相似与位似专题_湘教版初中数学课件_数学湘教版9上教案PPT课件配套资料_数学湘教版初中9年级上册--6.各阶段精品试题_复习资料

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 相似与位似专题 ☞解读考点 知 识 点 名师点晴 比和比 1．比例 知道什么是比例式、第四比例项、比例中项． 例 2．黄金分割 知道黄金分割的意义和生活中的应用． 3．比例的基本性质及定理 能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算． 4．平行线分线段成比例定理 会直接运用定理进行计算和证明． 相似形 5．相似三角形 知道什么是相似三角形． 6．相似三角形的判定和性质 能运用相似三角形的性质和判定方法证明简 单问题． 7．相似多边形的性质 了解相似多边形的性质． 8．位似图形 知道位似是相似的特殊情况．能利用位似放大 和缩小一个图形． ☞2年中考 【2015年题组】 y 3 x y  x 4 x 1．（2015东营）若 ，则 的值为（ ） 4 5 7 7 4 4 A．1 B． C． D． 【答案】D． 【解析】 y 3 x y 43 7  x 4 x 4 4 试题分析：∵ ，∴ = = ．故选D． 考点：比例的性质． AD 1  2．（2015南京）如图所示，△ABC中，DE∥BC，若 DB 2 ，则下列结论中正确的是（ ） www.youyi100.com 第 1 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 AE 1 DE 1 △ADE的周长 1 △ADE的面积 1   = = EC 2 BC 2 △ABC的周长 3 △ABC的面积 3 A． B． C． D． 【答案】C． 考点：相似三角形的判定与性质． 3．（2015荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正 确的是（ ） AP AB AB AC   AB AC BP CB A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 【答案】D． 【解析】 试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； AP AB  AB AC C．当 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选D． 考点：相似三角形的判定． 4．（2015随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断 △ABC∽△AED的是（ ） www.youyi100.com 第 2 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 AD AC AD AE   AE AB AB AC A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D． 【答案】D． 考点：相似三角形的判定． 5．（2015贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ） 2: 3 A．2：3 B． C．4：9 D．8：27 【答案】C ． 【解析】 2 ( )2 3 试题分析：两个相似三角形面积的比是 =4：9．故选C． 考点：相似三角形的性质． 6．（2015白银）如图，D．E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE： S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ） 1 1 1 1 3 4 9 16 A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC， www.youyi100.com 第 3 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 DE BE 1 DE 1  ( )2 AC BC 4 AC 16 ∴△DOE∽△AOC，∴ = ，∴S△DOE：S△AOC= = ，故选D． 考点：相似三角形的判定与性质． 7．（2015淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若 AB 2  BC 3 ，DE=4，则EF的长是（ ） 8 20 3 3 A． B． C．6 D．10 【答案】C． 考点：平行线分线段成比例． l l l 8．（2015乐山）如图，1∥ 2∥ 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F． AB 3 DE  BC 2 DF 已知 ，则 的值为（ ） 3 2 2 3 2 3 5 5 A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】 www.youyi100.com 第 4 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 AB 3 DE AB 3 3  l l l 试题分析：∵ 1∥ 2∥ 3， BC 2 ，∴ DF = AC = 32 = 5 ，故选D． 考点：平行线分线段成比例． 9．（2015宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2， ∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ） 2 2 A．（1，2） B．（1，1） C．（ ， ） D．（2，1） 【答案】B． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质． 10．（2015十堰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中 1 2 心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 【答案】D． 【解析】 1 2 试题分析：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选D． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质． k y  x 11．（2015眉山）如图，A、B是双曲线 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点， 垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ） 4 8 3 3 A． B． C．3 D．4 www.youyi100.com 第 5 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【答案】B． 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 12．（2015 绵阳）如图，D 是等边△ABC 边 AB 上的一点，且 AD：DB=1：2，现将 △ABC折叠，使点C与D重合，折痕 为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ） 3 4 5 6 4 5 6 7 A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】 www.youyi100.com 第 6 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 x 4a 4 CE 4    y 5a 5 CF 5 ，即 ，故选B． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题． 13．（2015常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图， 如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA：O1A1=k（k为不等于0的常数）．那 么下面四个结论： AB k AB ①∠AOB=∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③ 1 1 ；④扇形AOB与扇形A1O1B1的面 k2 积之比为 ． 成立的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 【解析】 nr 180 r  nr r 1 1 1 180 试题分析：由扇形相似的定义可得： ，所以n=n1故①正确； 因为∠AOB=∠A101B1，OA：O1A1=k，所以△AOB∽△A101B1，故②正确； www.youyi100.com 第 7 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 AB OA  AB O A 因为△AOB∽△A101B1，故 1 1 1 1 =k，故③正确； n r2 360 由扇形面积公式 可得到④正确． 