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第 05 讲 一元二次方程、分式方程的解法及应用（14 个考点）
【考纲要求】
1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从
而渗透数学的转化思想．
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、一元二次方程
1.一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．ax2 bxc 0
它的一般形式为 (a≠0)．
2.一元二次方程的解法
x2 m x m
（1）直接开平方法：把方程变成 的形式，当m＞0时，方程的解为 ；当m＝0时，方
x 0
程的解 1,2 ；当m＜0时，方程没有实数解．
b 2 b2 4ac
x
ax2 bxc 0 2a 4a2
（2）配方法：通过配方把一元二次方程 变形为 的形式，再利
用直接开平方法求得方程的解．
ax2 bxc 0 b2 4ac0
（ 3 ） 公 式 法 ： 对 于 一 元 二 次 方 程 ， 当 时 ， 它 的 解 为
b b2 4ac
x
2a
．
（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于
零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．
要点诠释：
直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般
方法．
3．一元二次方程根的判别式
b2 4ac
一元二次方程根的判别式为 ．
△>0 方程有两个不相等的实数根；
△＝0 方程有两个相等的实数根；
△<0 方程没有实数根．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
要点诠释：
△≥0 方程有实数根.
4．一元二次方程根与系数的关系
b c
如果一元二次方程 (a≠0)的两个根是 ，那么x x ， x x ．
ax2 bxc0 x 、 x 1 2 a 1 2 a
1 2考点二、分式方程
1.分式方程的定义
分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．
要点诠释：
（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量 .
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未
知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 的方程 和
都是分式方程，而关于 的方程 和 都是整式方程.
2.分式方程的解法
去分母法，换元法．
3.解分式方程的一般步骤
(1) 去 分 母 ， 即 在 方 程 的 两 边 都 乘 以 最 简 公 分 母 ， 把 原 方 程 化 为 整 式 方 程 ；
(2)解这个整式方程；
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公
分母等于零的根是原方程的增根.
口诀：“一化二解三检验”.
要点诠释：
解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，
可使原方程的分母为零，因此必须验根．
考点三、一元二次方程、分式方程的应用
1．应用问题中常用的数量关系及题型
(1)数字问题(包括日历中的数字规律)
关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．
(2)体积变化问题
关键是寻找其中的不变量作为等量关系.
(3)打折销售问题利润
成本价
其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝ ×100%．
明确这几个关系式是解决这类问题的关键．
(4)关于两个或多个未知量的问题
重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.
(5)行程问题
对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，
同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．
注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.
(6)和、差、倍、分问题
增长量＝原有量×增长率；
现有量＝原有量+增长量；
现有量＝原有量-降低量．
2．解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
要点诠释：
方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想
用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．
注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单
位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．
【典型例题】
一．一元二次方程的解（共2小题）
1．（2022•东坡区校级模拟）若a是x2﹣3x﹣2021＝0的一个根，则a2﹣3a+1的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
2．（2022•东坡区校级模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2017的
值为（ ）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二．解一元二次方程-配方法（共1小题）
3．（2022•兴宁区校级模拟）解方程：x2﹣4x+2＝0．
三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2022•安徽三模）解方程：x2﹣8x+7＝0．
四．根的判别式（共2小题）
5．（2022•河南模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+ k2＝0没有实数根，则k的值可以是（
）
A．2 B． C．0 D．﹣1
6．（2022•洪山区模拟）判断方程 ﹣14＝x2﹣8x的根的情况是（ ）
A．有三个实数根 B．有两个实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
五．根与系数的关系（共2小题）
7．（2022•东坡区校级模拟）已知x ，x 分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，则 的值
1 2
为（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2022•东坡区校级模拟）若m，n是方程x2+x﹣1＝0的两根，则式子m2+2m+n的值是 ．
六．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
9．（2022•广西模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？”其大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长
为10尺（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果
把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．102+（x﹣1）2＝x2 B．102+（x﹣1）2＝（x+1）2
C．52+（x﹣1）2＝x2 D．52+（x﹣1）2＝（x+1）2
10．（2022•沈阳模拟）某市2020年底森林覆盖率为45%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展
理念，该市大力开展植树造林活动，2022年底森林覆盖率将达到48%．如果这两年森林覆盖率的年平均增
长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A．0.45（1+x）＝0.48 B．0.45（1+x）2＝0.48
C．0.45（1+2x）＝0.48 D．0.45（1+2x）2＝0.48
七．一元二次方程的应用（共4小题）
11．（2022•观山湖区模拟）有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒
肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
12．（2022•沈阳模拟）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是 40元，为了合理定价，投放市场进行试
销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2
件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为
元．
13．（2022•沈阳模拟）如图，某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，半径为x米，下半部分是
矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为 15米．当x等于多少时，窗户通过的进光面积是
4平方米．14．（2022•陕西模拟）2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价，稳房价、稳预
期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了 19%，求
平均每次降价的百分率．
八．配方法的应用（共1小题）
15．（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（
）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
九．分式方程的解（共2小题）
16．（2022•成都模拟）若关于x的分式方程 ﹣ ＝0的解为x＝3，则a的值为 ．
17．（2022•兴宁区校级模拟）若关于x的分式方程 无解，则m＝ ．
一十．解分式方程（共2小题）
18．（2022•成都模拟）解分式方程 时，去分母得（ ）
A．1﹣2（x﹣2）＝4 B．1﹣2（x﹣2）＝﹣4
C．﹣1﹣2（x﹣2）＝﹣4 D．1﹣2（2﹣x）＝4
19．（2022•青山区模拟） ﹣ ＝ 的解是 ．
一十一．换元法解分式方程（共2小题）20．（2022•新洲区模拟）判断方程 ﹣3＝x2的实数根的情况是（ ）
A．无实数根 B．只有一个实数根
C．只有两个不相等实数根 D．有三个不相等实数根
21．（2022•广东三模）解方程 ，如果设 ＝y，那么得到关于y的整式
方程是 ．
一十二．分式方程的增根（共2小题）
22．（2022•沈阳模拟）关于x的分式方程 ＝ +5有增根，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．6
23．（2022•东坡区校级模拟）若关于x的方程 有增根，则k＝ 3 ．
一十三．由实际问题抽象出分式方程（共2小题）
24．（2022•沈阳模拟）疫情防控期间，某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩．
随着疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元电信公司又花6000元购买了一批口
罩，购买的数量与第一次购买的数量相等，设第一次每包口罩为x元，可列方程为（ ）
A． ＝ B． ＝
C． D． ＝
25．（2022•西城区校级模拟）一组学生春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不
变，于是每人可少摊3元，若设原来这组学生人数为x，那么可列方程为 ．
一十四．分式方程的应用（共2小题）
26．（2022•仙游县模拟）某企业购买了一批A、B型国产芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少
9元，已知该企业用3120元购买A型芯片的数量与用4200元购买B型芯片的数量相等．
（1）求该企业购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200枚，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的 ，不小于B型芯片数量
的 ，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低费用是多少元？27．（2022•沈阳模拟）“绿水青山就是金山银山”某地为美化环境，计划种植树木 6000棵．由于志愿者
的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．求实际每天植树多少棵．
