数学2025-2026长春汽三高二上期末考试_2026年02月高二试卷_260209吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年高二上学期期末考试（全）

汽开三中 2025-2026 学年度上学期期末考试 高二数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 2页，总分 150分，考试时间120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共 8小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.   a a a 10 a  1. 等差数列 n 中， 3 7 ，则 5 （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 2. 椭圆x2 4y2 4的离心率为（ ） 1 3 1 3 A. B. C. D. 2 2 4 4 3. 函数 f  x e2x的导函数 f x （ ） A. 2xe2x1 B. e2x C. 2e2x D. 2xe2x 4. 若两平行直线x2ym0  m0  与xny30之间的距离是 5 ，则mn（ ） A. 10 B. 10 C. 1 D. 0 5. 若数列  a  满足a 2，a 2a 4  nN*  ，则a （ ） n 1 n1 n 11 A.1020 B.1024 C.2044 D.2048 6. 已知点P到点F  2,0  的距离与点P到直线x8的距离之比为 1 ，则 FP 的最大值为（ ） 2 A 1 B.3 C.6 D.8 . 1   7. 已知等比数列  a  中，a 4，a  ，设数列 1 n a 的最大项为M ，最小项为m，则M m n 3 6 2 n （ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 8. 已知函数 f  x  x3mx6lnx在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. ,9  B.  9, C. ,9  D.  9,二、选择题：本题共 3小题，每小题6 分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 已知抛物线C: y2 12x的焦点为F ，点M  x ,y  在C上，则（ ） 0 0 A. F  3,0  B. C 的准线方程为 y=3 C. 若 MF 8，则x 5 D. 以MF为直径的圆与y轴相切 0   10. 设S 是数列 a 的前n项和，则下列说法正确的是（ ） n n A. 若等差数列的项数为2n+1，S 为所有奇数项的和，S 为所有偶数项的和，则S S a 奇 偶 奇 偶 n1 S S S B. 若  a  是等差数列，则 5 是 3 与 7 的等差中项 n 5 3 7 C. 若  a  为等比数列，S 2，S 6，则S 18 n 2 4 6 D. 若数列a ，a a ，…，a a 是首项为1，公比为3的等比数列，则数列  a  的通项公式是a  3n 1 1 2 1 n n1 n n 2 lnx 11. 对于函数 f  x  ，下列说法正确的是（ ） x2 1 A. f (x) 在x e处取得极大值 2e B. f (x)有两个不同的零点     C. f  2  f π  f 3  1  D. 若 f(x)a有两个不同的实根，则a的取值范围是 ,   2e 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 若曲线y axex在点  0,1  处的切线方程为 y 2xb，则ab______． 13. 已知1，a，x，b，9是各项均为实数的等比数列，则x __________ 14. 已知动圆C:x2  y2 6x8m0上总存在不同的两点A，B到坐标原点的距离都等于1，则实数m 的取值范围是________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线C的焦点坐标为F( 10,0)，F ( 10,0)，实轴长为6． 1 2 （1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF  PF ，求PFF 的面积． 1 2 1 2 16. 已知函数 f(x) x3x2 ax2在x1时取得极值. （1）求函数 f (x)的单调区间； （2）求函数 f (x)在区间2,2上的最小值. 17. 已知数列  a  的前n项和为S ，且1，n，S 成等比数列. n n n （1）求a ，a ； 1 2   （2）求 a 的通项公式； n 1 （3）若b  ，求数列  b  的前n项和T . n a a n n n n1 18. 已知数列  a  满足：a a 6，2a a 0． n 1 2 n n1   （1）求数列 a 的通项公式； n （2）若b a log a ，求数列  b  的前n项和S ； n n 2 n n n （3）记c [lg(log a )]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]0，[lg100]2．求数列  c  的 n 2 n n 前2025项和T ． 2025 x2 y2 2   19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:  1(a b0)的离心率为 ，点 2,1 在椭 a2 b2 2 圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与圆O:x2  y2 2相切，与椭圆C相交于P,Q两点． ①若直线l过椭圆C的右焦点F ，求PQ的长； ②求证：OP OQ．