文档内容
模型介绍
一、如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．
y
B
A
O x
【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
y
B
A C 5 C 2
C 1 O C 3 C 4 x
【注意】若有三点共线的情况，则需排除．
作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．
y
AC =AB= (4-1)2+(3-1)2= 13
1
B
作AHx轴于H点，AH=1
A C H=C H= 13-1=2 3
1 2
C
2
C1 O H x C
1
(1-2 3,0) C
2
(1+2 3,0)同理可求，下求 ．
y
B
A
O C5 x
显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点
B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：
y
AH=3，BH=2
设AC =x，则BC =x，C H=3-x
5 5 5
(3-x)2+22=x2
B
13
解得：x=
6
O A C H x 19
5 故C 坐标为（ ,0）
5 6
而对于本题的 ，或许代数法更好用一些．
【代数法】表示线段构相等
y
B
A
O C5 x
（1）表示点：设点 坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
（2）表示线段： ，
（3）分类讨论：根据 ，可得： ，
（4）求解得答案：解得： ，故 坐标为 ．
小结
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解．
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
二、【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点
C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．
y
B
A
O x
【几何法】两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）
y
B
A C
3
O C 1 C 4 C 2 x
C、C C
1 2 2
重点还是如何求得点坐标， 求法相同，以 为例：
【构造三垂直】y
易证△AMB∽△BNC
2
AM MB
=
BN NC
2
M B N 由A、B坐标得AM=2，BM=4，NC =3
2
3
代入得：BN=
2
A
13
O C 2 x 故C 2 坐标为（ 2 ，0）
C、C C
3 4 3
求法相同，以 为例：
y AM MC 3
易证△AMC 3∽△C
3
NB，
C N
=
NB
3
由A、B坐标得AM=1，BN=3，设MC =a，C N=b
B 3 3
1 a
A 代入得： = ，即ab=3，又a+b=4， 故a=1或3
b 3
O M C 3 N x 故C 3 坐标为（2,0），C 4 坐标为（4,0）
构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．
例题精讲
考点一：二次函数中的直角三角形存在性问题
【例1】．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），
对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点 Q的坐
标；若不存在，请说明理由．解：（1）设y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：
（﹣1﹣2）2+k＝0，
解得：k＝﹣9，
∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，
答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图：
设P（m，m2﹣4m﹣5），则PM＝|m2﹣4m﹣5|，
∵A（﹣1，0），
∴AM＝m+1
∵∠PAB＝45°
∴AM＝PM，
∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，
即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），
当m2﹣4m﹣5＝m+1时，解得：m ＝6，m ＝﹣1（不合题意，舍去），
1 2
当m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m ＝4，m ＝﹣1（不合题意，舍去），
3 4∴P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；
（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：
在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，
∴B（5，0），C（0，﹣5），
由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t），
∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，
当BC为斜边时，BQ2+CQ2＝BC2，
∴9+t2+4+（t+5）2＝50，
解得t＝﹣6或t＝1，
∴此时Q坐标为（2，﹣6）或（2，1）；
当BQ为斜边时，BC2+CQ2＝BQ2，
∴50+4+（t+5）2＝9+t2，
解得t＝﹣7，
∴此时Q坐标为（2，﹣7）；
当CQ为斜边时，BC2+BQ2＝CQ2，
∴50+9+t2＝4+（t+5）2，
解得t＝3，
∴此时Q坐标为（2，3）；
综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴
于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；
（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点
P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）连接OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF，据垂线段最短，可知：
当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝OA＝4，
∴AC＝4 ．
又∵D为AC的中点．
∴DF∥OC，
∴DF＝ OC＝2，
∴点D的坐标为（2，2）；
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）．
∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4），
∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4﹣0）2＝m4﹣6m3+2m2+16m+32，CP2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m+4﹣4）
2＝m4﹣6m3+10m2，AC2＝（0﹣4）2+（4﹣0）2＝32．
分两种情况考虑，
①当∠ACP＝90°时，AP2＝CP2+AC2，
即m4﹣6m3+2m2+16m+32＝m4﹣6m3+10m2+32，
整理得：m2﹣2m＝0，解得：m ＝0（舍去），m ＝2，
1 2
∴点P的坐标为（2，6）；
②当∠APC＝90°时，CP2+AP2＝AC2，
即m4﹣6m3+10m2+m4﹣6m3+2m2+16m+32＝32，
整理得：m（m3﹣6m2+6m+8）＝0，
∴m（m﹣4）（m2﹣2m﹣2）＝0，
解得：m ＝0（舍去），m ＝4（舍去）， （舍去）， ，
1 2
∴点P的坐标为（1+ ，3+ ）．
综上所述，假设成立，
即存在点P（2，6）或（1+ ，3+ ），使得△ACP是直角三角形．
考点二：二次函数中的等腰三角形存在性问题
【例2】．如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．
解：（1）由题意得，﹣1+5+n＝0，
解得，n＝﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x﹣4；
