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模型介绍
对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含 90°与120°的两种对角
互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.
模型一、含90°的全等型
1.如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.
则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝ OC，
③ .
2.如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分
∠AOB.
则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝ OC，③ .模型二、 含60°与120°的全等型
如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.
则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③ .
例题精讲
【例1】．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，求BC+CD
的值．
变式训练
【变式1-1】．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是AB，BC上的点，连接
EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的长．【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂
足为E，直线EF交线段DC于点F，则 ＝_________
【例2】．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，∠DCB＝60°，AB+BC＝4，则
AC的长是 ．
变式训练
【变式2-1】．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角
线AC，BD交于点M，OM＝ ，则点C的坐标为 ．【变式2-2】．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在
AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ ．
【变式2-3】．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于
Q，连接BQ交AC于G，若AP＝ ，Q为CD中点，则下列结论：
①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；
其中正确结论是_________
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD＝
．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2 ，BC＝8，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD，且
∠DAC＝120°，则BD的长为 ．
3．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为
．
4．四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角
线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．5．如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O
点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并
求这个定值．
6．基本模型
在任意四边形中，出现一组对角互补，则为对角互补模型．
解题思路：
1．过互补角的顶点作旋转构造全等或相似；
2过互补角的顶点作双垂线构造全等或相似．
问题：
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC．
结论：①AD＝CD；②AB+BC＝ BD；③S四边形ABCD ＝ BD2
请证明【基本模型】中的结论．
求证：①AD＝CD；②AB+BC＝ BD；③S四边形ABCD ＝ BD2．7．如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；
（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．
若OC＝3，求四边形OECD的面积．
8．感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．
应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB﹣AC＝ （用含a的
代数式表示）
探究：9．问题提出：
（1）如图1，已知线段AB＝2，AC＝4，连接BC，则三角形ABC面积最大为 ；
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，若CD+BC＝10，求四边形ABCD
的面积；
问题解决：
（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，AC＝8，求四边形ABCD面积的最大值．10．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
（1）概念理解：
①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则∠A＝ °；
②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且BE•BC＝AB•BD，求证：四边形ADEC是互
补四边形．
（2）探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，AD＝BC，四边形
CEDH是互补四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝ ∠E．
11．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点 B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，探究PB与PQ所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：
过P点作PE⊥DC于E点，PF⊥BC于F点，
根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE＝PF，
再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
12．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边
作等边△AMN，连接CN．求证：BM＝CN．【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点 C），其它条件不变，
（1）中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，AB＝6，AC＝4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、
C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究BM与CN的数
量关系，并说明理由．
13．定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有 ；
（2）性质探究：
①如图1，四边形ABCD是奇异四边形，AB＝AD，求证：CA平分∠BCD；②如图2，四边形ABCD是奇异四边形，AB＝AD，∠BCD＝2 ，试说明：cos ＝ ；
（3）性质应用： α α
如图3，四边形ABCD是奇异四边形，四条边中仅有BC＝CD，且四边形ABCD的周长为6+2 ，
∠BAC＝45°，AC＝3 ，求奇异四边形ABCD的面积．
14．已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DB平分∠ADC．
（1）求证：AB＝BC；
（2）如图2，若∠ADB＝60°，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）得条件下，在AB上取一点E，BC上取一点F，连接CE、AF交于点M，连接
EF，若∠CMF＝60°，AD＝EF＝7，CD＝8（CF＞BF），求AE的长．15．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点
E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：
BE+CF＝ AB．
（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果
成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．
16．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．
（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与
CE的数量关系，并说明理由．以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：CD＝CE．
理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．
①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？
线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．
②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段
OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论
是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系．
17．在 O 中，弦 CD 平分圆周角∠ACB，连接 AB，过点 D 作 DE∥AB 交 CB 的延长线于点 E．
⊙（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若tan∠CAB＝ ，且B是CE的中点， O的直径是 ，求DE的长．
（3）P是弦AB下方圆上的一个动点，连接A⊙P和BP，过点D作DH⊥BP于点H，请探究点P在运动的
过程中，
的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．
18．（1）探究：如图1，在△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上．①求∠DCE的度数；
②直接写出线段CD，CE，AC之间的数量关系；
（2）应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P是四边形ABCD内一点，且∠APC
＝120°，求证：PA+PC+PD≥BD；
（3）拓展；如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴上一个动点，以AB
为边在AB的下方作等边△ABC，求OC的最小值．
19．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．
（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度数；
（2）如图2，四边形ABCD内接于 O，连接DO交AC于点E（不与点O重合），若E是AC的中点，
⊙求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；
（3）在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，交 O于点G，若 ＝ ，tan∠ABC＝ ，AC＝
12，求FG的长； ⊙
（4）如图3，四边形ABCD内接于 O，AB＝BC，BD为 O的直径，连接AO并延长交BC于点E，交
⊙ ⊙
O于点F，连接FC，设tan∠BAF＝x， ＝y，求y与x之间的函数关系式．
⊙
