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例题精讲
【例1】．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，
连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值．
解：过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，则B（3，0），A（﹣1，0），
1 2
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得， ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵OB＝OC＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∵PQ∥y轴，
∴∠PQM＝45°，
∵PM⊥BC，
∴△PMQ为等腰直角三角形，∴PM＝ PQ，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴PM＝ （﹣t2+3t）＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
当t＝ 时，PM的最大值为 ．
变式训练
【变1-1】．如图，抛物线y＝ x2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣2），直线L：y＝﹣ x﹣ 交y轴
于点E，且与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线L下方时，过点P作PN∥y轴交L于点N，求PN的最大值．
（3）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，求PM的最大值．
解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ x2+bx+c得，
，
∴ ∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵PN∥y轴，N在直线AD上，
∴N（m，﹣ m﹣ ），
∴PN＝﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2＝﹣ m2+ m+ ．
∴当m＝ 时，PN的最大值是 ；
（3）设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵PM∥x轴，M在直线AD上，M与P纵坐标相同，
把y＝ m2﹣ m﹣2，代入y＝﹣ x﹣ 中，得x＝﹣m2+2m+2
∴M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2）
∴PM＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2
∴当m＝ 时，PM的最大值是 ．
【变1-2】．如图，抛物线y＝ +mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x
轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．解：（1）抛物线y＝﹣ +mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，
2）．
∴ ，
解得： ，
故抛物线解析式为：y＝﹣ x2+ x+2；
（2）令y＝0，则﹣ x2+ x+2＝0，解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+2，
设P（m，﹣ m+2）；则Q（m，﹣ m2+ m+2），
则PQ＝（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+2m＝﹣ （m﹣2） 2+2，
此时PQ的最大值为2．
【例2】．已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为
D．（1）求此函数的关系式；
（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；
（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线
段MN的长度最大？最大是多少？
解：（1）如图1，∵OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴将A（﹣3，0），C（0，﹣3），分别代入抛物线y＝x2+bx+c，
得 ，
解得 ．
故此抛物线的函数关系式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）如图，连接AP，BP，BC，AC，AC与抛物线对称轴交于点P′，
∵抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵B是抛物线与x轴的另一个交点，A（﹣3，0），
∴B（1，0），
∴BC＝ ＝ ＝ ，
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴AP＝BP，
∴PB+PC的最小值即为PA+PC的最小值，此时PA+PC+BC最小，即△BCP的周长最小，
∴当P、A、C三点共线时，△BCP的周长最小，即P在P′所在的位置，设直线AC的解析式为y＝kx+b ，
1
∴ ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）如图3，设N（t，t2+2t﹣3），则M（t，﹣t﹣3），
∴MN＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+ ）2+ ，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣ ，即点N的坐标为（﹣ ， ）时，线段MN的长度最大，最大值为 ．变式训练
【变2-1】．如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝
ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；
（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大
时，求此时P点的坐标及PE的最大值．
解：（1）∵B点坐标为（1，0），
∴OB＝1，
又∵OA＝OC＝3OB，
∴OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
将A，B，C三点代入解析式得，
，解得 ，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，
∴D点的坐标为（﹣1，﹣4），
∴|AD|＝ ＝2 ，|AC|＝ ＝3 ，|CD|＝
＝ ，
∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2，
∴△ACD是直角三角形，
S△ABC ＝ |AC|•|CD|＝ × ＝3；
（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t，
代入A，C点坐标，
得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHE＝∠OCA＝45°，
设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），
∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，
∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）× ＝﹣ （x+ ）2+ ，
∴当x＝﹣ 时，PE有最大值为 ，此时P点的坐标为（﹣ ，﹣ ）．
【变2-2】．如图，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐
标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求
线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为 ？若存在，直接写