故选D． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．弧长的计算；3．扇形面积的计算；4．新定义；5．压轴题． 14．（2015株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3， 那么EF的长是（ ） 1 2 3 4 3 3 4 5 A． B． C． D． 【答案】C． 考点：相似三角形的判定与性质． 15．（2015黔西南州）在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图 1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形， 使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当 3 m= 时，n的值为（ ） 2 2  3 3 42 3 2 34 3 3 A． B． C． D． www.youyi100.com 第 8 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【答案】A． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．实数与数轴；3．等边三角形的性质；4．平移的性质；5． 综合题；6．压轴题． 16．（2015宁波）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A2 处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中 点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离 记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（ ） 1 1 1 1 1 2 A．22015 B．22014 C． 22015 D． 22014 【答案】D． 【解析】 试题分析：连接AA1，由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，又∵D是AB中点， ∴DA=DB，∴DB=DA1，∴∠BA1D=∠B，∴∠ADA1=2∠B，又∵∠ADA1=2∠ADE， 1 2 2 ∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴AA1⊥BC，∴AA1=2，∴h1=2﹣1=1，同理，h2= ，h3= www.youyi100.com 第 9 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 1 1 1 2  2 2 2 22 = ， … 1 2 2n1 ∴经过第 n 次操作后得到的折痕 Dn﹣1En﹣1 到 BC 的距离 hn= ，∴h2015= 1 2 22014 ，故选D． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．规律 型；5．综合题． 17．（2015天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一 水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度 CD是 米． 【答案】8． 考点：相似三角形的应用． 18．（2015 柳州）如图，矩形 EFGH 内接于△ABC，且边 FG 落在 BC 上．若 BC= www.youyi100.com 第 10 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2 3 3，AD=2，EF= EH，那么EH的长为 ． 3 2 【答案】 ． 【解析】 试题分析：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC， AM EH 22x 3x 1   AD BC 2 3 2 ∴ ，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴ ，解得：x= ， 3 3 2 2 则EH= ．故答案为： ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．应用题． 19．（2015河池）如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的 1 1  AM AN 延长线于N，则 = ． 【答案】1． www.youyi100.com 第 11 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．菱形的性质；3．综合题． 20．（2015贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合）， 3 4 ∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α= ．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当 21 4 CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或 ；④0＜BE≤ 24 5 ，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）． 【答案】②③． www.youyi100.com 第 12 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 若△BDE为直角三角形，则有两种情况：（1）若∠BED=90°，∵∠BDE=∠CAD，∠B=∠C， 1 2 ∴△BDE∽△CAD，∴∠CDA=∠BED=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD= BC=12； （2）若∠BDE=90°，如图2，设BD=x，则DC=24－x，∵∠CAD=∠BDE=90°，∠B=∠C=∠α， 4 AC 15 4 21   x ∴cos∠C=cosB= 5 ，∴ DC 24x 5 ，解得： 4 ，∴若△BDE为直角三角形，则BD 21 4 为12或 ，故③正确； BE CD x y   BD CA 24 y 15 15x24y y2 设BE=x，CD=y，∵△BDE∽△CAD，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 48 48 x 15x144(y12)2 15x144 5 5 ，∴ ，∴ ，∴0＜BE≤ ，∴故④错误； 故答案为：②③． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质． 21．（2015钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变化，经 1 2 第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的 ，经第二次变化后得正方形 1 2 OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的 ，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3 1 2 缩小为OA2的 ，．．．．．．，按此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正 方形OABC边长的倒数，则n= ． www.youyi100.com 第 13 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【答案】16． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质． AD 1  AB 2 22．（2015南通）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E， ，△CEF S 1 S S S 的面积为 1，△AEB的面积为 2，则 2 的值等于 ． 1 16 【答案】 ． www.youyi100.com 第 14 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．综合题． 23．（2015扬州）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一 条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= cm． 【答案】12． 【解析】 试题分析：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相 AB AD 4 2   BC DE BC 6 邻两条横格线间的距离都相等，∴ ，即 ，∴BC=12cm．