文档内容
第五单元 长方形和正方形『举一反三培优考点讲义』
【解析版】
（导图+知识梳理+9个考点讲练+真题演练+难度分层练 共52题）
模块一 讲义简介 内容梳理
同学你好，该份讲义用于苏教版数学新教材三年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全
面，非常适合培优拔尖使用。资料包含：
1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标；
2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点；
3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等
类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍
4.真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平；
5. 难度分层训练：结合本专题内容精选 20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强
化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。
考点 考点名称
高频考点一 平行的特征及性质
高频考点二 垂直的特征
高频考点三 画垂线
高频考点四 点到直线的距离
高频考点五 画平行线
高频考点六 长方形的概念及特点
高频考点七 正方形的概念及特点
高频考点八 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形
高频考点九 数图形模块二 导图指引 梳理脉络模块三 知识精讲 单元小结
知识点一 相交与平行
1.不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
2.下图中，直线a与直线b 互相平行，记作a//b,读作a平行于b。
易错：平行线是成组出现的，
不能单独说某一条线是平行线。
重点：平行线之间的距离处处相等。
垂直是相交的一种特殊情况，互相垂直的两条直线一定相交。
2. 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。这
两条直线的交点叫作垂足。
易错：两条直线是互相垂直的，不能单独说明哪条直线是垂线。
3. 右图中，直线a与直线b 互相垂直，记作a⊥b, 读作a垂直于b。
提示：判断两条直线是否互相垂直的关键是看它们相 交所成的角是不是
直角，与两条直线放置的方向无关。
知识点二 垂线的画法
1.方法：①用三角板画 ② 用量角器来画
重点：画已知直线的垂线可以画无数条，而过直线外一点画已知直线的垂线只能画 一 条。
知识点三 点到直线的距离
重点：点到直线的所有线段中，垂直线段最短。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。
知识点四 长方形和正方形
1. 长方形
知识点五 正方形
知识点六 画长方形的方法
画长方形时，可以先画长也可以先画宽，但要保证相邻的两条线段是互相垂直的。
提示：画正方形的过程与画长方形的过程相似，不同之处是四条边的长度都相等。模块四 考点讲练 培优提升
高频考点一 平行的特征及性质
【典例精讲】（25-26三年级下·全国·随堂练习）
(1)图中，哪些道路互相平行？哪些道路互相垂直？
(2)木材加工厂要将白龙湖的水引入厂内，怎样铺设管道能使它最短？把它画出来。
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【思路引导】（1）在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。当两条直线相交成直角时，这两条直线
互相垂直。按照一定的顺序进行观察，注意不重复，不遗漏，据此解答即可。
（2）要想让木材加工厂到白龙湖最近，因为点到直线的垂线段最短，所以画木材加工厂表示的点到白龙
湖的垂线段即可。
【完整解答】（1）南瑞路、育英路、平安路、彩虹路，互相平行，凤凰大道、幸福大道，互相平行； 南
瑞路、育英路、平安路、彩虹路分别和幸福大道、凤凰大道互相垂直。
（2）根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，可知管道最短的位置应是过木材加工厂到白龙湖的
垂线段。
【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·课后作业）按要求将序号填在括号里。在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是( )，有互相垂直的线段的图形是( )，既有
互相平行又有互相垂直的线段的图形是( )。
【答案】 ①②③④ ②④⑥ ②④
【思路引导】在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。两条直线相交所成的四个角中，有一个角
是直角时，就说这两条直线互相垂直；据此解答即可。
【完整解答】在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是①②③④，有互相垂直的线段的图形是②④⑥，
既有互相平行又有互相垂直的线段的图形是②④。
【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）下图中，点P可以在方格纸（每格高是1）上自由移
动。
(1)当点P移动到什么位置时，它到直线l的距离是2？
(2)画出几个表示这些位置的点。这些点在同一条直线上吗？
(3)这些点所在的直线与直线l有什么关系？
【答案】(1)点P在直线l上方2格处的水平线上的任意一个位置
(2)见详解
(3)这些点所在的直线都和直线l互相平行。
【思路引导】（1）点到直线的距离是点到直线的垂线段长度，已知每格高度是1，要求距离为2，点P在
直线l上方2格处的水平线上的任意一个位置。
（2）在直线l上方2格处的水平线上画任意几个位置并连接，判断是否在同一条直线上。
