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中考数学几何专项练习：
相似模型--平行线构造“A、X”型相似三角形（基础+培优）
一、单选题
1．如图，点 分别在 的边 上，且 ， ， ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中，F是 上一点， 交 于点E， 的延长线交 的延长线于点G，
， ，则 的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，D、E分别是 的边 上的点， ，若 ，则 的值为
（ ）
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．如图，在 中， 为 上一点，连接 ， ，且 与 相交于点 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
5．如下图，如果 ，若 ， ， ，则 （ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
6．如图，在 中， ，D、E分别为 中点，连接 相交于点F，
点G在 上，且 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 中，点D、E为边 的三等分点，点F、G在边 上， ，点H为 与
的交点．若 ，则 的长为（ ）
试卷第2页，共3页A．1 B． C．2 D．3
8．如图 中， ，点D，E分别是边 ， 的中点，点G，F在 边上，四边形 是
正方形． 若 ，则 的长为 （ ）
A．2cm B． cm C．4cm D．8cm
二、填空题
9．如图，在平行四边形 中，E是线段 上一点，连结 交于点F．若 ，则
．
10．如图，矩形 中， ，E是 上一点， 与 交于点F．则 的长为
．
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司11．如图，在矩形 中，若 ， ， ，则 的长为 ．
12．如图， 与 位似，位似中心为点O．已知 ，若 的周长等于4，则
的周长等于 ．
13．如图， ， ， 交于点E，若 ， ，则 的长为 ．
14．如图，在 中，点D，E分别在 上，若 ， ， ，则 的长为
．
试卷第4页，共3页15．如图，点F在平行四边形 的边上，延长 交 的延长线于点E，交 于点O，若 ，
则 ＝ ．
16．如图，在矩形 中，若 ， ， ，则 的长为 ．
17．如图，在 中，D，E分别是边 ， 的中点， ， 相交于点F，则 ．
18．如图，在矩形 中，E、F分别为边 的中点， 与 分别交于点P、Q．已知
， ，则 的长为 ．
试卷第5页，共3页
学科网（北京）股份有限公司19．如图，点D、E是 边 上的点， ，连接 ，交点为F，
，那么 的值是 ．
20．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，
BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 .
21．如图，已知 ， ， 是三个全等的等腰三角形，底边 ， ， 在同一直线上，
且 ， ， 分别交 ， ， 于 ， ， ，则 的长为 ．
22．如图，线段AB，AC是两条绕点A可以自由旋转的线段（但点A，B，C始终不在同一条直线上），已知
AB=5，AC=7，点D，E分别是AB，BC的中点，则四边形BEFD面积的最大值是 .
试卷第6页，共3页23．如图， 中， ， 分别在边 ， 上， ， 相交于点 ， ，点 为 中点，
则 的值是 ．
24．如图， 是 的中线，点E在 上， 交 于点F．若 ，则 ．
25．如图所示，在 中， ， 、 分别是 、 的中点，动点 在射线 上， 交 于
， 的平分线交 于 ，当 时， ．
26．如图矩形 中， ，点 分别在 边上，且 ，连
试卷第7页，共3页
学科网（北京）股份有限公司与 分别交于点 ．则 ．
27．如图，在矩形 中， ，E，F分别为 ， 边的中点．动点P从点E出发沿 向
点A运动，同时，动点Q从点F出发沿 向点C运动，连接 ，过点B作 于点H，连接 ．
若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段 长度的最小值为 ．
28．如图， 为矩形 的对角线， 平分 交 于点 ， 为 边的中点，连接 分别
交 ， 于点 ， ．若 ， ，则线段 的长为 ．
29．在 中， ， ， 是 中点，连接 ，过点 作 交 于
点 ，则 ．
30．如图，在 中， ，延长 到点D， ，点E是 的中点， 交
于点F，则 的面积为 ．
试卷第8页，共3页三、解答题
31．如图，在 中，对角线 和 相交于点O，在 的延长线上取一点E，连接 交 于点
F， ，求 的长度．
32．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2如图，在 中， 、 分别是边 、 的中点， 、 相交于点 ．
求证： ．
证明：连接 ．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
证明：连接 ．
结论应用：
试卷第9页，共3页
学科网（北京）股份有限公司（1）如图②，在 中， ， ， 、 分别是边 、 的中点， 、 相交
于点 ．若 ，则 ．
（2）如图③，在 中， 、 分别是边 、 的中点， 、 相交于点 ．过点G作
交AB于点F，如果 的面积是9，那么 的面积是 ．
33．已知：如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上， ，点 在边 上，
， 与 相交于点 ．
(1)求证： ．
(2)当点 为 的中点时，求证： ．
