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专题04 巧用中点解决几何问题
一、【知识回顾】
方法与技巧：中点问题常见辅助线做法
①遇到三角形边上的中点，考虑构造三角形的中位线
②遇到直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边的中线性质
③遇到等腰三角形底边的中点，考虑等腰三角形“三线合一”的性质
④遇到中点+垂线，角平分线+垂线，考虑垂直平分线的性质
⑤遇到面积类型题，考虑三角形中线平分面积
⑥遇到线段数量关系，考虑倍长中线构造全等三角形
二、【考点类型】
考点1：构造三角形的中位线
典例1：（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）如图， 中， ，点E是 的中点，
若 平分 ， ，线段 的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】A
【分析】延长 交 于F，利用“角边角”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可
得 ，再求出 并判断出 是 的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三
边并且等于第三边的一半可得 ．
【详解】解：如图，延长 交 于F，
∵ 平分 ，
∴∵
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∴ ，
又∵点E为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟
记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
【变式1】（2022秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学统考期末）如图，在 中， 平分 ，
于点E，点F是 的中点，若 ， ，则 的长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】分别延长 ， 交于点M，构造等腰 ，利用等腰三角形的“三线合一”的性质和三角
形中位线定理求解即可．
【详解】解：延长 ， 交于点M，∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵点F是 的中点， ，
∴ 为 中位线，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半是解题的关键．
【变式2】（2022春·全国·八年级假期作业）已知：如图，在 中，中线 交于点 分别是
的中点．
求证：（1） ；（2） 和 互相平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）利用三角形中位线定理即可得出FG=DE，且FG∥DE；
（2）由（1）的条件可以得出四边形DEFG为平行四边形，根据平行四边形的性质可以得出对角线 和
互相平分．
【详解】（1）在△ABC中，
∵BE、CD为中线
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE= BC．
在△OBC中，
∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG= BC．
∴DE∥FG
（2）由（1）知：
DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形．
∴ 和 互相平分
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确利用三角形中位线定理是
解题关键．
【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC
的中点，延长BC到点F，使CF＝ BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．
【答案】CD=EF，理由见解析．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE BC，然后证得四
边形DEFC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可说明．
【详解】解：结论：CD=EF．理由如下：
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE BC．
∵CF BC，
∴DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴CD=EF．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边
并且等于第三边的一半成为解答本题的关键．
考点2：直角三角形斜边的鹅中线
典例2：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在一块含 角的三角板（ ）的顶点 处
作 ，垂足为 ． 在 的右侧作 使 ，连接 ， 的延长线交 于 ． 设
， ，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质可得出 ,因为 可得出 ,又根据 可得出, ,最后根据外角的性质即可得出答案．
【详解】∵ 为等腰三角形， ，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ， ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
，
∴ ，
故选D.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，通过三角形外角的
性质证得 是解决问题的关键．
【变式1】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图， 中， ， ， ，
是 内部的一个动点，且满足 ，则线段 长的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】如图，取 的中点O，连接 ， ， ，根据直角三角形斜边中线的性质求出 ，根据勾
股定理求出 ，根据两点之间线段最短得到 即可解决问题．
【详解】解：如图，取 的中点O，连接 ， ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴PC的最小值为1，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在 中， ，由图中的尺规作图痕迹得
到的射线 与 交于点E，点F为 的中点，连接 ，若 ，则 的周长为（ ）
A． +1 B． +2 C．2 +2 D．2 +3
【答案】C
【分析】根据作图可知 平分 ，结合 ，由三线合一求出 长，根据勾股定理求出 长，
再根据直角三角形斜边中线的性质求出 长，即可解答．【详解】解：由作图可知， 平分 ，
∵ ， ，
， ，
，点F为 的中点，
，
的周长为：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出 边是解题
的关键．
【变式3】（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中， ，点E是AC的中点，
且
（1）尺规作图：作 的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若 ，且 ，证明： 为等边三角形．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出 的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到 并求出 ，再根据等腰三角
形三线合一性质得出 ，从而得到EF为中位线，进而可证 ， ，从而由有一个
角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．【详解】解：（1）如图，AF平分 ，
（2）∵ ，且 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵AF平分 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
又∵
∴ 为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握
