文档内容
模型介绍
要求证平行四边形的存在，得先了解平行四边形的性质：
（1）对应边平行且相等. （2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：
（1）对边平行且相等可转化为： ，
可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．
D
A
yD-yC
yA-yB
C xD-xC
B xA-xB
（2）对角线互相平分转化为： ，可以理解为AC的中点也是BD的中点．
D
A
C
B
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：
，
→ ．
当AC和BD为对角线时，结果可简记为： （各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系
中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
反例如下：
D
B
M
A
C
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的
转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．
（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
【题型分类】
1．三定一动
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是
平行四边形．
y
D
1
y
C
D
C 2
B
B A
A
O D x
O x 3
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：
（1）BC为对角线时， ，可得 ；
（2）AC为对角线时， ，解得 ；
（3）AB为对角线时， ，解得 ．
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如： ， ， ．（此处特指点的横纵坐标相加减）
2.两定两动
已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行
四边形，求C、D坐标．
y
B
A
O x
【分析】
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．
（1）当AB为对角线时， ，解得 ，故C（4，0）、D（0，3）；
（2）当AC为对角线时， ，解得 ，故C（2，0）、D（0，-1）；
（3）当AD为对角线时， ，解得 ，故C（-2，0）、D（0，1）．
y y y
D
B B B
A D
A A
O C x O C x C O x
D
【动点综述】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐
标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或
者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出 4个点坐标．若把一个字母称
为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有 2个未知量．
究其原因，在于平行四边形两大性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
但此两个性质统一成一个等式： ，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在 2个未
知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
例题精讲
考点一：二次函数背景下的平行四边形存在性问题
【例1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（﹣6，0）两点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以B、Q、C、P为顶点
的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A（2，0），B（﹣6，0）代入抛物线y＝ax2+bx+6得：
，解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ x2﹣2x+6；
（2）存在点P，使得以B、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵y＝﹣ x2﹣2x+6＝﹣ （x+2）2+8，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
在y＝﹣ x2﹣2x+6中，令x＝0得y＝6，
∴C（0，6），
设P（m，﹣ m2﹣2m+6），Q（﹣2，t），
又B（﹣6，0），
①以CP，QB为对角线，则CP，QB的中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴P（﹣8，﹣10）；
②以CQ，PB为对角线，则CQ，PB中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴P（4，﹣10）；
③以CB，PQ为对角线，则CB，PQ中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴P（（﹣4，6）；综上所述，点P的坐标为（﹣4，6）或（﹣8，﹣10）或（4，﹣10）．
变式训练
【变1-1】．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3与x轴交于
A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是经过（1，0）且与y轴平行的直线，点P是抛物线上的
一点，点Q是y轴上一点；
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若tan∠PCB＝ ，求点P的坐标．
解：（1）当y＝0时，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3＝0，
解得x ＝ ，x ＝3，即A（ ，0）B（3，0），
1 2
由A，B关于x＝1对称，得
＝﹣1，解得m＝2，
即A（﹣1，0），
函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由四边形ABPQ是平行四边形，得
PQ∥AB，PQ＝AB＝4，
当PQ＝4，即x＝4时，y＝5，即P（4，5）；
当x＝﹣4时，y＝21，即P（﹣4，21），
AB为对角线，A（﹣1，0），B（3，0），
设P（a，a2﹣2a﹣3），Q（0，n），则，
解得 ，
P（2，﹣3）．
综上所述：四边形ABPQ是平行四边形P（4，5），（﹣4，21），（2，﹣3）；
（3）如图
，
过P作PQ⊥x轴于Q，交CB延长线于R，过P作PH⊥BC于H，
设P（m，m2﹣2m﹣3），
∵抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，
∴x＝0，则y＝﹣3；
y＝0，则0＝x2﹣4x+3，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
故直线BC解析式：y＝x﹣3，
∴R（m，m﹣3），PR＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m，
∵OB＝OC＝3，
∴∠CBQ＝135°，∴∠HPR＝45°，
∵CO＝OB，
∴∠OCR＝45°，
∴CR＝ OQ＝ m，
∴PH＝RH＝PR÷ ＝ m（m﹣3），
又∵CR＝ OQ＝ m，
∴CH＝ m+ m（m﹣3）＝ m（m﹣1）
由tan∠PCB＝ ＝ ＝ ，
解得：m＝5，
则m2﹣2m﹣3＝12，
故P（5，12）．
当点P在直线BC的下方时，同法可得： ＝ ，
解得m＝ 或0（舍弃），
∴P（ ，﹣ ），
综上所述，满足条件点P坐标为（5，12）或（ ，﹣ ）．
考点二：二次函数背景下的菱形存在性问题
【例2】．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛
物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是
菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．
如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．
∵AP＝BP，
∴△PBC周长的最小值是AC+BC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝3 ，BC＝ ．
∴△PBC周长的最小值是：3 + ．
抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∴P（1，2）；
（3）存在．
设P（1，t），Q（m，n）
∵A（3，0），C（0，3），
则AC2＝32+32＝18，
AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，
PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图2，
∴t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝3± ，
∴P （1，3﹣ ），P （1，3+ ），
1 2
∵四边形ACPQ是菱形，
∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，
当P （1，3﹣ ）时，
1
∴ ＝ ， ＝ ，
解得：m＝4，n＝﹣ ，
∴Q （4，﹣ ），
1
当P （1，3+ ）时，
2
∴ ＝ ， ＝ ，
解得：m＝4，n＝ ，
∴Q （4， ），
2
②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图3，
∴t2﹣6t+10＝t2+4，
解得：t＝1，∴P （1，1），
3
∵四边形APCQ是菱形，
∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合，
∴ ＝ ， ＝ ，
解得：m＝2，n＝2，
∴Q （2，2），
3
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图4，
∴t2+4＝18，
解得：t＝± ，
∴P （1， ），P （1，﹣ ），
4 5
∵四边形ACQP是菱形，
∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，
∴ ＝ ， ＝ ，
解得：m＝﹣2，n＝3 ，
∴Q （﹣2，3+ ），Q （﹣2，3﹣ ），
4 5
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q （4，﹣ ），Q （4， ），Q （2，2），Q （﹣2，
1 2 3 4
3+ ），Q （﹣2，3﹣ ）．
5变式训练
【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y
＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；
若没有，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐
标．解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．
∴点A的坐标为（﹣3，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x ）（x﹣x ），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
1 2
∴y＝a（x+3）（x﹣1）．
∵点C的坐标为（0，﹣1），
∴﹣3a＝﹣1，得a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ x 2+ x﹣1；
（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，