汽开三中 2025-2026 学年度上学期期末考试 高二数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 2页，总分 150分，考试时间120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共 8小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.   a a a 10 a  1. 等差数列 n 中， 3 7 ，则 5 （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列通项公式代入即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由a a 10， 3 7 可得a 2d a 6d 2  a 4d 2a 10， 1 1 1 5 所以a 5. 5 故选：B 2. 椭圆x2 4y2 4的离心率为（ ） 1 3 1 3 A. B. C. D. 2 2 4 4 【答案】B 【解析】 【分析】借助离心率定义计算即可得. x2 41 3 【详解】x2 4y2 4可化为  y2 1，则离心率e  ． 4 4 2 故选：B. 3. 函数 f  x e2x的导函数 f x （ ）A. 2xe2x1 B. e2x C. 2e2x D. 2xe2x 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则直接求导即可. 【详解】函数 f  x e2x的导函数 f x 2e2x. 故选：C 4. 若两平行直线x2ym0  m0  与xny30之间的距离是 5 ，则mn（ ） A. 10 B. 10 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件及平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线x2ym0  m0  与xny30平行， 1 n 3 所以有   ，所以有n2,m3， 1 2 m 又因为这两条平行线间距离为 5 ， m3 所以有  5 m3 5 m2 ，或m80舍去， 12 22 所以mn220. 故选：D. 5. 若数列  a  满足a 2，a 2a 4  nN*  ，则a （ ） n 1 n1 n 11 A 1020 B.1024 C.2044 D.2048 . 【答案】C 【解析】 【分析】整理可得a 42  a 4  ，可知数列  a 4  是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比 n1 n n 数列通项公式运算求解. 【详解】因为a 2a 4，则a 42a 82  a 4  ， n1 n n1 n n 且a 4 2 0，可知数列  a 4  是以首项为2，公比为2的等比数列， 1 n则a 422n1 2n，即a 2n 4， n n 所以a  211 4 2044. 11 故选：C. 6. 已知点P到点F  2,0  的距离与点P到直线x8的距离之比为 1 ，则 FP 的最大值为（ ） 2 A.1 B.3 C.6 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用设动点坐标，表示距离，结合题意可得轨迹方程，再用坐标法来求距离的最大值即可.    x2 2  y2 1 【详解】设点P x,y ，则根据题意可得：  ， x8 2 x2 y2 整理得：4  x2 2 4y2=  x8 2   1， 16 12  x2  1 则 FP   x2 2 y2   x2 2121  x24x16 ，  16 4 因为x4,4  ，所以当x4时， FP  1 4 244 16  36 6， max 4 故选：C 1   7. 已知等比数列  a  中，a 4，a  ，设数列 1 n a 的最大项为M ，最小项为m，则M m n 3 6 2 n （ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列  a  的公比为q，根据题意求出a 、q的值，可得出数列  a  的通项公式，分析数列 n 1 n   1 n a 奇数项和偶数项的单调性，可得出M 、m的值，即可得解. n a aq2 4 a 16  3 1  1 【详解】设等比数列  a 的公比为q，由 1 ，解得 1 ， n a aq5  q   6 1 2  2 n1 所以a aqn1 16   1   25n，1 n a 1 n25n， n 1 2 n当n为奇数时，1 n a 1 n 25n 25n 0； n 当n为偶数时，1 n a 1 n25n 25n 0. n   所以，数列 1 n a 的奇数项单调递增，偶数项单调递减， n 故M 1 2 a 8，m1  a 16，M m24， 2 1 故选：D． 8. 已知函数 f  x  x3mx6lnx在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. ,9  B.  9, C. ,9  D.  9, 【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数，再应用单调递增导函数大于等于0，再构造函数求函数最小值，列不等式求参数范围 即可. 6 【详解】函数 f  x  x3mx6lnx定义域为  0, ， f x 3x2 m ， x 6 因为函数 f  x  x3mx6lnx在定义域内单调递增，所以 f x 3x2 m 0, x 6  6 所以3x2  m在x 0, 恒成立，所以3x2   m x  x min 6 6  x31 设t  x 3x2   x0  ,t x 6x 6 ， x x2  x2  所以x 0,1  ,t x 0,t  x  单调递减；x 1, ,t x 0,t  x  单调递增； 所以t  x  t  1 369， min 所以m9. 