等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．
考点3：等腰三角形三线合一性质
典例3：（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）如图所示， 中， ， 于点E，
于点D，交 于F．(1)若 ，求 的度数；
(2)若点F是 的中点，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）求得 的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得到 ， ，又易证
，即得出 ．
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 ，∵ ，且点F是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查四边形的内角和、三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，
合理转化角与角之间的关系．
【变式1】（2020·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图， 中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是
AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为 外接圆的圆
心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】 ，AD是 的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为 外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB
于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且
BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（ ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用“HL”证明
可得对应角 ,全等三角形对应边相等可得 ,然后求出 可
得出答案．
【详解】∵ 平分 ,
∴ 上任意一点到 、 的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确．
∵ , 平分 ，
∴ ，且 （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确．
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ≌ （HL），
∴ 故③正确， ，
∴ ，即 ，故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性
质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图所示，在 中， ，直线EF是AB
的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点， 的面积为12， ，则 周长的最小值是_______________．
【答案】8
【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长
=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线
时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AD，AM，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，
∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC， ，
∴ ，
∴AD=6，
∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，
故答案为：8．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当
A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．
考点4：垂直平分线性质
典例4：（2022·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，对角线AC与BD相交于点
O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）
A． B．2cm C． D．
【答案】D
【分析】由矩形的性质得出OA＝OD＝OC，再根据线段垂直平分线的性质得出OD＝CD，最后根据勾股定
理计算，即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝ AC，OD＝ BD，AC＝BD，CD＝AB＝4cm，
∴OA＝OD＝OC，
∵DE⊥AC，AE＝3CE，
∴OE＝CE ，∠DEA＝90°，
∴OD＝CD＝4cm，
∴OC＝OD＝CD＝4cm，
∴OE＝CE ＝2cm∴
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、垂直平分线的性
质，从而完成求解．
【变式1】（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形 中， ， ，对角线 的垂直平
分线 交 于点 、交 于点 ，则线段 的长为 __．
【答案】 ##7.5
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明 BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，
求出EF即可． △
【详解】解：如图：
四边形 是矩形，
，又 ， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，又 ，
，，
，
解得， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，
在 和 中，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直
角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．
【变式2】（2020·江西·统考中考真题）如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点 ，
若 ，则 的度数为__________．【答案】
【分析】如图，连接 ，延长 与 交于点 利用等腰三角形的三线合一证明 是 的垂直平分
线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到： 从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，延长 与 交于点
平分 ， ，
是 的垂直平分线，
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
【变式3】（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在四边形 中， ，对角线 的垂直平分线
与边 、 分别相交于 、 ．（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的周长．
【答案】（1）见解析；（2）52
【分析】（1）先证明 ，得到四边形 为平行四边形，再根据菱形定义证明即可；
（2）先根据菱形性质求出OB、OM、再根据勾股定理求出BM，问题的得解．
【详解】（1）∵ ，∴ ．
∵ 是对角线 的垂直平分线，
∴ ， ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形．
又∵ ，
∴四边形 为菱形．
（2）∵四边形 为菱形， ， ．
∴ ， ， ．
在 中， ．
∴菱形 的周长 ．
【点睛】本题考查了菱形判定与性质定理，熟知菱形判定方法和性质定理是解题关键．
考点5：中线平分面积
