文档内容
例题精讲
【例1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过
点B的直线BC：y＝kx+b交x轴于点C（﹣8，0）．
（1）k的值为 ；
（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB＝∠ABO，则点M的坐标是 （ 2 ， 5 ）或（﹣ 2 ， 3 ） ．
解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，
∴B（0，4），
把B（0，4），C（﹣8，0）代入y＝kx+b得：
，
解得 ，
∴k的值为 ，
故答案为： ；
（2）如图：由（1）知，直线BC：y＝ x+4，
设M（m， m+4），则BM＝ ＝ |m|，
在y＝﹣2x+4中，令y＝0得x＝2，
∴A（2，0），
∵B（0，4），C（﹣8，0），
∴AB2＝（2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，AC2＝（2+8）2+（0+0）2＝100，BC2＝（0+8）2+（4﹣0）2＝80，
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝2 ，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB，
若∠MAB＝∠ABO，则△AOB∽△MBA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得m＝2或m＝﹣2，
∴M（2，5）或（﹣2，3），
故答案为：（2，5）或（﹣2，3）．
变式训练
【变1-1】．如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为
直线AB上一动点．
（1）直线AB的解析式为 y ＝ x +2 ；
（2）若S△APC ＝S△AOC ，求点P的坐标；
（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，
∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
由题意可得： ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝ x+2，
故答案为：y＝ x+2；
（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），
∴OA＝OC＝4，OB＝2，
∴BC＝6，
设点P（m， m+2），
当点P在线段AB上时，
∵S△APC ＝S△AOC ，
∴S△ABC ﹣S△PBC ＝ ×4×4，
∴ ×6×4﹣ ×6×（﹣m）＝8，
∴m＝﹣ ，
∴点P（﹣ ， ）；
当点P在BA的延长线上时，∵S△APC ＝S△AOC ，
∴S△PBC ﹣S△ABC ＝ ×4×4，
∴ ×6×（﹣m）﹣ ×6×4＝8，
∴m＝﹣ ，
∴点P（﹣ ，﹣ ），
综上所述：点P坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）；
（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，
在△AOB和△COH中，
，
∴△AOB≌△COH（ASA），
∴OH＝OB＝2，
∴点H坐标为（﹣2，0），
设直线PC解析式y＝ax+c，
由题意可得 ，
解得： ，
∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，
联立方程组得： ，解得： ，
∴点P（﹣ ， ），
∴CP＝ ＝ ，
当点P'在AB延长线上时，设 CP'与x轴交于点H'，
同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，
联立方程组 ，
∴点P（4，4），
∴CP＝ ＝4 ，
综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为 或4 ．
【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线AD：y＝﹣x+4交y轴于点A，交x轴于点D．直线AB交x
轴于点B（﹣3，0），点P为直线AB上的动点．
（1）求直线AB的关系式；
（2）连接PD，当线段PD⊥AB时，直线AD上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出△PMN周长
的最小值；
（3）若∠POA＝ ∠BAO，直接写出点P的纵坐标．
解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，
∴A（0，4），设直线AB的关系式为y＝kx+4，把B（﹣3，0）代入得：
﹣3k+4＝0，
解得k＝ ，
∴直线AB的关系式为y＝ x+4；
（2）设P（m， m+4），
∵PD⊥AB，
∴BP2+PD2＝BD2，
∵B（﹣3，0），D（4，0），
∴（m+3）2+（ m+4）2+（m﹣4）2+（ m+4）2＝49，
解得m＝﹣3（与B重合，舍去）或m＝﹣ ，
∴P（﹣ ， ），
作P关于x轴的对称点S，连接PS交x轴于R，延长RP交直线AD于K，过K作KT⊥RK，取KT＝
KP，如图：
∴S（﹣ ，﹣ ），
∵∠DKR＝∠DAO＝45°，KT⊥RK，
∴∠DKR＝45°＝∠DKT，
