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{#{QQABRYo4wgC4kJaACJ4LAUFcCgsYkJEgJMgkgRCeuAwiABFABAA=}#}{#{QQABRYo4wgC4kJaACJ4LAUFcCgsYkJEgJMgkgRCeuAwiABFABAA=}#}{#{QQABRYo4wgC4kJaACJ4LAUFcCgsYkJEgJMgkgRCeuAwiABFABAA=}#}{#{QQABRYo4wgC4kJaACJ4LAUFcCgsYkJEgJMgkgRCeuAwiABFABAA=}#}2025学年
宁波市 期末九校联考 高二数学参考答案
第一学期
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
题目 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D B C C A B
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．2
13．
宁波市九校联考高二数学参考答案 第1页 共5页
− 1
14．
6
5
a 2
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
解：
（1）因为 f ( x ) = 3 −
2
x e
， （2分）
所以 f ( 0 ) = 1 ，切线方程为 y = x + 2 ． （4分）
（2）函数 f ( x ) =
2
x e
+ a x 的定义域为 R
2 aex −2
，且 f(x)=a− = ，
ex ex
当 a 0 时， f ( x ) 0 恒成立，所以 f ( x ) 在 R 上单调递减，f(x)无极值． （7分）
当 a 0 时，令 f ( x ) 0 ，解得 x ln
2
a
；令 f(x)0，解得 x ln
2
a
，
2 2
所以 f(x)在(−,ln )上单调递减，在(ln ,+)上单调递增，
a a
f ( ln
2
a
) = a + a ln
2
a
，
所以 f(x)的极小值为 a + a ln
2
a
，无极大值． （13分）
16．（本小题15分）
解：
（1）当 n 2
题目 9 10 11
答案 ABC ACD ABD
n+1 n
时，a =S −S = a − a ， （2分）
n n n−1 2 n 2 n−1
a a
整理得na =(n−1)a ，即 n−1 = n （n2）
n−1 n n−1 n
a
所以 n =1，从而a =n．（累乘法也可） （6分）
n n
{#{QQABRYo4wgC4kJaACJ4LAUFcCgsYkJEgJMgkgRCeuAwiABFABAA=}#}1 1 1 1 1
（2）因为b = = = ( − )， （9分）
n a a n(n+2) 2 n n+2
n n+2
所以
宁波市九校联考高二数学参考答案 第2页 共5页
T
n
=
1
2
(1 −
1
3
) + (
1
2
−
1
4
) + (
1
3
−
1
5
) + + (
1
n
−
n
1
+ 2
)
=
1
2
(1 +
1
2
−
n
1
+ 1
−
n
1
+ 2
)
3 1 1 1
= − ( + )． （15分）
4 2 n+1 n+2
17．（本小题15分）
解：
（1）证明：取 A B 中点 O ，连接OC， O A
1
， A B
1
．
由 C A = C B 得， O C ⊥ A B ．
因为平面 A B B
1
A
1
⊥ 平面 A B C ，平面 A B B
1
A
1
平面 A B C = A B ， O C 平面 A B C ，
所以 O C ⊥ 平面 A B B
1
A
1
．
又因为 A B
1
平面 A B B
1
A
1
，所以 O C ⊥ A B
1
． （2分）
又AB∥AO，
1 1
A
1
B
1
= A
1
A = A O = 2 ，所以四边形 A
1
A O B
1
是菱形，从而AB ⊥ AO．（4分）
1 1
又OC AO=O，所以AB ⊥平面
1 1
A
1
O C ．
又 A
1
C 平面 A
1
O C ，所以AB ⊥ AC． （6分）
1 1
（2）取 A
1
B
1
的中点M ，连接OM ，则OM ⊥ AB，易证 O M ⊥ 平面 A B C ，
所以三棱台 A B C − A
1
B
1
C
1
的高 h = 3 ．
设 O C = a ，则 S
△ A B C