典例5：（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图， 的面积为 ， 垂直 的平分线 于 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 交 于 ，根据 垂直 的平分线 于 ，即可求出 ，又知
和 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形 的面积．
【详解】解：延长 交 于 ，
∵ 垂直 的平分线 于 ，
，
又知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 等底同高，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质．证明出三角形PBC的面积和原三角形
的面积之间的数量关系是解题的关键．
【变式1】（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在 中， 平分 ， 于点P，已知 的面积为 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长 交 于 ，根据角平分线的定义得到 ，由垂直的定义得到
，根据全等三角形的性质得到 ，进而求得答案．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，
平分 ，
，
，
，
在 与 中，
，
≌ ，
，
， ，
阴影部分的面积 ．
故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用三角形的中线求面积，角平分线的定义，垂直的定义，
熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2021秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD
平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【答案】C
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S ，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
ADC
△
【详解】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S ABE＝ S ABH，S CDH＝ S ABH，
△ △ △ △
∵S OBD−S AOE＝S ADB−S ABE＝S ADH−S CDH＝S ACD，
△ △ △ △ △ △ △
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为 ×3×3＝4.5．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想
思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
【变式3】（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平行四动形纸板 中，点 ， ， 分别为 ，
， 的中点，连接 ， ， ．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的
概率为 ________．
【答案】 ##0.375
【分析】先求出S BED = S ABD，S BFD = S CBD，S BOF= S BFD= S CBD ，再根据S ABD=
△ △ △ △ △ △ △ △
S CBD= ，即可得答案．
△
【详解】解：∵ E为AB的中点，
∴S BED = S ABD，
△ △
∵F为CD的中点，
∴S BFD = S CBD，
△ △
∵O为BD的中点，
∴S BOF= S BFD= S CBD ，
△ △ △∵S ABD= S CBD= ，
△ △
∴S = S BED+ S BOF = + = ，
阴影
△ △
∴飞镖落在阴影部分的概率为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，概率的求法，解题的关键是三角形中线的性质的灵活运用．
考点6：倍长中线，构全等
典例6：（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， 是 边上的中
线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根
据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到 的取值范围．
【详解】如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，
∵ 是 边上的中线，∴ ，
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD △CDE（SAS），
∴AB＝CE=5，AD＝DE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，
∴4＜AE＜14，
∴2＜AD＜7．
故选：C．
【点睛】本题主要考查倍长中线法解题，能够做出辅助线证出三角形全等再结合三角形三边关系是解题关
键．
【变式1】（2021秋·河南信阳·八年级校考期中）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝
AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S ACE﹣2S BCE＝
△ △
S ADC；其中正确结论的个数是（ ）
△
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】在AE取点F，使EF=BE．利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出2AE=AB+AD；②在AB
上取点F，使BE=EF，连接CF．先由（SAS）证明 ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、
等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角△定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根
据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由
于 CEF≌△CEB， ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S ACE﹣2S BCE＝S ADC．
【△详解】解：①在△ AE取点F，使EF＝BE， △ △ △∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，
∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，
∴AD＝AF，
∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE ，
∴AE＝ （AB+AD），故①正确；
②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．
在 ACD与 ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，
∴△△ACD≌△A△CF，
∴∠ADC＝∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠B．
又∵∠AFC+∠CFB＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠DAB+∠DCB＝360﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正确；
③由②知， ACD≌△ACF，∴CD＝CF，
又∵CF＝CB△，
∴CD＝CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，
所以S ACE﹣S BCE＝S ACE﹣S FCE＝S ACF，
△ △ △ △ △
又∵△ACD≌△ACF，∴S ACF＝S ADC，
△ △
∴S ACE﹣S BCE＝S ADC，故④错误；
△ △ △