∵KT＝KP，
∴P，T关于直线AD对称，
连接TS交AD于M，交x轴于N，则此时△PMN周长的最小，最小值即为TS的长，
在y＝﹣x+4中，令x＝﹣ 得y＝ ，
∴K（﹣ ， ），
∴PK＝KT＝ ，∵KS＝ + ＝ ，
∴TS＝ ＝ ，
∴△PMN周长的最小值为 ；
（3）当P在y轴左侧时，过P作PH⊥y轴于H，在H下方取HW＝HA，连接PW，若此时PW＝OW，
则∠PWA＝∠BAO＝2∠POA，如图：
∵OB＝3，OA＝4，
∴ ＝ ＝ ，
设PH＝3t，则AH＝HW＝4t，
∴PW＝5t＝OW，
∵OW+HW+AH＝OA＝4，
∴5t+4t+4t＝4，解得t＝ ，
∴OH＝9t＝ ，
∴P的纵坐标为 ；
当P在y轴右侧时，过P作PF⊥y轴于F，如图：
∵∠BAO＝2∠POA，
∴∠POA+∠APO＝2∠POA，
∴∠APO＝∠POA，
∴AO＝AP＝4，
∵ ＝ ＝ ，
∴AF＝ ，
∴OF＝ ，∴P的纵坐标为 ，
综上所述，P的纵坐标为 或 ．
【例2】．如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝﹣x+4与y轴交于点D，点P在直线y＝﹣x+4上，当∠ABO＝∠POD时，直接写出点P
的坐标．
解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．
∴ ， ，
∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝2x﹣2；
（2）①点P在y轴右侧时，∵∠ABO＝∠POD，
∴OP∥AB，
∵直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2，
∴直线OP为y＝2x．
联立y＝﹣x+4得： ，
解得x＝ ，
∴P（ ， ）；
②点P在y轴左侧时，过点A作AM⊥x轴于M，减OP于N，设AB交x轴于点C，∴∠OMN＝∠BOC＝90°，
∵A（2，2），
∴M（0，2），
∵B（0，﹣2），
∴OM＝BO＝2，
∵∠ABO＝∠POD，
∴△CBO≌△MON，
∴MN＝OC，
∵直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2，
∴点C（1，0），
∴OC＝1，
∴MN＝1，
∴N（﹣1，2），
设直线ON的函数表达式为y＝mx，
∴﹣x＝2，解得x＝﹣2，
∴直线ON的函数表达式为y＝﹣2x，
联立y＝﹣x+4得： ，
解得x＝﹣4，
∴P（﹣4，8）．
综上所述：点P坐标为（ ， ）或（﹣4，8）．
变式训练
【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣ x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，
已知点B的纵坐标为4．
（1）求出A点的坐标．
（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请
说明理由．
（3）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标．解：（1）∵B的纵坐标为4．直线ly＝﹣ x+b，与坐标轴分别交于A、B两点，
∴点B（0，4），
将点B（0，4）代入直线l的解析式y＝﹣ x+b得：b＝4，
∴直线l的解析式为：y＝﹣ x+4，
令y＝0得：x＝3，
∴A（3，0）；
（2）存在，
∵A（3，0），B（0，4），
∴AB＝ ＝ ＝5，
∵Q在第一象限的角平分线上，
设Q（x，x），
根据勾股定理：
QB2+BA2＝QA2，
x2+（x﹣4）2+52＝x2+（x﹣3）2，
解得x＝16，
故Q（16，16）；
（3）如图：①当点P为y轴正半轴上一点时，
∵∠APO＝2∠ABO，∠APO＝∠ABO+∠PAB，
∴∠ABO＝∠PAB，
∴PA＝PB，
设P（0，p），
∴PA2＝PB2，
∴32+p2＝（4﹣p）2，
∴p＝ ，
∴P（0， ）；
②当点P为y轴负半轴上一点时，
∠AP′P＝∠APO＝2∠ABO，
∴AP＝AP′，
∵AO⊥PP′，
∴OP′＝OP＝ ，
∴P′（0，﹣ ）．
综上所述：点P的坐标为（0， ）或P（0，﹣ ）．
【变2-2】．如图1，已知函数y＝ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为 ，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
解：（1）对于y＝ x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得： x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣ x+3；
（2）①设点M（m，0），则点P（m， m+3），点Q（m，﹣ m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，则PQ＝|﹣ m+3﹣（ m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积＝ PQ•BD＝ m2＝ ，解得m＝± ，
故点Q的坐标为（ ，3﹣ ）或（﹣ ，3+ ）；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x， x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣ ，
