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第 02 讲 整式与因式分解【中考过关真题练】
一．列代数式（共2小题）
1．（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现
需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，
设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
2．（2022•杭州）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的
总价与19张B票的总价相差320元，则（ ）
A．| |＝320 B．| |＝320
C．|10x﹣19y|＝320 D．|19x﹣10y|＝320
二．代数式求值（共3小题）
3．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a x4+a x3y+a x2y2+a xy3+a y4，则a +a +a +a +a 的值是（ ）
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
A．4 B．8 C．16 D．32
4．（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
5．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+ ）的值．
三．同类项（共1小题）
6．（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
四．合并同类项（共2小题）7．（2022•西藏）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
8．（2022•荆州）化简a﹣2a的结果是（ ）
A．﹣a B．a C．3a D．0
五．规律型：数字的变化类（共6小题）
9．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…．则按此规律排列
的第10个数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
10．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
11．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．（2n﹣1）xn B．（2n+1）xn C．（n﹣1）xn D．（n+1）xn
12．（2022•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为 ， ， ， ……按此规律排列，则第30个数
是 ．
13．（2022•嘉兴）设 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时， 表示
的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……（2）归纳： 与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 与100a的差为2525，求a的值．
14．（2022•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
六．规律型：图形的变化类（共8小题）
15．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图 4个圆点，第二幅图7个圆点，
第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）A．297 B．301 C．303 D．400
16．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形
需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小
木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
17．（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A
处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向 1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向 3秒钟跳1个顶
点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
18．（2022•荆州）如图，已知矩形 ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形
ABCD各边的中点，得到四边形A B C D ；第二次，顺次连接四边形A B C D 各边的中点，得到四边形
1 1 1 1 1 1 1 1
A B C D ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A B D 的面积是（ ）
2 2 2 2 n n n n
∁
A． B． C． D．
19．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨
个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
20．（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有
3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
21．（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 根．
22．（2022•聊城）如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆心为A ，以AA 为直径画半圆①；取A B
1 1 1
的中点A ，以A A 为直径画半圆②；取A B的中点A ，以A A 为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，
2 1 2 2 3 2 3
大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 ．
七．单项式（共1小题）
23．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D． x2y
八．整式的加减（共1小题）24．（2022•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，
并将该例题的解答过程补充完整．
例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．
解：m（A）﹣6（m+1）
＝m2+6m﹣6m﹣6
＝ ．
九．同底数幂的乘法（共3小题）
25．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
26．（2022•镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．3a2+2a2＝5a4 B．a3﹣2a3＝a3
C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5
27．（2022•朝阳）下列运算正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．4a5﹣3a5＝1 C．a3•a4＝a7 D．（a2）4＝a6
一十．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
28．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
一十一．同底数幂的除法（共3小题）
29．（2022•巴中）下列运算正确的是（ ）
A． ＝﹣2 B．（ ）﹣1＝﹣
C．（a2）3＝a6 D．a8÷a4＝a2（a≠0）
30．（2022•徐州）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝﹣9a2
31．（2022•黄石）下列运算正确的是（ ）
A．a9﹣a7＝a2 B．a6÷a3＝a2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣2a2b）2＝4a4b2
一十二．单项式乘单项式（共1小题）
32．（2022•梧州）（1）计算： ﹣5+（﹣3）×（﹣2）2．（2）化简：3a+2（a2﹣a）﹣2a•3a．
一十三．完全平方公式（共3小题）
33．（2022•东营）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x3+2x3＝5x6 B．（x+1）2＝x2+1
C．x8÷x4＝x2 D． ＝2
34．（2022•资阳）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（a+b）2＝a2+b2
C．a2×a＝a3 D．（a2）3＝a5
35．（2022•荆门）已知x+ ＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣ ）2；
（2）x4+ ．
一十四．平方差公式（共2小题）
36．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
37．（2022•常州）计算：
（1）（ ）2﹣（ ﹣3）0+3﹣1；
π
（2）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+1）．
一十五．整式的混合运算—化简求值（共3小题）
38．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（ ﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣ |﹣ ．
π
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝ ．
39．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．40．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝ ．
一十六．因式分解的意义（共2小题）
41．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
42．（2022•永州）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay＝a（x+y）+1 B．3a+3b＝3（a+b）
C．a2+4a+4＝（a+4）2 D．a2+b＝a（a+b）
一十七．因式分解-提公因式法（共3小题）
43．（2022•青海）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+4x3＝7x5 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（2+3x）（2﹣3x）＝9x2﹣4 D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y）
44．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
45．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
一十八．因式分解-运用公式法（共4小题）
46．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（
）
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
47．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
48．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
49．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
一十九．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
50．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．
51．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ ．
52．（2022•沈阳）因式分解：ay2+6ay+9a＝ ．
二十．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
53．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c
之值为何？（ ）
A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12
二十一．因式分解的应用（共5小题）
54．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 ．
55．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式
法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”
是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分
别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
56．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现
了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是
以 8 作为进位基数的数字系统，有 0～7 共 8 个基本数字．八进制数 3745 换算成十进制数是
3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
57．（2022•台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的
保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞．
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继
续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过 15天后，
共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？
（2）承（1），已知60亿介于232与233之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？58．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和
m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c
中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若
为整数，求出满足条件的所有数A．