（2）y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣ ）2+ ，
抛物线对称轴为：x＝ ，
顶点坐标为 （ ， ）；
（3）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣4），∴OA＝1，OB＝4，
在Rt△OAB中，AB＝ ＝ ，
①当PB＝BA时，PB＝ ，
∴OP＝PB﹣OB＝ ﹣4，
此时点P的坐标为（0， ﹣4），
②当PA＝AB时，OP＝OB＝4
此时点P的坐标为（0，4）．
变式训练
【变2-1】．如图．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：
0＝﹣16+4b+3
得：b＝
所以二次函数的关系式为：y＝﹣x2+ x+3．
当x＝0时，y＝3
∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图：
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，
则：BP＝AP
设BP＝AP＝x，则OP＝4﹣x，在直角△OBP中，BP2＝OB2+OP2
即：x2＝32+（4﹣x）2
解得：x＝
∴OP＝4﹣ ＝
所以点P的坐标为：（ ，0）
综上可得点P的坐标为（ ，0）．
【变2-2】．如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x
轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点
D是否在抛物线上；
（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，
求出点m的值；若不存在，说明理由．
解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入解析式y＝ax2+4x+c，
得 ，解得 ，
∴y＝x2+4x﹣1；
（2）如图，作AC⊥y轴于点C，作DH⊥y轴于点H，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠HBD，
在△ABC和△DBH中，
，
∴△ABC≌△BDH（AAS），
∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，
∴OH＝2，
∴D（﹣3，2），
把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，
得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，
∴点D不在抛物线上；
（3）存在点P，
∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，
设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），
由（2）知：∠BMP＝45°，
当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，
有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，
若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，
∴m2+4m﹣1＝﹣1，
解得m＝0（舍）或m＝﹣4，
∴m＝﹣4，
若45°为顶角，
即MP＝MB，
∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB＝﹣ ＝﹣ ，
∴﹣m2﹣5m＝﹣ m，
解得m＝0（舍）或m＝﹣5+ ，
∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5 ．
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．
（1）求a、b、c的值；
（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件
的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴ ，
解得：
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；
（2）如图1，
过点P作PE∥y轴，交AC于E，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴S△ACP ＝ PE•（x
C
﹣x
A
）＝ ×[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）＝﹣ （m2﹣3m）＝﹣ （m+ ）
2+ ，
∴当m＝﹣ 时，S△PAC最大 ＝ ；
（3）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1， ）或（﹣1， ）．
如图2，∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为x＝﹣1，
设点Q（﹣1，n），
则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，
∵△QAC为直角三角形，
∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，
①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，
∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，
解得：n＝﹣2，∴Q （﹣1，﹣2）；
1
②当∠ACQ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，
∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，
解得：n＝4，
∴Q （﹣1，4）；
2
③当∠AQC＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AQ2＝AC2，
∴n2﹣6n+10+n2+4＝18，
解得：n ＝ ，n ＝ ，
1 2
∴Q （﹣1， ），Q （﹣1， ）；
3 4
综上所述，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1， ）或（﹣1， ）．
2．已知抛物线y＝﹣ x2﹣ x的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 y
＝﹣ x 2 ﹣ x +2 ．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求
出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）将该抛物线向上平移2个单位，得y＝﹣ x2﹣ x+2，
故答案为：y＝﹣ x2﹣ x+2；
（2）当y＝0时，﹣ x2﹣ x+2＝0，解得x ＝﹣4，x ＝1，即B（﹣4，0），A（1，0）．
1 2
当x＝0时，y＝2，即C（0，2）．
AB＝1﹣（﹣4）＝5，AB2＝25，
AC2＝（1﹣0）2+（0﹣2）2＝5，BC2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2＝20，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）y＝﹣ x2﹣ x+2的对称轴是直线x＝﹣ ，设P（﹣ ，n），
AP2＝（1+ ）2+n2＝ +n2，CP2＝ +（2﹣n）2，AC2＝12+22＝5
当AP＝AC时，AP2＝AC2， +n2＝5，方程无解；
当AP＝CP时，AP2＝CP2， +n2＝ +（2﹣n）2，解得n＝0，即P （﹣ ，0），
1
当AC＝CP时AC2＝CP2， +（2﹣n）2＝5，解得n ＝2+ ，n ＝2﹣ ，P （﹣ ，2+ ），
1 2 2P （﹣ ，2﹣ ）．
3
综上所述：使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（﹣ ，0），（﹣ ，2+
），（﹣ ，2﹣ ）．
3．如图，抛物线y＝﹣ x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为
D，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AC，BD．
