文档内容
甘谷县 2024-2025 学年度高一级第二次检测考试试题
数学
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：必修第一册第一、二、三章，第四章指数和指数函数.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合A中的 在集合 中进行筛选即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故选：C.
2. 若命题 ： ， ，则命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可.
【详解】命题 ： ， 是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题 的否定为 ， .
故选：C
3. “ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，解出不等式，然后将充分不必要条件转化为真子集关系，即可得到结果.
【详解】解不等式 可得 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 或 ，
因此不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围是解集的真子集，
即 是 或 的真子集.
故选：B
4. 设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合初等函数的性质，以及函数奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数 ，此时 为非奇非偶函数函数，不符合题意；对于B中，函数 ，此时 为非奇非偶函数函数，不符合题意；
对于C中，函数 ，此时 为非奇非偶函数函数，不符合题意；
对于D中，设 ，可得 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以函数 为奇函数，符合题意.
故选：D.
5. 函数 图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，以及结合函数特殊值的计算，一一判断各选项，即
得答案.
【详解】函数 的定义域为R，
且 ，故 为奇函数，
则函数图象关于原点对称，则B错误；又 时， ，故C错误；
又 ，
即 时， 不是单调函数，D错误，
结合函数性质和选项可知，只有A中图象符合题意，
故选：A
6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达
到20⁓79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一
定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时
25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取 )（ ）
A. 7小时 B. 6小时 C. 5小时 D. 4小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.
【详解】设需要休息 小时，依题意， ，
，两边取以 为底的对数得 ，
所以 ，
所以至少需要 小时.
故选：B
7. 已知 ，则 的值( )A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数的运算性质即可求得.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
8. 设 是定义在 上的奇函数，对任意的 ，满足：
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由 ，判断出 在(0,+∞)上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单
调性即可求出 的解集.
【详解】解： 对任意的 ，都有 ，
在(0,+∞)上是增函数，
令 ，则 ，
为偶函数，
是
在 上 减函数，
且 ，
，
当 时， ，
即 ，解得： ，
当 时， ，
即 ，解得： ，
综上所述： 的解集为： .
故选：A.
【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些
数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函
数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握
好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，
是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列运算正确的是（ ）
.
A 且
B. 且C. 且
D. 且
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对数的运算性质和换底公式判断即可得到答案.
【详解】对于选项A， ，故选项A错误；
对于选项B，根据对数的运算性质可以判断选项B正确；
对于选项C，由换底公式可以判断选项C正确；
对于选项D， ，故选项D正确.
故选：BCD
10. 设函数 ，则下列叙述正确的有（ ）
A. 函数 是偶函数
B. 函数 在 上单调递减
C. 当函数 的值域为 时，其定义域是
D. 函数 有两个零点1和
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A；当 时， ，结合反比例函数的性质可判断B；
分 和 两种情况求解判断CD.【详解】函数 ，定义域为 ，
，则函数 是偶函数，故A正确；
当 时， ，在 上单调递增，故B错误；
对于C，函数 的值域为 时，
若 ，由于函数 在上单调递增，
则 ，解得 ；
1
若 ，由于函数f (x)= 在(0,+∞)上单调递减，
x
则 ，解得 ，
所以当函数 的值域为 时，其定义域是 ，故C正确；
对于D，令 ，即 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
所以函数 有两个零点1和 ，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知 为正实数， ，则下列选项正确的是（ ）
A. ab的最小值为2 B. 的最小值为C. 的最小值为8 D. 的最小值为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式结合消元转化一一判定选项即可.
【详解】由 为正实数，
对于A， ，解之得 ，
所以 ，当且仅当 时取得最小值，故A错误；
对于B，由 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取得最小值，故B正确；
对于C， ，由A知 ，
结合二次函数的性质知 ，当且仅当 时取得最小值，故C正确；
对于D， ，
而 ，即 ，解之得 ，
当且仅当 时取得最小值，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
的
12. 不等式 解集为______．【答案】 或
【解析】
【分析】先解出不等式，进而写出解集.
【详解】由 ，即 或 ，
解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 .
故答案为： 或 .
13. 已知幂函数 的图象经过点 ，则 __________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据幂函数定义可得 ，代入点 ，即可得 ，即可得结果.
【详解】因为 为幂函数，
则 ，可得 ，即 ，
又因为 的图象经过点 ，则 ，可得 ，
所以 .
故答案为：6.
14. 已知函数 在 上任意 ，都有 成立，则实数 的
取值范围是______．
【答案】
【解析】【分析】可判断f (x)在 上单调递增，列出式子 即可求解.
【详解】由函数 在 上任意 ，都有 成立，
则 在 上单调递增，所以 ，解得 .
故答案为：
【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应
注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1） ；
（2） .
【答案】（1）3；（2）1
【解析】
【分析】利用分数指数幂运算法则和对数运算性质即可计算的出（1）（2）的结果.
【详解】（1）原式
（2）原式16. 已知函数 （ 且 ） 的图象经过点 和 .
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求实数x的值.
【答案】（1）
（2） 或16
【解析】
【分析】（1）代入图象上的两个点，求 ，即可求解函数的解析式；
（2）首先求解 ，再代入（1）的结果，解对数方程.
【小问1详解】
由题知 ，解得 ， ；
故 .
【小问2详解】
由 ，
解得 或3，
所以 或 ，所以 或16.
17. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
（1）求当 时， 的解析式；
（2）作出函数 的图象(不用写作图过程)，并求不等式 的解集．【答案】（1） ；（2）作图见解析；不等式 的解集为 ．
【解析】
【分析】（1）利用函数 是定义在 上的奇函数，求出当 时， 的解析式；
（2）画出函数图象，利用函数图象求解不等式即可．
【详解】（1）设 ，则
是定义在 上的奇函数，
所以 ．
（2）如图所示
，即 或
结合图象可得，不等式 的解集为 ．18. 已知函数 （ ，且 ）过定点A，且点A在函数 ， 的
图象上．
（1）求函数 的解析式；
（2）若定义在 上的函数 恰有一个零点，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把定点A代入函数 的解析式求出 的值即可；
（2）问题等价于 在 上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性
质进行求解即可；
【小问1详解】
函数 （ ，且 ）过定点 ，
函数 的图象过点 ，即 ，解得 ，
函数 的解析式为 .
【小问2详解】
函数 定义在 上，
在 上恒成立，可得 ，
令 ，得 ，
设 ，
函数 在 上恰有一个零点，等价于 在 上恰有一个零点，函数 图像抛物线开口向上，对称轴 ，
若 ，无解，不成立；
若 ，解得 ，满足题意；
若 ，无解，不成立；
若 ，解得 ，满足题意.
所以实数k的取值范围为 .
19. 设函数 ， .
（1）求函数 的值域；
（2）设函数 ，若对 ， ， ，求实数a取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求函数值域；
（2）将问题转化为 的值域为 值域的子集求解.
【小问1详解】∵ ，又∵ ， ，
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
即函数 的值域为 .
【小问2详解】
∵ ，
设 ，因为 ，所以 ，函数 在 上单调递增，
∴ ，即 ，
设 时，函数 的值域为A.由题意知 ，
∵函数
①当 ，即 时，函数 在 上递增，
则 ，即 ，∴
②当 时，即 时，函数 在 上的最大值为 ， 中的较大者，
而 且 ，不合题意，③当 ，即 时，函数 在 上递减，
则 ，即 ，满足条件的 不存在，
综上所述，实数a取值范围为 .
【点睛】对于双变量双函数类似 ， ， 的问题转化为值域包含值域的
问题.
