文档内容
定远育才学校 2025-2026 学年上学期高二 1 月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
π
1.已知四面体ABCD中，BA，BC，BD两两垂直，BC=2，BD=2√3，AB与平面ACD所成的角为 ，
3
则点B到平面ACD的距离为( )
√3 2√5 2√3 2√39
A. B. C. D.
2 5 3 13
2.直线l经过两条直线3x+4 y-5=0和3x-4 y-13=0的交点，且与直线x+2y+1=0垂直，则l的方程是
( )
A. 2x+ y-5=0 B. 2x- y-7=0 C. 2x+ y+7=0 D. 2x- y+5=0
3.已知 是圆 上的动点，以点 为圆心， 为半径作圆 ，设圆 与圆 交于 ，
M C:(x-1) 2+ y2=4 M |OM| M M C A
B两点，则下列点中，直线AB一定不经过( )
3 1 3 1 1 1 √2
A. ( , ) B. ( ,1) C. ( , ) D. ( , )
4 2 2 2 2 2 2
4.已知椭圆 x2 y2 的上顶点为 ，左顶点为 ，平行于 的直线 交椭圆于 ， 两点，
E: + =1(a>b>0) M N MN l A B
a2 b2
AB的中点为(-2,1)，且|AB|=2√5，则椭圆E的焦距为( )
A. 2√2 B. 4√2 C. 2√3 D. 4√3
5.在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果.某校数学兴趣
小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点A ，C 在直线l上，△A B C 是边长为1的等边三角形，
1 1 1 1 1
C ⌢ A 是以点A 1 为圆心，A 1 C 1 为半径的圆弧，A ⌢ B 是以点B 1 为圆心，B 1 A 2 为半径的圆弧，B C ⌢ 是以点
1 2 2 2 2 2
C 1 为圆心，C 1 B 2 为半径的圆弧，C ⌢ A 是以点A 1 为圆心，A 1 C 2 为半径的圆弧，…，依次类推(其中点A 1 ，
2 3
C ，C ，C ，…共线，点B ，A ，A ，A ，…共线，点C ，B ，B ，B ，…共线).由上述圆弧组成的
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3
曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为A. 30π B. 44π C. 52π D. 70π
6.在数列 中，若 ，则 ( )
{a } a +a +…+a =2n-1 a❑ 2+a❑ 2+…+a❑ 2=
n 1 2 n 1 2 n
1 1
A. (2n-1) 2 B. (4n-1) C. (2n-1) D. 4n-1
3 3
7.抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经
过抛物线的焦点.已知从点P(m,6)(m>9)沿平行于x轴的方向射入一条光线，经抛物线C:y2=4x反射后
交抛物线C于另外一点Q，则点Q的纵坐标为( )
2 4
A. - B. -1 C. - D. -2
3 3
8.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A B C D ，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，
1 1 1 1
且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A. AC =6 B. BD⊥平面ACC
1 1
⃗ ⃗
❑√6
C. 向量 CB 1 与 A A 1 的夹角是120° D. BD 1 与AC 1 所成角的余弦值为 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人
称为三角形的“欧拉线”.若△ABC满足AC=BC，顶点A(1,0)，B(-1,2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是( )
(x-1) 2+ y2=r2
A. 圆M上的点到原点的最大距离为1+√2
B. 圆M上存在三个点到直线x- y-1=0的距离为√2
y
C. 若点(x,y)在圆M上，则 的最小值是-1
x+1
D. 若圆 与圆 有公共点，则
M x2+(y-a) 2=2 a∈[-√3,√3]
10.若数列{a }是等差数列，公差为d，则下列对数列{b }的判断正确的是( )
n n
A. 若b =-a ，则数列{b }是等差数列
n n n
B. 若b =a2n，则数列{b }是等差数列
n n
C. 若b =a +a ，则数列{b }是公差为d的等差数列
n n n+1 n
D. 若b =a +n，则数列{b }是公差为d+1的等差数列
n n n
y2
11.已知双曲线C:x2- =1，则下列说法正确的是( )
3
A. 双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B. 若 F 为 C 的左焦点，点 P 在 C 上，则满足
F
⃗
M=2M
⃗
P
的点 M 的轨迹方程为 (3x+2) 2-3 y2=4
C. 若A，B在C上，线段AB的中点为(2,2)，则线段AB的方程为2x- y-2=0
1
D. 若P为双曲线上任意一点，则点P到点(2,0)和到直线x= 的距离之比恒为2
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一
定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金
四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则每一等人比下一等人多
得 斤金．
13.已知直线 经过点 和点 ( 4 )，直线 经过点 和点 ，若 与 没有公共
l A(0,-1) B - ,1 l M(1,1) N(0,-2) l l
1 a 2 1 2
点，则实数a的值为 ．
y2
14.双曲线x2- =1右焦点为F，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若PF⊥QF，则△PQF的
4面积为____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列 的前 项和为 ，数列 满足 ， ．
{a } n S ,a =7,S =48 {b } 2b =b +2 b =3
n n 3 6 n n+1 n 1
证明：数列 是等比数列，并求数列 与数列 的通项公式；
(1) {b -2} {a } {b }
n n n
若 ，求数列 的前 项和 ．
(2) c =a (b -2) {c } n T
n n n n n
16.(本小题15分)
已知三点 ， ，(13 4)在圆 上
(1,0) (2,1) ,- C .
