文档内容
模型介绍
中点四边形模型
（1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形.
（2）矩形四条边中点连线所得到的四边形为菱形.
（3）菱形四条边中点连线所得到的四边形为矩形.
梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即
梯形的面积＝ ×2×中位线的长×高＝中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/6 19:20:46；用户：初中数学；邮箱：lsjycs@xyh.com；学号：30145887
例题精讲
考点一：中点四边形问题
【例1】．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是 9 ．
解：∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，
∴EF＝ AD＝2，FG＝ BC＝2.5，GH＝ AD＝2，EH＝ BC＝2.5，
∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+HE＝9，
故答案为：9．
变式训练
【变式1-1】．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、
BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EH＝FG＝ BC，EF＝GH＝ AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11．
故选：C．
【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA的中点，则EG2+FH2＝ 5 0 ．解：连接HG，EH，EF，FG，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG＝EF＝ AC＝4，EH＝FG＝ BD＝3，
∵E，H，是AB，AD中点，
∴HE∥BD，HE＝ BD，
同理FG∥BD，FG＝ BD，
∴四边形HEFG是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴HG⊥EH，
∴四边形HEFG为矩形，
∴EG2+FH2＝EF2+FG2+EF2+EH2＝52+52＝50，
故答案为：50考点二：梯形的中位线定理
【例2】．如图，在 ABCD中，BC＝4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG＝ 3
m． ▱
解：∵在 ABCD中，BC＝4m，E为AD的中点，∴ED＝ ×4＝2m；
▱
又∵F、G分别为BE、CD的中点，∴FG＝ （BC+ED）＝ ×（4+2）＝3（m）．
变式训练
【变式2-1】．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF
＝3，则梯形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．15
解：∵EF梯形的中位线，∴EF∥BC，AD+BC＝2EF＝6．
∴∠EPB＝∠PBC．
又因为BP平分∠EBC，所以∠EBP＝∠PBC，
∴∠EPB＝∠EBP，
∴BE＝EP，∴AB＝2EP．
同理可得，CD＝2PF，所以AB+CD＝2EF＝6．
则梯形ABCD的周长为6+6＝12．
故选：C．
【变式2-2】．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为 ，
△AOB的面积为S ，△COD的面积为S ，则 ＝ ．
1 2解：作BE∥AC，
∵AB∥CE，
∴CE＝AB，
∵梯形中位线为6.5，
∴AB+CD＝13，
∴DE＝CE+CD＝AB+CD＝13，
∵BE＝AC＝5，BD＝12，由勾股定理的逆定理，
得△BDE为直角三角形，即∠EBD＝∠COD＝90°，
设S△EBD ＝S
则S ：S＝DO2：DB2
2
S ：S＝OB2：BD2
1
∴ ＝
∵S＝12×5× ＝30
∴ ＝ ．
故本题答案为： ．1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO﹣EO＝3，则BC﹣AD
等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：∵EF是梯形ABCD是中位线，
∴EF∥BC∥AD．
∴OB＝OD．
∴BC＝2OF，AD＝2OE．
∴BC﹣AD＝2（FO﹣EO）＝2×3＝6．
故选：B．
2．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接
EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
解：连接EF、FG、GH、HE，
∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF＝ AC＝ ，FG＝ BD＝ ，GH＝ AC＝ ，HE＝ BD＝ ，
∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，
∴OE2+OH2＝EH2＝ ，
∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，
故选：A．
3．在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝11，①中A B 是连接两腰中点的线段，易知
1 1
A B ＝8，②中A B ，A B 是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A B +A B 的值…，照此
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2
规律下去，③中A B ，A B ，…A B 是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则 A B +A B +…
1 1 2 2 10 10 1 1 2 2
+A B 的值为（ ）
10 10
A．50 B．80 C．96 D．100
解：①中A B 是连接两腰中点的线段，易知A B ＝8；
1 1 1 1
②中A B ，A B 是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，根据梯形的中位线定理，得
1 1 2 2
A B +A B ＝2×8＝16，可知，在中位线两边离中位线距离相等的线段和为16；
1 1 2 2