∴P（﹣ ， ），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（ ， ），
综上，点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．1．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、点B（0，2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）设点C为线段AB上一点，过点C分别作CD⊥x轴、CE⊥y轴，垂足分别为D、E，当OC平分
∠AOB时，求点C的坐标．
解：（1）设直线AB的表达式为：y＝kx+b，
把A（4，0）、B（0，2）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴直线AB的表达式为： ；
（2）设点C的坐标为 ．
∵CD⊥x轴、CE⊥y轴，OC平分∠AOB，
∵CD＝CE，
∴ ．解得 ，
∴点C的坐标为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（8，0），与y轴交于B（0，8），点D为OA延
长线上一动点，以BD为直角边在其上方作等腰三角形BDE，连接EA．
（1）求证∠EAD＝∠OAB；
（2）求直线EA与y轴交点F的坐标．（1）证明：过点E作EG⊥x轴，如图1所示，
∴∠EGD＝∠DOB＝∠EDB＝90°，ED＝DB，
∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△EGD和△DOB中，
，
∴△EGD≌△DOB（AAS），
∴EG＝DO，GD＝OB，
∵A（8，0），B（0，8），
∴OB＝OA＝8，
∴GD＝OA，
∴DO＝DA+OA＝DA+DG＝AG，
∴EG＝AG，
∴∠EAG＝∠GEA＝45°，
又OA＝OB＝8，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠EAD＝∠OAB；
（2）解：如图2，
∵∠EAD＝45°，∠AOF＝90°，
∴∠OAF＝∠OFA＝45°，∴OA＝OF＝8，
∴点F的坐标为（0，﹣8）．
3．如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC ＝2S△ACO ．
（1）求b的值；
（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC ＝S△PCO ，求点P的坐标；
（3）如图2，过点C的直线交直线AB于点E，已知D（﹣1，0），∠BEC＝∠CDO，求直线CE的解
析式．解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，
∴点A（b，0），点B（0，b），
∴S△ABC ＝ ＝ ，S△ACO ＝ ＝ ，
∵S△ABC ＝2S△ACO ，
∴ ，
解得b＝6；
（2）由（1）知b＝6，直线AB表达式为y＝﹣x+6，
∴A点坐标（6，0），B点坐标（0，6），
设直线AC的表达式为y＝kx+b，将点A、C代入得，
，解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝ x+2，
①当点P在第一象限时，过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，设Q（x，﹣ x+2），则点P（x，﹣
x+6），
方法一：
∴PQ＝﹣x+6﹣（﹣ x+2）＝﹣ +4，
∴S△PAC ＝S△PCQ +S△PAQ
＝ +＝12﹣2x，
S△PCO ＝
＝x，
∵S△PAC ＝S△PCO ，即12﹣2x＝x，解得：x＝4，则P点坐标（4，2）；
方法二：∵S△PAC ＝S△BCA ﹣S△BCP ，
∴S△PAC ＝ ﹣
＝
＝12﹣2x，
∵S△PCO ＝ ＝ ，
∴S△PAC ＝S△PCO ，
∴12﹣2x＝x，
解得x＝4，
∴P（4，2）；
②当P点在第二象限时，设点P（x，﹣x+6），
∴S△PAC ＝S△PBC +S△ABC
＝ +
＝12﹣2x，
S△PCO ＝＝﹣x，
∵S△PAC ＝S△PCO ，即12﹣2x＝﹣x，解得：x＝12，
∴第二象限x＜0，x＝12不符合题意舍去，
∴P点坐标（4，2）；
（3）过点C作CF⊥AB于点F，
∵CF⊥AB，直线AB解析式为y＝﹣x+6，且点C（0，2），
∴可得直线CF的解析式为y＝x+2，
联立得 ，解得 ，即交点F坐标（2，4），
∴CF＝ ＝2 ，
设点E（x，﹣x+6），
∴EF＝ ＝ （x﹣2），
∵∠BEC＝∠CDO，∠COD＝∠CFE＝90°，
∴△CDO∽△CEF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝3，
∴点E坐标（3，3），点C（0，2），
设直线CE解析式为y＝ax+b，将点E、C代入得
，解得 ，∴直线CE的解析式为y＝ ．
解法二：如图，过点D作DF⊥CD交EC于点F，过点F作FH∠OD于H，设EC交x轴于点G．
∵∠BEC＝∠CDO，
∴∠BAO+∠EGA＝∠EGA+∠DCG，
∴∠DCG＝∠AO＝45°，
∴CD＝DF，
∵∠FDH+∠CDO＝90°，∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠DCO＝∠FDH，