即正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，
邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ，D为边AB的中
点，E、F分别为边AC、BC上的点，且 ， 若 ， ，则 ______ ，
线段AB的长度 ______．
【答案】 45
【分析】延长FD到M使得 ，连接AM、EM，作 于N，先证明 ，在
中求出EM，再证明 是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，延长FD到M使得 ，连接AM、EM，作 于N．
，
，
， ，
， ，
， ，，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
，
在 中， ， ，
，
， ．
故答案为45， ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，解题的突破口是
添加辅助线构造 以及倍长中线构造全等三角形．
【变式3】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝
90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使 AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________．
△【答案】120°
【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN
的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解．
【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N
如图所示，此时△AMN的周长最小
∵∠ABM=90°
∴∠EBM=90°
在△AMB和△EMB中
∴△AMB≌△EMB
∴∠BEM=∠BAM
∴∠AMN=2∠BAM
同理可得：△AND≌△FDN
∴∠NAD=∠NFD
∴∠ANM=2∠NAD
设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y
∵∠BAD=120°
∴
解得：
即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．
巩固训练
一、单选题
1．（2020秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，延长BE
交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，则AF的长度为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【分析】延长AD到G使DG=AD，连接BG，通过SAS证明△ACD≌△GBD，根据全等三角形的性质可得到
∠CAD=∠G，AC=BG，等量代换得到BE=BG，由等腰三角形的性质得到∠G=∠BEG，推出EF=AF即可得解决问
题．
【详解】解：如图，延长AD到G使DG=AD，连接BG，∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
在△ACD与△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD=∠G，AC=BG，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠G=∠BEG，
∵∠BEG=∠AEF，
∴∠AEF=∠EAF．
∴EF=AF，
∴AF+CF=BF-EF= BF-AF，
即AF+6=9-AF，
∴AF=1.5．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用中点作辅助线构造全等三
角形是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，点 是 的中点，则 的长为（ ）．A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM
的长．
【详解】解：延长BE交CD延长线于P，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECP，
在△AEB和△CEP中，
∴△AEB≌△CEP（ASA）
∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，
∴PD=2，
∵
∴
∴BE＝ BP＝ ．
故选：C．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股
定理求出BP．3．（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
▱
且∠BAD＝45°，AD＝3，则 ABCD的对角线AC的长为（ ）
▱
A． B．5 C．5 D．2
【答案】A
【分析】过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，根据菱形的性质可知BC＝BD＝AD＝3，由∠BAD＝
45°可知∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，依据勾股定理，在Rt△ABD中，AB＝ AD＝ ，由∠CBF＝
∠DAB＝45°，∠F＝90°得出FC＝FB＝ ，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可求出AC＝ ．
【详解】解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，
∵在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
▱
∴BC＝BD＝AD＝3，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴Rt△ABD中，AB＝ AD＝ ，
∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°，
∴∠BCF＝45°，
∴FC＝FB＝ ，
∴Rt△ACF中，，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性
质．．
4．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应 、3，作腰长为
4的等腰 ，连接 ，以O为圆心， 长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（ ）
A． B．4 C． D．2.5
【答案】A
【分析】先利用数轴的性质，得到 ，再根据等腰三角形的性质得到 ， ，
由勾股定理得到 ，最后利用画法得到 ，即可得到答案．
【详解】解： 为数轴原点，A，B两点分别对应 、3，
，
是腰长为4的等腰三角形，
， ，
，
以O为圆心， 长为半径画弧交数轴于点M，
，
点M对应的实数为 ，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关
键．
5．（2023秋·广东惠州·八年级校考期末）如图，在 中， ， 于点 ， 为
的中点， 为 上一动点．若 腰上的中线长是3．则 周长的最小值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】连接 ，则 的长度即为 与 和的最小值，求出 的长，可得结论．
【详解】解：如连接 ，与 交于点 ，此时 最小
，
是等腰三角形， 是中线，
于点 D ，
为 的中点，
，
，
，
即 的长就是 的最小值，
， ，
的最小值是3，
周长的最小值 ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，解题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．6．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图， ， ， ， ，点D是BC
的中点，将 沿AD翻折得到 ，连结BE，则线段BE的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】延长AD交CE于点O，过点A作 于H，根据 运用勾股定理求出BC的长，利用