（3）平行：在同一平面内，不相交的两条直线相互平行。
【完整解答】（1）点P在直线l上方2格处的水平线上的任意一个位置，如下图所示：（答案不唯一）
（2）在直线l上方2格处的水平线上画任意4个位置并连接，画图如下：即可观察发现这些点在同一条直线上。
（3）这些点所在的直线都和直线l互相平行。
高频考点二 垂直的特征
【典例精讲】（25-26三年级下·江苏·课后作业）按要求画图。
过点A先画已知直线的垂线，再画已知直线的平行线。量一量，画出的两条直线互相垂直吗？
【答案】垂直；画图见详解
【思路引导】过直线外一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，
当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的直线的垂线。
画平行线：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧
和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可。
观察图可知，画出的两条直线相交于点A，组成4个角，根据量角器的使用方法，中心点需与角的顶点对
齐，零刻度线需与角的一条边对齐，看另一条边对应的刻度，就是该角的度数。据此分别测量出这4个角
的度数，看看是不是90°，如果4个都是90°，画出的两条直线相交于点A，组成4个角都是直角，即画
出的两条直线互相垂直；据此解题即可
【完整解答】过点A先画已知直线的垂线，再画已知直线的平行线，画图如下：
通过测量，画出的两条直线相交于点A，组成4个角都是直角，所以，画出的两条直线互相垂直。
【变式训练1】（25-26三年级下·全国·随堂练习）拿一张长方形纸，照样子折一折，再展开，看看哪些
折痕互相垂直，哪些折痕互相平行。
【答案】纵向折横和两条横向折痕互相垂直，两条横向折痕互相平行。
【思路引导】在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；如果两条直线相交成直角，就说两条直线互相垂直。
【完整解答】两条横向的折痕在同一平面内，永远不会相交，所以它们互相平行；
纵向折痕与两条横向折痕相交成直角，所以纵向折横与两条横向折痕互相垂直。
【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）下图是某国道旁的几个村的位置示意图。
（1）请在示意图中找到互相垂直的线，并用直角符号表示出来。
（2）请找到互相平行的线，在图中圈一圈。
（3）计划从B村往国道修一条路，怎样修可使修出的路最短？在图中画出来。
【答案】
【思路引导】（1） 根据垂直的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。通过对示意图中线
段关系的观察，寻找相交成直角的线。
（2） 根据平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。观察示意图中是否存在不相交的直
线。
（3） 根据“从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短”，要从B村往国道修最短的路，就是过B村
作国道的垂线段。
【完整解答】（1）A村通过一条垂直线段连接到C村，所以A村与C村的连线和CD所在的水平方向线段互
相垂直，在其相交处标上直角符号；D村通过一条垂直线段连接到上方的国道，所以D村与国道的连线和D
村所在的水平方向线段互相垂直，在其相交处标上直角符号。
（2） 观察图中，AC、D所在的线段互相平行，将其圈出。
（3） 过B村向国道作垂线段，此垂线段即为最短的路，在图中画出该垂线段。高频考点三 画垂线
【典例精讲】（25-26三年级下·江苏·课后作业）下面画垂线的方法中，对的画“√”，错的画“×”。
( ) ( ) ( ) ( )
【答案】 √ √ × √
【思路引导】画垂线的核心要求：两条直线相交成90°直角；用三角尺画垂线要靠紧直角边对齐直线，用
量角器要对准90°刻度线，不符合直角要求即为错误。
【完整解答】三角尺直角边与已知直线完全重合，画出的角是直角，画法正确。
量角器0刻度线对齐直线，竖线对准90°刻度，画出直角垂线，画法正确。
三角尺直角顶点对齐垂足，但直角边未贴合已知直线，画出的角不是直角，画法错误。
用两个三角尺直角边互相贴合，准确画出直角垂线，画法正确。
【变式训练1】（25-26三年级下·全国·随堂练习）下边是人行横道线平面图。如果从点A穿过马路，怎
样走路线最短？为什么？把最短的路线画出来。
【答案】见详解【思路引导】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线所画的垂直线段最短；
所以从A点横过马路的最短路线是从A点向路对面作垂线段，据此解答。
【完整解答】画图如下：
答：从直线外一点向已知直线所画的垂直线段最短。
【变式训练2】（25-26三年级下·江苏·周测）如图，两条直线分别表示两条天然气管道，点B为新建的
天然气供给站，现在要将天然气供给站与两条天然气管道连通，并要使新铺设的天然气管道的长度最短。
请你在图中画出天然气管道铺设的位置。
【答案】见详解
【思路引导】根据从直线外一点到直线上任意一点的连线中，垂直线段最短，所以，要使新铺设的天然气
管道的长度最短，只需从B点分别向两条直线画垂直线段即可。
【完整解答】根据分析，画图如下：
高频考点四 点到直线的距离
【典例精讲】（25-26三年级下·江苏·课后作业）如图，三只蚂蚁同时朝箭头所指的方向爬行，同一时
间到达米粒处，谁爬得最慢？说明你的理由。【答案】丙蚂蚁；理由见详解
【思路引导】直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，相同的时间内，爬的距离短的爬得慢。
【完整解答】丙爬得最慢，根据从直线外一点到这条直线的所有连线中，垂直线段最短。蚂蚁丙的路程最
短，而相同的时间，路程越短，爬得越慢，故蚂蚁丙爬得最慢。
【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·周测）如图，点M到∠1的两条边的距离之和最小是多少？先画
一画，再量一量、算一算。