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由二次函数顶点C（1，4），设y＝a（x﹣1）2+4，
将B（3，0）代入得：4a+4＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴D（0，3），
设直线BD解析式为y＝kx+3，将B（3，0）代入得：
3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m+3），则M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣ ）2+ ，
∵﹣1＜0，
∴当m＝ 时，PM取最大值，最大值为 ；
（3）存在点Q，使△BDQ中BD边上的高为 ，理由如下：
过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，如图：
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝45°，
∴∠BGE＝45°＝∠QGH，
∴△QGH是等腰直角三角形，
当△BDQ中BD边上的高为 时，即QH＝HG＝ ，
∴QG＝2，
∵点Q在第一象限，QG＝|﹣x2+3x|，
∴﹣x2+3x＝2，
解得x＝1或x＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上可知存在满足条件的点Q，坐标为（1，4）或（2，3）．1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．
（1）求直线OB和该抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交
于点N，求MN的最大值；
（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别
交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．
解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，
∵B（﹣2，3），
∴﹣2k＝3，
∴k＝﹣ ，
∴直线OB的解析式为y＝﹣ x，
∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），
∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．
将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，
则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣ （t﹣s），
∵ ，
∴x ＝﹣2，x ＝ ，
1 2
∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，
∴﹣2＜t＜ ，
∵MN∥x轴，
∴﹣t2﹣2t+3＝﹣ （t﹣s），
∴s＝﹣ +2＝﹣ ，
∵﹣2＜t＜ ，
∴当t＝﹣ 时，MN的最大值为 ；
（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，
∴tan∠PCD+tan∠PDC＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝1﹣t+t+3，
＝4．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大
值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰
三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，
把点B（3，0）代入y＝kx+3中，
得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∴点（1，0）在抛物线的图象上，
∴1＜m＜3．
∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣ + ，
∴当m＝ 时，线段MN取最大值，最大值为 ．
（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．
当m＝ 时，点N的坐标为（ ， ），
∴PB＝ ＝ ，PN＝ ，BN＝ ＝
．
△PBN为等腰三角形分三种情况：
①当PB＝PN时，即 ＝ ，
解得：n＝ ，
此时点P的坐标为（2， ）；
②当PB＝BN时，即 ＝ ，
解得：n＝± ，
此时点P的坐标为（2，﹣ ）或（2， ）；
③当PN＝BN时，即 ＝ ，
解得：n＝ ，
此时点P的坐标为（2， ）或（2， ）．综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点P的坐标为（2， ）、（2，
﹣ ）、（2， ）、（2， ）或（2， ）．
3．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），
（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；
（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；
（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段
BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．
解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1，4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4，
将点C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0，
解得a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；
（2）连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，
当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
则A（1，0），C（﹣3，0），
当x＝0时，y＝3，则B（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（0，3），C（﹣3，0）代入得 ，
解得： ，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，
所以点M坐标为（﹣1，2）；
（3）由题意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），
则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ，
∴当m＝﹣ 时，线段EF最长．
4．在平面直角坐标系中，直线 y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣
x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0， m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，﹣2m）；
∵y＝﹣（x﹣m）2+2，
∴抛物线的顶点为D（m，2），
令x＝0，则y＝﹣m2+2，
∴C（0，﹣m2+2）．
①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，
∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．
②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．
∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，
∴△PAB的面积为： ×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，
∵﹣1＜0，
∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．
此时P（1，1）．