则点F的坐标为（m， m 2+ m﹣1）
∴y＝（m+3）﹣（ m 2+ m﹣1）＝﹣ m 2+ m+4
即y＝ （m﹣ ） 2+ ，
此时点E的坐标为（ ， ）；
（3）点G的坐标为（2，1），（﹣2 ，﹣2 ﹣1），（2 ，2 ﹣1），（﹣4，3）．
理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．
∴EG垂直平分CD
∴点E的纵坐标y＝ ＝1，
将y＝1代入y＝x+3，得x＝﹣2．
∵EG关于y轴对称，∴点G的坐标为（2，1）；
②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝
DE，构造菱形CDEG
设点E的坐标为（n，n+3），
点D的坐标为（0，3）
∴DE＝ ＝ ∵DE＝DC＝4，
∴ ＝4，解得n ＝﹣2 ，n ＝2 ．
1 2
∴点E的坐标为（﹣2 ，﹣2 +3）或（2 ，2 +3）
将点E向下平移4个单位长度可得点G，
点G的坐标为（﹣2 ，﹣2 ﹣1）（如图2）或（2 ，2 ﹣1）（如图3）
③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，
设点E的坐标为（k，k+3），点C的坐标为（0，﹣1）．
∴EC＝ ＝ ．
∵EC＝CD＝4，
∴2k2+8k+16＝16，
解得k ＝0（舍去），k ＝﹣4．
1 2
∴点E的坐标为（﹣4，﹣1）
将点E上移4个单位长度得点G．
∴点G的坐标为（﹣4，3）．
综上所述，点G的坐标为（2，1），（﹣2 ，﹣2 ﹣1），（2 ，2 ﹣1），（﹣4，3）．考点三：二次函数背景下的矩形存在性问题
【例3】．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接
BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 2 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接
写出点Q的坐标．
解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
，
解得 ，
∴ ，自变量x为全体实数；
（2）由（1）得：C（0， ），D（2， ），
∴CD＝ ，
故答案为2 ；
（3）∵B（5，0），C（0， ），
∴直线BC的解析式为： ，
设E（x， ），且0＜x＜5，
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x， ），
∴EF＝ ﹣（ ）＝ ，
∴ ，
当x＝ 时，S△BCE 有最大值为 ；（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0， ），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得： ，
解得： ，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即： ，
解得y＝4或y＝﹣ ，
∴n＝ 或n＝4，
∴Q（3， ）或Q（3，4），
若BP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得 ，解得 ，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即： ，
解得y＝ ，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得 ，
解得： ，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即： ，
解得n＝ ，
∴Q（﹣3，﹣ ），
综上，点Q的坐标为（3， ）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣ ）．
变式训练
【变3-1】．如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、
BC．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面
积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点 K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为
边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，
∴S△ABC ＝ ×5×4＝10；
（2）存在，理由如下：
∵四边形ABPC的面积为18，S△ABC ＝10，
∴△BCP的面积为8，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入，得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
过P点作PM⊥x轴，交BC于点M，
设P（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t+4），
∴S△BCP ＝ ×4×PM＝2（﹣t2+3t+4+t﹣4）＝2（﹣t2+4t）＝8，
∴t＝2，
∴P（2，6）；
（3）存在，理由如下：
设Q（m，﹣m2+3m+4），当m＞0时，如图1，
∵矩形是以BC为边，
∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，
过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，
∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCQ＝∠GBK＝45°，
∴△CHQ≌△BGK（AAS），
∴HC＝HQ＝BG＝GK，
∴m＝﹣m2+3m+4﹣4，
∴m＝2或m＝0（舍），
∴HQ＝2，
∴K（6，2）；
当m＜0时，如图2，
∵矩形是以BC为边，
∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，
设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，
过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，
∵∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°，
∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°，
∵KC＝BQ，CF＝HB，
∴FK＝QH，
∴△QHG≌△KFE（AAS），
∴QG＝HG＝EF＝EK，
∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），
∴m＝﹣2或m＝4（舍），
∴GQ＝2，
∴K（﹣6，﹣2）；
综上所述，K点的坐标为（﹣6，﹣2）或（6，2）．考点四：二次函数背景下的正方形存在性问题
【例4】．已知O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），有点C（﹣2，6）．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）若点D（1，﹣3），点E在线段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延长ED交y轴于点F，求△EFO的
面积．
（3）若M在直线AC上，点Q在抛物线上，是否存在点M和点N，使以Q，M，N，A为顶点的四边形
是正方形？若存在，直接写出M点的坐标．若不存在，请说明理由．
解：（1）令x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，
∵A（4，0），B（﹣1，0）；
（2）过点B作BG⊥AC，过点E作EH⊥OA，
设E（m，0），
∵C（﹣2，6），D（1，﹣3），
AC＝6 ，AD＝3 ，BC＝ ，
由△ABC的面积可得，5×6＝6 BG，
∴BG＝ ，
由△ADE的面积可得，3|4﹣m|＝3 EH，
∴EH＝ |4﹣m|，
∵∠ACB＝∠ADE
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴2m2﹣41m+57＝0，
∴m＝ 或m＝19，
∵点E在线段OA上，
∴E（ ，0），
则ED的直线解析式为y＝6x﹣9，
∴F（0，﹣9），∴△EFO的面积＝ ×OE×OF＝ × ×9＝ ；
（3）直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
∴∠CAO＝45°，
设M（t，﹣t+4），
如图1：当AC为正方形QAMN边时，M点与N点关于x轴对称，
∴N（t，t﹣4），
∴M、N的中点为（t，0），
∴A、Q中点也为（t，0），
∴Q（2t﹣4，0），
∵点Q在抛物线上，
∴2t﹣4＝﹣1，
∴t＝ ，
∴M（ ， ）；
如图2：当M、Q关于x轴对称时，M（0，4），此时Q（0，﹣4）在抛物线上；
如图3：当Q（0，﹣4）时，M（8，﹣4）；
如图4：当Q（﹣1，0）时，M（﹣1，5）；
综上所述：M（ ， ）或M（0，4）或M（8，﹣4）或M（﹣1，5）．变式训练
【变4-1】．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是
抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直
线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴ ，
解得， ，
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图1，连接BC，CD．
由题意，C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），
∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，
当∠Q′BC＝90′时，∠ABQ′＝45°，
∴EB＝EQ′＝2，
∴Q′（1，﹣2），
当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，4）或（1，﹣2）．
（3）如图2中，设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），
∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，
当2﹣a＝﹣a2+2a+3时，
整理得，a2﹣3a﹣1＝0，
解得，a＝ ，
当2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）时，
整理得，a2﹣a﹣5＝0，解得，a＝ ，
∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（ ，0），（ ，0），
（ ，0），（ ，0）．
1．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝
8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点，连接AC，过点P作PE∥y轴，与AC交于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PC∥AB时，求点P的坐标；
（3）用含x的代数式表示PE的长，并求出当PE的长取最大值时对应的点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存
在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵OA＝2OC＝8OB，
∴OA＝8，OB＝1，
∴A（﹣8，0），B（1，0），
将A、B代入y＝ax2+bx﹣4，得
，
∴ ，
∴y＝ x2+ x﹣4；
（2）当PC∥AB时，P点的纵坐标为﹣4，
∴ x2+ x﹣4＝﹣4，
∴x＝0或x＝﹣7，
∵P点在第三象限，
∴P（﹣7，﹣4）；
（3）设AC的直线解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴y＝﹣ x﹣4，