故答案为：12． 考点：平行线分线段成比例． 24．（2015扬州）如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边的直 S S 线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积分别为 1、 2、 www.youyi100.com 第 15 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 S S S S 3，则 1、 2、 3的大小关系是 ．（用“＜”号连接） S S S 【答案】 1 3 2． S S S 1 3 2 S S S S S S ∵0＜a＜b＜c，∴0＜a+b＜a+c＜b+c，∴ ＜ ＜ ，∴ 1 3 2，故答案为： S S S 1 3 2． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．综合题；3．压轴题． 25．（2015连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之 间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为 ． www.youyi100.com 第 16 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2 21 【答案】3 ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线之间的距离；3．勾股定理；4．综合题． 26．（2015盐城）设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于 点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O， △AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为 ．（用含n的代数式表示，其中n为 正整数） 1 【答案】 2n1 ． www.youyi100.com 第 17 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．规律型；3．综合题；4．压轴题． ABC D ABC AC BD 27．（2015成都）已知菱形 1 1 1 1的边长为2， 1 1 1=60°，对角线 1 1， 1 1相交于点 OA OB O．以点O为坐标原点，分别以 1， 1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系． BD BC D A ABC D AC A B C D 以 1 1为对角线作菱形 1 2 1 2∽菱形 1 1 1 1，再以 2 2为对角线作菱形 2 2 2 2 BC D A B D B C D A A B C D ∽菱形 1 2 1 2，再以 2 2为对角线作菱形 2 3 2 3∽菱形 2 2 2 2，„，按此规律继 A A A A A 续作下去，在x轴的正半轴上得到点 1， 2， 3，．．．．．．， n，则点 n的坐标为________． 【答案】（3 n－1，0）． www.youyi100.com 第 18 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．相似多边形的性质；2．菱形的性质；3．规律型；4．综合题；5．压轴题． 28．（2015连云港）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点， AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H． （1）求BD•cos∠HBD的值； （2）若∠CBD=∠A，求AB的长． 【答案】（1）4；（2）6． 【解析】 AC BC  试题分析：（1）首先根据DH∥AB，判断出△ABC∽△DHC，即可判断出CD CH =3；然后 BH 求出BH的值是多少，再根据在Rt△BHD中，cos∠HBD= BD ，求出BD•cos∠HBD的值是多 少即可； www.youyi100.com 第 19 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．解直角三角形． 29．（2015镇江）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿 AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行 走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后 他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为 BH（点C，E，G在一条直线上）． （1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画 法）； （2）求小明原来的速度． 【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s． 【解析】 试题分析：（1）利用中心投影的定义作图； （2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=（4x﹣1.2）m，EG=3xm，BM=13.2﹣4x，由 CE EG  AM BM △OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，得到 ，即代入解方程即可． 试题解析：（1）如图， （2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm， BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，∵点 C，E，G 在一条直线上，CG∥AB， www.youyi100.com 第 20 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 CE OE EG OE CE EG    AM OM BM OM AM BM ∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，∴ ， ，∴ ，即 2x 3x  4x1.2 13.24x ，解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，∴小明原来的速度为1.5m/s． 答：小明原来的速度为1.5m/s． 考点：1．相似三角形的应用；2．中心投影． 30．（2015南充）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞ AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处． （1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由） 3 5 （2）如果AM=1，sin∠DMF= ，求AB的长． 【答案】（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）AB=6． 试题解析：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，根 据 折 叠 的 性 质 可 知 ： ∠ APM=∠ EPM ， ∠ EPQ=∠ BPQ ， ∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP， ∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根据相似的传递性，△AMP∽△CQD； （2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM， ∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM， DF 3 3x MD 5 2 ∵ sin∠ DMF= = ， ∴ 设 DF=3x ， MD=5x ， ∴ BP=PA=PE= ， BQ=5x﹣1 ， 3x 1 2  AM AP 3x 5x1 2  x BP BQ 2 9 ∵△AMP∽△BPQ，∴ ，∴ ，解得： （舍）或x=2，∴AB=6． www.youyi100.com 第 21 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．相似三角形的判定；3．解直角三角形；4．探究型；5．综合题． 31．（2015南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上， CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3） ．