（1）求点A，B，C，D的坐标；
（2）点F为抛物线对称轴上的动点，且△BEF与△AOC相似，请直接写出符合条件的点F的坐标；
（3）点P为抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使△BDP是直角三角形？若存在，请求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）对于y＝﹣ x2+x+3，令y＝﹣ x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），
则函数的对称轴为直线x＝ （6﹣2）＝2，
当x＝2时，y＝﹣ x2+x+3＝4，即点D（2，4）；
（2）tan∠CAO＝ ，
当△BEF与△AOC相似时，则 ，即 ，
解得：EF＝6或 ，
故点F的坐标为：（2，6）或（2，﹣6）或 或 ；
（3）存在，理由：
△BDP是直角三角形只要可能是∠DBP和∠BDP为直角，
①当∠DBP为直角时，
过点B作y轴的平行线，交过点P与x轴的平行线于点H，交过点D与x轴的平行线于点G，
∵DG＝BG＝4，则△BDG为等腰三角形，∠DBG＝45°，
则∠PBH＝45°，即△PBH为等腰直角三角形，
则设PH＝BH＝m，则点P（6﹣m，﹣m），
将点P的坐标代入抛物线表达式得：﹣m＝﹣ （6﹣m）2+（6﹣m）+3，
解得：m＝0（舍去）或12，
故点P的坐标为（﹣6，﹣12）；
②当∠BDP为直角时，
∵AD＝BD＝3 ，AB＝64，
则△ABD为等腰直角三角形，即∠ADB＝90°，
即点P于点A重合，
故点P（﹣2，0）；
综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（﹣6，﹣12）．
4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三
角形与△ABE相似时，求点P的坐标；
（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，
请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得： ，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，
得： ，
解得： ， ，
∴点E的坐标为（4，﹣5），
∴AE＝ ＝5 ，
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣1，
1 2∴点B的坐标为（3，0），
∵C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝45°，BC＝3 ，
∵直线AE的函数表达式为y＝﹣x﹣1，
∴∠BAE＝45°＝∠CBO．
设点P的坐标为（m，0），则PB＝3﹣m，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，
∴ ＝ 或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
解得：m＝ 或m＝﹣ ，
∴点P的坐标为（ ，0）或（﹣ ，0）；
（3）∵∠CBO＝45°，
∴存在两种情况（如图2）．
①取点M 与点A重合，过点M 作M F ∥y轴，交直线BC于点F ，
1 1 1 1 1
∵∠CBM ＝45°，∠BM F ＝90°，
1 1 1
∴此时△BM F 为等腰直角三角形，
1 1
∴点M 的坐标为（﹣1，0）；
1
②取点C′（0，﹣3），连接BC′，延长BC′交抛物线于点M ，过点M 作M F ∥y轴，交直线BC
2 2 2 2
于点F ，
2
∵点C、C′关于x轴对称，∠OBC＝45°，
∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，
∴△CBC′为等腰直角三角形，
∵M F ∥y轴，
2 2
∴△M BF 为等腰直角三角形．
2 2
∵点B（3，0），点C′（0，﹣3），
∴直线BC′的函数关系式为y＝x﹣3，联立直线BC′和抛物线的函数关系式成方程组，得： ，
解得： ， ，
∴点M 的坐标为（﹣2，﹣5），
2
综上所述：点M的坐标为（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且
BO＝OC＝3AO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点
P坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3，
∴c＝﹣3，
∴C（0，﹣3），∴OC＝3，
∵BO＝OC＝3AO，
∴BO＝3，AO＝1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
∵该抛物线与x轴交于A、B两点，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
（2）存在，
理由：设P（1，m），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3 ，PB＝ ，PC＝ ，
∵△PBC是等腰三角形，
①当PB＝PC时，
∴ ＝ ，
∴m＝﹣1，
∴P（1，﹣1），
②当PB＝BC时，
∴3 ＝ ，
∴m＝± ，
∴P（1， ）或P（1，﹣ ），
③当PC＝BC时，
∴3 ＝ ，
∴m＝﹣3± ，
∴P（1，﹣3+ ）或P（1，﹣3﹣ ），
∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1， ）或P（1，﹣ ）或P（1，﹣3+ ）或P
（1，﹣3﹣ ）．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，
其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．
（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；
（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：
①点M的坐标，说明理由；
②MN+ BN的最小值 ；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，
求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵∠ABC＝45°，
∴OB＝OC，
∵OA：OB＝1：3，AB＝4，
∴OA＝1，OB＝3，
∴OC＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
将A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x+3，
过点M作MG∥y轴交BC于点G，
设M（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），
∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△MBC ＝ ×3×（﹣t2+3t）＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵0＜t＜3，
∴当t＝ 时，S△MBC 有最大值 ，
此时M（ ， ）；
②过点M作MH⊥x轴交于H，交BC于N，
∵∠OBC＝45°，
∴NH＝ BN，
∴MN+ BN＝MN+NH≥MH，
∵M（ ， ），
∴MH＝ ，
∴MN+ BN的最小值为 ，
故答案为： ；
（3）存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：
设P（m，﹣m2+2m+3），
如图2，当∠ACP＝90°时，
过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于E，过点P作PF⊥EF交于F，∴∠ECA+∠FCP＝90°，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠FCP＝∠EAC，
∴△ACE∽△CPF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得m＝0（舍）或m＝ ，
∴P（ ， ）；
如图3，当∠CAP＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M，过点P作PN⊥MN交于
N，
∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，