的面积求出AH的长，证明AD垂直平分线段CE，运用 与 面积相等求出OC的长，推
出CE的长，证明 是直角三角形，在 中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】延长AD交CE于点O，过点A作 于点H，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴AD垂直平分线段CE，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
在 中， ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，直角三角形的斜边中线，勾股定理等，解题的关键是添加辅助线，熟
练掌握翻折性质，直角三角形的斜边中线的性质，三线合一，勾股定理解直角三角形，面积法求高．
7．（2023秋·四川雅安·九年级校考期中）如图，在 中，点 分别是边 的中点，点
是线段 上的一点，连接 ， ，且 ， ，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题意，直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半，中位线 等于 的一半，相减即可求
得 的长．
【详解】解：∵点 分别是边 的中点， ，
∴ ，
∵ ，且 ，
又∵点 是边 的中点，∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟悉以上性质是解
题的关键．
8．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在 中， ，将 绕顶点C顺时针旋转
得到 ，D是 的中点，连接BD，若 ， ，则线段 的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】连接 ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知 ，在 中，利用三角形三边
关系可得 的最大值．
【详解】解：如图，连接 ，
在 中， ， ， ，则 ，
∴ ，
由旋转可知， ，
∵D是 的中点，∴ ，
在 中，利用三角形三边关系可得 ，（当 ， ， 三点共线时取等号）
∴ ，
∴ 的最大值为4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了含 的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系，
旋转的性质等知识，掌握几何最值的求解方法是解题的关键．
9．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在 中，中线 、 相交于点O，连接 ，
则 的面积与 的面积比是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据 、 是 的中线，得到 是 的中位线，进而得到 ，进
而推出 ，相似比为 ，根据面积比等于相似比的平方，即可得解．
【详解】解：∵ 、 是 的中线，即D、E是 和 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查三角形的中位线，相似三角形的判断和性质．熟练掌握三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．
10．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形 中， 与 不平行， ， 分别是
、 的中点， ， ，则 的长可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边
的一半可得 ， ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边得出 ，
即可得出结果
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，
点 ， 分别是 、 的中点，
是 的中位线， 是 的中位线，
， ，
，
由三角形的三边关系， ，
，
，
；故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系；根据不等关系考虑作辅助线，构造成以
为一边的三角形是解题的关键．
11．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正 中， ， ，连接 ，若M、N分
别为线段 、 的中点，则线段 的长度等于（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】连接 并延长到 ，使 ，连接 ，证明 ，可得 ，
，过点 作 于点 ，根据含30度角的直角三角形可得 和 的长，再利用勾股
定理可得 的长，然后根据三角形中位线定理可得 的长．
【详解】解：如图，连接 并延长到 ，使 ，连接 ，
是正三角形，
，
为线段 的中点，
，
在 和 中，
，，
， ，
，
，
过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
、 分别为线段 、 的中点，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解
决本题的关键是构造辅助线得到 ，熟练利用中位线定理．
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形 中， ，点
E、F分别是边 的中点，连接 ，则 的长是（ ）
A． B．5 C． D．10【答案】B
【分析】取 的中点G，连接 ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出
，并求出 ，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，取 的中点G，连接 ，
∵E、F分别是边 的中点，
∴ 且 ，
且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构
造出直角三角形是解题的关键．
13．（2022秋·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，射线 射线CD， 与 的平分线
交于点E， ，点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点 给出下列结论：
是直角三角形； ； 设 ， ，则y关于x的函数表达式是
，其中正确的是A． B． C． D．
【答案】A
【分析】①正确．由AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA=180°，由∠ACE= ∠DCA，∠CAE= ∠BAC，即可推出
∠ACE+∠CAE= （∠DCA+∠BAC）=90°，延长即可解决问题;
②正确．首先证明AC=AK，再证明△QCE≌△PKE，即可解决问题;
③正确．只要证明AP+CQ=AC即可解决问题．
【详解】解：如图延长CE交AB于K．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°，
∵∠ACE= ∠DCA，∠CAE= ∠BAC，
∴∠ACE+∠CAE= （∠DCA+∠BAC）=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CK，△AEC是直角三角形，故①正确，
∵∠QCK=∠AKC=∠ACK，
∴AC=AK，
∵AE⊥CK，
∴CE=EK，
在△QCE和△PKE中，
，
∴△QCE≌△PKE，
∴CQ=PK，S△ =S△ ，
QCE PEK
∴S =S△ =2S△ ，故②正确，
四边形APQC ACK ACE∵AP=x，CQ=y，AC=4，
∴AP+CQ=AP+PK=AK=AC，
∴x+y=4，
∴y=-x+4（0≤x≤4），故③正确，
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形 中，点E，G分别在 ， 边上，且
， ，连接 、 ， 平分 ，过点C作 于点F，连接 ，若正方形
的边长为4，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长 交 于H，利用已知条件证明 ，然后利用全等三角形的性质证明
，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：延长 交 于H，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
