文档内容
2025—2026 学年度上学期 2024 级
1 月月考数学试卷
命题人： 审题人：
考试时间：2026年1月15日
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
2. 已知等差数列 中， ，则 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 在等比数列 中， 成等差数列，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 和 前 项和分别为 、 ，若 ，则 =（
的
）
A. B. C. D.
5. 已知数列 满足： ，数列 是递减数列，则实数 的取
值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，过抛物线 的焦点 的直线 （斜率为正）交抛物线于点 两点（其中点在第一象限），交其准线于点 ，若 ，则 到抛物线的准线的距离为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：
上任意一点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，若对任意 ， 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，点 为椭圆 上一点，则（ ）
A. 的周长为
B. 存在点 ，使得
C. 若 ，则 的面积为
D. 使得 为等腰三角形的点 共有4个10. 已知数列 满足 ， 的前n项和为 ，则（ ）
A. B. 数列 是等比数列
C. ， ， 构成等差数列 D. 数列 前100项和为
11. 如图，曲线 上的点 与 轴非负半轴上的点 ， 构成一系列斜边在
轴上的等腰直角三角形，记为 ， ， ， （ 为坐标原点）．设
的斜边长为 ，点 ， 的面积为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 数列 的通项公式 B. 数列 的通项公式
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线 与直线 平行，则 _____.
13. 已知圆 与圆 交于 ， 两点，则公共弦长 ____．
14. 已知双曲线 ： 的左顶点为 ，右焦点为 ，倾斜角为 的直线 与双曲
线 在第一象限交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是________．
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， .（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知双曲线 的左焦点为 ， 的一条渐近线方程为 ，其顶点到
渐近线的距离为2.
的
（1）求 方程；
（2）过 的直线 与 交于 ， 两点， 为坐标原点.若 的面积为 ，求直线 的方程.
17. 在三棱柱 中，侧面正方形 的中心为点 ， 平面 ，且
，点 满足 ．
（1）当 时，求证 平面
（2）若平面 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值．
18. 已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求证: ，并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
19. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ， 为椭圆上一动点，设 ，当 时， 的面积取得最大值 ．
的
（1）求椭圆 标准方程；
（2）过点 的直线 ： 与椭圆 交于不同的两点 ， （点 在点 ， 之间）．
（i）求 的取值范围；
（ii）若 为椭圆 上一点，且 ，求 的值．