∴∠NAP＝∠MCA，
∴△ACM∽△PAN，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得m＝﹣1（舍）或m＝ ，
∴P（ ，﹣ ）；
综上所述：P点坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．
若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为： ；
（2）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
令x＝0，则y＝4，
∴点C（0，4），
∵A（﹣3，0）、C（0，4），
∴AC＝5，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x+4，
设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，
∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得： 舍去负值），
∴点 ；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，
解得：m＝1或m＝0（舍去0），
∴点Q（1，3）；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得： 舍去）；
综上所述，点Q的坐标为（1，3）或 ．
8．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物
线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
（2）如图1，∵点A，B关于直线l对称，∴连接BC交直线l于点P，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴直线l：x＝1，C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣2，
∴P（1，﹣2），
（3）设点M（1，m），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，
∵△MAC为直角三角形，
∴当∠ACM＝90°时，∴AC2+CM2＝AM2，
∴10+m2+6m+10＝m2+4，
∴m＝﹣ ，
∴M（1，﹣ ）
当∠CAM＝90°时，∴AC2+AM2＝CM2，
∴10+m2+4＝m2+6m+10，
∴m＝ ，
∴M（1， ）
当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，
∴m2+4+m2+6m+10＝10，
∴m＝﹣1或m＝﹣2，
∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），
即：满足条件的点M的坐标为（1，﹣ ）或（1， ）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其
顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求
出M点的坐标．若不存在，请说明理由．
解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得 ，
解得 ，
故抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数表达式为y＝kx+n，将A（﹣1，0）、C（2，3）分别代入y＝kx+n中可得
解得 ，
故直线AC的函数表达式为y＝x+1．
（2）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，设点M（1，m），
∵A（﹣1，0），M（1，m），N（0，3），
∴AM2＝（1+1）2+m2＝4+m2，同理AN2＝10，MN2＝1+（m﹣3）2．
当AM是斜边时，则4+m2＝10+1+（m﹣3）2，解得 ；
当AN是斜边时，4+m2+1+（m﹣3）2＝10，
解得：m＝1或2；
当MN是斜边时，4+m2+10＝1+（m﹣3）2，
解得： ．
故点M的坐标为 或（1，1）或（1，2）或 ．
10．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，
﹣3），
∴ ，解得 ，
即此抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x＝1；
（3）存在点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为（1，y），
当PA＝PD时，则 ＝ ，
解得y＝﹣ ，
当DA＝DP时，则 ＝ ，
解得y＝﹣4±2 ，
当AD＝AP时，则 ＝ ，
解得，y＝±4（舍去﹣4），由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣ ）或（1，﹣4﹣2
）或（1，﹣4+2 ）或（1，4）．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标．
（3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．
设m＝PD+ DE，求m的最大值及此时P点坐标．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点代入解析式y＝ax2+bx+3，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图，当∠MCB＝90°时，延长MC交x轴于点G，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，AB＝3﹣（﹣1）＝4
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠MCB＝90°，
∴∠GCB＝90°，∠GCO＝45°，
∴∠GCO＝∠CGO＝45°，
∴OG＝OC＝3，
∴G（﹣3，0），
设直线GC的解析式为y＝kx+3，
∴0＝﹣3k+3，
解得k＝1，
∴直线GC的解析式为y＝x+3，
∴x＝1时，y＝x+3＝4，
此时M（1，4）；
如图，当∠MBC＝90°时，延长BM交y轴于点H，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠MBC＝90°，
∴∠HBO＝45°，
∴∠HBO＝∠BHO＝45°，
∴OH＝OB＝3，
∴H（0，﹣3），
设直线BH的解析式为y＝px﹣3，
∴0＝3p﹣3，
解得p＝1，
∴直线BH的解析式为y＝x﹣3，
∴x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
此时M（1，﹣2）；
当∠CMB＝90°时，设M（1，a），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，∴BC2＝32+32＝18，MC2＝1+（a﹣3）2，BM2＝4+a2，
∵∠CMB＝90°，
∴BC2＝MC2+BM2，
∴18＝1+（a﹣3）2+4+a2，
整理，得a2﹣3a﹣2＝0，
解得 ，
此时 或 ；
综上所述，点M（1，4）或点M（1，﹣2）或点 或点 ．
（3）如图，设PD与x轴的交点为F，点P（n，﹣n2+2n+3），
∵B（3，0），C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝qx+3，
∴0＝3q+3，
解得q＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴D（n，﹣n+3），
∴PD＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n；
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴ ，
∴ ，
连接AD，
∴ ，
∵S△ADC ＝S△ABC ﹣S△ADB ，AB＝3﹣（﹣1）＝4
∴ ，
∴ ，∴
∵抛物线开口向下，
∴m有最大值，且当 时，取得最大值，且为 ，
此时 ，
故点 ．
12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的
对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角
