经过点O；
②若AB＝6，BC＝8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最
大值，并求此时BD的长度．
10．（2022春•盐田区校级期末）给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻
余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．
（1）如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD
上的点．求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；
（3）如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，
CD的中点，连接EF，AD＝4，BC＝6．求EF的长．
11．（2022春•玄武区期末）【概念认识】
在四边形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足
∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的
“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为 °；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形
ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP＝∠CEB．
【综合运用】
在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝ ，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别
平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与 满
α
足的关系及对应 的取值范围．
α
α12．（2022春•北仑区期末）定义：对角线相等的四边形称为对美四边形．
（1）我们学过的对美四边形有 、 ．（写出两个）
（2）如图1，D为等腰△ABC底边AB上的一点，连结CD，过C作CF∥AB，以B为顶
点作∠CBE＝∠ACD交CF于点E，求证：四边形CDBE为对美四边形．
（3）如图2，对美四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD，DC∥AB．
①若∠AOB＝120°，AB+CD＝6，求四边形ABCD的面积．
②若AB⋅CD＝6，设AD＝x，BD＝y，试求出y与x的关系式．
13．（2022春•玄武区校级期中）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB、
EF、CD为铅直方向的边，AF、DE、BC为水平方向的边，点E在AB、CD之间，且在
AF、BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积
相等的两部分，则称此直线为该“L图形”的等积线．
（1）如图2所示四幅图中，直线L是该“L图形”等积线的是 （填写序号）．
（2）如图3，直线m是该“L图形”的等积线，与边BC、AF分别交于点M、N，过
MN中点O的直线分别交边BC、AF于点P、Q，则直线PQ （填“是”或“不
是”）该图形的等积线．
（3）在图4所示的“L图形”中，AB＝6，BC＝10，AF＝2．①若CD＝2，在图中画出与AB平行的等积线l（在图中标明数据）；
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边DE、BC分别交于P、Q，求PQ的
最大值；
③如果存在与水平方向的两条边DE、BC相交的等积线，则CD的取值范围为 ．
14．（2022•姑苏区一模）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四
边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝ ∠D，∠C＝ ∠A，则∠B+∠C＝
°；
（2）如图2，锐角△ABC内接于 O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上
取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形
⊙
BCFD是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，
DH＝6．
①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ；
②求△ABC的面积．
15．（2022•江北区开学）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角
的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD
上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形
ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长
EF交AC于点N．若N为AC的中点，CD＝3BE，QB＝6，求邻余线AB的长．16．（2022春•西城区校级期中）平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标
分别为：A（﹣ ， ），B（﹣ ，﹣ ），C（ ，﹣ ），D（ ， ），P、Q是
这个正方形外两点，且PQ＝1．给出如下定义：记线段PQ的中点为T，平移线段PQ得
到线段P'Q'（其中P'，Q'分别是点P，Q的对应点），记线段P'Q'的中点为T．若点P'和
Q'分别落在正方形ABCD的一组邻边上，或线段P'Q'与正方形ABCD的一边重合，则称
线段TT'长度的最小值为线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”，称此时的点T'为线段
PQ到正方形ABCD的“回归点”．
（1）如图1，平移线段PQ，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段P Q 和P Q ，这
1 1 2 2
两条线段的位置关系为 ；若 T ，T 分别为 P Q 和P Q 的中点，则点
1 2 1 1 2 2
（填T 或T ）为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”；
1 2
（2）若线段PQ的中点T的坐标为（1，1），记线段PQ到正方形ABCD的“回归距
离”为d ，请直接写出d 的最小值： ，并在图2中画出此时线段PQ到正方形
1 1
ABCD的“回归点”T'（画出一种情况即可）；
（3）请在图3中画出所有符合题意的线段PQ到正方形ABCD的“回归点”组成的图形．
17．（2022秋•福田区期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的
两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形
ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的
两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图 1中：△ABC和△ABD
有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC．
（1）请在图1中再找出一对这样的角来： ＝ ；
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形 ACEF，D为菱形
ACEF对角线的交点，连接BD．
①四边形ABCD 损矩形（填“是”或“不是”）；
②当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由；
③若∠ACE＝60°，AB＝4，BD＝5 ，求BC的长．
18．（2022春•江阴市校级月考）定义：长宽比为 ：1（n为正整数）的矩形称为 矩
形．下面，我们通过折叠的方式折出一个 矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G
处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为
CD ． 则 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ．
（1）证明：四边形ABCD为 矩形；
（2）在题（1）的矩形ABCD中，点M是边AB上一动点．
①如图 b，O 是对角线 AC 的中点，若点 N 在边 BC 上，OM⊥ON，连接 MN．求
tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求 的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝4，则DR的最小值＝ ．
19．（2022春•柯桥区月考）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
（1）阅读与理解：
如图1，四边形内接于 O，点A为弧BD的中点．四边形ABCD （填“是”或
⊙“不是”）等补四边形．
（2）探究与运用：
①如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明
理由；
②如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线
于点F，若CD＝10，AF＝5，求DF的长．
（3）思考与延伸：
在等补四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，当对角线AC长度最大时，以AC
为斜边作等腰直角三角形ACP，直接写出线段DP的长度．
20．（2021秋•荔湾区期末）如图，共顶点的两个三角形△ABC，△AB′C′，若AB＝
AB'，AC＝AC'，且∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△ABC与△AB′C'互为“顶补三
角形”．
（1）如图2，△ABC是等腰三角形，△ABE，△ACD是等腰直角三角形，连接DE；求
证：△ABC与△ADE互为顶补三角形．
（2）在（1）的条件下，BE与CD交于点F，连接AF并延长交BC于点G．判断DE与
AG的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，四边形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝50°．在平面内是否存在点P，使
△PAD与△PBC互为顶补三角形，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理
由．