∵ ，正方形的边长为4，
∴ ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形中位线的性质，具有
一定的综合性，解题关键是作出辅助线，利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定理求
解．
15．（2023春·八年级课时练习）如图，在 ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到
F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（ ）A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【分析】过点C作 交BF于点H，由此可得∠A＝∠ECH，∠EBA＝∠EHC，再根据EB＝EA可得∠A＝
∠EBA，进而可得AC＝BH＝22，结合DF＝DB＝16可得BF＝32，DH＝6，FH＝10，再利用垂直平分线的性质
可得BC＝CF，进而可得∠F＝∠CBE，再结合∠A＝2∠CBE，∠EHC＝∠HCF＋∠F可得CH＝FH＝10，最后利
用勾股定理计算即可求得答案．
【详解】解：如图，过点C作 交BF于点H，
∵ ，
∴∠A＝∠ECH，∠EBA＝∠EHC，
∵EB＝EA，
∴∠A＝∠EBA，
∴∠ECH＝∠EHC，
∴EC＝EH，∴EC＋EA＝EH＋EB，
即AC＝BH＝22，
又∵DF＝DB＝16，
∴BF＝BD＋DF＝32，DH＝BH－BD＝6，
∴FH＝BF－BH＝32－22＝10，
∵CD⊥BF，DF＝DB，
∴BC＝CF，
∴∠F＝∠CBE，
又∵∠A＝2∠CBE，
∴∠EHC＝∠ECH＝2∠F，
又∵∠EHC＝∠HCF＋∠F，
∴∠HCF＋∠F＝2∠F，
∴∠HCF＝∠F，
∴CH＝FH＝10，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，垂直平分线的性质以及勾股
定理的应用，根据题意作出正确的辅助线并能熟练运用相关图形的性质是解决本题的关键．
二、填空题
16．（2020·天津·中考真题）如图， 的顶点C在等边 的边 上，点E在 的延长线上，
G为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为_______．
【答案】
【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角
形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG= ，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M， ， ，
平行四边形 的顶点C在等边 的边 上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形 中， ， ，
又 是等边三角形，
，
．
G为 的中点， ，
是 的中点，且 是 的中位线，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利
用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出 是 的中位线是解题的关键．
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y
轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是_____．【答案】
【分析】如图，在y轴上取一点 ，连接 ， ，由勾股定理求出 =5，由三角形中位线定理
求 =2OP，当C在线段 上时， 的长度最小值=5-2-3，当C在线段 延长线上时， 的长度最
大值=5+2=7，即可求解．
【详解】如图，在y轴上取一点 ，连接 ， ，
∵B（0，3）， ，A（4，0），
∴ ， ，
∴ ，
∵点P是BC的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
当C在线段 上时， 的长度最小值为：5-2=3，
当C在线段 延长线上时， 的长度最大值为：5+2=7，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是
解答本题的关键．18．（2022春·九年级课时练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC
与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
【答案】
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中
位线定理求得OF= BC= DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是 的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF= BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF= DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的
关键．
19．（2022·天津·统考中考真题）如图，已知菱形 的边长为2， ，E为 的中点，F
为 的中点， 与 相交于点G，则 的长等于___________．
【答案】
【分析】连接FB，作 交AB的延长线于点G．由菱形的性质得出 ，
，解直角 求出 ， ，推出FB为 的中位线，进而求出FB，利
用勾股定理求出AF，再证明 ，得出 ．
【详解】解：如图，连接FB，作 交AB的延长线于点G．∵四边形 是边长为2的菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ，即点B为线段EG的中点，
又∵F为 的中点，
∴FB为 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，即 是直角三角形，
∴ ．
在 和 中，
，‘
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的性质，相似三角
形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角 是解题的关键．
20．（2021·甘肃武威·统考中考真题）如图，在矩形 中， 是 边上一点，
是 边的中点， ，则 ________ ．
【答案】6
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解
即可得到答案．
【详解】解： 是 边的中点， ，
矩形 ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌
握锐角三角函数的应用是解题的关键．21．（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形 ， ， ，点 在 轴正半轴上，点
在 轴正半轴上．当点 在 轴上运动时，点 也随之在 轴上运动，在这个运动过程中，点 到原点
的最大距离为 __．
【答案】 ##
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，由勾股定理可求 的长，由直角三角形的性质可求
的长，由三角形的三边可求解．
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ， ，
矩形 ， ， ，
， ，
点 是 的中点，
，
，
，点 是 的中点，
，
在 中， ，
当点 在 上时， ，的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当
辅助线构造三角形是解题的关键．
22．（2022秋·九年级单元测试）如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意
一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点对称，当线段 最短
时，点 的坐标为______．
【答案】
【分析】连接OP，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP= AB，当OP最短时，AB最短，
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接OP．