设P（x， x2+ x﹣4），则E（x，﹣ x﹣4），
∴PE＝﹣ x﹣4﹣（ x2+ x﹣4）＝﹣ x2﹣4x＝﹣ （x+4）2+8，
∴当x＝﹣4时，PE有最大值8，
此时P（﹣4，﹣10）；
（4）存在点Q，使得以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设Q（m，n），
①当AC为对角线时，AC的中点为（﹣4，﹣2），PQ的中点为（ ， ），
∴﹣4＝ ，﹣2＝ ，
∴m＝﹣4，n＝6，
∴Q（﹣4，6）；
②当AP为对角线时，AP的中点为（﹣6，﹣5），CQ的中点为（ ， ），
∴﹣6＝ ，﹣5＝ ，
∴m＝﹣12，n＝﹣6，
∴Q（﹣12，﹣6）；
③当AQ为对角线时，AQ的中点为（ ， ），CP的中点为（﹣2，﹣7），
∴ ＝﹣2， ＝﹣7，
∴m＝4，n＝﹣14，
∴Q（4，﹣14）；
综上所述：以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q点坐标为（﹣4，6）或（﹣12，﹣6）
或（4，﹣14）．
2．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存
在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得 ，
解得 ，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线 AC 的表达式为 y＝kx+b，把 A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入 y＝kx+b′．得
，
解得 ，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣ ＜0，∴当m＝﹣ 时，MN有最大值 ．
②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣ m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣ m，
解得m＝﹣3+ 或0（舍弃）
∴MN＝3 ﹣2，
∴CQ＝MN＝3 ﹣2，
∴OQ＝3 +1，
∴Q（0，﹣3 ﹣1）．
如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q
（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有，m2+3m＝﹣ m，
解得m＝﹣3﹣ 或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝3 +2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝3 ﹣1，
∴Q（0，3 ﹣1）．
当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3 ﹣1）或（0，﹣1）或（0，3 ﹣1）．
3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接
AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC
于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点 N
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四
边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①当AC＝AN时，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t ＝2，t ＝0（不合题意，舍去），
1 2
∴点N的坐标为（2，1）；
②当AC＝CN时，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t ＝ ，t ＝﹣ （不合题意，舍去），
1 2
∴点N的坐标为（ ，3﹣ ）；
③当AN＝CN时，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝ ，
∴点N的坐标为（ ， ）；
综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（ ，3﹣ ）或（ ， ）；
（3）设E（1，a），F（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3 ，
①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，∴（3 ）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝ ，或a＝ ，
∴E（1， ）或（1， ），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+ ＝0+3或n+ ＝0+3，
∴m＝2，n＝ 或n＝ ，
∴点F的坐标为（2， ）或（2， ）；
②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3 ）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3 ）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），
综上所述：存在，点F的坐标为（2， ）或（2， ）或（4，1）或（﹣2，1）．
4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣ x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4 ，0），B（4 ，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转
180° ， 得 到 新 的 抛 物 线 C' ．
（1）求抛物线C的函数解析式；
（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点
P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；
若不能，请说明理由．
解：（1）由题意把点A（﹣4 ，0），B（4 ，0），代入y＝﹣ x2+bx+c中，
得： ，
解得： ，
∴抛物线C的函数解析式为：y＝﹣ x2+8；
（2）如图1，由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣8），
设抛物线C′的解析式为：y＝ （x﹣2m）2﹣8，由 ，
消去y得到： ，
∵抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
∴ ，
解得： ，
∴满足条件的m的取值范围为：4＜m＜4 ；
（3）结论：四边形PMP'N能成为正方形．
理由：情形1，如图2，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（4，4），
当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP'N是正方形，
∴PF＝FM，∠PFM＝90°，
∵∠PEF＝∠FHM＝90°，
∴∠PFE+∠FPE＝90°，∠PFE+∠MFH＝90°，
在△PFE和△FMH中，
∴ ，
∴△PFE≌△FMH（AAS），
∴PE＝FH＝4，EF＝HM＝4﹣m，
∴M（m+4，m﹣4），
∵点M在y＝﹣ x2+8上，
∴m﹣4＝﹣ （m+4）2+8，
解得 或 （舍），
∴m＝﹣6+2 时，四边形PMP'N是正方形．情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣4，4﹣m），
把M（m﹣4，4﹣m）代入y＝﹣ x2+8中，4﹣m＝﹣ （m﹣4）2+8，
解得m＝12或m＝0（舍去），
∴m＝12时，四边形PMP′N是正方形．
综上，四边形PMP′N能成为正方形，m＝﹣6+2 或12．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线AD下方抛物线上一动点，
连接FA，FD，求△FAD面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4 个单位，得到新的抛物线
y ，点E为点F的对应点，点P为y 的对称轴上任意一点，在y 上确定一点Q，使得以点D，E，P，Q
1 1 1
为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得 ，
∴ ，∴y＝x2﹣3x﹣4，
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴点C（0，﹣4），
∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝ ，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，
设F（m，m2﹣3m﹣4），
作FH∥y轴交直线AD于H，
∴H（m，﹣m﹣1），
∴FH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）
＝﹣m2+2m+3，
∴S△AFD ＝S△AFH +S△DFH ＝ ＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，
当m＝﹣ ＝1时，S△AFD 最大为8，
（3）∵直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴沿AD方向平移 ，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
∵F（1，﹣6），
∴E（5，﹣10），
抛物线y＝x2﹣3x﹣4平移后y ＝x2﹣11x+20，
1
∴抛物线y 的对称轴为：直线x＝ ，
1当DE为平行四边形的边时：
若D平移到对称轴上F点，
则Q的横坐标为 ，
代入y ＝x2﹣11x+20得y＝﹣ ，
1
∴Q（ ，﹣ ），
若E平移到对称轴上F点，
则Q的横坐标为 ，
代入y ＝x2﹣11x+20得y＝ ，
1
∴Q（ ，﹣ ），
若DE为平行四边形的对角线时，
若E平移到对称轴上F点，
则Q平移到D点，
∴Q的横坐标为 ，
代入y ＝x2﹣11x+20得y＝﹣ ，
1
∴Q（ ，﹣ ），∴Q（ ）或Q（ ）或Q（ ）．
6．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+mx+4经过点A，且与x轴的另一
个交点为点B．连接BC，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠BCO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点P为第一象限内的抛物线上一点，若以点
C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4，
则点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），
将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…①，
令y＝0，则x＝﹣1或4，故点B（﹣1，0）；
（2）①当点E在CD上方时，tan∠BCO＝ ＝ ，
则直线CE的表达式为：y＝ x+4…②，
联立①②并解得：x＝0或 （舍去0），
则点E（ ， ）；
②当点E在CD下方时，
同理可得：点E′（ ， ）；
故点E的坐标为E（ ， ）或（ ， ）；
（3）①如图2，当CM为菱形的一条边时，
过点P作PQ∥x轴，∵OA＝OC＝4，
∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，
设点P（x，﹣x2+3x+4），
则PM＝ PQ＝ x，
C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，则PM＝PN，即： x＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4），解得：x＝0或4﹣ （舍去0），
故菱形边长为 x＝4 ﹣2；