形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点B（5，0），C（0，5）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴ ，解得， ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，
则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，
∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，
∴直线FM′与抛物线的交点E ，E 为D ，D 落在抛物线上的对称点，
1 2 1 2
∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，
∴ ，
∴点M的坐标为（2，0），
∵点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0），
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，
∴MB＝MF，
∴点F的坐标为F（2，3），
∵点M关于直线BC的对称点为点M′，
∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，
∴△MBM′是等腰直角三角形，
∴BM′＝BM＝3，
∴点M′的坐标为（5，3），∴FM′∥x轴，
∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x ＝ ，x ＝ ，
1 2
∴E （ ，3），E （ ，3），
1 2
∴点E的坐标为（ ，3）或（ ，3）；
（3）存在，Q （ ， ），Q （ ， ），Q （ ，2）．
1 2 3
设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），
①当OP＝PQ，∠OPQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K，
∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，
∴∠LOP＝∠KPQ，
∵OP＝PQ，
∴△LOP≌△KPQ（AAS），
∴LO＝PK，LP＝QK，
∴ ，
解得m ＝ ，m ＝ （舍去），
1 2
当m ＝ 时，﹣m2+4m+5＝ ，
1
∴Q（ ， ）；
②当QO＝PQ，∠PQO＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），
∴QT＝PK，TO＝QK，
∴ ，
解得m ＝ ，m ＝ （舍去），
1 2
当m ＝ 时，﹣m2+4m+5＝ ，
1
∴Q（ ， ）；
③当QO＝OP，∠POQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，
同理可得△OLP≌△QSO（AAS），
∴SQ＝OL，SO＝LP，
∴ ，
解得m ＝2+ ，m ＝2﹣ （舍去），
1 2当m ＝2+ 时，﹣m2+4m+5＝2，
1
∴Q（ ，2）；
综上，Q （ ， ），Q （ ， ），Q （ ，2）．
1 2 3
13．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴
交于点C（0，﹣1），连接AC，AO＝2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜﹣1．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）若D（﹣4，m）为抛物线y＝ x2+bx+c上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d＝DO时，求t
的值．
（3）如图2，若E（﹣4，m）为上述抛物线上一点，在抛物线上是否存在点F，使得△BEF是直角三角
形，若存在求出点F的坐标，若不存在说明理由．
解：（1）∵C（0，﹣1），
∴y＝ x2+bx﹣1，
又∵AO＝2OC，
∴点A坐标为（﹣2，0），
代入得：1﹣2b﹣1＝0，
解得：b＝0，
∴解析式为：y＝ x2﹣1；
（2）∵D（﹣4，m）为抛物线y＝ x2﹣1上一定点，∴m＝ ×16﹣1＝3，
∴D（﹣4，3），
∴OD＝ ＝5，
∴d＝5，
∴t＝﹣（5﹣3）＝﹣2；
（3）点E（﹣4，m）在抛物线y＝ x2﹣1的上，
∴m＝3，
∴E（﹣4，3），
∵B（2，0），
∴直线BE为y＝﹣ x+1，
①如图1，当B点为直角顶点时，则BF⊥BE，
∴直线BF的斜率为2，
设直线BF的解析式为y＝2x+n，
把B（2，0）代入得2×2+n＝0，
∴n＝﹣4，
∴直线BF的解析式为y＝2x﹣4，
解 得 或 ，
∴F（6，8）；
②当F点为直角顶点时，设BE的平行线y＝﹣ x+b与抛物线有且只有一个交点P，
∴﹣ x+b＝ x2﹣1，
整理得x2+2x﹣4b﹣4＝0，
∴△＝4+4（4b+4）＝0，
解得b＝﹣ ，
∴平行线为y＝﹣ ﹣ ，
∴x2+2x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴y＝﹣ ，
∴平行线与抛物线的交点P为（﹣1，﹣ ），
∵B（2，0），E（﹣4，3），
∴BE＝ ＝3 ，
∴BE的中点Q为（﹣1， ），
∴QP＝ + ＝ ＜ ＝BE，
∴此种情况不存在，
③当E点为直角顶点时，如图2，设点F（n， n2﹣1），
而点E（﹣4，3），B（2，0），
过点E作y轴的平行线交x轴于点N，交过点F与x轴的平行线于点M，
则∠EBN＝∠MEF，
则tan∠EBN＝tan∠MEF，即 ，
∴ ，
解得：n＝﹣4（舍去）或12，
故点F的坐标为（12，35）；
故在抛物线上存在点F，使得△BEF是直角三角形，点F的坐标为（6，8）或（12，35）．
14．如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于B点，与该抛物线
交于A，D两点，已知点D横坐标为﹣1．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图①，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交
抛物线于Q点，若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；
（3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存
在，请说明理由．
（1）解：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
把x＝﹣1代入y＝﹣x+3得：y＝4，
∴D（﹣1，4），
当y＝0时，0＝﹣x+3，
∴x＝3，∴A（3，0），
∵抛物线过A（3，0），O（0，0），
把D（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c＝a（x﹣0）（x﹣3）得：4＝a（﹣1﹣0）（﹣1﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣0）（x﹣3），
即抛物线的解析式是y＝x2﹣3x．
（2）解：设H（x，0），
则P（x，﹣x+3），Q（x，x2﹣3x），
∴PH＝﹣x+3，QH＝3x﹣x2，
∵x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，
∴ ＝ 或 ＝2，
即 ＝ 或 ＝2，
解得：x ＝2，x ＝3（舍去），x ＝3（舍去），x ＝ ，
1 2 3 4
∴H点的坐标是（2，0）或（ ，0）．
（3）解：分为三种情况：
①若∠BAC＝90°，设C（x，x2﹣3x），
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∴∠OAC＝45°，
∴tan∠OAC＝1，
∴ ＝1，
解得：x ＝1，x ＝3（舍去），
1 2
∴C（1，﹣2）；
②若∠ABC＝90°时，∵∠OBA＝45°，
∴∠OBC＝45°，
设直线BC交于x轴于E，其解析式是y＝kx+3，
∴OE＝OB＝3，
∴E（﹣3，0），
代入得：0＝﹣3k+3，
∴k＝1，
∴y＝x+3，
解方程组 得： ， ，
∴C（2+ ，5+ ）或（2﹣ ，5﹣ ）；
③若∠ACB＝90°时，设C（n，k），
AC2+BC2＝AB2，
即（n﹣3）2+k2+n2+（k﹣3）2＝18，
n2﹣3n+k2﹣3k＝0，
∵k＝n2﹣3n，
代入求出k ＝0，k ＝2，