∵PA⊥PB，OA=OB，
∴OP= AB，当OP最短时，AB最短．
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM= =3，
∴AB的最小值为2OP=6．
∵点 、点 关于原点对称，
∴OA=OB=3，
∴点A的坐标为 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形
斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．
24．（2023秋·江西宜春·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC
上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．
【答案】
【分析】根据题意，AM= EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM= AP，当AP最小时，AM
有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．
【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= =5，
∴BC边上的高h= ，
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF的中点，
∴AM= EF，
∴AM= AP，
∴当AP最小时，AM有最小值，
根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，
∴AP的最小值为 ，
∴AM的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形
的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
26．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，
B，C在第一象限，反比例函数 的图象经过点C， 的图象经过点B．若 ，则
________．
【答案】3
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证
Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA= 即可．
平行四边形
【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴ ，即 ，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数 的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD= ，
∴S OCBA=4S△OCD=2，
平行四边形
∴S△OBA= ，
∴S△ =S△ +S△ = ，
OBE OBA ABE
∴ ．
故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，
三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．
27．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，已知 ， 是角平分线且 ，作 的垂
直平分线交 于点F，作 ，则 周长为________．
【答案】
【分析】知道 和 是角平分线，就可以求出 ， 的垂直平分线交 于点F可以
得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到
．
【详解】解： 的垂直平分线交 于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵ ， 是角平分线
∴
∵
∴ ，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性
质是解题的关键．
28．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分
AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．【答案】1
【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则
CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．
【详解】解：连接AG，EG，如图，
∵HG垂直平分AE，
∴AG=EG，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，
∵点E是CD的中点，
∴CE=4，
设BG=x，则CG=8-x，
由勾股定理，得
EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，
∴（8-x）2+42=82+x2，
解得：x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直
平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键．
29．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别为BC，AD，BE，CE的中
点，则△AFG的面积是_____．【答案】
【分析】根据三角形中线的性质可得 ，从而得到
， ，然后连接BG，可得 ，进而得到
，即可求解．
【详解】解：∵点D，E，F，G分别为BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD为△ABC的中线，AF为△ABE的中线，AG为△ACE的中线，BE为△ABD的中线，CE为△ACD的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，连接BG，
∵G为CE的中线，
∴ ，
∵点F为BE的中点，
∴ ，∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的
两部分．
30．（2022春·江苏无锡·七年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在 中，点D在BC上，点E
是AD的中点，点F在BE上，且 ，若 ，则 ________．
【答案】30
【分析】根据三角形的面积公式，利用 得到 ，进而得到 ，再利用点
E是AD的中点得到 ， ，进而得到 ，从而得到 的
值．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ．
点E是AD的中点，
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即 ；三角形
的中线将三角形分成面积相等的两部分．理解等底同高的三角形面积相等是解答关键．
三、解答题
31．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于
点D，点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；
(3)求证：CE＝ AB．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，求出CD；
（2）根据题意得到BD﹣AD＝2DE，根据勾股定理计算即可证明；
（3）延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，证明△AEF≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠B＝
∠EAF，AF＝BC，再证明△ACF≌△CAB，得到CF＝AB，证明结论．
【详解】（1）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴SABC＝ AC•BC＝ AB•DE，即 ×3×4＝ ×5×CD，
△解得：CD＝ ；
（2）证明：∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BD﹣AD＝（BE+DE）﹣（AE﹣DE）＝BE﹣AE+2DE＝2DE，
∵CD⊥AB，
∴BC2＝BD2+CD2，AC2＝AD2+CD2，