= 2 a
a
，S = ，
△A 1 B 1 C 1 2
从而 V =
1
3
( S
△ A B C
+ S
△ A B1 C1 1
+ S
△ A B C
S
△ A B1 C1 1
) h =
3
3
( 2 a +
a
2
+ 2 a
a
2
) =
7
3
3
，
解得 a = 2 ． （9分）
以 O 为原点，直线 O B ， O C ，OM 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，如图
则 C ( 0 , 2 , 0 ) ， C
1
( 0 ,1 , 3 ) ， E ( 0 ,
3
2
,
2
3
) ， A
1
( − 1 , 0 , 3 ) ， B
1
(1 , 0 , 3 ) ，
C C
1
=
( 0 , − 1 , 3 )
，AB =(2,0,0)，
1 1
A
1
E =
(1 ,
3
2
, −
2
3
) ， （11分）
设平面 A
1
B
1
E
的法向量n=(x,y,z)，
则
nn AA
1
1
BE
1
=
=
0 ,
0 ,
2x=0,
即 3 3
x+ y− z=0,
2 2
令z= 3，则 y = 1 ，
n
= ( 0 ,1 , 3 ) ， （13分）
设直线 C C
1
与平面 A
1
B
1
E 所成角为，
CC 1 n −1+3 1
则sin=cos CC ,n = = = ．
1 CC n 1+3 1+3 2
1
1
故直线CC 与平面ABE 所成角的正弦值为 ． （15分）
1 1 1 2
A
A 1
P
z
B
B 1
x
C 1
C
y
{#{QQABRYo4wgC4kJaACJ4LAUFcCgsYkJEgJMgkgRCeuAwiABFABAA=}#}18．（本小题17分）
解：
（1）因为椭圆
宁波市九校联考高二数学参考答案 第3页 共5页
C :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 ) 过点
1 ,
2
3
，且离心率为
2
3
．
1 3
所以 + =1，且
a2 4b2
e =
c
a
= 1 −
b
a
2
2
=
2
3
， （2分）
解得 a 2 = 4 ， b 2 = 1 ，
所以椭圆 C 的方程为
x
4
2
+ y 2 = 1 ． （4分）
（2）（ⅰ）设l： y = k x + 2 ，联立椭圆方程得： ( 4 k 2 + 1 ) x 2 + 1 6 k x + 1 2 = 0 ，
由 0
3 3
得，k(−,− ) ( ,+)．
2 2
设 M ( x
1
, y
1
) ， N ( x
2
, y
2
) ，则 x
1
+ x
2
=
4
−
k
1
2
6 k
+ 1
， x
1
x
2
=
4 k
1 2
2 + 1
． （6分）
因为 k
A M
=
y
1x
−
1
1
， k
A N
=
y
2x
−
2
1
所以 k
A M
k
A N
=
( y
1
− 1
x
)
1
(
x
y
2
2
− 1 )
=
( k x
1
+ 1
x
)
1
(
x
k
2
x
2
+ 1 )
=
k 2 x
1
x
2
+ k
x
( x
1
x
1 2
+ x
2
) + 1
=
1 2 k 2 − 1 6 k
1
2
2
+ 4 k 2 + 1
=
1
1 2
． （9分）
（ⅱ）因为直线 A N 的方程为 y =
y
2x
−
2
1
x + 1 ，
所以 y
p
=
( y
2
− ) 1 x
x
2
1
+ x
2 ．
所以 Q
x
1
,
1
2
y
2
x
1
− x
1
+
x
2
x
2
+ y
1
x
2
，即
x
1
,
2 k x
1
x
2
+
2 x
x
2
1
+ 3 x
2
． （11分）
所以直线 A Q 的斜率k =
AQ
2 k x
1
x
2
2
+
x
( x
1
x
1 2
+ x
2
)
．
因为 k x
1
x
2
= −
3
4
( x
1
+ x
2
)
2
kx x
，所以 3 2 2 1 （13分）
k = = k. AQ 2x x 3
1 2
所以直线 A Q 的方程为 y =
1
3
k x + 1 ，
联立
y
y
=
=
1
3k
x
k x
+
+
2
1 3 1
，得x =− ,y = ．
G 2k G 2
{#{QQABRYo4wgC4kJaACJ4LAUFcCgsYkJEgJMgkgRCeuAwiABFABAA=}#}所以
宁波市九校联考高二数学参考答案 第4页 共5页
T
G
M
M
=
y
y