②如图3，当CM为菱形的对角线时，
同理可得：菱形边长为2 ；
故：菱形边长为4 ﹣2或2 ．
7．如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B
在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求
点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明
理由．
解：（1）将点A（1，﹣4）代入直线y＝2x+n得，
2+n＝﹣4，
∴n＝﹣6，
∴直线y＝2x﹣6，
当y＝0时，代入直线得：0＝2x﹣6，
解得：x＝3，
∴点B坐标（3，0），
设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点B代入抛物线得，0＝4a﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线表达式y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：
①如图，当AB为边时，
设点M（0，m），
已知点A（1，﹣4），点B（3，0）
∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，
∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，
解得m＝﹣ ，
即点M的坐标（0，﹣ ），
延长BN交y轴于点M′，作AG⊥y轴于G，BH⊥GA交GA的延长线于点H．
由△BOM′∽△BHA，可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OM′＝ ，
∴M′（0， ），
②如图，当AB为对角线时，取线段AB的中点P，作辅助圆 P，与y轴交于点M ，M ，作PG⊥y轴于点G，
1 2
⊙
点P坐标（ ， ），即（2，﹣2），
由①可得线段AB＝ ＝2 ，
∴ P半径 ，
⊙
在Rt△PM G中，PM ＝ ，PG＝2，
1 1
M G＝ ＝1，
1
根据垂径定理可得，M G＝1，
2
∴点M 坐标（0，﹣1），点M 坐标（0，﹣3）；
1 2
综上所述，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，点 M坐标为：（0，﹣ ）或（0， ）或
（0，﹣1）或（0，﹣3）；
（3）存在点Q的横坐标为﹣2或 ，使∠BAQ＝45°．
理由如下：假设存在满足条件的点Q，如图，当四边形ADBC为正方形，且点Q ，Q 分别在直线AD和直线AC上时，∠BAQ＝45°，
1 2
设过线段AB中点P，且与线段AB垂直的直线：y＝﹣ +b，
将点P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，
解得b＝﹣1，
∴直线为y＝﹣ ，
设点C点坐标（n，﹣ n﹣1），
在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2 ，
sin45°＝ ，
解得BD＝ ，
∴BD＝ ＝ ，
解得n ＝0，n ＝4，
1 2
∴点C坐标（0，﹣1），点D坐标（4，﹣3），
设直线AD表达式为：y＝qx+p，将点A（1，﹣4），点D（4，﹣3）代入得，
，
解得 ，∴直线AD的表达式为y＝ ﹣ ，
同理可得直线AC的表达式为y＝﹣3x﹣1，
联立直线AD与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4可得，
﹣ ＝（x﹣1）2﹣4，
解得x ＝1，x ＝ ，
1 2
同理联立直线AC与抛物线可解得x ＝1，x ＝﹣2，
3 4
∴点Q的横坐标为﹣2或 ．
8．如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B
（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为
F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改
变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴ ，
解得 ，
所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周长越大，
易得直线AB的解析式为y＝x+3，
设与AB平行的直线解析式为y＝x+m，
联立 ，
消掉y得，x2+3x+m﹣3＝0，
当△＝32﹣4×1×（m﹣3）＝0，
即m＝ 时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
此时x＝﹣ ，y＝﹣ + ＝ ，
∴点P（﹣ ， ）时，△PDE的周长最大；
②抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，在正方形APMN中，AP＝PM，∠APM＝90°，
∴∠APF+∠FPM＝90°，∠QPM+∠FPM＝90°，
∴∠APF＝∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF＝PQ，
设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ＝﹣1﹣n，
即PF＝﹣1﹣n，
∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴﹣n2﹣2n+3＝﹣1﹣n，
整理得，n2+n﹣4＝0，
解得n ＝ （舍去），n ＝ ，
1 2
﹣1﹣n＝﹣1﹣ ＝ ，
所以，点P的坐标为（ ， ）；
（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，∵∠PAF+∠FPA＝90°，∠PAF+∠QAN＝90°，
∴∠FPA＝∠QAN，
又∵∠PFA＝∠AQN＝90°，PA＝AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF＝AQ，
设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），
则有﹣x2﹣2x+3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
解得x＝ ﹣1（不合题意，舍去）或x＝﹣ ﹣1，
此时点P坐标为（﹣ ﹣1，2）．
综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（ ， ），当顶点N恰
好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣ ﹣1，2）．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，点E为抛物线在直
线AD下方的一个动点，连接AE、DE，问：△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最
大值和点E的坐标．若不存在，请说明理由．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上一动点，若以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
请直接写出点P的坐标（至少写两个）．解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点 A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把点 C（0，6）代入，
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），设直线AN的解析式为：y＝kx+b，
由题意可得： ，解得： ，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立y＝2x2﹣8x+6得： ，
解得： ， ，
∴点D（4，6），
设△ADE的面积为S，点E（e，2e2﹣8e+6），
过点E作EF⊥x轴交直线AD于点F，则点F坐标为（e，2e﹣2），
∴EF＝（2e﹣2）﹣（2e2﹣8e+6）＝﹣2e2+10e﹣8，
∴S＝ •EF•|D ﹣A |＝ ×3×（﹣2e2+10e﹣8）＝﹣3（e2﹣5e﹣4）＝ ，
x x
所以，当 时，△ADE的面积 ，此时点E坐标为 ；
（3）由（2）知，A（1，0），D（4，6），
设Q（2，m），P（x，2x2﹣8x+6），
①以AD为对角线时，
∵以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
∴ ，解得： ，
∴P（3，0）；
②以AP为对角线时，
∵以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
∴ ，解得： ，
∴P（5，16）；
③以AQ为对角线时，∵以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
∴ ，解得： ，
∴P（﹣1，16）；
综上所述，当点 P 的坐标为 （5，16）或 （﹣1，16）或 （3，0）时，以 A，D，P，Q 为顶点的四
边形为平行四边形．
10．如图，一次函数y＝ x﹣ 图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝ x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使
得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）在y＝ x﹣ 中，令x＝0得y＝﹣ ，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣ ），
∵二次函数y＝ x2+bx+c图象过A、B两点，
∴ ，解得 ，
∴二次函数解析式为y＝ x2﹣ x﹣ ；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝ x2﹣ x﹣ 可得其对称轴为直线x＝ ＝1，设P（1，m），Q（n， n2﹣ n﹣ ），而B（0，﹣ ），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣ ），
①当BC、PQ为对角线时，如图：
此时BC的中点即是PQ的中点，即 ，
解得 ，
∴当P（1，﹣ ），Q（1，﹣ ）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣ ），B（0，﹣ ），C（2，﹣ ）可得PB2＝ ＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣ ）；
②BP、CQ为对角线时，如图：同理BP、CQ中点重合，可得 ，
解得 ，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣ ），C（2，﹣ ）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：
BQ、CP中点重合，可得 ，
解得 ，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣ ），C（2，﹣ ）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣ ）或（﹣1，0）或（3，0）．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣ x2+ x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物
线的对称轴与x轴交于点D．（1）点B与点D的坐标；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP ＝
S△ABC ，求m的值；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点 H，使B、C、K、H为顶点的四边形成
为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）当y＝0时，由y＝﹣ x2+ x+4＝0，得x ＝﹣2，x ＝8，
1 2
∴A（﹣2，0），B（8，0）；
∵点D为线段AB的中点，
∴D（3，0）.
