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专题04 巧用中点解决几何问题
一、【知识回顾】
方法与技巧：中点问题常见辅助线做法
①遇到三角形边上的中点，考虑构造三角形的中位线
②遇到直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边的中线性质
③遇到等腰三角形底边的中点，考虑等腰三角形“三线合一”的性质
④遇到中点+垂线，角平分线+垂线，考虑垂直平分线的性质
⑤遇到面积类型题，考虑三角形中线平分面积
⑥遇到线段数量关系，考虑倍长中线构造全等三角形
二、【考点类型】
考点1：构造三角形的中位线
典例1：（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）如图， 中， ，点E是 的中点，
若 平分 ， ，线段 的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式1】（2022秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学统考期末）如图，在 中， 平分 ，
于点E，点F是 的中点，若 ， ，则 的长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2022春·全国·八年级假期作业）已知：如图，在 中，中线 交于点 分别是
的中点．求证：（1） ；
（2） 和 互相平分．
【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC
的中点，延长BC到点F，使CF＝ BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．
考点2：直角三角形斜边的鹅中线
典例2：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在一块含 角的三角板（ ）的顶点 处
作 ，垂足为 ． 在 的右侧作 使 ，连接 ， 的延长线交 于 ． 设
， ，则下列式子成立的是（ ）A． B．
C． D．
【变式1】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图， 中， ， ， ，
是 内部的一个动点，且满足 ，则线段 长的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式2】（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在 中， ，由图中的尺规作图痕迹得
到的射线 与 交于点E，点F为 的中点，连接 ，若 ，则 的周长为（ ）
A． +1 B． +2 C．2 +2 D．2 +3
【变式3】（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中， ，点E是AC的中点，
且
（1）尺规作图：作 的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若 ，且 ，证明： 为等边三角形．考点3：等腰三角形三线合一性质
典例3：（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）如图所示， 中， ， 于点E，
于点D，交 于F．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若点F是 的中点，求证： ．
【变式1】（2020·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图， 中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是
AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则 外接圆的面积为（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB
于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且
BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（ ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图所示，在 中， ，直线EF是AB
的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点， 的面积为12， ，则 周长的最
小值是_______________．
考点4：垂直平分线性质
典例4：（2022·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，对角线AC与BD相交于点
O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）A． B．2cm C． D．
【变式1】（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形 中， ， ，对角线 的垂直平
分线 交 于点 、交 于点 ，则线段 的长为 __．
【变式2】（2020·江西·统考中考真题）如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点 ，
若 ，则 的度数为__________．
【变式3】（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在四边形 中， ，对角线 的垂直平分线
与边 、 分别相交于 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；（2）若 ， ，求菱形 的周长．
考点5：中线平分面积
典例5：（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图， 的面积为 ， 垂直 的平分
线 于 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在 中， 平分 ， 于
点P，已知 的面积为 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2021秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD
平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【变式3】（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平行四动形纸板 中，点 ， ， 分别为 ，
， 的中点，连接 ， ， ．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的
概率为 ________．
考点6：倍长中线，构全等
典例6：（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， 是 边上的中
线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2021秋·河南信阳·八年级校考期中）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝
AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S ACE﹣2S BCE＝
△ △
S ADC；其中正确结论的个数是（ ）
△
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ，D为边AB的中
点，E、F分别为边AC、BC上的点，且 ， 若 ， ，则 ______ ，
线段AB的长度 ______．【变式3】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝
90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使 AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________．
△
巩固训练
一、单选题
1．（2020秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，延长BE
交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，则AF的长度为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，点 是 的中点，则 的长为（ ）．A．2 B． C． D．3
3．（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
▱
且∠BAD＝45°，AD＝3，则 ABCD的对角线AC的长为（ ）