③中A B ，A B ，…A B 是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则 A B +A B +…+A B 的值
1 1 2 2 10 10 1 1 2 2 10 10
为（A
1
B
1
+A
10
B 10）+（A
2
B
2
+A
9
B
9
）+（A
3
B
3
+A
8
B
8
）+（A
4
B
4
+A
7
B
7
）+（A
5
B
5
+A
6
B
6
）＝16+16+16+16+16＝
80．
故选：B．
4．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形
A B C D ，再顺次连接四边形A B C D 各边中点，得到四边形A B C D ，如此进行下去，得到四边形
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
A B D ．下列结论正确的是（ ）
n n n n
①四∁边形A B C D 是菱形；
4 4 4 4②四边形A B C D 是矩形；
3 3 3 3
③四边形A B C D 周长为 ；
7 7 7 7
④四边形A B D 面积为 ．
n n n n
∁
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
解：①连接A C ，B D ．
1 1 1 1
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A B C D ，
1 1 1 1
∴A D ∥BD，B C ∥BD，C D ∥AC，A B ∥AC；
1 1 1 1 1 1 1 1
∴A D ∥B C ，A B ∥C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴四边形A B C D 是平行四边形；
1 1 1 1
∵AC⊥BD，
∴A B ⊥A D ，
1 1 1 1
∴四边形A B C D 是矩形，
1 1 1 1
∴B D ＝A C （矩形的两条对角线相等）；
1 1 1 1
∴A D ＝C D ＝C B ＝B A （中位线定理），
2 2 2 2 2 2 2 2
∴四边形A B C D 是菱形；
2 2 2 2
∴四边形A B C D 是矩形；
3 3 3 3
∴根据中位线定理知，四边形A B C D 是菱形；
4 4 4 4
故①②正确；
③根据中位线的性质易知，A B ＝ A B ＝ A B ＝ A B ＝ AC，B C ＝ B C ＝ B C ＝ B C ＝
7 7 5 5 3 3 1 1 7 7 5 5 3 3 1 1
BD，
∴四边形A B C D 的周长是2× （a+b）＝ ，
7 7 7 7故③正确；
④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，
∴S四边形ABCD ＝ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形A B D 的面积是 ，
n n n n
∁
故④错误；
综上所述，①②③正确．
故选：A．
5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，点E，F，G，H分别
为AB，BC，CD，DA的中点，若AD＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为 ．
解：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
故可得：EF＝ AC，同理FG＝ BD，GH＝ AC，HE＝ BD，
在梯形ABCD中，AB＝DC，
故AC＝BD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
则EH∥BD，同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是正方形．
如图，连接EG．
在梯形ABCD中，
∵E、G分别是AB、DC的中点，
∴EG＝ （AD+BC）＝3．
在Rt△EHG中，
∵EH2+GH2＝EG2，EH＝GH，
∴EH2＝ ，即四边形EFGH的面积为 ．
6．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为 6 4 ．
解：过O作GH⊥BC于H，GH⊥AD于G．
∵∠1＝∠2＝45°，
∴OB＝OC，∠1＝∠BOH＝45°．
∴OH＝BH＝ BC．
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°．
∴∠AOG＝45°，AG＝OG．
∴GH＝OG+OH＝ （AD+BC）＝ ×16＝8．∴S梯形ABCD ＝EF•HG＝8×8＝64．
7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC，BD交于M，N两点，若EF＝18cm，MN
＝8cm，则AB的长等于 2 6 cm．
解：∵EF为梯形的中位线，且EF＝18cm，
∴AB+CD＝2×18＝36cm，EF∥AB∥CD．
∴AM＝CM，BN＝DN．
∴EM＝NF＝ CD＝ ＝5．
∴CD＝10
∴AB＝2EF﹣CD＝36﹣10＝26（cm）．
8．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：
①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝ ；⑤四边形EFGH
是菱形．
其中正确的是 ①③⑤ ．
解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF＝ CD，FG＝ AB，GH＝ CD，HE＝ AB，
∵AB＝CD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是矩形，错误；
③HF平分∠EHG，正确；
④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，
∴连接CD，延长EG到CD上一点N，
∴EN＝ BC，GN＝ AD，
∴EG＝ （BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；
⑤四边形EFGH是菱形，正确．
综上所述，①③⑤共3个正确．
故答案为：①③⑤
9．如图，在四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，且对角线AC⊥BD，AC：
BD＝4：3，AC+BD＝28，则MQ：QP＝ 4 ： 3 ，四边形MNPQ的面积是 4 8 ．
解：①∵AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，