【答案】见详解；2厘米
【思路引导】从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，叫做点到直线的距离。画到两条边的垂线段测
量再相加即可。
【完整解答】用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角
边和M点重合，过M点沿直角边分别向已知直线画直线。
如图所示：
测量得出：ME＝1厘米2毫米，MF＝8毫米。
1厘米2毫米＋8毫米＝2厘米，点M到∠1的两条边距离之和最小是ME＋MF，所以最小是2厘米。
【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）上午10：00，他们从家出发去建材市场，应该怎么
走路程最短？请画出路线图，并说明理由。【答案】
见详解
【思路引导】根据题意，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离；
因此过乐乐家作建材市场的垂线段即可。
过一点作已知直线的垂线，把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该
点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作直线的垂线， 依此画图并标上垂直符号即可。
【完整解答】根据分析，作图如下：
理由：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。
高频考点五 画平行线
【典例精讲】（25-26三年级下·全国·课后作业）下图是某城市的局部交通线路图。该城市将修一条人
民大道，该大道在步行街左侧的部分经过点A且与工人路平行，在步行街右侧的部分与前进路平行。请在
图上画出人民大道。
【答案】见详解
【思路引导】画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直
线或先让三角尺的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直
尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条直线。
先过点A作工人路的平行线，与步行街相交于一点；过左侧部分与步行街的交点再作前进路的平行线，据
此作图。【完整解答】根据分析，作图如下：
【变式训练1】（25-26三年级下·全国·课后作业）
(1)请你设计一条航行路线，使游船A在下图这段河道上航行时总是平行于a岸。请在图中画出这条路线
c。
(2)已知a岸平行于b岸，则路线c( )于b岸。（填“平行”或“相交”）
(3)请给游船A设计一条路线，使其去b岸的路线最近。请在图中画出这条路线。
【答案】(1)图见详解
(2)平行
(3)图见详解
【思路引导】（1）把三角尺的一条直角边和已知直线a重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺
移动三角尺，使三角尺原来和已知直线a重合的直角边和A点重合，过A点沿三角尺的直角边画直线即可。
（2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直
线也互相平行，据此解答；
（3）直线外一点到直线的距离垂线段最短，用直角三角尺的一条直角边和直线b重合，移动三角尺，使三
角尺的另一条直角边和点A重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可。
【完整解答】（1）如图：
（2）已知a岸平行于b岸，则路线c平行于b岸。
（3）如图：【变式训练2】（24-25四年级上·山东德州·期中）画一画，想一想。
（1）在下面的点子图上画出已知直线的一条平行线。
（2）过直线上的3个点A、B、C分别向另一条直线画垂直线段。
（3）度量可以发现画出的这三条垂直线段的长度（ ），由此可以推断，在两条平行线之间，所有的
（ ）的长度都相等。
（4）由于画挂歪了，于是倩倩将挂画的两根绳子的长度调整成一样长后，画就正了，这是运用了平行线
之间的（ ）的道理。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）相等；垂线段；
（4）距离处处相等
【思路引导】（1）画已知直线的平行线：先把三角板的一条直角边与已知直线重合，并把直尺靠在三角
板另一条直角边上，保持直尺固定不动，再移动三角板，使其直角边与任意点重合，最后沿着三角板直角
边过点画出直线，即为已知直线的平行线。
（2）过点A、B、C分别画已知直线的垂线：先将直尺的一边与已知直线重合，把直角三角板的一条直角边
靠在直尺上，再移动三角板，使三角板的另一条直角边分别与已知点A、B、C重合，最后沿着三角板另一
条直角边画出两平行之间的垂线段，并标直角符号。（3）通过刻度尺测量得出结论即可。
（4）在两平行线之间可以画无数条垂直线段，所有的垂线段的长度都相等，这些垂直的线段的长度又叫
做这两条平行线之间的距离，据此分析倩倩这样操作的原因。
【完整解答】（1）（2）如图所示：
（3）度量可以发现画出的这三条垂直线段的长度相等，由此可以推断，在两条平行线之间，所有的垂线
段的长度都相等。
（4）由于画挂歪了，于是倩倩将挂画的两根绳子的长度调整成一样长后，画就正了，这是运用了平行线
之间的距离处处相等的道理。
高频考点六 长方形的概念及特点
【典例精讲】（25-26三年级下·江苏·课后作业）有两个长4厘米、宽2厘米的长方形。
（1）把它们拼成一个正方形，将拼成的正方形在方格纸上画出来。数一数，拼成的正方形边长是（
）厘米。
（2）把它们拼成一个大长方形，将拼成的大长方形在方格纸上画出来。数一数，拼成的大长方形的长是
（ ）厘米，宽是（ ）厘米。
【答案】（1）见详解；4
（2）见详解；8；2
【思路引导】（1）正方形的四条边长度相等，所以我们要让拼出来的图形长和宽一样。由于两个长方形
的宽边是2厘米，长边为4厘米，将两个长方形沿着长边拼在一起，两个宽边的和2＋2＝4厘米，这样拼
出来的图形的四条边长度都是4厘米，四个角都是直角，是正方形。据此在方格纸上画出来即可。方格纸