▱
A． B．5 C．5 D．2
4．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应 、3，作腰长为
4的等腰 ，连接 ，以O为圆心， 长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（ ）
A． B．4 C． D．2.5
5．（2023秋·广东惠州·八年级校考期末）如图，在 中， ， 于点 ， 为
的中点， 为 上一动点．若 腰上的中线长是3．则 周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图， ， ， ， ，点D是BC
的中点，将 沿AD翻折得到 ，连结BE，则线段BE的长为（ ）A．2 B． C． D．
7．（2023秋·四川雅安·九年级校考期中）如图，在 中，点 分别是边 的中点，点
是线段 上的一点，连接 ， ，且 ， ，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在 中， ，将 绕顶点C顺时针旋转
得到 ，D是 的中点，连接BD，若 ， ，则线段 的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
9．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在 中，中线 、 相交于点O，连接 ，
则 的面积与 的面积比是（ ）A． B． C．2 D．4
10．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形 中， 与 不平行， ， 分别是
、 的中点， ， ，则 的长可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
11．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正 中， ， ，连接 ，若M、N分
别为线段 、 的中点，则线段 的长度等于（ ）
A． B． C． D．3
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形 中， ，点
E、F分别是边 的中点，连接 ，则 的长是（ ）
A． B．5 C． D．10
13．（2022秋·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，射线 射线CD， 与 的平分线
交于点E， ，点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点 给出下列结论：
是直角三角形； ； 设 ， ，则y关于x的函数表达式是
，其中正确的是A． B． C． D．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形 中，点E，G分别在 ， 边上，且
， ，连接 、 ， 平分 ，过点C作 于点F，连接 ，若正方形
的边长为4，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023春·八年级课时练习）如图，在 ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到
F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题
16．（2020·天津·中考真题）如图， 的顶点C在等边 的边 上，点E在 的延长线上，
G为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为_______．17．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y
轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是_____．
18．（2022春·九年级课时练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC
与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
19．（2022·天津·统考中考真题）如图，已知菱形 的边长为2， ，E为 的中点，F
为 的中点， 与 相交于点G，则 的长等于___________．
20．（2021·甘肃武威·统考中考真题）如图，在矩形 中， 是 边上一点，
是 边的中点， ，则 ________ ．21．（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形 ， ， ，点 在 轴正半轴上，点
在 轴正半轴上．当点 在 轴上运动时，点 也随之在 轴上运动，在这个运动过程中，点 到原点
的最大距离为 __．
22．（2022秋·九年级单元测试）如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意
一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点对称，当线段 最短
时，点 的坐标为______．
24．（2023秋·江西宜春·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC
上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．
26．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数 的图象经过点C， 的图象经过点B．若 ，则
________．
27．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，已知 ， 是角平分线且 ，作 的垂
直平分线交 于点F，作 ，则 周长为________．
28．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分
AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
29．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别为BC，AD，BE，CE的中
点，则△AFG的面积是_____．30．（2022春·江苏无锡·七年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在 中，点D在BC上，点E
是AD的中点，点F在BE上，且 ，若 ，则 ________．
三、解答题
31．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于
点D，点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；
(3)求证：CE＝ AB．
32．（2021春·广西南宁·八年级南宁市第四十七中学校考期中）已知：如图，在 中， ，
为 的中点， 、 分别在 、 上，且 于 .求证： .33．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证
得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据
AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是： ；
②思路二的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，
不需要写出证明过程）．
34．（2022·山西朔州·八年级校考期末）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在中， ， ，则 ．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图（1），作 边上的中线 ，得到结论：① 为等边三角形；② 与 之间的数量关
系为_________．
（2）如图（2）， 是 的中线，点D是边 上任意一点，连接 ，作等边 ，且点P在
的内部，连接 ．试探究线段 与 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边 延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段 与 之间存在怎样的数量
关系？直接写出答案即可．
35．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD平分 ， 且平分BC，
于E， 于F．(1)证明： ；
(2)如果 ， ，求AE、BE的长．
36．（2022秋·北京海淀·九年级101中学校考期末）已知：如图，在 中， ，D是BC的中
点．以BD为直径作 ，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是 的切线；
（2）若PC是 的切线， ，求PC的长．