34．阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
(1)特例感知：如图（1），已知边长为2的等边 的重心为点 ，则 的面积为______；
(2)性质探究：如图（2），已知 的重心为点 ，对于任意形状的 ， 是不是定值，如果是，
请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；
(3)性质应用：如图（3），在任意矩形 中，点 是 的中点，连接 交对角线 于点 ，
的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由．
试卷第10页，共3页35．如图， 中， 为 边上的高， 的平分线 分别交 于点F，E．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的面积；
(3)若 ，求 的值．
36．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1
(1)求证： ；
(2)求BD的长，
37．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E、F是CD上的点．
（1）求证：△MEF∽△MBA；
（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．
38．如图，在 中，点E在 上， ， 和 相交于点F，过点F作 ，交
于点G．
(1)求 的值．
试卷第11页，共3页
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，
①求证： ．
②求证： ．
39．如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 ，且 ，连接 、
．
(1)求证：四边形 为矩形．
(2)若菱形 中， ， ，求 的长．
40．在 中，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， 交于点 ，且 ，
(1)求证： ：
(2)当 为边 的中点时，且 ，
①若 ，求 ；
②若 为等腰直角三角形，且 ，求四边形 的面积．
41．如图，四边形 为边长为8的正方形，点 为边 中点， ， 分别为边 ， 上两动点，
于 .
试卷第12页，共3页(1)求证： ；
(2)若点 为 中点，连接 并延长交 于点 ，求 的长．
42．如图， 中，点E是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)点G是线段 上一点，满足 ， 交 于点H，若 ，求 的长．
43．如图，在 中， 为 的中点， ， 与 分别相交于点 ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ， ．求 的长．
44．已知 是等边三角形， 是直线 上的一点．
(1)问题背景：如图 ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， 与 交于点 ，求证：
；
(2)点 ， 分别在边 ， 上， 与 交于点 ，且 ．
①尝试运用：如图 ，点 在边 上，且 ，求 的值；
②类比拓展：如图3，点 在 的延长线上，且 ，直接写出 的值．
试卷第13页，共3页
学科网（北京）股份有限公司45．[基础巩固]
(1)如图①，在 中， ， 于点 ，求证： ．
[尝试应用]
(2)如图②，在矩形 中， ，点 在 上， ， 于点 ，求 的长．
[拓展提高]
(3)如图③，在矩形 中，点 在边 上， 与 关于直线 对称，点 的对称点 在
边 上， 为 中点，连接 交 于点 ， ，若 ，求 的长．
46．如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，连接
交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求线段 的长度．
47．如图，在 中， ， ， 是线段 上的一点，连接 ，过点 作
，分别交 ， 于点 ， ，与过点A且垂直于 的直线相交于点 ，连接
(1)求证：
(2)若 是 的中点，求 的值．
试卷第14页，共3页(3)若 ，求 的值．
48．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容．
如图，在 中，D是边 的四等分点， ， ， ， ．求四边形 的
周长．
问题解决：请结合图1给出解题过程．
问题探究
（1）如图2，在 中，D是边 上的一点，过点D作 ，交 于点F，过点D作 ，
交 于点E，延长 至H，使 ，连接 交 于G．若 ． 的面积为2，则
的面积为______．
（2）如图3，在 中，D是边 上的一点，且 ，连接 ，E为 上一点，连接 交
于点F，若F为 的中点， 的面积为m，则 的面积为______（含m的代数式表示）．
49．探究题：
(1)特例感知：如图①，在 中， ，点D是 边上的中点， ，交 的延长线于
点E， ， ，则 度； 的长为 ；
(2)数学思考：如图②，在 中， ，点D是 边上的一点，且 ， ，
交 的延长线于点E， ， ．求 的度数和 的长．
试卷第15页，共3页
学科网（北京）股份有限公司(3)拓展应用：如图③，在四边形 中， ， ，对角线 相交于点E，
且 ， ， ．求 的长．
50．如图1，在正方形 中， 是 上一点，作 ，垂足为点 ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，延长 交 的延长线于点 ；
①如果 是 的中点，求 的值；
②如果 ，求 的长度．
51．如图，矩形 中， ． 是边 上一动点（不与点 重合），延长 到 ，使 ，