把△PCQ 绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上． （1）求证：PQ∥AB； （2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长； （3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围． 13 6 【答案】（1）证明见试题解析；（2）6；（3）1≤x≤ ． （2）连接AD，由PQ∥AB可得∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得到 ∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=12﹣ 4x，故可得出x的值，进而得出结论； 9 9 8 8 （3）当点E在AB上时，根据等腰三角形的性质求出x的值，再分0＜x≤ ； ＜x＜3两种情 况进行分类讨论． www.youyi100.com 第 22 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 9 27 8 2 ①当0＜x≤ 时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤ ； 9 8 ②当 ＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足为H，∴HG=DF， GH PG PH   ED PE PD FG=DH ， Rt△ PHG∽ Rt△ PDE ， ∴ ， ∵ PG=PB=9﹣3x ， ∴ GH 93x PH 4 3 3   4x 5x 3x 5 5 5 ，∴GH= （9﹣3x），PH= （9﹣3x），∴FG=DH=3x﹣ （9﹣3x）， 4 3 12 54 27 x 5 5 5 5 2 ∴T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+ （9﹣3x）+[3x﹣ （9﹣3x）]= ，此时， ＜ T＜18．∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，∴T=12时，即12x=12，解得x=1；TA=16时， 12 54 13 13 x 5 5 6 6 即 =16，解得x= ．∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤ ． 考点：1．几何变换综合题；2．分类讨论；3．相似三角形的判定与性质；4．压轴题． 32．（2015钦州）如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是 射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平 www.youyi100.com 第 23 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设 点A的横坐标为t． （1）用含t的式子表示点E的坐标为_______； （2）当t为何值时，∠OCD=180°？ （3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．  1  t2 3t16 (0t 16)   4 S  1  t2 3t16 (t 16) t4 4 54 4 【答案】（1）E（ ，8）；（2） ；（3） ． t4 试题解析：（1）∵AD=OB=8，∴AE=ED=4，∵点A的横坐标为t，∴E（ ，8）； ED DB 4 8t 32   （2）当∠OCD=180°时，如图1，∵EC∥BO，∴ EC OB ，∴ EC 8 ，∴EC= 8t ， ∵AC⊥OA，∴∠1+∠2=90°，∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵∠AEC=∠ABO， www.youyi100.com 第 24 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 AE OB 4 8 1 32 1   t t ∴ △ AEC∽ △ OBA ， ∴ EC BA ， ∴ EC t ， ∴ EC= 2 ， ∴ 8t = 2 ， ∴ t2 8t800 t 44 5 t 44 5 4 54 ，解得： 或 （舍去），∴t= ； www.youyi100.com 第 25 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 t 16 ②当 时，如图3 ，由（2）得：EC= 1 1 t t8 2 2 t4 ，则CF= ，∵OF=BE= ， 1 1 1 1 S S  OFCF  (4t)( t8) S  t2 3t16 ΔOCF 2 2 2 4 ∴ ，即 ； 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．动点型；4．分类讨论；5．四边形综合题； 6．压轴题． k y  y 2x10 x k 0 33．（2015玉林防城港）已知：一次函数 的图象与反比例函数 （ ）的 图象相交于A，B两点（A在B的右侧）． （1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标； （2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角 边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一 BC 5  BD 2 点C，连接BC交y轴于点D．若 ，求△ABC的面积． www.youyi100.com 第 26 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 8 1 y   x 2 【答案】（1） ，B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16， ）；（3）10． 【解析】 （3）过点 B 作 BS⊥y 轴于 S，过点 C 作 CT⊥y 轴于 T，连接 OB，如图 2，易证 CT CD 3   BS BD 2 △CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得 ．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣ 2 b a 3 2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到 ．由A、B都在反比例函数的图 2 b a 3 象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把 代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的 坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割 补法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB． k 8 y  y  x x 试题解析：（1）把A（4，2）代入 ，得k=4×2=8，∴反比例函数的解析式为 ，解方程 y 2x10   8 x8 x4 y      x y 1 y 2 组 ，得： 或 ，∴点B的坐标为（1，8）； （2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣ www.youyi100.com 第 27 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2， ∴ HE=5﹣4=1 ． ∵ AH⊥ OE ， ∴ ∠ AHM=∠ AHE=90° ． 又 ∵ ∠ BAP=90° ， ∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴ AH MH 2 MH   EH AH 1 2 y mx ，∴ ，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为 ，则有  1 y  x   2  1 1 8 x4  y  x y   4m2 2 2  x y 2 ，解得m= ，∴直线AP的解析式为 ，解方程组 ，得： 或 x4  y 2 ，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）． 1  2 ②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16， ）． 1  2 综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16， ）； www.youyi100.com 第 28 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的 交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题． 