（2）如图1，作PG⊥x轴，交CD的延长线于点G，作PE⊥CD于点E，
∵抛物线y＝﹣ x2+ x+4＝0与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴CD＝ ＝5；
∵∠PEG＝∠DOC＝90°，∠G＝∠OCD，
∴ ＝sin∠DCO＝ ；设直线CD的解析式为y＝kx+4，则3k+4＝0，解得k＝ ，
∴y＝ x+4，
∴P（m，﹣ m2+ m+4），G（m， m+4），
∴PG＝﹣ m2+ m+4﹣（ m+4）＝﹣ m2+ m，
∴PE＝ （﹣ m2+ m）＝ m2+ m，
∴ ×5（ m2+ m）＝ （8+2）×4，
整理，得3m2﹣34m+88＝0，
解得m ＝4，m ＝ ．
1 2
∴m的值为4或 ；
（3）存在．
①如图1，BC为矩形BKCH的对角线，连结KH交BC于点Q．
∵Q为BC的中点，
∴Q（4，2），
∴QK2＝QC2＝42+（4﹣2）2＝20，
∵K（m，﹣ m2+ m+4），
∴（m﹣4）2+（﹣ m2+ m+4﹣2）2＝20，
整理，得m4﹣12m3+36m2﹣32m＝0，即m2（m2﹣12m+32）+4m（m﹣8）＝0，
∴m（m﹣2）（m﹣8）＝0
解得m ＝2，m ＝0（不符合题意，舍去），m ＝8（不符合题意，舍去），
1 2 3
∴K（2，6），
∵点H与点K（2，6）关于点Q（4，2）对称，
∴H（6，﹣2）；
②如图3，作平行四边形ACBH．∵∠AOC＝∠COB＝90°， ＝ ，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝∠CBO+∠OCB＝90°，
∴当点K与点A重合时，四边形KCBH是矩形，
∵点H与点C（0，4）关于点D（3，0）对称，
∴H（6，﹣4）；
③如图4，作BK∥AC交抛物线于另一点K，作平行四边形BCHK，则四边形BCHK是矩形；
连结CK、BH交于点R．
设直线AC的解析式为y＝px+4，则﹣2p+4＝0，解得p＝2，
∴y＝2x+4；
设直线BK的解析式为y＝2x+q，则16+q＝0，解得q＝﹣16，
∴y＝2x﹣16．
由 ，得 ， ，
∴K（﹣10，﹣36），
∴R（﹣5，﹣16），
∵点H与点B（8，0）关于点R（﹣5，﹣16）对称，
∴H（﹣18，﹣32）．
综上所述，点H的坐标为（6，﹣2）或（6，﹣4）或（﹣18，﹣32）．12．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知
△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为
G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间
的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动
过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：（1）如图1，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵△ABC的面积为2，即 ，
∴ ，
∴OC＝1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a＝1，
∴a＝﹣ ，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣ x2+ x+1；
（2）分两种情况：
①当PQ在x轴的上方时，如图2，设点P的纵坐标为m，当y＝m时，﹣ x2+ x+1＝m，解得：x ＝1+ ，x ＝1﹣ ，
1 2
∴点P的坐标为（1﹣ ，m），点Q的坐标为（1+ ，m），
∴点G的坐标为（1﹣ ，0），点H的坐标为（1+ ，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴1+ ﹣（1﹣ ）＝m，
解得：m ＝﹣6﹣2 （舍），m ＝﹣6+2 ；
1 2
②当PQ在x轴的下方时，m＜0，
同理可得m＝﹣6﹣2 ；
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2 或2 ﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣ n2+ n+1），延长BD交y轴于K，
∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y＝kx+b，
则 ，解得： ，
∴AD的解析式为：y＝（﹣ ）x﹣ ，
当x＝2时，y＝﹣ n+2﹣ n+1＝﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN＝3﹣n，同理得直线BD的解析式为：y＝（﹣ ）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK＝n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴ ，
∵EN∥OK，
∴ ，
∴OK＝3EN，
∴3EN+FN＝OK+FN＝n+1+3﹣n＝4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），且A（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝﹣ +3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、
DC，求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对
称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存
在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明
理由．
解：（1）∵直线BC的解析式为y＝﹣ +3，
∴令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝3，∴点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3）；
∵A（﹣2，0），
∴代入抛物线得： ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+x+3；
（2）∵AD∥BC，
∴设直线AD的表达式为：y＝﹣ x+m，
将A（﹣2，0）代入直线AD即可求得：m＝﹣1，
∴直线AD：y＝﹣ x﹣1，
设过点E与直线BC平行的直线：y＝﹣ x+n，
∵四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线y＝﹣ x+n与抛物线只有一个
交点，
∴令y＝﹣ x+n＝﹣ x2+x+3，
化简得：x2﹣6x+4n﹣12＝0①，
由Δ＝36﹣4（4n﹣12）＝0得：n＝ ，
∴方程①的解为：x ＝x ＝3，
1 2
∴四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标为（3， ）；
（3）存在，理由：①当AE是平行四边形的对角线时，∵y＝﹣ （x+2）2+（x+2）+3＝﹣ x2+4，
∴新抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+4，且原抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点A、E的坐标分别为（﹣2，0）、（3， ），
∴AE中点的坐标为（ ， ），
设点M（2，t），点N（s，﹣ t2+4），
则由中点公式得： ＝ ， ＝ ，
解得：s＝﹣1，t＝2+ （负值舍去），
∴N（﹣1，2+ ）；
②当AE是平行四边形的边时，设M（2，t'），点N（s'，﹣ s'2+4），
则s'﹣2＝5，解得s'＝7，N（7，﹣ ），
s'﹣2＝﹣5，解得s'＝﹣3，N（﹣3， ），
综上，点N的坐标为：（﹣1，2+ ）或（7，﹣ ）或（﹣3， ）．
14．如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C
坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小
位置也随着改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．
解：（1）把点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6）代入抛物线y＝﹣ x2+bx+c得：
，
解得： ，
∴y＝﹣ x2+2x+6＝﹣ （x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣ x2+2x+6），则FG＝|﹣ x2+2x+6|，
∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴ ，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，
∴BG＝6﹣x，
∴ ，
当点F在x轴上方时，有6﹣x＝2（﹣ +2x+6），
解得x＝﹣1或x＝6（舍去），
此时F点的坐标为（﹣1， ）；
当点F在x轴下方时，有6﹣x＝2（ ），
解得x＝﹣3或x＝6（舍去），
此时F点的坐标为（﹣3，﹣ ）；
综上可知F点的坐标为（﹣1， ）或（﹣3，﹣ ）；
（3）设P（m， ），
有四种情况：
①如图2，当G在y轴上时，过P作PQ⊥y轴于Q，作PM⊥x轴于M，
∵四边形PBFG是正方形，
∴PG＝PB，
∵∠PQG＝∠PMB＝90°，∠QPG＝∠MPB，
∴△PQG≌△PMB，
∴PQ＝PM，即m＝﹣ m2+2m+6，
解得：m ＝1+ ，m ＝1﹣ （舍），
1 2
∴P的横坐标为1+ ，
②当F在y轴上时，如图3，过P作PM⊥x轴于M，
同理得：△PMB≌△BOF，
∴OB＝PM＝6，
即﹣ m2+2m+6＝6，
m ＝0（舍），m ＝4，
1 2
∴P的横坐标为4，
③当F在y轴上时，如图4，此时P与C重合，
此时P的横坐标为0，
④当G在y轴上时，如图5，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
同理得：△GPN≌△BPM，
∴PN＝PM，
∴﹣m＝ ，
解得：m＝3± ，
由图5可知：P在第二象限，
∴m＝3﹣ ，
此时P的横坐标为3﹣ ，
综上所述，点P的横坐标为1+ 或4或0或3﹣ ．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左
侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为 时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩
形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3
1 2
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴ ＝ ，
∵CD＝4AC，
∴ ＝ ＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
∴S△ADE ＝S△AEH +S△DEH ＝ （﹣ax2+3ax+4a）＝﹣ a（x﹣ ）2+ a．
∴△ADE的面积的最大值为 a，
∴ a＝ ，
解得：a＝ ．
∴抛物线的函数表达式为y＝ x2﹣ x﹣ ．
（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，设P（1，m），
①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝ ，
∵a＞0，
∴a＝ ，
∴P （1， ），
1
②若点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q点的横坐标为6，
此时QD显然不垂直于AD，不符合题意，舍去；
③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．
∴x +x ＝x +x ，y +y ＝y +y ，
D A P Q D A P Q
∴x ＝2，
Q
∴Q（2，﹣3a）．
∴y ＝8a
P
∴P（1，8a）．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝ ，
∵a＞0，∴a＝
∴P （1，4）
2
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1， ）或（1，4）．
16．如图，已知二次函数y＝﹣ x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝ x+3经过
A、B两点．
（1）求b、c的值．
（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段
PD的最大值．
（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得
以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 G的坐标；若不存在，请说明
理由．
解：（1）∵直线y＝ x+3经过A、B两点．
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣4，
∴直线y＝ x+3与坐标轴的交点坐标为A（﹣4，0），B（0，3）．
分别将x＝0，y＝3，x＝﹣4，y＝0代入y＝﹣ x2+bx+c得， ，
解得，b＝﹣ ，c＝3，
（2）由（1）得y＝﹣ x2﹣ x+3，
设点P（m，﹣ m+3），则D（m， m+3），∴PD＝﹣ ＝﹣ ，
∴当m＝﹣2时，PD最大，最大值是 ．
（3）存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，G点的坐标为 或
或 ；
∵y＝﹣ x2﹣ x+3，
∴y＝0时，x＝﹣4或x＝2，
∴C（2，0），
由（2）可知D（﹣2， ），抛物线的对称轴为x＝﹣1，
设G（n，﹣ n+3），Q（﹣1，p），CD与y轴交于点E，E为CD的中点，
①当CD为对角线时，
n+（﹣1）＝0，
∴n＝1，
此时G（1， ）．
②当CD为边时，
若点G在点Q上边，则n+4＝﹣1，则n＝﹣5，此时点G的坐标为（﹣5，﹣ ）．
若点G在点Q上边，则﹣1+4＝n，则n＝3，此时点G的坐标为（3，﹣ ）．
综合以上可得使得以 C、D、G、Q 为顶点的四边形是平行四边形的 G 点的坐标为 或
或 ；
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A在y轴上，BC边与x轴重合，过C点作AB的垂线
分别交AB和y轴于点D、H，AB＝HC，线段OB、OC（OB＜OC）的长是方程x2﹣6x+8＝0的根．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P是线段BC上的一动点，点Q是线段OA上的一动点且2BP＝3OQ，设BP＝t，△OPQ的面积为S，请求出S与t的函数关系；
（3）在（2）的条件下，在平面上是否存在一点 M，使得以P，Q，O，M为顶点的四边形是正方形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BAO+∠ABO＝∠OCH+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠OCH，
在△AOB和△COH中，
，
∴△AOB≌△COH（AAS），
∴OB＝OH，
解方程x2﹣6x+8＝0可得x＝2或x＝4，
∴OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2，
∴C（4，0），H（0，2），
设直线CD解析式为y＝kx+b，
把C、H两点的坐标代入可得 ，
解得 ．
∴直线CD解析式为y＝﹣ x+2；
（2）当点P在原点左侧，即0＜t≤2时，连接PQ，如图1，则OP＝OB﹣BP＝2﹣t，
∵2BP＝3OQ，
∴OQ＝ BP＝ t，
∴S＝ OP•OQ＝ • t（2﹣t）＝﹣ t2+ t；
当P在原点右侧，即2＜t≤6时，连接PQ，如图2，
则OP＝BP﹣OB＝t﹣2，
∵2BP＝3OQ，
∴OQ＝ BP＝ t，
∴S＝ OP•OQ＝ • t（t﹣2）＝ t2﹣ t；
综上可知S与t的关系式为S＝ ；
（3）当P点在原点左侧时，如图3，由（2）可知OP＝2﹣t，OQ＝ t，
∵四边形OPMQ为正方形，
∴OP＝OQ，
∴2﹣t＝ t，解得t＝ ，
∴OP＝OM＝2﹣t＝ ，
∴M（﹣ ， ）；
当P点在原点右侧时，如图4，
由（2）可知OP＝t﹣2，OQ＝ t，
∵四边形OPMQ为正方形，
∴OP＝OQ，
∴t﹣2＝ t，解得t＝6，
∴OP＝OM＝t﹣2＝4，
∴M（4，4）；综上可知存在满足条件的点M，点M的坐标为（﹣ ， ）或（4，4）．
18．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴交于A、B、C三点，过点B的直线与抛物线交于另一点E，若经
过A、B、E三点的 M满足∠EAM＝45°．
（1）求直线BE的解⊙析式；
（2）若D点是直线BE下方的抛物线上一动点，连接BD和ED，求△BED面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩
形，若存在，请直接写出Q点坐标．
解：（1）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x ＝1，x ＝3，
1 2
∴点A（3，0），B（1，0），
令x＝0，则y＝3，
∴点C（0，3），
设线段BC的垂直平分线与抛物线的对称轴交于点M，设M（2，a），
∵MB＝MC，
∴（2﹣1）2+a2＝22+（3﹣a）2，
解得a＝2，
∴点M（2，2），
∵BC＝ ，MC＝ ，BM＝ ，
∴BC2＝MC2+BM2，
∴∠CMB＝90°，
∵MC＝MB，
∴△MCB是等腰直角三角形，
∴∠MBC＝45°，
作点C关于直线x＝2的对称点E，则E（4，3）在抛物线上，根据对称性可知：∠EAM＝∠MBC＝45°
设直线BE的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则 ，
解得 ，
∴直线BE的解析式为y＝x﹣1．
（2）如图，过点D作DN∥y轴交BE于点N，
设点D（m，m2﹣4m+3），则N（m，m﹣1），
∴S△BDE ＝ ×（x
E
﹣x
B
）×|DN|
＝ ×3×[m﹣1﹣（m2﹣4m+3）]
＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，S△BDE 取最大值 ；此时D（ ，﹣ ）；
（3）存在，理由如下：
根据轴对称的公式可知，x＝2，∴设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知A（3，0），C（0，3），
∴AC＝3 ，AP2＝12+y2，CP2＝22+（y﹣3）2，
若AP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得 ，
解得 ，
∴Q（5，y﹣3），
又∵∠ACP＝90°，
∴AC2+CP2＝AP2，
即：18+22+（y﹣3）2＝12+y2，
解得y＝5，
∴Q（5，2），
若CP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得 ，
解得： ，
∴Q（﹣1，y+3），
又∵∠CAP＝90°，
∴AC2+AP2＝CP2，
即：18+12+y2＝22+（y﹣3）2，解得y＝﹣1，
∴Q（﹣1，2），
若AC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得 ，
解得 ，
又∵∠APC＝90°，
∴AP2+CP2＝AC2，
即：12+y2+22+（y﹣3）2＝18，
解得y＝ + 或y＝ ，
∴Q（1， + ）或Q（1， ﹣ ）．
综上，点Q的坐标为（5，2）或（﹣1，2）或（1， + ）或（1， ﹣ ）．
19．如图，直线y＝ x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A，C两点，与x轴
的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S ，△BCE
1
的面积为S ，求 的最大值；
2
（3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点 B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请
直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝ x+2＝0，得x＝﹣4，
令x＝0，得y＝2，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∵抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A．C两点，
∴ ，
解得： ，
∴y＝﹣ x2﹣ x+2；