故选：A. 二、选择题：本题共 3小题，每小题6 分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 已知抛物线C: y2 12x的焦点为F ，点M  x ,y  在C上，则（ ） 0 0 A. F  3,0  B. C的准线方程为 y=3 C. 若 MF 8，则x 5 D. 以MF为直径的圆与y轴相切 0【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和几何性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由抛物线C: y2 12x，可得其焦点为F  3,0  ，所以A正确； 对于B中，抛物线C: y2 12x的准线方程为x3，所以B错误； 对于C中，因为点M  x ,y  在C上，根据抛物线的定义，可得 MF  x 38， 0 0 0 解得x 5，所以C正确； 0 对于D中，由抛物线的定义，可得 MF  x 3， 0  x 3 y  x 3 MF 则线段MF的中点坐标 0 , 0 （即圆心）到y轴的距离为 0  ，  2 2  2 2 故以MF为直径的圆与y轴相切，所以D正确． 故选：ACD．   10. 设S 是数列 a 的前n项和，则下列说法正确的是（ ） n n A. 若等差数列的项数为2n+1，S 为所有奇数项的和，S 为所有偶数项的和，则S S a 奇 偶 奇 偶 n1 S S S B. 若  a  是等差数列，则 5 是 3 与 7 的等差中项 n 5 3 7 C. 若  a  为等比数列，S 2，S 6，则S 18 n 2 4 6 D. 若数列a ，a a ，…，a a 是首项为1，公比为3的等比数列，则数列  a  的通项公式是a  3n 1 1 2 1 n n1 n n 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列项的性质及等差数列前n项和公式及性质，等比数列项的性质及等比数列前n项和 公式及性质逐个判断各个选项. 【详解】S S  a a a a  a a a a  ， 奇 偶 1 3 5 2n1 2 4 6 2n 即S S  a a  a a  a a  a a a ， 奇 偶 2n1 2n 7 6 5 4 3 2 1 ∴S S a nd a ，A选项正确； 奇 偶 1 n15  a a  3  a a  1 5 1 3 S a a ，S a a ， 2 2 5   1 5  a 3   1 3 a 5 5 2 3 3 3 2 2 7  a a  1 7 S a a ， 2 7   1 7 a 7 7 2 4 a a a  2 4 ，∴a 是a 和a 的等差中项， 3 2 3 2 4 S S S 即 5 是 3 与 7 的等差中项，B选项正确； 5 3 7 等比数列中，S ,S S ,S S 成等比数列， 2 4 2 6 4  S S 2  62 2 ∴S S  4 2   8， 6 4 S 2 2 ∴S 6814，C选项错误； 6 a a 13n13n1,n 2 数列  a a  的通项公式 n n1 ， n n1 a 1 1 ∴a  a a  a a  a a a ， n n n1 n1 n2 2 1 1 3  13n1  3n 32 3n 1 ∴ a  1  ，D选项正确； n 13 2 2 故选：ABD. lnx 11. 对于函数 f  x  ，下列说法正确的是（ ） x2 1 A. f (x)在x e处取得极大值 2e B. f (x)有两个不同的零点     C. f  2  f π  f 3  1  D. 若 f(x)a有两个不同的实根，则a的取值范围是 ,   2e 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据导函数的正负得出函数单调性进而得出极值判断A，根据单调性判断C，应 用对数运算判断B，应用单调性结合函数值域即可判断D.12lnx 【详解】由已知得 f x  ， x3 令 f(x)0得0 x e ，令 f(x)0得x e， 1 故 f (x)在(0, e)上单调递增，在( e,)单调递减，所以 f (x)的极大值为 f( e) ，A正确； 2e 又令 f(x)0得lnx0，即x1，所以 f (x)只有1个零点，B不正确；       函数在 e, 上单调递减，因为2 π  3 e ，所以 f  2  f π  f 3 ，故C正确； 若 f(x)a有两个不同的实根，由 f (x)在(0, e)上单调递增，在( e,)单调递减， 1 所以 f (x)的最大值为 f( e) ， 2e 当x0时， f  x ，当x时， f(x)0，  1  当 f(x)a有两个不同的实根，则a 0, ，故D不正确．  2e 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 若曲线y axex在点  0,1  处的切线方程为 y 2xb，则ab______． 【答案】 【解析】2 ae0 2 【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得导数 y'aex，结合题意可得 ，解得a，b的  1b 值，相加即可得答案． 