5 5
(1)求圆C的标准方程；
(2)过原点O的动直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的轨迹W的方程；
在 的条件下，若过点(5 )的直线 与曲线 有两个交点，求直线 的斜率的取值范围．
(3) (2) ,0 m W m
2
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠BAD=60 ∘，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=2√3，E为
PC的中点．
(1)求二面角E-AD-C平面角的正切值；
(2)在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说
明理由．
18.(本小题17分)
古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点 ， 均在 轴上，面积为 ，点( √3)在椭圆 上
M F F x 2π 1, M .
1 2 2
(1)求椭圆M的标准方程；
2
(2)经过点P(-1,0)的直线l与曲线M交于A，B两点，▵OAB与椭圆M的面积比为 ，求直线l的方程．
5π
19.(本小题17分)
已知双曲线
的标准方程为x2 y2
， 的左右顶点分别为 ， ，右焦点 ，离心
C - =1(a>0,b>0) C A B F(√5,0)
a2 b2
率e=√5．
(1)求双曲线C的方程及其渐近线方程；
b2
(2)过圆O:x2+ y2= 上的点Q(x ,y )作圆O的切线l ，交双曲线C于M，N两点，点P为弦MN的中点，
3 0 0 2
证明：|MN|=2|OP|．答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.C
6.B
7.A
8.B
9.AC
10.ABD
11.BD
7
12.
78
13.-6
14.4
1 1
b +1-2 (b -2)
15.【解】 b -2 2 n 2 n 1，
(1) n+1 = = =
b -2 b -2 b -2 2
n n n
1
所以数列{b -2}是公比q= 的等比数列；
n 2
1 1
b -2=(b -2)( ) n-1=( ) n-1，
n 1 2 2
1
即b =( ) n-1+2，n∈N,n⩾1，
n 2
设等差数列 的公差为 ，
{a } d
n{ a =a +2d=7
3 1
由 ，解得 ， ，
6×5 a =3 d=2
S =6a + d=48 1
6 1 2
所以a =a +(n-1)d=2n+1；
n 1
1
(2)由(1)知c =a (b -2)=(2n+1)( ) n-1，
n n n 2
1 1 1 1 1
所以T =3×( ) 0+5×( ) 1+7×( ) 2+⋯+(2n-1)×( ) n-2+(2n+1)×( ) n-1，①
n 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
T =3×( ) 1+5×( ) 2+7×( ) 3+⋯+(2n-1)×( ) n-1+(2n+1)×( ) n，②
2 n 2 2 2 2 2
①-②得
1 1 1 1 1 1
T =3+2[( ) 1+( ) 2+( ) 3+⋯+( ) n-1 ]-(2n+1)( ) n
2 n 2 2 2 2 2
1[ (1) n-1]
1-
2 2 (1) n (1) n，
=3+2× -(2n+1) =5-(2n+5)
1 2 2
1-
2
1
所以T =10-(2n+5)( ) n-1．
n 2
D+F+1=0
{
16.【解】 设圆 的一般方程为 ，有 2D+E+F+5=0
(1) C x2+ y2+Dx+Ey+F=0 ,
13 4 37
D- E+F+ =0
5 5 5
{D=-4
解得 E=0 ,
F=3
可得圆C的一般方程为x2+ y2-4x+3=0，
可得圆的标准方程为 ．
(x-2) 2+ y2=1(2)设直线l的方程为y=kx，点A、B的坐标为(x ,y )，(x ,y )，点P的坐标为(x,y)，