【2014年题组】 1．（2014年福建南平卷）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（ ） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4 【答案】D． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理． 2．（2014年四川达州卷）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的 物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作 B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D． ①△OB1C∽△OA1D； ②OA•OC=OB•OD； ③OC•G=OD•F1； ④F=F1． 其中正确的说法有（ ） www.youyi100.com 第 29 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确； OC OB  1 OD OA ∴ 1 ，由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1，∴OA•OC=OB•OD，故②正确； 由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F1，故③正确； F OC OB OB 1   1  G OD OA OA ∴ 1 是定值，∴F1的大小不变，∴F=F1，故④正确． 综上所述，说法正确的是①②③④． 故选D． 考点：相似三角形的应用． 3．（2014年四川雅安卷）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长 线与BA的延长线交于点F，则S△AFE：S四边形ABCE为（ ） A．3：4 B．4：3 C．7：9 D．9：7 【答案】D 考点：1、平行四边形的性质；2、相似三角形的判定与性质． 4．（2014年浙江宁波卷）如图，梯形ABCD中AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则 △ABC与△DCA的面积比为（ ） www.youyi100.com 第 30 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2: 3 A．2：3 B．2：5 C．4：9 D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，又∵∠B=∠ACD=90°，∴△ABC∽△DCA， ∴S△ABC：S△DCA=AB2：CD2=22：32=4：9，故选C． 考点：相似三角形的判定与性质． 5．（2014年湖北宜昌卷）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距 离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他 就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ） A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2 【答案】D． 考点：1．三角形中位线定理；2．相似三角形的应用． 6．（2014年广东深圳卷）如图，双曲线 y k 经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足AO  2， x AB 3 与BC交于点D，S△BOD=21，求k= ． www.youyi100.com 第 31 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【答案】8． 【解析】 试题分析：如答图，过A作AH⊥x轴于点H． ∵S△OAH=S△OCD，∴S四边形AHCB=S△BOD=21． ∵AH∥BC，∴△OAH∽△OBC．∴ S S AO 2，∵ AO 2， S OAH  S   S OAH  OB   AB  3 IBC OAH 四边形AHCB AO 2．∴ S 4 ，解得S△OAH=4．∴k=8．  OAH  OB 5 S 21 25 OAH 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定和性质． 7．（2014年浙江绍兴卷）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们 在长为2 2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸 的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪 下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 ． 【答案】 15． 4 2 4 www.youyi100.com 第 32 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．实践操作和阅读理解型问题；2．相似多边形的性质． 8．（2014年浙江湖州卷）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半 轴上，反比例函数 k （k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接 y x OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ． 【答案】y=2x． www.youyi100.com 第 33 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数和一次函数 交点 问题；2．待定系数法的应用；3．曲线上点的坐标与方程的关系；4．相似三角形的性质． 9．（2014年黑龙江哈尔滨卷）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E 在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H 是AC的中点，则 的值为 ． 4 3 【答案】 ． www.youyi100.com 第 34 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2； ∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM=∠3（对顶角） ∴∠DMK=∠4，∴DM∥GN，∴四边形DMNG为平行四边形，∴MN=DG=2FD． AH 2  MH 3 ∵点H为AC中点，AC=4CM，∴ ． AG AH AG 2 AG 4    MN MH 2FD 3 FD 3 ∵MN∥AD，∴ ，即 ，∴ ． 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、全等三角形的判定与性质；3、等腰三角形的判定与性 质；4、平行四边形的判定与性质． 10．（2014年广东卷）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB点D，BC=10cm，AD=8cm，点P 从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线 m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H， 当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）． www.youyi100.com 第 35 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）当 t=2时，连接DE、DF，求证：四边 形AEDF为菱形； （2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段 BP的长； （3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在， 请说明理由． 280 40 t  183 17 【答案】（1）证明见解析；（2）BP=6cm；（3）当 或 时，△PEF为直角三角形． 的面积存在最大值10cm2，此时BP=3×2=6cm． www.youyi100.com 第 36 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．菱形的判定；2．相似三角形；3．二次函数的性质；4．分类讨论的数学思想． ☞考点归纳 归纳 1：比例的基本性质、黄金分割 基础知识归纳：1．黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原 线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割．