的每个小格边长是1厘米，据此数出拼成正方形的边长占几个小格边长，就是几厘米。
（2）沿着长方形的宽边将两个长方形拼在一起，即可拼成一个大长方形，据此在方格纸上画出来即可。方格纸的每个小格边长是1厘米，据此数出拼成长方形的长和宽占几个小格边长，就是几厘米。
【完整解答】（1）数一数，拼成的正方形边长是4厘米。
（2）数一数，拼成的大长方形的长是8厘米，宽是2厘米。
（1）（2）画图如下：
【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·课后作业）根据长方形和正方形的特点，在（ ）里填合适的
数。
【答案】3；6；4；4；4
【思路引导】长方形的特征，每个角都是直角，对边相等；正方形的特征，其四条边长度相等且四个角都
是直角，根据图中信息可知，图中长方形的长是6厘米，宽是3厘米，正方形的边长是4厘米，据此填空
即可解答。
【完整解答】又由分析可知，
【变式训练2】（23-24三年级上·上海·单元测试）数一数，图中共有( )个长方形。
【答案】65
【思路引导】单个小长方形有13个，由2个小长方形组成的长方形有18个，由3个小长方形组成的长方
形有11个，由4个小长方形组成的长方形有10个，由5个小长方形组成的长方形有1个，由6个小长方形组成的长方形有7个，由8个小长方形组成的长方形有2个，由9个小长方形组成的长方形有2个，由12
个小长方形组成的长方形有1个，共有13＋18＋11＋10＋1＋7＋2＋2＋1＝65（个）长方形。
【完整解答】根据分析可知，图中共有65个长方形。
【考点剖析】本题主要考查学生对长方形的认识，按一定规律来数，注意不数重或漏数。
高频考点七 正方形的概念及特点
【典例精讲】（25-26三年级下·江苏·课后作业）下图中分别有多少个正方形和长方形？
( )个长方形 ( )个正方形
( )个长方形 ( )个正方形
【答案】 1 2 4 5
【思路引导】根据正方形和长方形的图形特点，统计数量即可。正方形和长方形均有4个直角，正方形的
四条边均相等。
【完整解答】第一幅图： 单个小正方形有2个，两个小正方形可以拼成1个大长方形；
第二幅图： 小正方形有4个，4个小正方形可以拼成1个大正方形，一共4+1=5（个）正方形；2个小正
方形拼成长方形，横向拼有2个、纵向拼有2个，一共2+2=4（个）长方形。
【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·课后作业）如图，从高庄村到许庄村有一条河，河上有一座桥，
要想再建一座桥，使两座桥之间的距离是200米，桥应该建在哪里？在图上画一画。（图上1厘米表示实
际100米）
【答案】见详解
【思路引导】经测量，原来的桥图上是2厘米，实际是200米。所以要想再建一座桥，使两座桥之间的距
离是200米，则原桥和新桥就像正方形的两条对边，只有互相平行，它们才会同时垂直于河岸，且方向一
致；四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形。用三角板的直角边对齐原桥（相当于对齐正方形的边）， 用直尺靠住三角板的另一条直角边（相当于正
方形的邻边，保证平移方向不变） ，平移三角板2厘米，画出新的边（新桥），这条边和原桥平行，且距
离2厘米，和河岸也垂直。
【完整解答】如图：
【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）从两副同样的三角板中选出两块，能拼成一个正方形
或长方形吗？先拼一拼，再说说拼成的为什么是正方形或长方形。
【答案】能；理由见详解
【思路引导】“两副同样的三角板”意味着拥有两块完全相同的直角三角板。根据正方形（四条边相等，
四个角都是直角）和长方形（对边相等，四个角都是直角）的定义。最后通过拼接两块完全相同的直角三
角形的斜边，验证即可。
【完整解答】根据分析得出：
用两副同样的三角板，可以拼成一个长方形和一个正方形，如图：
拼正方形：选取两块两条直角边相等的三角板，将它们的斜边重合拼接。拼成的图形四个角都是直角，且
四条边长度相等，符合正方形的特征。
拼长方形：选取两块两条直角边不相等的三角板，将它们的斜边重合拼接。拼成的图形四个角都是直角，
且对边长度相等，符合长方形的特征。
所以，能拼成一个正方形或长方形。
高频考点八 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形
【典例精讲】（25-26三年级下·全国·课后作业）刘叔叔在后山开垦了一块长方形山坡地，这块地的宽
是12米，长是宽的2倍。今年夏天，这块山坡地被山洪冲塌了一部分（如下图）。你能在图中画出原来山坡地的形状吗？
【答案】画图见详解；
【思路引导】用圆规的一脚对准宽的一个端点，另一脚对准另一个端点，固定好这个长度，然后把圆规的
一脚对准长的一个顶点，截取出圆规两个脚长度的2倍，据此画出长，再按照这样的方法画出另外的长，
再把两个长的端点连在一起，即是另一条宽。
【完整解答】
【变式训练1】（25-26三年级下·江苏·周测）选择图1的小棒（每根不能折断），摆出长方形和正方形。
(1)选择( )根( )厘米的小棒摆出一个正方形。
(2)选择（ ）根（ ）厘米和（ ）根（ ）厘米的小棒就能摆出一个长方形，并把这个长方
形画在图2的方格纸上。（方格纸中每个小正方形的边长表示1厘米）
(3)选择( )就能摆出一个边长是4厘米的正方形。
【答案】(1) 4 2
(2)2；1；2；3；图见详解
(3)4根2厘米、2根1厘米、2根3厘米【思路引导】正方形的四条边相等，长方形的两组对边分别平行且相等 ，正方形和长方形均有4个直角，
结合小棒的长度判断作图即可。
【完整解答】（1）选择4根2厘米的小棒摆出一个正方形。（答案不唯一）
（2）选择2根1厘米和2根3厘米的小棒就能摆出一个长方形，画图如下：
（答案及画法不唯一）
（3）4厘米＝2厘米＋2厘米
4厘米＝1厘米＋3厘米
选择4根2厘米、2根1厘米、2根3厘米就能摆出一个边长是4厘米的正方形。
【变式训练2】（25-26三年级下·全国·课后作业）【搭建用品】
【实验操作】
你的成果展示（拍照粘贴或画
步骤 效果参考
出来）
将一次性筷子裁成不同长度的木棒。利
用木棒摆成一个长方形底座，并用绳子
固定
用木棒在底座的4个角固定成支柱，并
在支柱顶部用木棒相连固定成房梁
