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河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期开学测评数学试卷
一、单选题
1．在等差数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点， 的焦距为 ，以点 、 、
为顶点的三角形是等腰三角形，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知直线 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，l
与 所成的角为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如图1所
示，其横截面如图2所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（
）A． B． C． D．
7．若等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．在四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形， ， ，平面AEF与棱CD交于点
G，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若圆 与圆N关于直线 对称，则（ ）
A．圆M与圆N相交
B．圆M与圆N外切
C．圆N上一点与点 的距离的最小值为
D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为
10．已知 是定义域为 的函数 的导函数，且 ，则（ ）
A． B．
C． 有两个零点 D．
11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状
把数分成许多类，将图中的1，6，15，28，…称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列 ，则（ ）
A． B．
C． 是等比数列 D．
三、填空题
12．直线 被圆 截得的弦AB的长为________．
13．已知正四棱柱 的表面积为16，底面边长为x，体积为V，则当 时，V关于x的瞬
时变化率为________．
14．若抛物线 上的动点P到C的准线的距离为d，点 ，则 的最大值为________，
此时点P的坐标为________．
四、解答题
15．在等比数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
16．已知函数 ，且曲线 在点 处的切线的斜率为1．
(1)求a；
(2)若过点 的直线l与 的图象相切，求l的方程．17．在底面半径为1，高为 的圆柱OP中建立如图所示的空间直角坐标系．在点 处有一只蚂蚁
M（视为质点）沿z轴正方向以每秒1个单位长度的速度爬行，同时在点 处有一只蚂蚁N（视为质
点）沿着圆柱的表面逆时针匀速螺旋爬行，经过 秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N
到平面Oxy的距离为 ．
(1)当经过 秒时，求平面OMN与平面Oxy夹角的余弦值；
(2)当经过 秒时， ，求t的取值范围．
18．已知正项数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的通项公式；
(3)若数列 的前n项和为 ，证明： ．
19．已知A，B分别为椭圆 的左、右顶点，且 ，C的离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若倾斜角为 的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；
(3)若过 且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，与直线 交于点P，设直线AM，BN的斜率分别为 ， ，且 ，比较 与 的大小，并说明理由．参考答案
1．C
【详解】因为数列 为等差数列，
则 ，所以 .
2．D
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确.
3．D
【详解】易知点 、 、 ，
所以 ， ，所以 ，
即 为钝角，
又因为 为等腰三角形，所以 ，即 ，解得 .
4．A【详解】当 时，直线 ，即 与直线 平行，
由 ，得 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
5．A
【详解】易知 ，
所以 ，
即 ，又 ，所以 .
6．D
【详解】构建如下图示的直角坐标系，其中双曲线过点 ，实轴长为 ，即 ，
双曲线的焦点在 轴上，设为 ，则 ，故离心率 .
7．B
【详解】因为等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，且 ， ，
则
，解得 ，
又因为 ，所以 ，故 .
8．C【详解】因为 ， ，
所以 ，
设 ，
，
，
显然 不是共线向量.
因为平面AEF与棱CD交于点G，所以 四点共面，
因此有
，
因为 彼此两两不互相共线，
所以有 ，
所以 .9．BC
【详解】因为圆 与圆N关于直线 对称，所以圆 .
圆心距 ，恰好等于两圆的半径和，所以两圆外切；A错误，B正确；
因为 ，所以圆N上一点与点 的距离的最小值为 ，C正确；
因为 ，所以圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 ，D错误.
10．BCD
【详解】对 求导可得 ，
令 ，可得 ，解得 ，所以A错误，B正确；
因此 ，所以 ，
令 ，可得 ，因此 有两个零点，所以C正确；
易知 ，所以 ，即 ，可知D正确.
11．ABD
【详解】在数列 中，有 ，
进一步，得 ，
所以可以得到递推关系： ，即 ，
因为 ，显然不是常数，
所以数列 不是等比数列，选项C不正确；
当 时，
，
显然 也成立.
因为 ， ，
所以选项AB正确；
所以选项D正确.
12．
【详解】圆心 到直线 的距离为： ，
所以弦 的长为： .
13．
【详解】因为正四棱柱 的底面边长为x，设正四棱柱的高为 ，所以正四棱柱 的表面积为 ，所以 ，
所以体积为 ，
所以 ，则 时，V关于x的瞬时变化率为 .
14．
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，由抛物线定义得 ，
则 ，当且仅当 是线段 的延长线与抛物线的交点时取等号，
直线 ，由 且 ，得 ，即点 ，
所以 的最大值为 ，此时点P的坐标为 .
15．(1) ;
(2) .
【详解】（1）设数列公比为 ，则 .
两式相除可得 ，又 ，
则 ；（2）由（1）， .
则
.
16．(1)
(2)
【详解】（1） ，因为曲线 在点 处的切线的斜率为1，
所以 ，解得 .
（2）由（1）知， ，
设切点坐标为 ，则 ，切线 的方程为 ，
又点 在曲线 上，所以 ，代入得 ，
即 ，
整理可得 ，故l的方程为 ，即 .
17．(1) ；
(2) .
【详解】（1）由题知，当经过 秒时， ，则 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
记平面 与平面 夹角为 ，
则 .
（2）因为经过 秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N到平面 的距离为 ，
所以蚂蚁 沿 轴正方向移动的速度为 ，绕着圆柱旋转的角速度为 ，
所以当经过 秒时， ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，所以 ，解得 .
18．(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，又 ，所以 ；
当 时， ，又 ，所以 ， .
（2）当 时， ， ，两式相减得： ，又 ，所以 .
所以 ，
因为 ，所以 .
又 ，
两式相加得 ，
所以 ，
两式相减得： ，
所以 .
因为 ，所以 .
所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 .
（3）因为 ，
当 时， ；
当 时， .
所以
，
因为 ，所以 .19．(1)
(2) ，
x+4 y=0
(3) ，理由见详解
【详解】（1）由题意可知： ，即 ，
又因为椭圆C的离心率为 ，则 ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）设直线 ， ， ，
联立方程 ，消去y可得 ，
则 ，解得 ，
可得 ， ，
则DE的中点坐标为 ，即 ，且 ，
消去 可得DE的中点的轨迹方程为 ， .
x+4 y=0（3）由题意可知：直线 与椭圆C必相交， ， ，
设直线 ， ， ， ，
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ， ，可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
整理可得 ，即 ，
可得 ，
因为 为常数，则 不恒成立，则 ，即 ，
则直线 ， ，
因为
，
所以 .