即AC·AC=AB 51 AB 0.618AB 2 ·BC，AC= ；一 条线段的黄金分割点有两个． 2．比例的基本性质及定理 a c  ad bc b d （1） a c ab cd    b d b d （2） www.youyi100.com 第 37 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 a c m acm a   (bdn 0)  （3） b d n bd n b 基本方法归纳：利用比例的基本性质变形是关键． 注意问题归纳：比例式与乘积式转化时要弄清内外项． x y  y 【例1】若4y-3x=0，则 7 3 【答案】 ． 考点：比例的基本性质． 归纳 2：三角形相似的性质及判定 基础知识归纳：1．相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角 形相似； （2）两角对应相等，两三角形相似； （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （4）三边对应成比例，两三角形相似； （5）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； （6）直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 2．相似三角形性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似 比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．． 基本方法归纳：关键是熟练掌握相似三角形的判定． 注意问题归纳：相似条件的寻找． 【例2】已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点 F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB． （1）求证：△ADE∽△CDF； （2）当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与 ▱ABCD的面积之比． www.youyi100.com 第 38 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 3 【答案】（1）证明见解析；（2）π：3 ． （2）解：∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y， AB=4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，∵△ADE∽△CDF，∴ AE CF 3y x   AD CB 3x 4y ，∴ ，∵x、y均为正数，∴x=2y，∴BC=6y，CF=2y，在Rt△DFC中， DC2 FC2  (4y)2 (2y)2 2 3y ∠DFC=90°，由勾股定理得：DF= ，∴⊙O的面积 1 1 1 2 4 4 为π•（ DC）2= π•DC2= π（4y） 3 3 2=4πy2，四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•2 y=12 y2，∴⊙O与四边形ABCD的面 3 3 积之比为4πy2：12 y2=π：3 ． 考点：相似三角形的判定与性质． 归纳 3：相似三角形综合问题 基础知识归纳：相似三角形与几何图形的综合． 基本方法归纳：理清题意，合理推断，准确运算是关键． 注意问题归纳：审题不清、条件利用不全是常见错误． 【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点 C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO．求证：点G是BC的中点． 6 （3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4 ，求BG的长． www.youyi100.com 第 39 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2 5 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ． （2）证明：连OG，如图，∵BG2=BF•BO，即BG：BO=BF：BG，而∠FBG=∠GBO， ∴△BGO∽△BFG，∴∠OGB=∠BFG=90°，即OG⊥BG，∴BG=CG，即点G是BC的中点； 6 6 （3）解：连OE，如图，∵ED⊥AB，∴FE=FD，而AB=10，ED=4 ，∴EF=2 ，OE=5，在 OE2 EF2  52 (2 6)2 1 Rt△OEF 中，OF= ，∴BF=5-1=4，∵BG2=BF•BO， 5 ∴BG2=BF•BO=4×5，∴BG=2 ． 考点：相似三角形综合题． 归纳 4：相似多边形与位似 图形 基础知识归纳： 1．相似多边形的性质 www.youyi100.com 第 40 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）相似多边形对应角相等，对应边成比例． （2）相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 2．位似图形 （1）概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似 图形．这个点叫做位似中心． （2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．． 基本方法归纳：掌握作图． 注意问题归纳：准确找出对应点的位置． 【例4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和 △A2B2C2； （1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1； （2）以图中的 O 为位似中心，将△A1B1C1 作位似变换且放大到原来的两倍，得到 △A2B2C2． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析． （2）延长OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可． 试题解析： 考点：位似图形；作图． ☞1年模拟 1．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF 的长是（ ） www.youyi100.com 第 41 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 考点：相似三角形的性质． 2．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1， DE BC DB=2，则 的值为（ ） 2 1 1 1 3 4 3 2 A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】 DE AD AD 1 1     BC AB ADDB 12 3 试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ．故选C． 考点：平行线分线段成比例． 3．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的 树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时， 发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙 壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ） www.youyi100.com 第 42 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m 【答案】C． 考点：相似三角形的应用． 4．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴 上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面 1 4 积等于矩形OABC面积的 ，则点B1的坐标是（ ） A．（3，2） B．（-2，-3） C．（2，3）或（-2，-3） D．（3，2）或（-3，-2） 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于 1 4 矩形OABC面积的 ，∴两矩形的相似比为1：2，∵B点的坐标为（6，4），∴点B1的坐标是 （3，2）或（-3，-2）．故选D． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质． 5．