1 2
∴n2﹣3n＝0，n2﹣3n＝2，
解得：n ＝0，n ＝3（舍去），n ＝ ，n ＝ ，
1 2 3 4
∴C（0，0）或（ ，2）或（ ，2），
综合上述：存在，点C的坐标是（1，﹣2）或（2+ ，5+ ）或（2﹣ ，5﹣ ）或（0，0）或
（ ，2）或（ ，2）．
15．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2））在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，
线段MN的长度最大？最大是多少？
（3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，
L点的坐标．（4）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，
说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴将其分别代入抛物线解析式，得 ，
解得 ．
故此抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+t，
将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
设N的坐标为（n，n2+2n﹣3），则M（n，﹣n﹣3），
∴MN＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n2﹣3n＝﹣（n+ ）2+ ，
把n＝﹣ 代入抛物线得，N的坐标为（﹣ ，﹣ ），
当N的坐标为（﹣ ，﹣ ），MN有最大值 ；
（3）①当以AB为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，
∴KL必过（﹣1，0），
∴L必在抛物线上的顶点D处，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴L（﹣1，﹣4），K（﹣1，4）
②当以AB为边时，AB＝KL＝4，
∵K在对称轴上x＝﹣1，
∴L的横坐标为3或﹣5，
代入抛物线得L（﹣5，12）或L（3，12），此时K都为（﹣1，12），
综上，K（﹣1，4），L（﹣1，﹣4）或K（﹣1，12），L（﹣5，12）或K（﹣1，12），L（3，12）；
（4）存在，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），
∴AD2＝（﹣3+1）2+（0+4）2＝20，
设 E（0，m），则 AE2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣m）2＝9+m2，DE2＝（﹣1﹣0）2+（﹣4﹣m）2＝
17+m2+8m，
①AE为斜边，由AE2＝AD2+DE2得：9+m2＝20+17+m2+8m，
解得：m＝ ，
②DE为斜边，由DE2＝AD2+AE2得：9+m2+20＝17+m2+8m，
解得：m＝ ，
③AD为斜边，由AD2＝ED2+AE2得：20＝17+m2+8m+9+m2，
解得：m＝﹣1或﹣3，
∴点E的坐标为（0， ）或（0， ）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
16．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，请问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若
存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存
在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴ ，
解得： ．
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，如图1，
∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为 ，
∴设P点坐标为（﹣1，a），
∴C（0，3），M（﹣1，0），
PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，
分类讨论：
（1）当PC＝PM时，
（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得 ，
∴P点坐标为：P （﹣1， ）；
1
（2）当MC＝MP时，
（﹣1）2+32＝a2，解得 ，∴P点坐标为： 或 ；
（3）当CM＝CP时，
（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），
∴P点坐标为：P （﹣1，6）．
4
综上所述存在符合条件的点 P，其坐标为 或 或 P（﹣1，6）或
．
（3）存在，Q（﹣1，2），
理由如下：如图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，
直线AC′与对称轴的交点即为点Q．
设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．
将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得 ，
解得 ，
所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．
将x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．
17．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次
函数y＝ x2+bx﹣ 的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，
请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上，
∴ x2+bx﹣ ＝1，解得：b＝﹣ ，
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣ x﹣
y＝ x2﹣ x﹣ ＝ （x2﹣ x+ ﹣ ）﹣ ＝ （x﹣ ）2﹣
（2）作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC．
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAK＝90°．
又∵∠CAK+∠ACK＝90°，
∴∠BAO＝∠ACK．
在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，
∴△BAO≌△ACK．
∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．
∴A（1，0），B（0，2）．∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2＝ m2﹣ m﹣ ，解得m＝﹣3（舍去）或m＝ ．
∴AB＝ ＝ ．
∴△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE +S△DEH ＝ ×2+ × × ＝9.5
（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PB＝AB，∠PBA＝90°．
∴∠PBG+∠BAO＝90°．
又∵∠PBG+∠BPG＝90°，
∴∠BAO＝∠BPG．
在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，
∴△BPG≌△ABO．
∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，
∴P（﹣2，1）．
当x＝﹣2时，y≠1，
∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．
当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
同理可知：△PAF≌△ABO，
∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，
∴P（﹣1，﹣1）．
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．
18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直