用雪糕棒在房梁上方搭成屋顶
搭建完成后，将硬纸板裁切成与每个面
大小相同的纸板，并裁出门窗、烟囱，
粘贴固定，木屋便大功告成了
【解决问题】新题型 说理题
1.观察自己搭的木屋底座，一共有（ ）组平行线，（ ）组垂线。
2. 在木屋的制作中，需要将木棒垂直摆放后用绳子固定，你是怎么做到让两根木棒相互垂直的？请说明
理由。3.量一量木屋底座的长与宽，画一个同样大小的长方形，再画一条线段把这个长方形分成2个大小和形状
完全一样的图形。
【答案】见详解
【思路引导】准备好搭建用品，按照实验步骤一步一步的操作即可；
1.长方形的四个角都是直角，所以相邻的边互相垂直，共有 4 组垂线；
2.可以利用三角尺上的直角来辅助定位；
3.用直尺量出底座的长和宽，记录数值后画一个相同尺寸的长方形。 可以画长方形的一条对角线，或连
接两组对边的中点，即可将长方形分成 2 个大小和形状完全一样的图形。
【完整解答】【实验操作】
你的成果展示（拍照粘贴或画
步骤 效果参考
出来）
将一次性筷子裁成不同长度的木棒。利
用木棒摆成一个长方形底座，并用绳子
固定
用木棒在底座的4个角固定成支柱，并
在支柱顶部用木棒相连固定成房梁
用雪糕棒在房梁上方搭成屋顶
搭建完成后，将硬纸板裁切成与每个面
大小相同的纸板，并裁出门窗、烟囱，
粘贴固定，木屋便大功告成了
1.观察自己搭的木屋底座，一共有2组平行线，4组垂线。
2.答：将三角尺的直角顶点与两根木棒的交点对齐，让其中一条直角边与一根木棒重合，再调整另一根木
棒使其与另一条直角边重合，此时两根木棒就互相垂直了。 理由：三角尺的直角是标准的 90° 角，借
助它可以保证两根木棒的夹角为 90°，从而实现垂直。3.用直尺量出底座的长6厘米， 宽4厘米，
如图：
（答案不唯一）
高频考点九 数图形
【典例精讲】（25-26三年级下·全国·课后作业）乐乐一家经过商讨，最终决定用正方形瓷砖铺设厨房
地面。下图是其平面示意图，图中有( )个正方形，有( )个长方形。
【答案】 16 29
【思路引导】根据题意，将正方形由小到大分为1×1、2×2和3×3的正方形，分别计数再相加；将长方
形分为2个小方格组成的长方形、3个小方格组成的长方形、4个小方格组成的长方形……，分别计数再相
加，据此解答。
【完整解答】1×1的正方形：11个
2×2的正方形：4个
3×3的正方形：1个
正方形共有：11+4+1=16（个）
2个小方格组成的长方形：14个
3个小方格组成的长方形：8个
4个小方格组成的长方形：2个
5个小方格组成的长方形：1个
6个小方格组成的长方形：4个
长方形共有：14+8+2+1+4=29（个）
因此，图中有16个正方形，有29个长方形。【变式训练1】（25-26三年级下·全国·课后作业） ( )个正方形。
【答案】6
【思路引导】四条边相等且四个角为直角的图形，包括正放和斜放的正方形。从最小的图形开始，逐步到
较大的图形，确保计数全面。
【完整解答】小正方形：图中有 4 个边长为原正方形一半的小正方形。
大正方形：最外围 1 个最大的正方形。
中间正方形：由两条对角线交叉形成的 1 个倾斜正方形。
总数：4+1+1=6（个）
【变式训练2】（25-26三年级上·河北承德·期末）数一数，有（ ）个三角形。
列式：
【答案】15；5＋4＋3＋2＋1＝15（个）
【思路引导】由图可知，单独的小三角形有5个，由2个小三角形拼起来的大三角形有4个，由3个小三
角形拼起来的大三角形有3个，由4个小三角形拼起来的大三角形有2个，由5个小三角形拼起来的大三
角形有1个，直接把它们的数量全部加起来即可算出一共有多少个三角形。
【完整解答】5＋4＋3＋2＋1
＝9＋3＋2＋1
＝12＋2＋1
＝14＋1
＝15（个）
故一共有15个三角形，列式为：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）。
模块五 真题演练 实战操作【真题演练1】（25-26三年级上·河北唐山·期中）某小区在一个正方形花坛的四周摆鲜花，每条边上摆
24盆，每个拐角各摆一盆，一共要摆放多少盆花？
【答案】92盆
【思路引导】正方形花坛有4条边和4个拐角。每条边上摆24盆花，且每个拐角各摆一盆。由于拐角处的
花盆被相邻两条边共享，在计算总盆数时，若将每条边的盆数乘4，则每个拐角盆被重复计算了一次。因
此，需要减去4个被重复计算的拐角盆，才能得到实际总盆数。
【完整解答】4×24－4
＝96－4
＝92（盆）
答：一共要摆放92盆花。
【真题演练2】（25-26三年级上·福建泉州·期中）如图，有4个长都是4厘米，宽都是1厘米的长方形。
（1）如果拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画图帮助解
决）
（2）如果拼成一个长方形，那么这个长方形的长是多少厘米？宽是多少厘米？（如果遇到困难，可以通
过画图帮助解决）
【答案】（1）画图见详解；4厘米
（2）画图见详解；长8厘米、宽2厘米或者长16厘米、宽1厘米
【思路引导】（1）因为宽是1厘米，长是4厘米，可以如下图拼成正方形：
，边长是4厘米；
（2）如果拼成一个长方形，有两种不同拼法，第一种如图：
，长为4×2厘米，宽为1×2厘米；
第二种如图：
，长为4×4厘米，宽为1厘米。
【完整解答】（1） ，正方形边长为4厘米；
（2）有两种不同拼法，第一种：
4×2＝8（厘米）
1×2＝2（厘米）
第二种：
4×4＝16（厘米）
答：如果拼成一个长方形，长方形的长为8厘米，宽为2厘米或者长为16厘米，宽为1厘米。
【真题演练3】（25-26三年级上·河北承德·期末）根据A、B、C三个点请你按要求画图。
（1）画出直线AC。
（2）画出射线BC。
（3）过点B作直线AC的垂线。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
【思路引导】（1）直线没有端点，连接A、C两点，且向点A的左边延伸，向点C的右边延伸，得到的就
是直线AC。
（2）根据射线有一个端点，结合图示画出射线BC，射线的端点是点B。
（3）把直角三角尺的一条直角边与直线AC重合，移动三角尺使得点B在另一条直角边上，固定三角尺，
过点B且沿着这条直角边向直线AC画直线，即为直线AC的垂线。
【完整解答】根据分析画图如下：