（2）如图1，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，
令y＝﹣ x2﹣ x+2＝0，
解得：x ＝﹣4，x ＝1，
1 2
∴B（1，0），
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴S ：S ＝DE：BE＝DM：BN，
1 2
设D（a，﹣ a2﹣ a+2），
∴M（a， a+2），∵B（1，0），
∴N（1， ），
∴ ＝DM：BN＝（﹣ a2﹣2a）： ＝﹣ （a+2）2+ ；
∴当a＝﹣2时， 的最大值是 ；
（3）∵y＝﹣ x2﹣ x+2，
∴对称轴为直线x＝ ＝ ，
设D（t，﹣ t2﹣ t+2），F（ ，s），
①若四边形为平行四边形BCDF，
则 ，
∴ ，
解得：t＝﹣ ，﹣ t2﹣ t+2＝ ，
∴D的坐标为（﹣ ， ）；
②若四边形为平行四边形BCFD，
则 ，∴ ，
解得：t＝﹣ ，﹣ t2﹣ t+2＝ ，
∴D的坐标为（﹣ ， ）；
③若四边形为平行四边形BDCF，
则 ，
∴ ，
解得：t＝ ，﹣ t2﹣ t+2＝ ，
∴D的坐标为（ ， ）；
综上，D的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ， ）或（ ， ）．
20．如图1，平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），点B坐标是（3，0），点P是抛物线的顶点．
（1）请直接写出二次函数的表达式及顶点P的坐标；
（2）如图2，设二次函数图象的对称轴PH与x轴交于点H，①连接AC，BC，CP，点D为对称轴PH上的一点，且△CDP与△ABC相似，求点D的坐标；
②点M为对称轴PH上一点且在x轴下方，在x轴负半轴上有一点E，在y轴负半轴上有一点F，且满
足OF＝4EO＝4MH，已知点N在抛物线上，以E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写
出点E的坐标．
解：（1）将B（3，0），C（0，﹣3）两点的坐标代入y＝x2+bx+c得：
，
解得 ，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；
（2）①∵y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，﹣3），P（1，﹣4），
∴∠ABC＝∠CDH＝45°，
AB＝4，AC＝ ＝ ，BC＝3 ，CP＝ ＝ ，
∴点D在点P的上方，
△CDP与△ABC相似，分两种情况：
△CDP∽△CAB时，
∴ ，即 ，∴DP＝ ，
∴点D的坐标为（1，﹣ ）；
△CDP∽△ACB时，
∴ ，即 ，
∴DP＝ ，
∴点D的坐标为（1，﹣ ）；
综上所述，点D的坐标为（1，﹣ ）或（1，﹣ ）；
②∵点M为对称轴PH上一点且在x轴下方，在x轴负半轴上有一点E，在y轴负半轴上有一点F，且
满足OF＝4EO＝4MH，
∴设点E（m，0），则M（1，m），F（0，4m），
以E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况：
以EM为对角线时，
点N的横坐标为m+1﹣0＝m+1，纵坐标为m+0﹣4m＝﹣3m，
∵点N在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴（m+1）2﹣2（m+1）﹣3＝﹣3m，解得m＝﹣4或1，
∵点E在x轴负半轴上，
∴m＝﹣4，
∴点E的坐标为（﹣4，0）；
以EF为对角线时，
点N的横坐标为m+0﹣1＝m﹣1，纵坐标为0+4m﹣m＝3m，
∵点N在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴（m﹣1）2﹣2（m﹣1）﹣3＝3m，解得m＝7或0，
∵点E在x轴负半轴上，
∴此种情况不存在；
以MF为对角线时，
点N的横坐标为0+1﹣m＝1﹣m，纵坐标为m+4m﹣0＝5m，
∵点N在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，∴（1﹣m）2﹣2（1﹣m）﹣3＝5m，解得m＝ 或 ，
∵点E在x轴负半轴上，
∴m＝ ，
∴点E的坐标为（ ，0）；
综上所述，点E的坐标为（﹣4，0）或（ ，0）．
21．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点
C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线y＝ 与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB
上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG ＝ S△OEG 时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝﹣ x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，
∴y＝﹣ （x+3）（x﹣4）＝﹣ ；
（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），∴设BC的解析式为：y＝kx+n，
则 ，解得 ，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝ ，
解得：x＝1，
∴E（1，3），
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴G（m， ），F（m，﹣ ），
∵S△EFG ＝ S△OEG ，
∴ ＝ × ON（x ﹣x ），
E G
[（﹣ ）﹣（ ）]（1﹣m）＝ ，
解得：m ＝ ，m ＝﹣2；
1 2
②存在，由①知：E（1，3），
∵四边形EFHP是正方形，
∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴H（m，﹣m+4），F（m，﹣ ），
分两种情况：
i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣ ）＝ ，
∵EF＝FH，
∴ ，
解得：m ＝ （舍），m ＝ ，
1 2
∴H（ ， ），
∴P（1， ），
ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，
同理得﹣ ＝m﹣1，
解得：m ＝ ，m ＝ （舍），
1 2
同理得P（1， ）；综上，点P的坐标为： 或 ．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，
且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式，并写出x为何值时y＝0．
（2）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【提示】①以AB为边时，求点M的坐标．②以AB为对角线时，求点M的坐标．
解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴OC＝3，
∵OC＝3OB，
∴OB＝1，
∴B（﹣1，0），
∵A（2，﹣3），B（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
令y＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3；
1 2
∴当x＝﹣1或x＝3时y＝0；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的对称轴直线为x＝1，
设点N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），∵A（2，﹣3），B（﹣1，0），
①当AB与MN为对角线时，AB与MN互相平分，
∴ （2﹣1）＝ （m+1），
∴m＝0，
∴M（0，﹣3）；
②当AN与BM为对角线时，AN与BM互相平分，
∴ （1+2）＝ （m﹣1），
∴m＝4，
∴M（4，5），
③当AM与BN为对角线时，AM与BN互相平分，
（m+2）＝ （1﹣1），
∴m＝﹣2，
∴M（﹣2，5），
即：满足条件的点M坐标为（0，﹣3）或M（4，5）或（﹣2，5）．
23．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y＝﹣ +bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点
为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所
有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
解：（1）把B（3，0）和D（﹣2，﹣ ）代入抛物线的解析式得，，
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）令x＝0，得 ＝ ，
∴ ，
令y＝0，得 ＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∵ ＝ ，
∴M（1，2），
∴S四边形ABMC ＝S△AOC +S△COM +S△MOB
＝
＝ ；
（3）设Q（0，n），
①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，
a）．P点在Q点左边时，则P（﹣4，n），把P（﹣4，n）代入 ，得
n＝ ，
∴P（﹣4，﹣ ）；
②当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，
当P点在Q点右边时，则P（4，n），
把P（4，n）代入 ，得
n＝ ，
∴P（4，﹣ ）；
③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，
则E（1，0），
∵PE＝QE，
∴P（2，﹣n），
把P（2，﹣n）代入 ，得
﹣n＝ ，
∴n＝﹣ ，
∴P（2， ）．
综上，满足条件的P点坐标为：（﹣4，﹣ ）或（4，﹣ ）或（2， ）．24．如图所示，抛物线与x轴相交于A，B两点（B在A的右边），与y轴相交于点C（0，﹣3），点M
（1，﹣4）为抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN，CN，当△BNC是以BN，NC为腰的等腰三
角形时，求点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B，C，D，G为顶点的