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），
①∵y轴上有一点M（0， m），点C在线段MB上，
∴需要分两种情况：
当 m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得 ≤m≤1+ ，当 m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣ ，
∴m的取值范围为： ≤m≤1+ 或﹣3≤m≤1﹣ ．
②当 ≤m≤1+ 时，
∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，BC的最大值为3；
当 m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣ ，
∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，
当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．
∴当m＝﹣3时，BC的最大值为13．
5．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接
BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；
（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是
否存在点 P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点 P 的坐标，如果不存在，请说明理由．
解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∴CO＝3，∵CO＝BO，
∴BO＝3，
∴B（3，0），
∵A（﹣1，0），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，3），
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1，4），
∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴E（1，2），
∴DE＝2；
（3）∵PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
当 ＝ 时，△PCF∽△CDE，
由D（1，4），C（0，3），E（1，2），
利用勾股定理，可得CE＝ ＝ ，
DE＝4﹣2＝2，
设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），
∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CF＝ ＝ t，
∴ ＝ ，∵t≠0，
∴t＝2，
当t＝2时，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P坐标为（2，3）．
6．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x
轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当
点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最
大值．解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得： ，
解得： ；
（2）∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
∴∠APB+∠CPM＝90°，
∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM，
∵∠B＝∠PCM＝90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴3n＝m（3﹣m），
∴n＝﹣ m2+m＝﹣ （m﹣ ）2+ （0≤m≤3），
∵﹣ ＜0，
∴当m＝ 时，n的值最大，最大值是 ．
7．已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，过直线BC的下方抛物线
上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D．
（1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；
（3）当△PQD 的周长最大时，在 y 轴上有两个动点 M、N（M 在 N 的上方），且 MN＝1，求
PN+MN+AM的最小值．
解：（1）对于二次函数y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，
∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．
（2））∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，OB＝OC＝2，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥x轴，
∴∠DEB＝90°，
∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，
∵PQ∥AC，
∴∠PQC＝∠ACQ，
∴∠PQD，∠PDQ是定值，
∴PD最长时，△PDQ的最长最大，设P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，m﹣2），
∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，
∵﹣1＜0，∴m＝1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时P（1，﹣2），D（1，﹣1），
∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，
由 ，
解得 ，
∴Q（ ，﹣ ），
∴PD＝1，PQ＝ ，DQ＝ ，
∴△PDQ的最长的最大值为1+ + ．
（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′＝MN＝1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最
小．
由（2）可知P（1，﹣2），
∴P′（1，﹣1），∵A（﹣1，0），
∴直线AP′的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
∴M（0，﹣ ），N（0，﹣ ），
∴AM＝ ＝ ，PN＝ ＝ ，
∴AM+MN+PN的最小值为 +1．8．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝ x+ 经过点A，与抛物线的
另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的
垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；
（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值
若没有请说明理由．
解：（1）∵点C的横坐标为3，
∴y＝ ×3+ ＝2，
∴点C的坐标为（3，2），
把点C（3，2）代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，
解得：a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ ；
（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），
由题意，点 D（m， m+ ）m，E（m， ），G（m+1， m+1），F（m+1，
），
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴ED＝FG，
∴（ ）﹣（ m+ ）＝（ ）﹣（ m+1），即 ＝ ，
∴m＝0.5，∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；
（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，
