文档内容
模型介绍
要求证平行四边形的存在，得先了解平行四边形的性质：
（1）对应边平行且相等. （2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：
（1）对边平行且相等可转化为： ，
可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．
D
A
yD-yC
yA-yB
C xD-xC
B xA-xB
（2）对角线互相平分转化为： ，可以理解为AC的中点也是BD的中点．
D
A
C
B
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：
，
→ ．
当AC和BD为对角线时，结果可简记为： （各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系
中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
反例如下：
D
B
M
A
C
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的
转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．
（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
【题型分类】
1．三定一动
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是
平行四边形．
y
D
1
y
C
D
C 2
B
B A
A
O D x
O x 3
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：
（1）BC为对角线时， ，可得 ；
（2）AC为对角线时， ，解得 ；
（3）AB为对角线时， ，解得 ．
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如： ， ， ．（此处特指点的横纵坐标相加减）
2.两定两动
已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行
四边形，求C、D坐标．
y
B
A
O x
【分析】
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．
（1）当AB为对角线时， ，解得 ，故C（4，0）、D（0，3）；
（2）当AC为对角线时， ，解得 ，故C（2，0）、D（0，-1）；
（3）当AD为对角线时， ，解得 ，故C（-2，0）、D（0，1）．
y y y
D
B B B
A D
A A
O C x O C x C O x
D
【动点综述】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐
标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或
者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出 4个点坐标．若把一个字母称
为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有 2个未知量．
究其原因，在于平行四边形两大性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
但此两个性质统一成一个等式： ，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在 2个未
知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
例题精讲
考点一：二次函数背景下的平行四边形存在性问题
【例1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（﹣6，0）两点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以B、Q、C、P为顶点
的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式训练【变1-1】．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3与x轴交于
A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是经过（1，0）且与y轴平行的直线，点P是抛物线上的
一点，点Q是y轴上一点；
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若tan∠PCB＝ ，求点P的坐标．
考点二：二次函数背景下的菱形存在性问题
【例2】．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛
物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是
菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练
【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y
＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；
若没有，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐
标．
考点三：二次函数背景下的矩形存在性问题【例3】．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接
BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接
写出点Q的坐标．
变式训练
【变3-1】．如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、
BC．
（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面
积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点 K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为
边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
考点四：二次函数背景下的正方形存在性问题
【例4】．已知O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），有点C
（﹣2，6）．
（1）求A，B两点的坐标．（2）若点D（1，﹣3），点E在线段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延长ED交y轴于点F，求△EFO的
面积．
（3）若M在直线AC上，点Q在抛物线上，是否存在点M和点N，使以Q，M，N，A为顶点的四边形
是正方形？若存在，直接写出M点的坐标．若不存在，请说明理由．
变式训练
【变4-1】．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是
抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直
线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
1．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝
8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点，连接AC，过点P作PE∥y轴，与AC交于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PC∥AB时，求点P的坐标；
（3）用含x的代数式表示PE的长，并求出当PE的长取最大值时对应的点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存
在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，
0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存
在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接
AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC
于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点 N
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四
边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣ x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其
中A（﹣4 ，0），B（4 ，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转
180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数解析式；
（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点
P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；
若不能，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线AD下方抛物线上一动点，连接FA，FD，求△FAD面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4 个单位，得到新的抛物线
y ，点E为点F的对应点，点P为y 的对称轴上任意一点，在y 上确定一点Q，使得以点D，E，P，Q
1 1 1
为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
6．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+mx+4经过点A，且与x轴的另一
个交点为点B．连接BC，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠BCO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点P为第一象限内的抛物线上一点，若以点
C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．7．如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B
在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求
点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明
理由．
8．如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B
（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为
F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，点E为抛物线在直
线AD下方的一个动点，连接AE、DE，问：△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最
大值和点E的坐标．若不存在，请说明理由．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上一动点，若以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
请直接写出点P的坐标（至少写两个）．10．如图，一次函数y＝ x﹣ 图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝ x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使
得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣ x2+ x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物
线的对称轴与x轴交于点D．（1）点B与点D的坐标；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP ＝
S△ABC ，求m的值；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点 H，使B、C、K、H为顶点的四边形成
为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知
△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为
G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间
的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动
过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），且A（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝﹣ +3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对
称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存
在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明
理由．
14．如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C
坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小位置也随着改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左
侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为 时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩
形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，已知二次函数y＝﹣ x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝ x+3经过
A、B两点．
（1）求b、c的值．
（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段
PD的最大值．
（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得
以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 G的坐标；若不存在，请说明
理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A在y轴上，BC边与x轴重合，过C点作AB的垂线
分别交AB和y轴于点D、H，AB＝HC，线段OB、OC（OB＜OC）的长是方程x2﹣6x+8＝0的根．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P是线段BC上的一动点，点Q是线段OA上的一动点且2BP＝3OQ，设BP＝t，△OPQ的面积
为S，请求出S与t的函数关系；
（3）在（2）的条件下，在平面上是否存在一点 M，使得以P，Q，O，M为顶点的四边形是正方形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴交于A、B、C三点，过点B的直线与抛物线交于另一点E，若经
过A、B、E三点的 M满足∠EAM＝45°．
（1）求直线BE的解⊙析式；
（2）若D点是直线BE下方的抛物线上一动点，连接BD和ED，求△BED面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩
形，若存在，请直接写出Q点坐标．19．如图，直线y＝ x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A，C两点，与x轴
的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S ，△BCE
1
的面积为S ，求 的最大值；
2
（3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点 B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1，平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），点B坐标是（3，0），点P是抛物线的顶点．
（1）请直接写出二次函数的表达式及顶点P的坐标；
（2）如图2，设二次函数图象的对称轴PH与x轴交于点H，
①连接AC，BC，CP，点D为对称轴PH上的一点，且△CDP与△ABC相似，求点D的坐标；
②点M为对称轴PH上一点且在x轴下方，在x轴负半轴上有一点E，在y轴负半轴上有一点F，且满
足OF＝4EO＝4MH，已知点N在抛物线上，以E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写
出点E的坐标．21．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点
C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线y＝ 与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB
上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG ＝ S△OEG 时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，
且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式，并写出x为何值时y＝0．
（2）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【提示】①以AB为边时，求点M的坐标．②以AB为对角线时，求点M的坐标．23．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y＝﹣ +bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点
为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所
有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）24．如图所示，抛物线与x轴相交于A，B两点（B在A的右边），与y轴相交于点C（0，﹣3），点M
（1，﹣4）为抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN，CN，当△BNC是以BN，NC为腰的等腰三
角形时，求点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B，C，D，G为顶点的
四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P，E，O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A
（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横
坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的 时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点
M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存
在，请说明理由．26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是
抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是 时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，
D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说
明理由．27．综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，
且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为 ，点M的坐标为 ，cos∠ABO＝ ；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为
；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直
接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