T
M
−
−
y
My
G
=
2
y
−
M
y
−
M1
2
=
−
y
M
y
M
−
−
1
2
1
2
+
3
2
= − 1 +
3
2
y
M
1
−
1
2
，
因为 y
M
(
1
2
,1 )
TM
，所以 (2,+)． （17分）
GM
19．（本小题17分）
解析：
（1） f ( x ) =
x
1
+ 1
− 2 a x 0 对x(0,+)恒成立， （2分）
所以 2 a
x ( x
1
+ 1 )
对 x ( 0 , + ) 恒成立，
而
x ( x
1
+ 1 )
( 0 , + ) ，所以2a0．
所以 a 0 ． （4分）
（2）（ⅰ） f ( x ) =
1
1
+ x
− 2 a x 在 ( − 1 , + ) 上单调递减，
设 f ( x 0 ) = 0 ， x 0 =
1
4 +
1
2 a −
1
2 0 ，则 f ( x ) 在 ( − 1 , x 0 ) 递增，在 ( x 0 , + ) 递减，
又 f ( 0 ) = 0 ，所以不妨设x =0，则
1
x
2
0 ，
要证明 f (
x
1
+
2
x
2 ) 0 ，只需证明
x
1
+
2
x
2 x
0
，即 x
2
2 x
0
．
因为 f ( x ) 在 ( x
0
, + ) 递减，所以只需证 f ( 2 x
0
) f ( x
2
) = 0 ， （7分）
而 f ( 2 x
0
) = ln (1 + 2 x
0
) − a 4 x 20 = ln (1 + 2 x
0
) −
1
2
+
x
0x
0
，
2x
令(x)=ln(1+2x)− ，
1+x
x 0 ，
则 ( x )
1
2
2 x (1
2
x ) 2 (1 2
2
x
2 x
) (1 x ) 2
0 =
+
−
+
=
+ +
，
所以(x)在(0,+)单调递增， ( x ) ( 0 ) 成立， （10分）
所以 f ( 2 x
0
) = ln (1 + 2 x
0
) −
1
2
+
x
0x
0
0 成立，证毕！
（ⅱ）由（ⅰ）可得，AB=x 2x ，
2 0
A C B C ，
①先证明： A C 2 x
0
，即证 f(x )x ，
0 0
1
f(x )=ln(x +1)−ax2 =ln(x +1)+ax − ，
0 0 0 0 2
1 1 1 a2 a 1 a 1 2 1 1
其中ln(x 0 +1)x 0 ，ax 0 =a( 4 + 2a − 2 )= 4 + 2 − 2 a 2 + 2 − 2 a 2 ，
{#{QQABRYo4wgC4kJaACJ4LAUFcCgsYkJEgJMgkgRCeuAwiABFABAA=}#}所以
宁波市九校联考高二数学参考答案 第5页 共5页
f ( x
0
) x
0
. （13分）
所以 A C = x 20 + f 2 ( x
0
) 2 x
0
A B .
因此，若构成等腰三角形，只可能为 A B = B C .
②下面证明 A B B C ．假设 A B = B C ，
法一： A B 2 = x 22 ， B C 2 = f 2 ( x
0
) + ( x
2
− x
0
) 2 ，
若 A B = B C ，则 f 2 ( x
0
) + ( x
2
− x
0
) 2 = x 22 ，即 f 2 ( x
0
) + x 20 = 2 x
0
x
2
.
而 f (x )x x ，
0 0 2
所以 f 2 ( x
0
) + x 20 2 x 20 2 x
0
x
2
，矛盾！
法二：设 , 2 . C A B = A C B = C B A = −
则 ta n , ta n 2 . k
A C
= k
B C
=
因为 k
A C
=
f (
x
x
0
0
)
, k
B C
=
f
x
0
( x
−
0
x
)
2
，
所以 ta n 2
1
2 ta
ta
n
n 2
0
(
0
)
2 1
2
(
2
0
0(20
)
0
)
2
20
0
(2
(
0
)
0
)
=
−
f
x
x
− x
=
−
f
f
x
x
x
x
=
x
x
−
f
f
x
x
，
所以 x
2
=
f 2
2
(
x
x
0
0
)
+
x
02 2 x
0
.
即 f 2 ( x
0
) 3 x 2，
0
f ( x
0
) 3 x
0
，而 f ( x
0
) x
0
，矛盾！
综上所述，△ABC不能构成等腰三角形. （17分）
{#{QQABRYo4wgC4kJaACJ4LAUFcCgsYkJEgJMgkgRCeuAwiABFABAA=}#}