由（2）可得，S＝（ ）×1÷2＝ （﹣m2+m+ ）＝ ，
∴当m＝ 时，S最大值为 ，
∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为 ．
9．如图所示，二次函数y＝ax2﹣ x+c的图象经过点A（0，1），B（﹣3， ），A点在y轴上，过点B
作BC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求直线AB的解析式和二次函数的解析式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，
求MN的最大值；
（3）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），是否存在点N，使得BM与NC相互垂直平分？
若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣ x+1；
把A（0，1），B（﹣3， ）代入y＝ax2﹣ x+c得， ，∴二次函数的解析式为：y＝﹣ x2﹣ x+1；
（2）设点N的坐标为（m，﹣ m2﹣ m+1）（﹣3＜m＜0），则点M的坐标为（m，﹣ m+1），
∴MN＝﹣ m2﹣ m+1﹣（﹣ m+1）＝﹣ m2﹣ m+1＝﹣ （m+ ）2+ ，
∴当m＝﹣ 时，MN取最大值，最大值为 ；
（3）假设存在，设点N的坐标为（m，﹣ m2﹣ m+1）（﹣3＜m＜0），连接BN、CM，如图所示．
若要BM与NC相互垂直平分，只需四边形BCMN为菱形即可．
∵点B坐标为（﹣3， ），点C的坐标为（﹣3，0），
∴BC＝ ．
∵四边形BCMN为菱形，
∴MN＝﹣ m2﹣ m＝BC＝ ，
解得：m ＝﹣2，m ＝﹣1．
1 2
当m＝﹣2时，点N的坐标为（﹣2， ），
∴BN＝ ＝ ，BC＝ ，BN≠BC，
故m＝﹣2（舍去）；
当m＝﹣1时，点N的坐标为（﹣1，4），
∴BN＝ ＝ ，BC＝ ，BN＝BC，
∴点N（﹣1，4）符合题意．故存在点N，使得BM与NC相互垂直平分，点N的坐标为（﹣1，4）．
10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC
点F，求△DEF周长的最大值；
（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，
且位于抛物线对称轴的右侧，是否存在以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，请直
接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C
∴点C坐标为（0，﹣3）
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3
∵点B（3，0），点C（0，﹣3）
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵DF∥AB，
∴∠EFD＝45°＝∠OBC，
∵DE⊥BC，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，
∴DE＝EF，
∴DF＝ EF，
∴EF＝DE＝ DF，
∴△DEF周长＝DE+EF+DF＝（1+ ）DF，
设点D（a，a2﹣2a﹣3），则F（a2﹣2a，a2﹣2a﹣3）
∴DF＝a﹣a2+2a＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣ ）2+
∴当a＝ 时，DF有最大值为 ，
即△DEF周长有最大值为（1+ ）× ＝ ，
（3）存在，
如图1，过点M作GH⊥OC，过点P作PH⊥GH，连接MN，PM，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4
∴点M（1，4）
∵以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形，
∴PM＝MN，∠PMN＝90°，
∴∠PMH+∠NMG＝90°，且∠PMH+∠MPH＝90°，
∴∠NMG＝∠MPH，且MN＝PM，∠H＝∠NGM＝90°，
∴△MNG≌△PMH（AAS）
∴GM＝PH＝1，∴点P的纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝x2﹣2x﹣3
∴x＝0（不合题意舍去），x＝2，
∴点P的横坐标为2，
如图2，过点P作GH⊥AB，过点N作NG⊥GH，过点M作MH⊥GH，
易证：△NGP≌△PHM，
可得NG＝PH，GP＝MH，
设点P横坐标为a，（a＞1）
∴NG＝PH＝a，
∴点P纵坐标为﹣4+a，
∴﹣4+a＝a2﹣2a﹣3
∴x＝ （不合题意舍去），x＝
综上所述：点P的横坐标为2或
11．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，
其中C点的横坐标为2．
（1）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得△BDQ中BD边上的高为 ．若存在，请求出点Q的坐标；若
不存在，请说明理由；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形
是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，则C（2，﹣3），
设直线AC的表达式为y＝kx+b，
则 ，解得 ，
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，
设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，
∴当x＝ 时，PE的最大值＝ ；
（2）存在，点Q的坐标为：（﹣1，0）或（4，5）；
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，即D（0，﹣3），
由B（3，0），D（0，﹣3）得到直线BD的解析式是y＝x﹣3，
如上图，过点Q作QE⊥BD交BD的延长线于点E，则QE＝2 ，
过点Q作QN⊥x轴于点N，交BD于点H，
由直线BD的表达式知，∠HBN＝45°＝∠QHE，
则QH＝ QE＝ ＝4，
设点Q（m，m，m2﹣2m﹣3），则点H（m，m﹣3），
则QH＝|y ﹣y |＝4，即m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝±4，解得m＝﹣1或4，
Q H∴Q的坐标为：（﹣1，0）或（4，5）；
（3）存在，点F的坐标为（1，0）或（﹣3，0）或（4+ ，0）或（4﹣ ，0），理由：
设点F的坐标为（x，0），点G的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），而点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、
（2，﹣3），
①当AC为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式得： ，解得 （舍去），
故点F的坐标为（1，0）；
②当AF为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式得 解得 ，
即点F的坐标为（4+ ，0）或（4﹣ ，0）；
③当AG为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式得 ，解得 （舍去），
故点F的坐标为（﹣3，0），
综上，点F的坐标为（1，0）或（﹣3，0）或（4+ ，0）或（4﹣ ，0）．
12．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点
C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．（2）点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐
标．
（3）若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C是直角三角形
时，直接写出点F的坐标．
解：（1）直线y＝﹣x+3过点B和点C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），
抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为：x＝1，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4）；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，过点P作PD⊥BC于点D，
OC＝OB＝3，则∠DPH＝∠CBA＝45°，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
d＝PD＝ PH＝ （﹣x2+2x+3+x﹣3）＝ （﹣x2+3x），
∵ ＜0，故d有最大值，此时x＝ ，则点P（ ， ）；（3）点A关于y轴的对称点A'（1，0），设点F（m，3﹣m），而点C（0，3），
A′C2＝10，A′F2＝（m﹣1）2+（3﹣m）2，FC2＝2m2，
由题目知，∠A′CF≠90°，则当△FA'C是直角三角形时，分以下两种情况：
当CF为斜边时，即10+（m﹣1）2+（3﹣m）2＝2m2，解得：m＝ ；
当A′C为斜边时，同理可得：m＝2，
故点F的坐标为：（ ， ）或（2，1）．
13．如图①，已知抛物线C ：y＝a（x+1）2﹣4的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左
1
边），点B的横坐标是1．
（1）求点C的坐标及a 的值；
（2）如图②，抛物线C 与C 关于x轴对称，将抛物线C 向右平移4个单位，得到抛物线C ．C 与x
2 1 2 3 3
轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C 上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交CE于点F．
3
①求线段PF长的最大值；
②若PE＝EF，求点P的坐标．
解：（1）顶点C为（﹣1，﹣4）．
∵点B（1，0）在抛物线C 上，∴0＝a（1+1）2﹣4，解得，a＝1；
1
（2）①∵C 与C 关于x轴对称，
2 1
∴抛物线C 的表达式为y＝﹣（x+1）2+4，
2
抛物线C 由C 平移得到，
3 2
∴抛物线C 为y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，
3
∴E（5，0），设直线CE的解析式为：y＝kx+b，
则 ，解得 ，
∴直线CE的解析式为y＝ x﹣ ，
设P（x，﹣x2+6x﹣5），则F（x， x﹣ ），
∴PF＝（﹣x2+6x﹣5）﹣（ x﹣ ）＝﹣x2+ x﹣ ＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∴当x＝ 时，PF有最大值为 ；
②若PE＝EF，∵PF⊥x轴，
∴x轴平分PF，
∴﹣x2+6x﹣5＝﹣ x+ ，
解得x ＝ ，x ＝5（舍去）
1 2
∴P（ ， ）．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的
最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？
若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，
得 ，
解得 ，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PN∥y轴，
∴∠MNP＝45°，
∵PM⊥BC，
∴ PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，
设BC的解析式为y＝mx+n，
∴ ，
解得 ，
∴BC解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），
∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣ ）2+ ，当x＝ 时，PN最大，则PM＝ PN＝ × ＝ ，
∴P（ ， ），
故PM最大值为 ，P点坐标为（ ，﹣ ）；
（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（ ，0），（0，0），（ ，0）．
∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEM+∠CEN＝90°，
∵∠QEM+∠MQE＝90°，
∴∠EQM＝∠CEN，
∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，
∴△EMQ≌△CNE（AAS），
∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，
∴|x |+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，
Q
解得x＝﹣2，x＝3（舍去），
∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），
②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x＝ ，x＝ （舍去），
∴OE＝CM＝ ，E（ ，0），
③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），
④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝ ，x＝ （舍去），
∴OE＝CM＝ ，E（ ，0），
综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（ ，0），（0，0），（ ，0）．
15．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣
2）
【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物
线C于点N．
①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．
②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的
最大值．
【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的
速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线
AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．
解：【问题背景】
A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），
将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6），解得：a＝ ，故抛物线的表达式为： …①；
【尝试探索】
①点C′（4，2），由点B、C′的坐标可得，
直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②，
四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，
设点N的坐标为：（x， k2﹣4k+6），则点M（k，﹣k+6），
即| k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3 或3 ，
故k的值为： ；
②联立①②并解得：x＝0或6，
故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，
MN＝（﹣k+6）﹣（ k2﹣4k+6）＝﹣ k2+3k，
∵ 0，故MN有最大值，最大值为 ；
【拓展延伸】
由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③，
联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8，
（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公
共部分，
（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，
即 x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4 （舍去4﹣2 ），
即x＝4+2 ，则t＝3+4+2 ＝7+2 ，
故t的取值范围为：2≤t≤ ．