∴AC＝16，BD＝12．
如图，∵M、Q分别是AD、CD的中点，
∴MQ是△ADC的中位线，
∴MQ＝ AC＝8．
同理，QP＝ BD＝6．
∴MQ：QP＝8：6＝4：3．故填：4：3；
②∵AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，
∴AC＝16，BD＝12．
∵点M、N分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴MN∥BD．
同理，PQ∥BD，MQ∥AC，NP∥AC，且
∴MN∥PQ，MQ∥NP，
∴四边形MNPQ是平行四边形．
又∵AC⊥BD，MQ⊥MN，
∴平行四边形MNPQ是矩形．
∴四边形MNPQ的面积是：MQ•PQ＝8×6＝48，即四边形MNPQ的面积是48．
故填：48．
10．如图，在四边形 ABCD 中，AC＝BD＝3，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则
EG2+FH2＝ 9 ．
解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝ BD＝ ，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF＝GH＝ AC＝ ，FG＝ BD＝ ，
∴EH＝EF＝GH＝FG＝ ，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG＝2OE，FH＝2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝ ，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝ ×4＝9，
∴（2OE）2+（2OH）2＝9，
即EG2+FH2＝9．
故答案为：9．
11．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形ABCD是矩形，取矩
形ABCD四条边的中点得到中点四边形A B C D ，再取四边形A B C D 四条边的中点得到中点四边形
1 1 1 1 1 1 1 1
A B C D ，…，按此规律继续下去，若矩形ABCD的面积为1，则得到的中点四边形A B D 的面积为
2 2 2 2 n n n n
∁
．
解：顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形A B C D ，则四边形A B C D 的面积为矩形ABCD面
1 1 1 1 1 1 1 1
积的 ，
顺次连接四边形 A B C D 四边的中点得到四边形 A B C D ，则四边形 A B C D 的面积为四边形
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C D 面积的一半，即为矩形ABCD面积的 ，
1 1 1 1
顺次连接四边形A B C D 四边的中点得四边形A B C D ，则四边形A B C D 的面积为四边形A B C D
2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2面积的一半，即为矩形ABCD面积的 ，
故中点四边形的面积等于原四边形的面积的一半，则四边形A B D 面积为矩形ABCD面积的 ，
n n n n
∁
又∵矩形ABCD的面积为1，
∴四边形A B D 的面积＝1× ＝ ，
n n n n
∁
故答案为： ．
12．如图，梯形中ABCD中，∠DBC＝30°， ， ，EF为梯形的中位线．求梯形的面积
及EF的长．
解：过D作DM∥AC，DM与BC的延长线交于点M，作DG⊥BM于G
∵四边形ACMD为平行四边形
∴AD＝CM，AC＝DM
在Rt△DBG中，∠DBG＝30°，
∴ ，BG＝18
在Rt△DGM中， ＝
∴BM＝BG+GM＝26，又BM＝BC+CM＝BC+AD
∴ BC）＝ ＝13，
S梯形ABCD ＝ +BC）×DG＝ ×26×6 ＝78 ．13．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，点F在AB上．CF＝BF，且CE⊥BC交AD于E，连接EF．已知
EF⊥CE，
（1）若CF＝10，CE＝8，求BC的长．
（2）若点E是AD的中点，求证：AF+DC＝BF．
解：（1）过点F作FH⊥BC于点H，
∵CE⊥BC，EF⊥CE，
∴四边形CEFH是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△CEF中，CF＝10，CE＝8，
∴EF＝6，
∴CH＝6，
∵CF＝BF，
∴BC＝2CH＝12；
（2）连接EH，交CF于点G，
∵四边形CEFH是矩形，
∴CG＝GF，EG＝GH，
∴EG是梯形ADCF的中位线，GH是△BCF的中位线，
∴EG＝ （AF+DC），GH＝ BF，
∴AF+DC＝BF．
14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）若AC＝8，求EG2+FH2的值．
（1）解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝ BD，EF＝HG＝ AC，
又∵AC＝BD，
∴EH＝FG＝EF＝HG，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）如图，设EG与HF交于点O．
由（1）知，四边形EFGH是菱形，则EG⊥FH，EG＝2OE，FH＝2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝16，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝16×4＝64，
∴（2OE）2+（2OH）2＝64，
即EG2+FH2＝64．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点
D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．（1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．
（2）若点C在第一象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求四边形OABC对角线OB长度的取值范围．
（3）若在点C运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动
至x轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长．
解：（1）四边形DEFG是菱形.