1 1 2 2
若直线 与圆 相交，有 |2k| ，解得 √3 √3，
l C <1 - b>0)
a2 b2
因为椭圆的面积为 ，点( √3)在椭圆 上，
2π 1, M
2
πab=2π
{
3
所以 解得： ，
, a=2,b=1
1 4
+ =1
a2 b2
x2
所以椭圆M的标准方程为： + y2=1 ；
4
(2)因为经过点P(-1,0)的直线l与曲线M交于A，B两点，当直线 的斜率不存在时， ( √3) ( √3)，
l A -1, ,B -1,-
2 2
1 √3
此时S = ×1×√3= ，
▵OAB 2 2
2
因为▵OAB与椭圆M的面积比为 ，
5π
√3
但 2 2 ，即直线斜率存在，
≠
2π 5π
不妨设直线l的方程为y=k(x+1)，
{y=k(x+1)
联立
x2 ,
+ y2=1
4
消 得： ，
y (4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0
不妨设 ，
A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
则 -8k 4k2-4，
x +x = ,x ⋅x =
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
因为y + y =k(x +1)+k(x +1)
1 2 1 2
2k
=k(x +x )+2k= ，
1 2 1+4k2
y ⋅y =k(x +1)⋅k(x +1)
1 2 1 2
-3k2 ，
=k2 (x x +x +x +1)=
1 2 1 2 1+4k2
1
所以S = ×1×|y - y |
△OAB 2 1 21
= √(y + y ) 2-4 y ⋅y
2 1 2 1 2
1√ 4k2 12k2
= + ，
2 (1+4k2) 2 1+4k2
2
因为▵OAB与椭圆M的面积比为 ，
5π
1√ 4k2 12k2
+
所以 ，
2 (1+4k2) 2 1+4k2
2
=
2π 5π
化简得 3k4+k2 4 ，
=
16k4+8k2+1 25
所以11k4-7k2-4=0，
即 ，
(11k2+7)(k2-1)=0
解得：k=±1，
所以直线l的方程为y=x+1或y=-x-1，
故直线l的方程为x- y+1=0或x+ y+1=0．
19.【解】(1)由焦点坐标可得c=√5，而e=√5，故a=1，所以b=2，
y2
故双曲线方程为x2- =1，
4
渐近线方程为y=±2x．
4
(2)由(1)可得圆O:x2+ y2= ，
3
若直线l 的斜率存在，
2
设l :y=kx+m，M(x ,y )，N(x ,y )，
2 3 3 4 4
因为 l 为圆 O 的切线，故|m| = √4即 m2= 4 (1+k2) ，
2 √1+k2 3 3
由{ y=kx+m 可得 ，
(4-k2)x2-2kmx-m2-4=0
4x2- y2=4故
Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4)=64+16m2-16k2
4(k2+1) 256+16k2 ，
=64+16× -16k2= >0
3 3
√256+16k2 √4
故
√1+k2×2× √16+k2
，
3 3
|MN|=√1+k2|x -x |=√1+k2× =
1 2 |4-k2| |4-k2|
而 2km km ，故 4m ，
x = = y =
P 2(4-k2) 4-k2 P 4-k2
√4
故
√1+k2×√k2+16，故
，
|m|√k2+16 3 |MN|=2|OP|
|OP|= =
|4-k2| |4-k2|
2√3 2√3
当直线l 的斜率不存在时，l :x= 或l :x=- ，
2 2 3 2 3
2√3 2√3 2√3 2√3
若l :x= ，则|OP|= ，而x =x = ，|y |=|y |= ，
2 3 3 M N 3 M N 3
4❑√3
因y =- y ，故|MN|= =2|OP|，
M N 3
2√3
同理可得若l :x=- ，也有|MN|=2|OP|，
2 3
故|MN|=2|OP|总成立．