【详解】解：根据题意，曲线 y axex的导数为 y'aex， ae0 2 若曲线 y axex在点  0,1  处的切线方程为 y 2xb，则有 ，  1b 解得a1，b1，则ab2 故答案为 ． . 【点睛】本2题考查利用函数的导数计算切线方程，考查了函数导数的几何意义，属于基础题． 13. 已知1，a，x，b，9是各项均为实数的等比数列，则x __________ 【答案】3【解析】 【分析】根据等比数列的基本性质，求出公比，求出数列的项 【详解】设等比数列公比为q，则1q4 9，所以q2 3，所以x1q2 3. 故答案为：3. 14. 已知动圆C:x2  y2 6x8m0上总存在不同的两点A，B到坐标原点的距离都等于1，则实数m 的取值范围是________.   【答案】 3,15 【解析】 【分析】根据题意，求出以坐标原点为圆心，半径为1的圆为x2  y2 1，设该圆为圆O，由圆C的方程 分析圆心坐标和半径，分析可得若动圆C:x2  y2 6x8m0上总存在不同的两点A，B到坐标原点 的距离都等于1，则圆O与圆C有2个交点，由圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，以坐标原点为圆心，半径为1的圆为x2  y2 1，设该圆为圆O， 圆C:x2  y2 6x8m0，即(x3)2  y2 1m，其圆心为(3,0)，半径r  1m，则|CO|3， 若动圆C:x2  y2 6x8m0上总存在不同的两点A，B到坐标原点的距离都等于1，则圆O与圆C有 2个交点， 则有| 1m 1||CO| 1m 1，即2 1m 4，解得3m15， 即m的取值范围为(3,15)； 故答案为：(3,15)． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算 求解能力． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线C的焦点坐标为F( 10,0)，F ( 10,0)，实轴长为6． 1 2 （1）求双曲线C标准方程； （2）若双曲线C上存在一点P使得PF  PF ，求PFF 的面积． 1 2 1 2 x2 【答案】（1） y2 1 （2）1 9 【解析】【分析】（1）由题意知，c 10，a＝3，求出b，即可求解对应双曲线方程； （2）由垂直可得 PF 2  PF 2 (2 10)2，再结合第一定义可得 PF  PF 6，联立求解求出 1 2 1 2 PF  PF ，即可求解 1 2 x2 【详解】（1）由条件得c 10，2a＝6，a＝3，∴b＝1，∴双曲线方程为： y2 1． 9 （2）由双曲线定义知 PF  PF 6且 PF 2  PF 2 (2 10)2， 1 2 1 2 1 联立解得 PF  PF 2，∴PFF 的面积为： PF  PF 1． 1 2 1 2 2 1 2 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，焦点三角形面积的求法，属于基础题 16. 已知函数 f(x) x3x2 ax2在x1时取得极值. （1）求函数 f (x)的单调区间； （2）求函数 f (x)在区间2,2上的最小值. 1 1 【答案】（1）递增区间是(, ),(1,)，递减区间是( ,1)； 3 3 （2）8. 【解析】 【分析】（1）求出函数 f (x)的导数，由给定的极值点求出a值并验证，再解导数大于0、小于0的不等式 即得. （2）利用（1）中单调区间求出极小值及端点处的函数值即得. 【小问1详解】 函数 f(x) x3x2 ax2，求导得 f(x)3x2 2xa， 由函数 f (x)在x1时取得极值，得 f(1)1a0，解得a 1， 此时 f(x)3x22x1(3x1)(x1) ，显然x1是 f(x)的变号零点，即x1是极值点， 1 1 1 因此a 1， f(x)3(x )(x1)，当x 或x 1时， f(x)0，当  x1时， f(x)0， 3 3 3 1 1 所以函数 f (x)的递增区间是(, ),(1,)，递减区间是( ,1). 3 3 【小问2详解】 1 1 由（1）知，函数 f(x) x3x2 x2的在[2, ),(1,2]上单调递增，在( ,1)上单调递减， 3 3 f(2)(2)3(2)2(2)28， f(1)13 12 121，所以函数 f (x)在区间2,2上的最小值是8. 17. 已知数列  a  的前n项和为S ，且1，n，S 成等比数列. n n n （1）求a ，a ； 1 2   （2）求 a 的通项公式； n 1 （3）若b  ，求数列  b  的前n项和T . n a a n n n n1 【答案】（1）1，3； （2）a 2n1 n n （3）T  . n 2n1 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义可得S n2，进而求出a ,a . n 1 2 （2）由（1）的结论，利用n2,a S S 求出通项公式. n n n1 （3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 由1，n，S 成等比数列，得S n2，所以a S 1，a S S 3. n n 1 1 2 2 1 【小问2详解】 当n2时，a  S S n2 (n1)2 2n1，而a 1满足上式， n n n1 1 所以  a  的通项公式是a 2n1. n n 【小问3详解】 由（2）知a 2n1，a 2n1， n n1 1 1 1  1 1  则b      ， n a a  2n1  2n1  22n1 2n1 n n1 1 1 1 1  1 1  1 1  n 则T  1           1   . n 2 3 3 5 2n1 2n1 2 2n1 2n1 18. 