（1）画出直线AC如下：
（2）画出射线BC如下：
（3）过点B作直线AC的垂线如下：【真题演练4】（25-26三年级上·河北唐山·期末）下面是一张长方形纸折起来后的图形，已知∠1＝
30°，∠3＝( )°。
【答案】60
【思路引导】根据题意，∠2是长方形的一个角折起来的，长方形四个角都是直角，则∠2＝90°，∠1、
∠2和∠3组成平角，平角等于180°，用180°减去∠1和∠2的度数，即可求出∠3的度数。
【完整解答】∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－30°－90°＝150°－90°＝60°
一张长方形纸折起来后的图形，已知∠1＝30°，∠3＝60°。
【真题演练5】（25-26三年级上·河北承德·期末）操作。
（1）在方格纸上画出一条与线段AB平行的线段CD，并标出端点C、D。
（2）过A点画出线段AB的垂线。
【答案】（1）（2）见详解
【思路引导】（1）画已知线段的平行线的步骤：固定三角尺，将一条直角边与已知线段重合；用直尺紧
靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺移动一定的距离，接着沿着这条直角边
画出另一条线段。（2）过线段上或线段外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知线段重合；沿着线段移动三角
尺，使线段上或线段外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂
直符号，这条直线就是已知线段的垂线。
【完整解答】（1）（2）
（第一问答案不唯一）
模块六 分层训练 突破自我
基础夯实 能力提升
1．（25-26三年级下·江苏·单元测试）下面的叙述不正确的是（ ）。
A．平行线之间的距离处处相等 B．长方形对边相等
C．同一平面内，两条直线不是平行就是垂直 D．正方形相邻的两条边互相垂直
【答案】C
【思路引导】结合平行线的性质判断；根据正方形和长方形的特点判断；结合同一平面内两条直线的位置
关系判断。
【完整解答】A．平行线之间的距离处处相等，是平行线的正确性质，叙述正确。
B．长方形的性质就是对边相等，叙述正确。
C．同一平面内，两条直线不是平行就是相交，垂直只是相交里的特殊情况，两条直线可以相交但不垂直，
因此该叙述错误。
D．正方形四个角都是直角，相邻两条边互相垂直，叙述正确。
则叙述不正确的是同一平面内，两条直线不是平行就是垂直。
2．（25-26三年级下·江苏·课后作业）下面的彩纸分别盖住了一个图形的一部分，可能盖住了长方形的
是（ ）。A． B． C．
【答案】B
【思路引导】长方形的核心特征是：四个角都是直角，所有边都是直的，不存在曲线边，逐个判断即可。
【完整解答】A．露出的图形顶点处是锐角，没有符合长方形要求的直角，不可能是长方形。
B．露出了直角，边也都是直边，符合长方形的特征，因此可能是被彩纸盖住的长方形。
C．露出的图形带有圆弧曲线边，不符合长方形“所有边都是直边”的要求，不可能是长方形。
则可能盖住了长方形的是第二个图形。
3．（25-26三年级下·全国·课后作业）把一张长方形纸按下图所示的方式折起来，折痕a和b的位置关
系是（ ）。
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不互相垂直
【答案】B
【思路引导】将长方形纸按图示方式折叠，观察折痕a和b的位置关系。通过折叠过程可知，折痕a和b
形成的角为90度，根据垂直的定义，当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
【完整解答】长方形的角是90°，折叠后折痕a和b将这个直角进行了对称分割，左边变为45°，右边变
为45°，使得它们之间的夹角恰好为90°，因此折痕a和b互相垂直。
4．（25-26三年级下·江苏·课后作业）某农场要挖一条水渠连通河流，引河水进行灌溉，下图表示三种
施工方案。工程队按水渠长度进行收费，为节省支出你建议选择方案( )进行施工，理由是
____________。
【答案】 b 从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短
【思路引导】结合直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，判断得到答案。
【完整解答】由分析得出，选择方案b；选择方案b的理由是：从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短，方案b的水渠长度最短，因此总花费最少，最节省支出。
5．（25-26三年级下·江苏·课后作业）如图，梯子两边的竖杆互相平行，两根竖杆中间有许多横杆，这
些横杆与竖杆互相垂直，它们的长度( )，你的判断理由是____________。
【答案】 相等 平行线之间的距离处处相等
【思路引导】梯子两边的竖杆互相平行，两根竖杆中间的横杆与竖杆互相垂直，横杆的长度也就是两条平
行线之间的距离，根据“两条平行线之间的距离处处相等”解答即可。
【完整解答】根据分析可得：梯子两边的竖杆互相平行，两根竖杆中间有许多横杆，这些横杆与竖杆互相
垂直，它们的长度相等，判断理由是：两条平行线之间的距离处处相等。
6．（25-26三年级上·河北张家口·期末）如图，红红在纸上画了三条直线a、b、c。已知直线a与b互
相平行，直线b与c互相平行，那么直线a与c也互相平行。( )（判断对错）
【答案】√
【思路引导】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。同一平面内，
平行于同一条直线的两条直线互相平行。据此判断。
【完整解答】因为同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以直线a与b互相平行，直线b
与c互相平行，那么直线a与c也互相平行。说法正确。
故答案为：√
7．（25-26三年级下·江苏·单元测试）下面是某公园3条路的示意图，路①和路②互相垂直吗？请说明
理由。【答案】∠1为90°，则路①和路②互相垂直
【思路引导】观察图中信息，要判断路①与路②是否互相垂直，计算∠1的度数，根据平角等于180°，