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的一个三等 分点，EC交对角线BD于点F，则FC：EC等于（ ） www.youyi100.com 第 43 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A．3：2 B．3：4 C．1：1 D．1：2 【答案】B． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 6．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点 E不与点C重合），设BE=m，CD=n．下列结论： （1）图中有三对相似而不全等的三角形； （2）m•n=2； （3）BD2+CE2=DE2； （4）△ABD≌△ACE； （5）DF=AE． 其中正确的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 【答案】A． www.youyi100.com 第 44 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 BE BA m 2 2   AC CD 2 2 n n （2）∵△ABE∽△DCA，∴ ，由题意可知CA=BA= ， ∴ ，∴m= ， ∴mn=2；（1＜n＜2）； 故（2）正确； （3）证明：将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH， ∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．连接HD，在△EAD和△HAD中， ∵AE=AH， ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD， ∴△EAD≌△HAD，∴DH=DE．又 ∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°， ∴BD2+CE2=DH2， 即BD2+CE2=DE2； 故（3）正确； （4）若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，∴∠BAD≠∠CAE，∴△ABD与△ACE不一 定全等，∴（4）错误； 1 2 1 2 2 2 （5）当AF与AB重合时，AE= AF，AB= AF，∴DF≠ AF，∴AE与DF不一定相等； ∴（5）错误．故选A． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形． 7．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图，在平行四边形ABCD中， E为CD上一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF： S△ABF= ． 【答案】4：10：25． www.youyi100.com 第 45 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 8．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5 米，测得AB=2米，BC=14米，则楼高CD为 米． 【答案】12． 【解析】 试题分析：此题考查了学生的作图能力与实际应用能力，解此题的关键是找到各部分以及与 其对应的边长，利用楼高与标杆的高度成正比例求解即可．Rt△ACD与Rt△ABE两个直角 三角形相似，列出比例式即可求解． 考点：相似三角形的判定与性质． 9．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，等腰△ABC中，底边BC=a， 51 2 ∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，∠BCD的平分线交BD于E．设k= ，则DE= ． 5 【答案】（ -2）a． www.youyi100.com 第 46 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．黄金分割． 10．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，梯形ABCD的两条对角线与两 底所围成的两个三角形的面积分别为p2、q2，则梯形的面积为 ． 【答案】（p+q）2． 【解析】 试题分析：∵四边形ABCD是梯形，∴AB∥CD，如图，过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB 于F，则EF⊥AB， CD OE S   CDO q: p AB OF S ∴△ABO∽△CDO，∴ ABO ，设上下底分别为mq，mp，两个三角形 mpnp 2 对 应 的 高 分 别 为 nq ， np ， 有 =p2 ， 得 mn=2 ， ∴ S 梯 形 ABCD= (mpmq)(npnq) mn(pq)2  (pq)2 2 2 ． 考点：相似三角形的判定与性质． www.youyi100.com 第 47 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 11．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长 线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y， 则y关于x的函数解析式是 ． x 【答案】y= 1x ． 考点：1．切线的性质；2．函数关系式；3．相似三角形的判定与性质． 12．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，从点A（0，2）出发的一束光，经x轴反射， 过点B（3，4），则入射点C的坐标是 ． 【答案】（1，0）． www.youyi100.com 第 48 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．坐标与图形性质． 13．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象 1 2 x 限、点B在第四象限，且AO：BO=1： ，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0= 0 ，则点B （x，y）的坐标x，y所满足的关系式为 ． 2 y  x 【答案】 ． 【解析】 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质． 14．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=7， www.youyi100.com 第 49 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 AE 2 AF 2 AD 3 AB 5 AB⊥AC，点E在边AD上，满足 = ，点F在AB上，满足 = ，连结BE和CF相 交于点G，则线段CG的长度是 ． 10 7 7 【答案】 ． 【解析】 试题分析：延长BE，CD交于一点H，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC， DH DE 1 5   CH BC 3 2 AB∥CD，再通过证明△HED∽△HBC，所以 ，所以DH= ，因为AB∥CD， BF FG CF CG 3    CH CG CG 15 10 7 10 7 2 7 7 所以 ，解得CG= ．故答案为： ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 15． （2015届湖北省黄石市6月中考模 拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上， 且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1， △A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、 4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个． www.youyi100.com 第 50 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 1 2 【答案】 ；6． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型． 16．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图，已知AB是⊙O的直径， 点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； 1 2 （2）求证：BC= AB； AB （3）点M是 的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）8． www.youyi100.com 第 51 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．