∵∠FHD＝∠DOC＝90°，
∴△FHD≌△DOC（AAS），
∴FH＝OD＝1，DH＝OC＝2，
∴F（﹣3，1），
∴直线CE的解析式为y＝ ．
4．在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点A（2，4），过点A的直线y＝
kx+b（k＞0）与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的 倍，求直线y＝kx+b的表达式；
（3）在（2）的条件下，若一条平行于OA的直线DE与直线BC在第二象限内相交于点D，与y轴相交
于点E，连接OD，当OC平分∠AOD时，求点D的坐标．解：（1）把点A（2，4）代入正比例函数y＝mx（m≠0），
∴2m＝4，解得m＝2，
∴正比例函数的表达式为：y＝2x；
（2）当点B在x轴负半轴时，根据题意可画出图形，如下所示，过点A作x轴和y轴的垂线，垂足分别
为N和M，
则AM＝2，AN＝4，
设△BOC的面积为3S，则△AOB的面积为4S，
∴△AOC的面积为S，即△AOB的面积＝4△AOC的面积，
∵△AOC的面积＝ OC•AM＝OC，
△AOB的面积＝ OB•AN＝2OB，
∴2OB＝4OC，即OB＝2OC，
令x＝0，则y＝b，
∴C（0，b），
∴OC＝b，
∴OB＝2b，即B（﹣2b，0），
将B（﹣2b，0），A（2，4）代入函数解析式，可得，，解得 ，
∴直线AB的解析式为：y＝ x+3；
当点B在x轴正半轴时，如图所示，
设△BOC的面积为3S，则△AOB的面积为4S，
∴△AOC的面积为7S，即7△AOB的面积＝4△AOC的面积，
∵△AOC的面积＝ OC•AM＝OC，
△AOB的面积＝ OB•AN＝2OB，
∴14OB＝4OC，即OB＝ OC，
令x＝0，则y＝b，
∴C（0，b），
∴OC＝b，
∴OB＝ b，即B（﹣ b，0），
将B（﹣ b，0），A（2，4）代入函数解析式，可得，
，解得 ，
∴直线AB的解析式为：y＝ x﹣3；综上，直线AB的解析式为：y＝ x+3或y＝ x﹣3；
（3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接OA′，
由对称可知，∠AOC＝∠A′OC，即OC平分∠AOA′，
∴线段OA′与直线AB的交点即为点D．
由对称可知，A′（﹣2，4），
∴直线OA′的解析式为：y＝﹣2x，
令﹣2x＝ x+3，解得x＝﹣ ，
∴y＝﹣2x＝ ，
∴D（﹣ ， ）．
5．综合与探究
如图1，直线AB与坐标轴交于A，B两点，已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），点C
是线段AB上一点．
知识初探：如图1，求直线AB的解析式．
探究计算：如图2，若点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（ 2 ， ）
拓展探究：如图3，若点C是线段AB的中点，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点M，求点M的坐
标．
类比探究：如图4，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点N，连接AN，当∠OAN＝∠CAN时，则点N
的坐标为（ ， 0 ）解：知识初探：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A，B两点坐标代入，得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+3；
探究计算：∵点C为线段AB的中点，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），
∴由中点公式得，点C（2， ），
故答案为：2， ；
拓展探究：连接AM，设M（m，0），则OM＝m，BM＝4﹣m，
∵点C是线段AB的中点，CM⊥AB，
∴AM＝BM＝4﹣m，
在Rt△AOM中，AM2＝OM2+OA2，
∴（4﹣m）2＝m2+32，
∴m＝ ，
∴M（ ，0）；
类比探究：∵NC⊥AB，NO⊥OA，
∴当∠OAN＝∠CAN时，即AN平分∠OAB时，NO＝NC，
在Rt△OAN和Rt△ACN中，
，
∴Rt△OAN≌Rt△ACN（HL），
∴AC＝AO＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝ ＝5，
∴BC＝AB﹣AC＝2，
设点N的坐标为（n，0），则ON＝n，则CN＝n，BN＝4﹣n，
在Rt△BCN中，由勾股定理得（4﹣n）2﹣n2＝22，
解得n＝ ，
∴点MN的坐标为（ ，0）．
故答案为： ，0．6．平面直角坐标系中，已知A的坐标为（﹣2，0），B在y轴正半轴上，且 ，将线段AB绕
点A顺时针方向旋转45°，交y轴于点C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点D是直线AC上的一点，且满足∠ADB＝∠ABC，求点D坐标．
解：（1）如图：过点B作BM⊥AC于M，
∵A的坐标为（﹣2，0）， ，
∴OA＝2， ，
在Rt△ABO中，根据勾股定理得： ，
∵∠BAC＝45°，CM⊥AB，
∴AM＝BM，
在Rt△ABM中，由勾股定理得： ，
解得： ，∵∠ACO＝∠BCM，∠AOC＝∠BMC，
∴△ACO∽△BCM，
设OC＝x，AC＝y，则 ，
∴ ，即 ，
，
解得： ，