线x＝ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线
于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）点N坐标为（0，2），点M在抛物线上，且∠NBM＝45°，直接写出点M坐标；
（4）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请
说明理由．
解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得a+b+4＝0，
∵对称轴为直线x＝ ，
∴﹣ ＝ ，
∴b＝﹣5a，
∴a﹣5a+4＝0，
∴a＝1，
∴b＝﹣5，
∴y＝x2﹣5x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则x2﹣5x+4＝0，
∴x＝4或x＝1，
∴A（1，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴ ，∴ ，
∴y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t+4），则Q（t，t2﹣5t+4），
∴PQ＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∴当t＝2时，PQ的长度最大，
∴P（2，2），Q（2，﹣2），
∴PQ＝4，OQ＝2 ，
∵CO＝4，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）∵OB＝OC＝4，
∴∠CBO＝45°，
∵∠NBM＝45°，
∴∠OBM＝∠CBN，
过点N作NF⊥BC于点F，
∵N（0，2），C（0，4），
∴CN＝2，
∴NF＝CF＝ ，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∴NB＝2 ，
∴BF＝3 ，
∴tan∠CBN＝ ，
∴tan∠OBG＝ ＝ ＝ ，
∴OG＝ ，
∴G（0，﹣ ），
设直线OM的解析式为y＝kx+b，∴ ，
∴ ，
∴y＝ x﹣ ，
联立方程组 ，
解得x＝4（舍）或x＝ ，
∴M（ ，﹣ ）；
过B点作BK⊥BG交y轴于点K，
此时∠NBK＝45°，
∴∠OKB＝∠OBG，
∵tan∠OBG＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴OK＝12，
∴K（0，12），
设直线KB的解析式为y＝k x+b ，
1 1
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣3x+12，
联立方程组 ，
解得x＝4（舍）或x＝﹣2，∴M（﹣2，18）；
综上所述：M点坐标为（﹣2，18）或（ ，﹣ ）；
（4）存在点F，使得△BEF为等腰三角形，理由如下：
过点Q作x轴的垂线，过点Q作QN⊥y轴交于点N，过点E作y轴的垂线ME，
∵QM∥y轴，
∴∠ODQ＝∠MQD，
∵∠DQE＝2∠ODQ，
∴∠MQE＝∠ODQ，
∵C（0，4），D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵Q（2，﹣2），
∴tan∠ODQ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
设E（m，m2﹣5m+4），
∴ ＝ ，
解得m＝2（舍）或m＝5，
∴E（5，4），
∴BE＝ ，
设F（0，y），
①当BF＝BE时， ＝ ，
∴y＝±1，
∴F（0，1）或（0，﹣1）；
②当EF＝BE时， ＝ ，
此时y无解；
③当BF＝EF时，BE的中点T（ ，2），∴BF＝ ＝ ，
∴y＝ ，
∴F（0， ），
综上所述：点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0， ）．19．如图，已知直线y＝3x﹣3分别交x轴，y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点C是
抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使△ABP的周长最小，并求出最小周长和P点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，
求出点M的坐标．解：（1）在y＝3x﹣3中，令y＝0求得x＝1，令x＝0可得y＝﹣3，
∴A（1，0），B（0，﹣3），
把A、B两点的坐标分别代入y＝x2+bx+c得： ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∵A、C关于对称轴对称，且A（1，0），
∴MA＝MC，C（﹣3，0），
∴MB+MA＝MB+MC，
∴当B、M、C三点在同一条直线上时MB+MC最小，此时△ABM的周长最小，
∴连接BC交对称轴于点M，则M即为满足条件的点，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∵直线BC过点B（0，﹣3），C（﹣3，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴M（﹣1，﹣2），∴存在点M使△ABM周长最短，其坐标为（﹣1，﹣2），最短周长为 + ＝3 +
；
（3）存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：x＝﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：
讨论：
①当MA＝AB时，
∵OA＝1，OB＝3，
∴AB＝ ，
＝ ，
解得：m＝± ，
∴M （﹣1， ），M （﹣1，﹣ ）；
1 2
②当MB＝BA时， ＝ ，
解得：M ＝0，M ＝﹣6，
3 4
∴M （﹣1，0），M （﹣1，﹣6）（舍弃），
3 4
③当MB＝MA时， ＝ ，
解得：m＝﹣1，
∴M （﹣1，﹣1），
5
答：共存在4个点M （﹣1， ），M （﹣1，﹣ ），M （﹣1，0），M （﹣1，﹣1）使△ABM为
1 2 3 5
等腰三角形．
20．如图，已知直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C
（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P的坐
标；若不存在，说明理由．
（3）在抛物线上求一点Q，使得△ACQ为以AC为底边的等腰三角形，并写出Q点的坐标；
（4）除（3）中所求的Q点外，在抛物线上是否还存在其它的点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点Q（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点Q，请说明理
由．
解：（1）令x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
令y＝0得：3x+3＝0，解得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点B的坐标代入得：﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）抛物线的对称轴方程为x＝﹣ ＝1．
设点P的坐标为（1，a）．
当AB＝AP时， ＝ ，整理得：10＝4+a2，解得a＝±
∴P（1， ）或（1，﹣ ）．
当BA＝BP时， ＝ ，整理得：10＝1+（3﹣a）2，解得：a＝0或a
＝6（舍去），
∴P（1，0）．
当AP＝BP时， ＝ ，整理得：6a＝6，解得a＝1，
∴P（1，1）．
综上所述：点P的坐标为P（1， ）或（1，﹣ ）或P（1，0）或P（1，1）．
（3）当点Q在AC的垂直平分线上时，则QA＝QC．
由抛物线的对称性可知：此时点Q为抛物线的顶点．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴Q（1，4）．（4）当QA＝QC时，抛物线的顶点即为所求的点Q．
如图所示：以A为圆心，以AC长为半径作 A， A交抛物线于Q 、Q 、Q ，以C为圆心，AC长为半
1 2 3
径作 C，交抛物线于点Q 、Q 、Q ． ⊙ ⊙
4 5 6
⊙
由圆的性质可知：△ACQ 、△ACQ 、△ACQ 、△ACQ 、△ACQ 、△ACQ 均为等腰三角形．
1 2 3 4 5 6
∴符合题意的点Q共有6个．
21．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC．M