已知数列  a  满足：a a 6，2a a 0． n 1 2 n n1   （1）求数列 a 的通项公式； n（2）若b a log a ，求数列  b  的前n项和S ； n n 2 n n n （3）记c [lg(log a )]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]0，[lg100]2．求数列  c  的 n 2 n n 前2025项和T ． 2025 【答案】（1）a 2n； n （2）S (n1)2n12； n （3）4968. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义求出通项公式. （2）由（1）求出b ，再利用错位相减法求出其前n项和S . n n （3）根据给定条件，当1n10时，c 0；当10n100时，c 1；当100n1000时，c 2； n n n 当1000n10000时，3lgn4，c 3，进而计算得解. n 【小问1详解】 数列  a  中，由2a a 0，得a 2a ，则a 2a ，而a a 6，解得a 2， n n n1 n1 n 2 1 1 2 1   因此数列 a 是首项为2，公比为2的等比数列， n   所以数列 a 的通项公式为a 2n. n n 【小问2详解】 由（1）得b 2nlog 2n n2n ， n 2 则S 121222 323n2n，2S 122 223 324 n2n1， n n   2 12n 两式相减得S  2122232nn2n1  n2n1 (1n)2n12 ， n 12 所以S (n1)2n12. n 【小问3详解】 由（1）得c [lg(log 2n)][lgn]， n 2 当1n10时，0lgn1，c 0，共有9项； n 当10n100时，1lgn2，c 1，共有90项； n当100n1000时，2lgn3，c 2，共有900项； n 当1000n10000时，3lgn4，c 3，共有9000项； n 而20259909001026，所以T 091902900310264968. 2025 x2 y2 2   19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:  1(a b0)的离心率为 ，点 2,1 在椭 a2 b2 2 圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与圆O:x2  y2 2相切，与椭圆C相交于P,Q两点． ①若直线l过椭圆C的右焦点F ，求PQ的长； ②求证：OP OQ． x2 y2 【答案】（1）  1 6 3 6 6 （2）① ，②证明见详解 5 【解析】 【分析】（1）由离心率及椭圆上的点建立方程组，解得a,b,c，即可写出椭圆方程； （2）①由（1）求得焦点F 坐标，讨论斜率是否存在，得到直线l的方程，由直线l与圆O相切求得直线方 程，联立直线方程与椭圆方程，整理得到一元二次方程，由韦达定理及交点弦长公式求得PQ的长； ②讨论切线l斜率是否存在，写出直线方程，联立方程组整理得到一元二次方程，由韦达定理及向量的数量 积证明两直线垂直. 【小问1详解】 c 2 e  a 2  a2 6  4 1  由题意得  1 ，解得b2 3，  a2 b2  c2 3 a2 b2 c2    x2 y2 ∴椭圆C:  1 6 3 【小问2详解】   ①点F 3,0 ，当直线l斜率不存在时，l:x= 3，此时与圆O:x2  y2 2不相切， 所以设直线l: y kx 3k ，即l:kx y 3k 0，  3k 所以圆心O到直线l的距离d   2，∴k  2， k2 1 即l: y  2x 6或l: y  2x 6， 由对称性不妨取l: y  2x 6， y 2x 6  联立方程组得 x2 y2 ，整理得5x2 8 3x60，   1  6 3     8 3 6 设P x ,y ,Q x ,y ，则x x  ,x x  ， 1 1 2 2 1 2 5 1 2 5 643 6 6 6 则 PQ  1k2 x x  1k2  x x 24x x  3 4  . 1 2 1 2 1 2 25 5 5 ②当直线l斜率不存在时，直线l:x   2，代入椭圆方程求得 y   2 ，     由对称性，不妨取P 2, 2 ,Q 2, 2         则OP  2, 2 ,OQ  2, 2 ，则OPOQ 220，即OP OQ； 当直线l斜率存在时设l: y kxm，∵l与圆O:x2  y2 2相切， m   ∴  2，即m2 2 k2 1 ， 1k2y kxm    联立方程x2 y2 ，整理得 12k2 x2 4kmx2m2 60，   1  6 3     4km 2m2 6 设P x ,y ,Q x ,y ，则x x  ,x x  ， 1 1 2 2 1 2 2k2 1 1 2 2k2 1 ∵ y y  kx m  kx m k2x x km  x x m2， 1 2 1 2 1 2 1 2   ∴OPOQ  x x  y y   1k2  x x km  x x m2， 1 2 1 2 1 2 1 2 即O  P  O  Q   x x  y y   1k2  2m2 6 km 4km m2 ， 1 2 1 2 2k2 1 2k2 1   2m2 6 2m2k2 6k2 4k2m2 2k2m2 m2 3m2 6k2 6 m2 2  k2 1  ∴ OPOQ     3  ∵ 2k2 1 2k2 1 2k2 1 2k2 1 2k2 1 2k2 1   m2 2 k2 1 ，     m2 2 k2 1 ∴ OPOQ 3 0 ， 2k2 1 ∴OP OQ.