∴C（0，1）．
设直线AC的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（﹣2，0），C（0，1）代入得，
，
解得： ，
∴直线AC的函数表达式为 ．
（2）设点D的坐标为： ，
∵OB＝6，
∴B（0，6），
∴ ，
∵∠ADB＝∠ABC，∠AOB＝∠BMD＝90°，
∴△ABO∽△BDM，
∴ ，即 ，整理得： ，
两边同时平方： ，
解得：a ＝14，a ＝﹣10，
1 2
当a＝14时， ，
当a＝﹣10时， a+1＝﹣4，
∴点D的坐标为：（14，8）或（﹣10，﹣4）．
7．如图1，已知函数y＝ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）请写出点A坐标 （﹣ 6 ， 0 ） ，点B坐标 （ 0 ， 3 ） ，直线BC的函数解析式 y ＝﹣
x +3 ； ；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为 ，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．解：（1）对于y＝ x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得： x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣ x+3；
故答案为：A（﹣6，0），B（0，3），y＝﹣ x+3；
（2）①设点M（m，0），则点P（m， m+3），点Q（m，﹣ m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝|﹣ m+3﹣（ m+3）|＝|m|，BD＝|m|，则△PQB的面积＝ PQ•BD＝ m2＝ ，解得m＝± ，
故点Q的坐标为（ ，3﹣ ）或（﹣ ，3+ ）；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°，
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x， x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣ ，
∴P（﹣ ， ），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（ ， ），
综上，点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．
8．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣ x+12与x轴交于点A，将l向下平移16个单位后交y轴
于点B．
（1）求∠OBA的余切值；
（2）点C在平移后的直线上，其纵坐标为6，联结CA、CB，其中CA与y轴交于点E，求S△CBE ：
S△ABE 的值；
（3）点M在直线x＝3上且位于第一象限，联结MA、MB，当∠BMA＝∠OBA时，求点M的坐标．解：（1）由题意可知，直线l：y＝﹣ x+12，令x＝0，则y＝12，令y＝0，则x＝8，
∴直线l：y＝﹣ x+12与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点A′（0，12），
∴向下平移16个单位后的表达式为y＝﹣ x+12﹣16＝﹣ x﹣4，
∴平移后的直线交y轴于点B（0，﹣4），
∴OB＝4，
∴cot∠OBA＝ ＝ ＝ ；
（2）∵直线l平移后新的直线方程为y＝﹣ x﹣4，且点C的纵坐标是6，
∴﹣ x﹣4＝6，解得x＝﹣ ，
∴C（﹣ ，6），
过点C作CN⊥y轴于N，
∵A（8，0），∴ ＝ ＝ ＝ ；
（3）如图，
设AB与直线x＝3交于点F，
∵A（8，0），B（0，﹣4），
∴AB所在的直线方程为y＝ x﹣4，
∴F（3，− ），
∵直线MF为x＝3，
∴MF∥y轴．
∴∠MBO＝∠BMF，
∵∠BMA＝∠OBA，
∴∠ABM＝∠AMF，
∵∠MAB＝∠FAM，
∴△ABM∽△AMF，
∴ ，
∴AM2＝AF•AB，
∵AB＝ ＝4 ，AF＝ ＝ ，
∴AM2＝AF•AB＝50，
∴AM＝5 ，设M（3，h），
∴AM＝ ＝5 ，
解得：h＝5或﹣5（舍去），
∴D（3，5）．
9．如图1，已知函数y＝ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为 ，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
（1）解：对于
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）
由y＝0得： ，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得
∴直线BC的函数解析式为 ，
（2）解：设M（m，0），
则P（m， ）、Q（m， ）
如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，
∴PQ＝ ，
BD＝|m|，
∴ ，
解得 ，
∴M（ ，0）或M（ ，0）；
（3）解：如图3，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°
∴BM2+BC2＝MC2
设M（x，0），则P（x， ）