理由如下：如图1，连接AC，
∵D是OA的中点，G是OC的中点，
∴DG是△OAC的中位线，
∴DG∥AC，DG＝ AC，
同理可得：EF∥AC，EF＝ AC，
∴DG∥EF，DG＝EF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵OA＝4，OC＝2，A在x轴的正半轴上，C在y轴的正半轴上，
∴A（4，0），C（0，2），
又O（0，0），B（4，2），
∵D、E、G分别是OA、AB、OC的中点，
∴OD＝AD＝2，AE＝OG＝1，
∵∠DOG＝∠DAE＝90°，
∴△DOG≌△DAE（SAS），
∴DG＝DE，
∴ DEFG是菱形．
（▱2）如图2，∵四边形DEFG为菱形，
∴DG＝DE，
∵D、E、G分别是OA、AB、OC的中点，∴DE＝ OB，DG＝ AC，
∴OB＝AC，
当点C在y轴上时，AC＝ ＝ ＝2 ，
当点C在x轴上时，AC＝2，
∴2＜AC＜2 ，
∴2＜OB＜2 ．
（3）如图3，当四边形DEFG是正方形时，OB⊥AC，OB＝AC，
在y轴上取一点N，使ON＝OA＝4，连接BN，
∵∠BON+∠AOM＝∠AOM+∠CAO＝90°，
∴∠BON＝∠CAO，
∴△OBN≌△ACO（SAS），
∴BN＝OC＝2，
∴当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，点B的运动路径是：以N（0，4）为圆
心，2为半径的半圆，
∴点B的运动路径长为2 ．
π16．已知：在△ABC中，AB＝10．
（1）如图（1）所示，若点D，E分别是AC，CB的中点，则DE的长为 5 ；
（2）如图（2）所示，若点A ，A 把AC三等分，B ，B 把BC三等分，则A B +A B ＝ 1 0 ；
1 2 1 2 1 1 2 2
（3）如图（3）所示，若点A ，A ，…A 把AC边十一等分，B ，B ，…，B 把BC边十一等分，分别
1 2 10 1 2 10
交BC边于点B ，B ，…，B ．根据你发现的规律，写出A B +A B +…+A B 的结果为 5 0 ．
1 2 10 1 1 2 2 10 10
解：（1）DE＝ AB＝5．
故填5．
（2）设A B ＝x，则A B ＝2x．
1 1 2 2
∵A ，A 是AC的三等分点，
1 2
B ，B 是BC的三等分点，
1 2
故由梯形中位线定理，有x+10＝4x，解得x＝ ．
这时A B +A B ＝10．
1 1 2 2
故填10．（3）同理可求出A B +A B +A B ＝15．
1 1 2 2 3 3
A B +A B +A B +A B ＝20，…从而A B +A B +…+A B ＝50．
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 10 10
故填50．
17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．
若E 、F 分别是AB、DC的中点，则E F ＝ （AD+BC）＝ （a+b）；
1 1 1 1
若E ，F 分别是E B，F C的中点，则E F ＝ （E F +BC）＝ [ （a+b）+b]＝ （a+3b）；当E ，
2 2 1 1 2 2 1 1 3
F 分别是E B，F C的中点，则E F ＝ （E F +BC）＝ （a+7b）；若E F 分别
3 2 2 3 3 2 2 n n
是 E n﹣1 ，F n﹣1 的中点，根据上述规律猜想 E n F n ＝ ．
（n≥1，n为整数）
解：根据题意，得在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．
若E 、F 分别是AB、DC的中点，则E F ＝ （AD+BC）＝ （a+b）；
1 1 1 1
若E ，F 分别是E B，F C的中点，则E F ＝ （E F +BC）＝ [ （a+b）+b]＝ （a+3b）；
2 2 1 1 2 2 1 1
根据梯形中位线定理，推导可得E F ＝ [a+（2n﹣1）b]＝ [a﹣b+2nb]．
n n
18．请阅读下面知识：
梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线，叫做梯形的中位线．如图，E，F是梯形ABCD两腰AB，