∴BC2﹣AC2＝（BD2+CD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣AD2＝（BD+AD）（BD﹣AD）＝AB•2DE＝2DE•AB；
（3）证明：延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（SAS），
∴∠B＝∠EAF，AF＝BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝∠EAF+∠CAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ACB＝90°，
∵AC＝CA，
∴△ACF≌△CAB（SAS），
∴CF＝AB，
∵CF＝2CE，
∴CE＝ AB．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
32．（2021春·广西南宁·八年级南宁市第四十七中学校考期中）已知：如图，在 中， ，
为 的中点， 、 分别在 、 上，且 于 .求证： .
【答案】详见解析
【分析】通过倍长线段 ，将 、 、 转化到 中，再证 为直角三角形.
【详解】延长 至 ，使 ，连结 、 ，
， ，
，
， ，
，
， ，
，
又 ， ，
，
.
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关
键.
33．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证
得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据
AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是： ；
②思路二的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，
不需要写出证明过程）．
【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析
【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝
∠BFG，从而证明结论．
②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一
步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG
＝BF，即可得出结论．
【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中， ，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；
②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．
理由如下：∵BG＝BF，
∴∠G＝∠BFG，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFG，
∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中， ，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∴AC＝BF；
故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：
则∠G＝∠CAD，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中， ，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有
四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．
34．（2022·山西朔州·八年级校考期末）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在
中， ， ，则 ．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图（1），作 边上的中线 ，得到结论：① 为等边三角形；② 与 之间的数量关
系为_________．
（2）如图（2）， 是 的中线，点D是边 上任意一点，连接 ，作等边 ，且点P在
的内部，连接 ．试探究线段 与 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边 延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段 与 之间存在怎样的数量
关系？直接写出答案即可．
【答案】（1） ；（2） ，证明详见解析；（3）
【分析】（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；
（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；
（3）结论不变，证明方法类似．
【详解】（1） ，
，，
为 边上的中线，
，
是等边三角形，
．
（2） ．
证明：如图，连接 ，
都是等边三角形，
，
，
，
，
．
，
．
，
；
（3）当点D为边 延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证 ．
【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分
线的性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
35．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD平分 ， 且平分BC，
于E， 于F．(1)证明： ；
(2)如果 ， ，求AE、BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=4，BE=1
【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证
Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知
BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
【详解】（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵ 且平分BC，
∴BD=CD，∵AD平分 ， 于E， 于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分 ， 于E， 于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分
线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
36．（2022秋·北京海淀·九年级101中学校考期末）已知：如图，在 中， ，D是BC的中
点．以BD为直径作 ，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．（1）求证：AD是 的切线；
（2）若PC是 的切线， ，求PC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；
（2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得 ，
最后利用勾股定理求出PC的长．
【详解】（1）证明：∵AB ＝ AC，
D是BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是⊙O直径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.
∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD ＝ DC＝4，
OD＝OP ＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC是⊙O的切线，O为圆心，
∴ ．
在Rt△OPC中，
由勾股定理，得
OC2 ＝ OP2 + PC2∴PC2 ＝ OC2－OP2
＝ 62－22
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些
性质是解决本题的关键．