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝
∴P（ ， ），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（ ， ），
综上，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ），
解法二：如图3，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°
设直线BM的解析式为y＝k x+b ，
1 1
则有 ，
∴k ＝2
1
∴直线BM的解析式为y＝2x+b ，
1
将点B（0，3）代入得，b ＝3，
1
∴直线BM的解析式为y＝2x+3，
由y＝0得x＝ ，
将x＝ 代入 得 ，
∴P（ ， ），如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（ ， ），
综上，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
10．如图，直线y＝3x+3交x轴于点B，交y轴于点A，点C为x轴正半轴上一点，且AC＝BC．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P从点O出发沿y轴的正方向运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒，过点P作x轴的平
行线，分别交直线AB，AC于点D、E，若设DE＝d，求d与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点P在OA的延长线上时，连接BE，若2∠BED＝3∠BCE，求点E的坐标．解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，
∴A（0，3），B（﹣1，0），
设C（m，0），m＞0，则AC＝ ，BC＝m+1，
∵AC＝BC，
∴ ＝m+1，解得m＝4，
∴C（4，0），
设直线AC解析式为y＝kx+3，则0＝4k+3，
∴k＝﹣ ，
∴直线AC解析式为y＝﹣ x+3；
（2）在y＝3x+3中，令y＝t得x＝ ＝ ﹣1，
∴D（ ﹣1，t），
在y＝﹣ x+3，令y＝t得x＝﹣ t+4，
∴E（﹣ t+4，t），
当0≤t≤3时，如图：∵DE＝x ﹣x ＝（﹣ t+4）﹣（ ﹣1）＝﹣ t+5，
E D
∴d＝﹣ t+5，
当t＞3时，如图：
∵DE＝x ﹣x ＝（ ﹣1）﹣（﹣ t+4）＝ t﹣5，
D E
∴d＝ t﹣5，
综上所述，d＝ ；
（3）过B作BN⊥EC于N，过E作EM⊥AD于M，如图：
∵2∠BED＝3∠BCE，
∴2（∠BEC+∠DEC）＝3∠BCE，
∵DE∥x轴，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴2（∠BEC+∠BCE）＝3∠BCE，∴∠DEC＝∠BCE＝2∠BEC，
∵AC＝BC，DE∥x轴，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠EAD＝∠EDA，
∴ED＝EA，
∵EM⊥AD，
∴∠DEC＝2∠DEM，DM＝ AD，
∴∠DEM＝∠BEC，
∴sin∠DEM＝sin∠BEC，即 ＝ ，
∴DM•BE＝ED•BN，
由（2）知：当t＞3时，ED＝ t﹣5，
∵ BC•OA＝ AC•BN，AC＝BC，
∴BN＝OA＝3，
∴DM•BE＝（ t﹣5）×3＝5（t﹣3），
由（2）知：D（ ﹣1，t），E（﹣ t+4，t），
而A（0，3），B（﹣1，0），
∴DM＝ AD＝ ＝ ＝ ＝ （t﹣
3），
BE＝ ＝ ，
∴ （t﹣3）• ＝5（t﹣3），
∵t＞3，
∴ × ＝5，解得t＝ 或t＝﹣3（舍去），
∴E（﹣ ， ）．
11．平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A．（1）直接写出直线AB关于x轴对称的直线BC的解析式 y ＝﹣ 2 x ﹣ 4 ；
（2）在（1）条件下，如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于E点，点P为y轴上一点，PE＝PB，求P点
坐标；
（3）在（1）（2）条件下，如图2，点P为y轴上一点，∠OEB＝∠PEA，直线EP与直线AB交于点
M，求M点的坐标．
解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A．
∴A（0，4），B（﹣2，0），
∵直线AB与直线BC关于x轴对称，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得， ；
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣4；
故答案为：y＝﹣2x﹣4；
（2）∵ ，
∴ ，
∴E（﹣4，4），
∴AE⊥AO，
设OP＝a，AP＝4﹣a，在Rt△BOP和Rt△EAP中，
BP2＝4+a2，PE2＝16+（4﹣a）2，
∵PE＝PB，
∴4+a2＝16+（4﹣a）2，
解得a＝3.5．
∴P（0，3.5）．
（3）①如图，当点P在点A的下方，
∵∠OEB＝∠PEA，∠AEO＝45°，
∴∠PEB＝45°，
过点B作BN⊥BE交直线EP于点N，过点N作NQ⊥OB于Q，过点E作EH⊥OB于点H，
∴△EBN为等腰直角三角形，
∴EB＝BN，