CD的中点，则EF是梯形的中位线梯形中位线与两底长度的关系：梯形中位线长度等于两底长的和的一半如图：EF＝ （AD+BC）利用上面的知识，完成下面题目的解答已知：直线 l与抛物线M交于点
A，B两点，抛物线M的对称轴为y轴，过点A，B作x轴的垂线段，垂足分别为D，C，已知A（﹣1，
3），B（ ）
（1）求梯形ABCD中位线的长度；
（2）求抛物线M的解析式；
（3）把抛物线M向下平移k个单位，得抛物线M （抛物线M 的顶点保持在x轴的上方），与直线l的
1 1
交点为A ，B ，同样作x轴的垂线段，垂足为D ，C ，问此时梯形A B C D 的中位线的长度（设为h）
1 1 1 1 1 1 1 1
与原来相比是否发生变化？若不变，说明理由．若有改变，求出h与k的函数关系式．
解：（1）∵A（﹣1，3），B（ ）
∴AD＝3，BC＝ ，
∴梯形ABCD中位线＝ （AD+BC）＝ ×（3+ ）＝ ；
（2）设抛物线的解析式为y＝ax2+b（a≠0），
∵点A（﹣1，3），B（ ）在抛物线上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为：y＝2x2+1；
（3）∵抛物线M向下平移k个单位得抛物线M ，
1∴抛物线M 的解析式为y＝2x2+1﹣k，
1
∴ ，
解得x ＝ ，x ＝ （其中x ＜x ）
1 2 1 2
代入y＝﹣x+2得，y ＝﹣ +2，y ＝﹣ +2，
1 2
∴y +y ＝（﹣ ）+（﹣ ）＝ ，
1 2
∴梯形A B C D 的中位线长为 ，保持不变．
1 1 1 1
19．让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系．
第一步：数轴上两点连线的中点表示的数．自己画一个数轴，如果点A、B分别表示﹣2、4，则线段AB
的中点M表示的数是 1 ．再试几个，我们发现：数轴上连接两点的线段的中点所表示的数是这两
点所表示数的平均数．
第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第一象限内取两点A
（x ，y ），B（x ，y ），取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点
1 1 2 2
N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得
到点M的坐标是（ ， ）（用x ，y ，x ，y 表示），AEFB是矩形时也可以．
1 1 2 2
我们的结论是：平面直角坐标系中连接两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的
平均数．
第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角坐标系中画一个
平行四边形ABCD，设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），则其对角线交点Q的坐
1 1 2 2 3 3 4 4
标可以表示为 Q（ ， ），也可以表示为 Q（ ，
），经过比较，我们可以分别得出关于 x ，x ，x ，x 及，y ，y ，y ，y 的两个等式是 x + x ＝ x + x
1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4
和 y + y ＝ y + y ．我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的
1 3 2 4
和相等 ．解：第一步：故答案为：1，如图： ．
解：∵MN是梯形AEFB的中位线，AE∥BF，
∴E、F的横坐标分别是x ，x ，
1 2
由第一步得出：N和M的横坐标是： ，MN＝ ＝ ，即是M的纵坐标，
故答案为： ．
解：与第二步解法类似，根据平行四边形的性质得出 QA＝QC，QB＝QD，推出：（ ，
）或 ，
故答案为：（ ， ），（ ， ）．
解：由第三步推出x +x ＝x +x y +y ＝y +y ，
1 3 2 4 1 3 2 4
故答案为：x +x ＝x +x y +y ＝y +y ，和相等．
1 3 2 4 1 3 2 4