∠1的度数等于180°减去65°，再减去25°，通过计算判断∠1是否等于90°得到答案。
【完整解答】结论：路①和路②互相垂直；
理由：因此路①和路②的夹角为：
180°−65°−25°
=115°−25°
=90°
根据垂直的定义：两条直线相交成直角，就说明这两条直线互相垂直，因此路①和路②互相垂直。
8．（25-26三年级下·江苏·课后作业）用4个边长是3厘米的正方形拼图形。（先画图，再解答）
(1)拼一个大长方形，长和宽各是多少？
(2)拼一个大正方形，边长是多少？
【答案】(1)图见详解；长12厘米；宽3厘米
(2)图见详解；6厘米
【思路引导】（1）用4个小正方形拼成一个大长方形，只能将这4个小正方形排成一行。此时大长方形的
宽等于小正方形的边长，长等于4个小正方形边长的总和。
（2）用4个小正方形拼成一个大正方形，需要将这4个小正方形排成2行2列。此时大正方形的边长等于
2个小正方形边长的总和。
【完整解答】（1）拼成大长方形：
长：3×4＝12（厘米）
宽：3 厘米
答：大长方形的长是 12 厘米，宽是 3 厘米。（2）拼成大正方形：
边长：3×2＝6（厘米）
答：大正方形的边长是 6 厘米。
9．（25-26三年级下·江苏·课后作业）有一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸。
(1)在这张纸上剪一个最大的正方形，把你的剪法在图中画出来。剪出的正方形的边长是（ ）厘米。
(2)剩下的图形是一个长方形，这个长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。
【答案】(1)图见详解；4
(2) 4 2
【思路引导】（1）由题意得，在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸上剪一个最大的正方形，那么正方形
的边长就等于长方形的宽，即剪出的正方形的边长是4厘米。
（2）由（1）可知，剪出的正方形的边长是4厘米。由图可知，小长方形的长也等于正方形的边长。求小
长方形的宽时，直接用6厘米减去4厘米即可解答。
【完整解答】（1）如图：
剪出的正方形的边长是4厘米。
（2）6－4＝2（厘米）
剩下的图形是一个长方形，这个长方形的长是4厘米，宽是2厘米。
10．（25-26三年级下·全国·课后作业）(1)用上面这种正方形和长方形拼一个边长3厘米的正方形，可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？
(2)用上面这种正方形和长方形拼一个长4厘米、宽3厘米的长方形，又可以怎样拼？这两种图形各需要多
少个？
【答案】(1)正方形需要3个，长方形需要2个；
或正方形需要6个，长方形需要1个。
(2)正方形需要3个，长方形需要3个；
或正方形需要6个，长方形需要2个。
【思路引导】根据题意可知：要拼成一个边长是3厘米的正方形，使用边长1厘米的小正方形需要3个并排
放置，此时保证长是3厘米，而宽是1厘米，需要再用2个长3厘米，宽1厘米的长方形，即可拼成；也可以
用6个边长为1厘米的正方形拼成2排和一个长3厘米，宽1厘米的长方形
要拼成一个长4厘米，宽3厘米的长方形，需要1个边长1厘米的小正方形和一个长为3厘米，宽为1厘米的
长方形并排放置，此时长4厘米，宽1厘米，再按照这样的方式再摆两排即可拼成；也可以6个正方形和一
个长方形拼成，用据此解答。
【完整解答】（1）
答：正方形需要3个，长方形需要2个。
答：正方形需要6个，长方形需要1个。
（答案不唯一）
（2）答：正方形需要3个，长方形需要3个。
答：正方形需要6个，长方形需要2个。
（答案不唯一）
创新拓展 拔尖冲刺
1．（25-26三年级下·全国·课后作业）小恒家到公路有三条笔直的小路，长度分别是270米、210米、
150米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是（ ）。
A．270米 B．210米 C．150米
【答案】C
【思路引导】因为这条小路与公路是垂直的，根据点到直线的距离垂线段最短，比较这三条小路的长度，
最短的就是这条与公路垂直的小路的长度。
【完整解答】150米<210米<270米
小恒家到公路有三条笔直的小路，长度分别是270米、210米、150米，其中有一条小路与公路是垂直的，
这条小路的长度是150米。
故答案为：C
2．（25-26三年级上·河北邢台·期末）把一张正方形卡纸对折再对折，打开后两条折痕不可能（ ）。
A．互相平行 B．既不平行，也不垂直 C．互相垂直
【答案】B
【思路引导】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平
面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；据此画图并选择。
【完整解答】如图所示：由此可知，把一张正方形纸对折再对折，打开后，两条折痕可能互相平行，也可能互相垂直，所以两条折
痕不可能既不平行，也不垂直。
故答案为：B
3．把一张正方形纸按下面的操作对折，可以验证（ ）。
A．正方形的四条边都相等
B．正方形的对边相等
C．正方形的邻边相等
【答案】A
【思路引导】图中是将正方形对折，再对折，对折后四条边互相重叠，即四条边都相等。
【完整解答】A．正方形的四条边都相等，说法正确；
B．对边是指相对的边，对边相等，但与题中验证的不符；
C．邻边是指相邻的边，邻边相等，但与题中验证的不符。
故答案为：A
【考点剖析】本题考查正方形的特征。
4．（25-26三年级下·江苏·课后作业）选择下面的小棒（每根不能折断），摆出长方形和正方形。
(1)选择( )根( )厘米的小棒就能摆出一个正方形。
(2)选择( )根( )厘米和( )根( )厘米的小棒，就能摆出一个长方形。
【答案】(1) 4 2
(2) 2 1 2 3
【思路引导】正方形的特征是四条边长度完全相等，需要4根长度相同的小棒；长方形的特征是对边相等，
需要分别取两组同长度的小棒，满足要求的组合不唯一，判断即可。【完整解答】（1）观察小棒数量：只有2厘米的小棒刚好有4根，其余长度的小棒数量都不够4根，因此
选择4根2厘米的小棒就能摆出一个正方形。