∵∠BEH+∠EBH＝90°，∠EBH+∠NBQ＝90°，
∴∠BEH＝∠NBQ，
又∵∠EHB＝∠BQN＝90°，
∴△EHB≌△BQN（AAS），
∴NQ＝BH＝2，BQ＝EH＝4，
∴N（2，2），
设直线EN的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线EN的解析式为y＝﹣ x+ ，
∴ ，
解得 ，
即M（﹣ ， ）；
②P点在A点的上方，
由①知图1中OP＝ ，则AP＝ ，
∴OP＝ ，
设直线EP的解析式为y＝mx+ ，
∵E（﹣4，4），
∴﹣4m+ ＝4，
解得m＝ ，∴直线EP的解析式为y＝ x+ ，
∴ ，
解得 ，
∴M（0.8，5.6）．
综合以上可得点M的坐标为（﹣ ， ）或（0.8，5.6）．
12．如图1，直线y＝ x﹣5与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A为y轴正半轴上一点，且S△ABC ＝75．
（1）请直接写出点B、C的坐标及直线AB的解析式： （ 1 0 ， 0 ） 、 （ 0 ，﹣ 5 ） 、 y ＝﹣ x +1 0
；
（2）如图2，点P为线段OB上一点，若∠BCP＝45°，请写出点P的坐标： （ ， 0 ） ，并简要写
出解答过程；
（3）如图3，点D是AB的中点，M是OA上一点，连接DM，过点D作DN⊥DM交OB于点N，连接
BM，若∠OBM＝2∠ADM，请写出点M的坐标，并简要写出解答过程．
解：（1）当y＝0时，
，
∴x＝10，
∴B（10，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），∵ ，
∴ ＝75，
∴AC＝15，
∴OA＝AC﹣OC＝10，
∴A（0，10），
设直线AB的解析式是：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣x+10，
故答案是（10，0），（0．﹣5），y＝﹣x+10；
（2）如图2，
作BD⊥CP于D，作DE⊥OC于E，作BF⊥DE于F，
∴∠CED＝∠BFD＝∠CDB＝90°，
∴∠ECD+∠EDC＝90°，∠EDC+∠PDF＝90°，
∴∠ECD＝∠BDF
∵∠BCP＝45°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BCP＝45°，
∴∠CBD＝∠BCP，
∴CD＝BD，
∴△CED≌△DFB（AAS），
∴BF＝DE，DF＝CE，
∵OE＝BF，∴OE＝DE
∴DF＝CE＝OC+OE＝5+DE，
∵EF＝OB＝10，
∴DE+DF＝10，
∴DE+（5+DE）＝10，
∴OE＝DE＝ ，
∴D（ ， ），
∵D（0，﹣5），
∴直线CD的解析式是：y＝3x﹣5，
∴当y＝0时，3x﹣5＝0，
∴x＝ ，
∴P（ ，0），
故答案是（ ，0）；
（3）如图3，
连接OD，MN，在射线OB上截取EO＝ON，
∵MO⊥OB，
∴∠ME＝MN，
∴∠EMN＝2∠OMN，∠MEN＝∠MNE，
∵DN⊥DM，
∴∠MDN＝∠MON＝90°，
∴点M、O、N、D共圆，
∴∠OMN＝∠ODN，在Rt△AOB中，OA＝OB，点D是AB的中点，
∴∠OAD＝∠DON＝45°，
OD＝AD，
∠ADO＝90°，
∵∠MDN＝90°，
∴∠ADO﹣∠MDO＝∠MDN﹣∠MDO，
∴∠ODN＝∠ADM，
∴△ADM≌△ODN（ASA），
∴AM＝ON，
∵∠OBM＝2∠ADM，
∴∠OBM＝∠EMN，
∴∠BEM＝∠BME，
∴BM＝BE，
设OM＝m，
∴OE＝ON＝AM＝10﹣m，
∴BE＝OE+OB
＝10﹣m+10
＝20﹣m，
在Rt△BOM中，
BM2＝OB2+OM2
＝100+m2，
∴100+m2＝（20﹣m）2，
∴m＝ ，
∴M（0， ）．
13．如图，直线y＝kx+2（k＜0）与x轴、y轴分别交于点B、A．
（1）如图1，点P（﹣1，3）在直线y＝kx+2（k＜0）上，求点A、B坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，点A'是点A关于x轴的对称点，点Q是第二象限内一点，连接AQ、
PQ、QA'和PA'，如果△PQA'和△AA'Q面积相等，且∠PAQ＝∠APA'，求点Q的坐标；
（3）如图3，点C和点D是该直线在第一象限内的两点，点 C在点D左侧，且两点的横坐标之差为
1，且CD＝k+2，作CE⊥x轴，垂足为点E，连接DE，若∠OAB＝2∠DEB，求k的值．解：（1）当x＝0时，y＝2，
∴A（0，2），
把点P（﹣1，3）代入直线y＝kx+2（k＜0）得：﹣k+2＝3，
解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝2，
∴B（2，0）；
（2）分两种情况：
①点Q在直线AB的下方时，过点A'作A'Q∥AB，设AQ与A'P交点为M，延长QP交y轴于点N，如图
2所示：
∵平行线间的距离处处相等，且QA'为公共底边，
∴△PQA'和△AA'Q面积相等，
∵∠PAQ＝∠APA'，
∴MA＝MP，
∵A'Q∥AB，
∴∠PAQ＝∠AQA'，∠APA'＝∠PA'Q，
∴∠AQA'＝∠PA'Q，
∴A'M＝QM，
∴AQ＝A'P，
∴△PQA'≌△AA'Q（SAS），
∴∠PQA'＝∠AA'Q，PQ＝AA'，
∵点A'是点A关于x轴的对称点，A（0，2），
∴A'（0，﹣2），
∴PQ＝AA'＝2+2＝4，由（1）可知OA＝OB，
∴∠BAO＝45°，
∵A'Q∥AP，