为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN
的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．
若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）•（x﹣3），
∴a•2×（﹣3）＝3，
∴a＝﹣ ，∴抛物线的关系式是y＝﹣ （x+2）•（x﹣3）＝﹣ x2+ +3；
（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的表达式是y＝﹣x+3，
∴Q（m，﹣m+3），
∴QM＝﹣m+3，
∵P（m，﹣ ），
∴PM＝﹣ ，
∴PQ＝PM﹣QM＝﹣ ，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵QM∥OC，
∴∠PQN＝∠OCB＝45°，
∴PN＝PQ•sin∠PQN＝ （﹣ ）
＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，PN最大 ＝ ；
（3）设Q（m，﹣m+3），
AC2＝22+32＝13，
AQ2＝（m+2）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣2m+13，
CQ2＝m2+m2＝2m2，
当AQ＝AC时，
2m2﹣2m+13＝13，
∴m ＝0（舍去），m ＝1，
1 2
∴Q （1，2），
1
当AC＝CQ时，
2m2＝13，∴m ＝ ，m ＝﹣ （舍去），
3 4
∴Q （ ，3﹣ ），
2
当AQ＝CQ时，
2m2﹣2m+13＝2m2，
∴m＝ ＞3，故舍去，
综上所述，Q（1，2）或（ ，3﹣ ）．
22．如图，抛物线y＝ax2+ x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣ x﹣2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P
在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m
的式子表示）
解：（1）当x＝0时，y＝﹣ x﹣2＝﹣2，
∴点C的坐标为（0，﹣2）；
当y＝0时，﹣ x﹣2＝0，
解得：x＝﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，0）．
将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+ x+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2+ x﹣2．
（2）①∵PM⊥x轴，
∴∠PMC≠90°，
∴分两种情况考虑，如图1所示．
（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，
∴点P的纵坐标为﹣2．
当y＝﹣2时， x2+ x﹣2＝﹣2，
解得：x ＝﹣2，x ＝0，
1 2
∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；
（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D．
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCD．
又∵∠AOC＝∠COD＝90°，
∴△AOC∽△COD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴OD＝1，
∴点D的坐标为（1，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：
，解得： ，
∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得： ，解得： ， ，
点P的坐标为（6，10）．
综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．
②当y＝0时， x2+ x﹣2＝0，
解得：x ＝﹣4，x ＝2，
1 2
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为（m，﹣ m﹣2）．
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y＝﹣ x+ ，直线B′M的解析式为y＝ x﹣
，直线BB′的解析式为y＝x﹣2．
分三种情况考虑，如图2所示：
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y＝﹣ x﹣2；
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y＝ x﹣2；
当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（ m，﹣ m﹣2）时，直线l的解析式为y＝x﹣ m﹣2．
综上所述：直线l的解析式为y＝﹣ x﹣2，y＝ x﹣2或y＝x﹣ m﹣2．23．如图，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C．
（1）如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；
（2）如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点 E的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，
求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？
若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
（5）如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；
若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ．解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
设D（0，t），
∴DC＝BD，
∴|3﹣t|＝ ，
解得t＝ ，
∴D（0， ）；
（2）存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴AC的中点为（﹣ ， ），
∵OC＝OA，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴过AC的中点与AC垂直的直线为y＝﹣x，
联立方程组 ，
解得 或 ，∴E（ ， ）或（ ， ）；
（3）存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形，理由如下：
设F（t，t+3），
当BC＝BF时，
∴（t﹣1）2+（t+3）2＝10，
解得t＝0（舍去）或t＝﹣2，
∴F（﹣2，1）；
当BC＝CF时，t2+t2＝10，
∴t＝± ，
∴F（ ， +3）或（﹣ ，3﹣ ），
即满足条件的点F（﹣2，1）或（ ， +3）或（﹣ ，3﹣ ）；
（4）存在点K，使△AHK是等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点H（﹣1，4），
设K（m，0），
①当AH＝HK时，4+16＝（m+1）2+16，
解得m＝1或m＝﹣3（舍），
∴K（1，0）；
②当AH＝AK时，4+16＝（m+3）2，
解得m＝2 ﹣3或m＝﹣2 ﹣3，
∴K（2 ﹣3，0）或（﹣2 ﹣3，0）；
③当HK＝AK时，（m+1）2+16＝（m+3）2，
解得m＝2，
∴K（2，0）；
综上所述：K点坐标为（1，0）或（2 ﹣3，0）或（﹣2 ﹣3，0）或（2，0）；
（5）存在点G，使△ACG是等腰三角形，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设G（﹣1，t），
①当AG＝CG时，4+t2＝1+（t﹣3）2，
解得t＝1，∴G（﹣1，1）；
②当AG＝AC时，4+t2＝18，
解得t＝ ，
∴G（﹣1， ）或（﹣1，﹣ ）；
③当AC＝CG时，1+（t﹣3）2＝18，
解得t＝3+ 或t＝3﹣ ，
∴G（﹣1，3+ ）或（﹣1，3﹣ ）；
综上所述：G点坐标为（﹣1，1）或（﹣1， ）或（﹣1，﹣ ）或（﹣1，3+ ）或（﹣1，3
﹣ ）．