四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P，E，O为顶点的三角
形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点M（1，﹣4）为抛物线的顶点，
∴设此抛物线的解析式为为y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4经过点C（0，﹣3），
∴y＝a（0﹣1）2﹣4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵△BNC是以BN，NC为腰的等腰三角形，
∴点N在线段BC的垂直平分线上，
在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴B（3，0），
∵C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴ON垂直平分BC，
∴线段BC的中点坐标为（ ，﹣ ）；
∴直线ON的解析式为y＝﹣x，
解方程组 得， 或 ，
∵点N是第四象限内抛物线上的一个动点，
∴N（ ，﹣ ）；
（3）存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形，理由如下，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴D点的横坐标为1，
设G（m，m2﹣2m﹣3），
①当BC为平行四边形的对角线时，
∴3＝1+m，
∴m＝2，
∴G（2，﹣3）；
②当BD为平行四边形的对角线时，
∴3+1＝m，
∴m＝4，
∴G（4，5）；
③当BG为平行四边形的对角线时，
∴3+m＝1，
∴m＝﹣2，
∴G（﹣2，5）；综上所述：G点坐标为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；
（4）存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
设直线CM的解析式为y＝kx+b
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣x﹣3，
∴E（﹣3，0），
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OEC＝∠OBC，
设P（t，﹣t﹣3），
∵点P是线段EM上，
∴﹣3＜t＜0，
∴EP＝ （t+3），BC＝3 ，
①当△PEO∽△CBA时，
＝ ，即 ＝ ，
∴t＝﹣ ，
∴P（﹣ ，﹣ ）；
②当△PEO∽△ABC时，
＝ ，即 ＝ ，
∴t＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣2）；综上所述，P点坐标为（﹣ ，﹣ ）或（﹣1，﹣2）．
25．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A
（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横
坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的 时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点
M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存
在，请说明理由．
解：（1）由题意得： ，
解得： ，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣ x2+ x+6；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：
∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，
∴S△AOC ＝ OA•OC＝ ×2×6＝6，
∴S△BCD ＝ S△AOC ＝ ×6＝ ，
当y＝0时，﹣ x2+ x+6＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
∴点B的坐标为（4，0），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n，
则 ，
解得： ，
∴直线BC的函数表达式为：y＝﹣ x+6，
∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），
∴点D的坐标为：（m，﹣ m2+ m+6），
点G的坐标为：（m，﹣ m+6），
∴DG＝﹣ m2+ m+6﹣（﹣ m+6）＝﹣ m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，
∴S△BCD ＝S△CDG +S△BDG ＝ DG•CF+ DG•BE＝ DG×（CF+BE）＝ ×（﹣ m2+3m）×（m+4﹣m）
＝﹣ m2+6m，
∴﹣ m2+6m＝ ，
解得：m ＝1（不合题意舍去），m ＝3，
1 2∴m的值为3；
（3）由（2）得：m＝3，﹣ m2+ m+6＝﹣ ×32+ ×3+6＝ ，
∴点D的坐标为：（3， ），
分三种情况讨论：
①当DB为对角线时，如图2所示：
∵四边形BDNM是平行四边形，
∴DN∥BM，
∴DN∥x轴，
∴点D与点N关于直线x＝1对称，
∴N（﹣1， ），
∴DN＝3﹣（﹣1）＝4，
∴BM＝4，
∵B（4，0），
∴M（8，0）；
②当DM为对角线时，如图3所示：
由①得：N（﹣1， ），DN＝4，
∵四边形BDNM是平行四边形，
∴DN＝BM＝4，
∵B（4，0），
∴M（0，0）；
③当DN为对角线时，
∵四边形BDNM是平行四边形，
∴DM＝BN，DM∥BN，
∴∠DMB＝∠MBN，
∴点D与点N的纵坐标互为相反数，
∵点D（3， ），
∴点N的纵坐标为：﹣ ，将y＝﹣ 代入y＝﹣ x2+ x+6中，
得：﹣ x2+ x+6＝﹣ ，
解得：x ＝1+ ，x ＝1﹣ ，
1 2
当x＝1+ 时，如图4所示：
则N（1+ ，﹣ ），
分别过点D、N作x轴的垂线，垂足分别为E、Q，
在Rt△DEM和Rt△NQB中， ，
∴Rt△DEM≌Rt△NQB（HL），
∴BQ＝EM，
∵BQ＝1+ ﹣4＝ ﹣3，
∴EM＝ ﹣3，
∵E（3，0），
∴M（ ，0）；
当x＝1﹣ 时，如图5所示：
则N（1﹣ ，﹣ ），
同理得点M（﹣ ，0）；
综上所述，点M的坐标为（8，0）或（0，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）．26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是
抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是 时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说
明理由．
解：（1）∵OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x﹣6；
（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
设BC的解析式为：y＝kx+n，则 ，解得： ，
∴BC的解析式为：y＝ x﹣6，
设D（x， x2﹣ x﹣6），则H（x， x﹣6），
∴DH＝ x﹣6﹣（ x2﹣ x﹣6）＝﹣ ，
∵△BCD的面积是 ，
∴ ，
∴ ，
解得：x＝1或3，
∵点D在直线l右侧的抛物线上，
∴D（3，﹣ ），
∴△ABD的面积＝ ＝ ＝ ；
（3）分两种情况：
①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，∵B（4，0），D（3，﹣ ），且M在x轴上，
∴N的纵坐标为 ，
当y＝ 时，即 x2﹣ x﹣6＝ ，
解得：x＝1+ 或1﹣ ，
∴N（1﹣ ， ）或（1+ ， ）；
②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，
∴N（﹣1，﹣ ）；
综上，点N的坐标为：（1﹣ ， ）或（1+ ， ）或（﹣1，﹣ ）．
27．综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，
且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为 y ＝ x + 4 ，点M的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 2 ） ，cos∠ABO＝ ；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为
（﹣ 2 ， 2 ）或（ 0 ， 4 ） ；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直
接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为：y＝ x2+2x；
（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+4，
将点A坐标代入得，﹣4k+4＝0，
∴k＝1．
∴直线AB的表达式为：y＝x+4；
则∠ABO＝45°，故cos∠ABO＝ ；
对于y＝ x2+2x，函数的对称轴为直线x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝ AC或 AC，
则 ，即 ，解得：y ＝2或4，
P
故点P（﹣2，2）或（0，4）；故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）； ；（﹣2，2）或（0，4）；
（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
点A′（4，0），
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则 ，解得 ，
故直线A′M的表达式为：y＝ x﹣ ，
令x＝0，则y＝﹣ ，故点Q（0，﹣ ）；
（4）存在，理由：
设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）向右平移6个单位向上平移6个单位
得到点N（O），
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点N（﹣2，6）；
综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．