∴∠PQA'＝∠AA'Q＝45°，
∴∠QNO＝90°，
∴QN⊥y轴，
∵P（﹣1，3），
∴PN＝1，ON＝3，
∴QN＝PQ+PN＝5，
∴Q（﹣5，3）；
②当点Q在直线AB的上方时，如图2﹣1所示：
∵∠PAQ＝∠APA'，
∴AQ∥A'P，
当PQ∥AA'时，四边形A'PQA是平行四边形，
∴△PQA'的面积＝△AA'Q面积，
此时Q（﹣1，7），满足条件；
综上所述，点Q的坐标为（﹣5，3）或（﹣1，7）；
（3）过D作DF⊥CE于F，如图3所示：
∵∠CEB＝90°，
∴∠CED＝90°﹣∠DEB，
∵CE∥OA，
∴∠OAB＝∠ECD，
∵∠OAB＝2∠DEB，
∴∠ECD＝2∠DEB，
∴∠CDE＝180°﹣∠ECD﹣∠CED＝180°﹣2∠DEB﹣（90°﹣∠DEB）＝90°﹣∠DEB，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD＝k+2，
∵点C在直线y＝kx+2上，
∴当y＝k+2时，有k+2＝kx+2，
∴x＝1，
∴点C（1，k+2），D（2，2k+2），∴DF＝1，CF＝﹣k，CE＝k+2，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF2+DF2＝CD2，
∴CF2+DF2＝CE2，
即（﹣k）2+12＝（k+2）2，
解得：k＝﹣ ．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+8分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数y＝2x的
图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线AB于点E．
（1）直线l对应的函数表达式是 y ＝ 2 x ﹣ 3 ，点E的坐标是 （ 4 ， 5 ） ；
（2）在直线AB上存在点F（不与点E重合），使BF＝BE，求点F的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使∠PDO＝2∠PBO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，
∴直线l的解析式为y＝2x﹣3，
联立方程组得： ，
解得： ，
∴点E（4，5），
故答案为：y＝2x﹣3，（4，5）；
（2）如图1，作EM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N，∴EM＝4，∠EMB＝∠FNB＝90°，
∵BE＝BF，∠EBM＝∠FBN，
∴△EBM≌△FBN（AAS），
∴FN＝EM＝4，
在 中，当x＝﹣4时，y＝11，
∴F（﹣4，11）．
（3）∵直线y＝﹣ x+8交y轴于点B，
∴B（0，8），
∵直线y＝2x﹣3与y轴交于点D，
∵D（0，﹣3），
∴OB＝8，OD＝3．
如图2，在y轴正半轴上取一点Q，使OQ＝OD＝3，
∵∠POB＝90°，OQ＝OD，
∴PQ＝PD，
∴∠PDO＝∠PQO＝∠PBO+∠BPQ，
∵∠PDO＝2∠PBO，
∴∠PBO＝∠BPQ，
∴PQ＝BQ＝BO﹣OQ＝5，
∴OP＝ ＝ ＝4，
∴P（4，0）或（﹣4，0）．
15．如图1，在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于点A、B，经过点B的直线y＝ x+b交x轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，点D在线段OB上（不与点O、B重合），连接CD并延长至点E，过点E作EF⊥OB于
点F，EF交线段AB于点G，EF＝BD，设OD＝t，EG＝d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自
变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OM∥CE，OM交线段AG点M，连接EM并延长交x轴于点
N，若∠BOM＝∠ANM，求点N的坐标．
解：（1）当x＝0时，y＝5，
∴B（0，5），
∵直线y＝ x+b经过B点，
∴b＝5，
∴直线BC解析式为y＝ x+5，
当y＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）；
（2）∵OD＝t，
∴D（0，t），
∵EF＝BD，
∴EF＝5﹣t，
直线AB与x轴的交点A（5，0），
∴OA＝OB，∴∠OBA＝45°，
∴BF＝GF，
∴GE＝DF＝d，
∵EF∥OC，
∴ ＝ ，
∴DF＝﹣ t2+ t，
∴d＝﹣ t2+ t；
（3）设直线CD的解析式为y＝kx+m，
∴ ，
解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝ x+t，
∵OM∥CE，
∴直线OM的解析式为y＝ x，
当 x＝﹣x+5时，解得x＝ ，
∴M（ ， ），
∵EF＝5﹣t，
∴E（5﹣t， ），
过点M作MH⊥x轴交于点H，
∵∠MAH＝45°，
∴MH＝AH＝ ，
∵∠BOM＝∠ANM，∠BOM＝∠BDE＝∠CDO，∴tan∠MNH＝ ，
∴NH＝ ，
∴ON＝5﹣ ﹣ ＝5﹣ t，
∴N（5﹣ t，0），
设直线MN的解析式为y＝nx+p，
∴ ，
解得 ，
∴y＝ x+5﹣ ，
将点E代入直线MN的解析式， （5﹣t）+5﹣ ＝ ，
解得t＝2（舍）或t＝ ，
∴N（ ，0）．