（2）由分析得出，可以选2根1厘米和2根3厘米，就能摆出一个长方形。（答案不唯一）
5．（25-26三年级下·江苏·课后作业）欣欣在画一个长7厘米、宽5厘米的长方形。
第一步：画出一条长( )厘米的线段作为长方形的长。
第二步：分别以画出线段的两个端点为垂足，向同一方向画两条长为( )厘米且与这条线段( )
的线段，作为长方形的( )。
第三步：把这两条线段的另外两个端点连接起来。
【答案】 7 5 垂直 宽
【思路引导】长方形有四条边，对边相等且四个角都是直角。要画长方形，先确定一条较长的边也就是长，
然后根据直角的概念画与长垂直且长度等于宽的线段，最后连接线段端点得到长方形。
【完整解答】根据分析：
第一步：画出一条长7厘米的线段作为长方形的长。
第二步：分别以画出线段的两个端点为垂足，向同一方向画两条长为5厘米且与这条线段垂直的线段，作
为长方形的宽。
第三步：把这两条线段的另外两个端点连接起来。
6．（25-26三年级下·全国·课后作业）分别量出下面正方形和长方形中∠1和∠2的度数，再算出∠3和
∠4的度数。
【答案】正方形：∠1＝45°；∠2＝45°；∠3＝45°，∠4＝45°；
长方形：∠1＝30°；∠2＝30°；∠3＝60°；∠4＝60°
【思路引导】量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈。量出度数后，因为
正方形和长方形的四个角都是直角，所以∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，据此可算出∠3和∠4的度数。
【完整解答】正方形：∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝90°－45°＝45°，∠4＝90°－45°＝45°；
长方形：∠1＝30°，∠2＝30°，∠3＝90°－30°＝60°，∠4＝90°－30°＝60°。
7．（25-26三年级下·江苏·课后作业）练习投掷沙包时，同学们站在起掷线后原地投掷。沙包落地点到
起掷线的距离为同学们的成绩。如图是小江、小华、小军、小力投掷沙包的示意图，（ ）的成绩最好。
请用画平行线或画垂线的方法解答。
【答案】图见详解；小军
【思路引导】画垂线的方法：比较出谁的落地点到起掷线的垂线距离最长，谁的成绩就最好；过直线上或
直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直
线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线
就是已知直线的垂线；
画平行线的方法：画一条与起掷线平行的直线，让它刚好经过沙包落地点，哪条平行线离起掷线越远，对
应的成绩就越好。
【完整解答】如图：
观察发现小军投掷沙包的落地点到起掷线的垂线距离最长，小军的沙包落地点所在的平行线，距离起掷线
最远，所以小军的成绩最好。
8．（25-26四年级上·全国·单元复习）球小将在绿茵场上畅意竞技。如图所示，在足球场的四个角分别
标上A、B、C、D，线段AD与BC互相平行。
（1）在球场之间拉一条横幅EF，已知足球场两长边中点的连线MN为68米，如图，则横幅EF的最短长度为多少米？
（2）球场上的Q处掉落一个水瓶，志愿者在P处，现志愿者需要将水瓶带离球场，请你设计出志愿者的最
短路线图，在图中画出来。
【答案】（1）68米；
（2）图见详解；
【思路引导】（1）端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等，所以EF＝MN＝
68米；
（2）两点之间线段最短，直线外一点到直线上的所有线段中，垂线段最短。所以志愿者先直走到点Q处，
再从Q点向最近的球场边界作垂线段走出球场，最短路线为P到Q再到该垂线段的垂足。
【完整解答】根据分析可得：
（1）两条平行线之间垂线段最短，已知MN是足球场两长边中点的连线，所以当EF与MN平行时，EF最短，
端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等，故EF＝MN＝68（米）；
答：横幅EF的最短长度为68米。
（2）最短路线图如下图：
9．（25-26三年级上·河北·课后作业）村村通公路工程是国家为构建和谐社会，支持新农村建设的一项
重大举措，是一项民心工程。如下图，赵乐家在A村，刘乐家在B村，王梓家在C村。现在计划新建一条
公路，使B村与直通A村和C村的公路连通，交点为D。怎样设计路程最短？请在图上画一画，并计算出这
条新建公路的长度。（图中1厘米表示实际25千米）
【答案】见详解；50千米
【思路引导】根据题意，明确从一点到一条直线的最短距离就是作到这条直线的垂线。已知赵乐家在A村，
刘乐家在B村，王梓家在C村。现在计划新建一条公路，使B村与直通A村和C村的公路连通，交点为D。
只需在图上从B向AC作垂线，垂足记为D。这样得到的BD就是所需新建公路的最短长度。在图上作垂线并
测量得到BD的图上长度。图中1厘米表示实际25千米，用量得的长度乘25，求出这条新建公路的长度即可。
【完整解答】新建一条公路，使B村与直通A村和C村的公路连通，交点为D。设计路程最短如下：
测量得到BD的图上长度是2厘米。
2×25＝50（千米）
答：这条新建公路的长度是50千米。
10．（24-25四年级上·江苏扬州·期末）一条小船Q先要到A仓库去拿东西，然后再到B岸，请在图中画
出最短路线，并说明理由。
我这样画，理由1是：_________ 理由2是：___________________________
【答案】见详解
【思路引导】（1）因为两点之间线段最短，所以连接Q、A两点的连线即是小船Q到A仓库的最短路线；
（2）因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，所以，只要作出A点到B岸的垂直线段即可。
【完整解答】画图如下：
理由1是：两点之间线段最短；理由2是：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
【考点剖析】本题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，以及两点之间线段最短
的应用。