， 交于点 ，连接 并延长交 于点 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)探究：当点 运动时，点 的位置是否发生变化？请说明理由；
52．已知 是等边三角形，D是直线 上的一点．
试卷第16页，共3页(1)问题背景：如图1，点D，E分别在边 ， 上，且 ， 与 交于点 ，求证：
；
(2)点G，H分别在边 ， 上， 与 交于点 ，且 ．
①尝试运用：如图2，点D在边 上，且 ，求 的值；
②类比拓展：如图3，点D在 的延长线上，且 ，直接写出 的值．
53．综合与探究
(1)如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 上，且 ，则线段 与 的之间的数
量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形 中， ， ，点E，F分别在边 上，且 ，
请写出线段 与 的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在 中， ， ， ，D为 上一点，且 ，
连接 ，过点B作 于点F，交 于点E，求 的长．
54．【教材呈现】如图是苏科版版数学教材第86页的部分内容．
猜想：如图，在 中，点D、E分别是 与 的中点，根据画出的图形，可以猜想：
试卷第17页，共3页
学科网（北京）股份有限公司，且 ．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
(1)【定理证明】请根据教
材内容，结合图①，写出证明过程．
(2)【定理应用】如图②，四边形 中，M、N、P分别为 的中点，边 延长线交于
点E， ，则 ______．
(3)如图③，在 中， ， ，E、F分别为 上一点，M、N分别为 的
中点．当 时， ______．
55．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形 中，点 ， 分别是 、 上的两点，连接 ， ， ，求证
．
【类比探究】
(2)如图②，在矩形 中， ， ，点 是边 上一点，连接 ， ，且 ，求
的值．
【拓展延伸】
试卷第18页，共3页(3)如图③，在 中， ，点 在 边上，连接 ，过点 作 于点 ，
的延长线交 边于点 若 ， ， ，求 的值．
56．请阅读下列材料，非完成相应的任务．
利用辅助平行线求线段的比
三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是
两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接
利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅
助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．
举例：如图1， 是 的中线， ， 的延长线交 于点F．
求 的值．
下面是该题的部分解题过程：
解：如图2，过点D作 交 于点H．
∵ 是 的中线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
…
任务：
(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．
(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）
A．方程思想 B．转化思想 C．分类思想 D．整体思想
(3)请你换一种思路求 的值，直接写出辅助线的作法即可．
试卷第19页，共3页
学科网（北京）股份有限公司57．如图①在 中； 、 分别是边 、 的中点， 、 相交于点 ．
(1)结论应用：连接 ，结合图①，求证： ．
(2)在平行四边形 中，对角线 、 交于点 ， 为边 的中点 、 交于点 ．如图②，
若平行四边形 为菱形， ，且 ，求 的长．
(3)如图③，连接 交 于点 ，若四边形 的面积为 ，求平行四边形 的面积．
58．如图，在 中，直线 与边 相交于点D，与边 相交于点E，与线段 延长线相交于点
F．
(1)若 ， ，求 的值．
(2)若 ， ，其中 ，求 的值．
(3)请根据上述（1）（2）的结论，猜想 = (直接写出答案，不需要证明)．
59．【模型启迪】
（1）如图1，在 中， 为 边的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 ，则
与 的数量关系为______，位置关系为______；
试卷第20页，共3页【模型探索】
（2）如图2，在 中， 为 边的中点，连接 ， 为 边上一点，连接 交 于点 ，且
．求证： ；
【模型应用】
（3）如图3，在(2)的条件下，延长 至点 ，使 ，连接 ，交 的延长线于点 ．若
， ， ，求线段 的长．
60．阅读下面材料，完成以下两问：
数学课上，老师出示了这样一道题．如图， 中，D为 中点，且 ，M为 中点，连接
并延长交 于N．探究线段 之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段 之间存在某种数量关系”．
小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的”．
小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决”．
(1)小伟在探索时，做法为：过B作 交 延长线于Q，构造 ．
试卷第21页，共3页
学科网（北京）股份有限公司请你按照他的做法，判断 与 之间的数量关系为： ________
(2)如图（2）：延长 至H，使 ，连接 ，则结论： 是否成立？请说明理由；
(3)如图（3）,证明： ．
试卷第22页，共3页