又∵∠COB=∠A+∠ACO， 1 2 ∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC．∴BC= AB． （3）解：连接MA，MB，∵点M是 AB 的中点，∴ AM  BM ，∴∠ACM=∠BCM． ∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴ BM MN  MC BM ．∴BM2=MN•MC．又∵AB是⊙O的直径， AM  BM ，∴∠AMB=90°， 2 AM=BM．∵AB=4，∴BM=2 ．∴MN•MC=BM2=8． 考点：1．切线的判定；2．圆周角定理；3．相似三角形的判定与性质；4．圆的综合题． 17．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E 在AB边上，过点E作EF⊥BC，延长FE交⊙O的切线AG于点G． www.youyi100.com 第 52 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）求证：GA=GE． （2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长． 10 【答案】（1）见解析；（2） ． 试题解析：（1）证明：连接OA，∵AG切⊙O点A，∴∠GAO=90°，∴∠BAO+∠GAE=90°． ∵EF⊥BC， ∴∠ABO+∠BEF=90°． ∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO． ∴∠GAE=∠BEF． ∵∠BEF=∠GEA，∴∠GEA=∠GAE． ∴GA=GE． www.youyi100.com 第 53 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．相似三角形的判定与性质． 18．（2015届北京市平谷区中考二模）如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是 AF 3EF 线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若AB=6， ，求DG的长． 小米的发现，过点E作EH∥AB交BG于点H（如图2），经过推理和计算能够使问题得到解 决．则DG= ． 如图3，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是射线DM上的一点，连接BE和AC相交于点F， BF BC aAD CDbCE EF a,b 若 ， ，求 的值（用含 的代数式表示）． BF ab EF 【答案】DG=2； ． 【解析】 试题分析：（1）过点E作EH∥AB交BG于点H（如图2），利用平行四边形的性质可以得出 △ABF∽△EHF，列比例式可得出EH的长，由已知条件，可知CG=2EH，然后用CD=AB的 长再减去CG的长即可求出DG的长； www.youyi100.com 第 54 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 过E作EG∥AD，延长CA交于点G，∴△CAD∽△CGE． AD CD  GE CE ∴ ． AD b CDbCE GE ∵ ，∴ ． ADbEG ∴ ． ∵AD∥BC，∴BC∥EG． ∴△GEF∽△CBF． BC BF  EG EF ∴ ． BC aAD BC abEG ∵ ，∴ ． BF ab EF ∴ ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 19．（2015届山东省威海 市乳山市中考 一模）24．如图，在△ABC 中，AB=AC， 以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求证：BD2=AB•CE． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． www.youyi100.com 第 55 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 CE CD  BD AB （2）证明：∵∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，∴△DEC∽△ADB，∴ ， ∴BD•CD=AB•CE，∵BD=AD，∴BD2=AB•CE． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 20．（2015届山东省日照市中考模拟）如图， ▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB 的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB． （1）求sin∠ ABC的值； 16 3 （2）若E为x轴上的点，且S△AOE= ，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO是否相似？ （3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的 四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由． www.youyi100.com 第 56 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 4 75 22 42   5 14 7 25 【答案】（1） ．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（ ， ），F4（- ， 44 25 ）． （3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以 及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算． 试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中， OA 4  OA2 OB2 5 AB 5 由勾股定理有AB= ，∴sin∠ABC= ； 16 1 16 8 8 8 3 2 3 3 3 3 （2）∵点E在x轴上，S△AOE= ，即 AO×OE= ，解得OE= ．∴E（ ，0）或E（- ，  6 k  4＝6kb   5   8  0＝ 8 kb  b 16  3  3  5 0）．由已知可知D（6，4），设yDE=kx+b，当E（ ，0）时有 ， 解得 ， 6 16  5 5 ∴yDE= x ． 8 16 16 x 3 13 13 同理E（- ，0）时，yDE= ． 8 3 在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE= ；在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；∵ OE OA  OA OD ，∴△AOE∽△DAO； （3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时， AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）； www.youyi100.com 第 57 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 ②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3， 8）； 4 3 3 2 ③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=- x+4，直线L过（ ，2），且k值 3 3 7 4 4 8 为 （平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y= x+ ，联立直线L与直 线AB求交点， 75 22   14 7 ∴F（ ， ）； 考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析 式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 21．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm， BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从 点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接 PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值． www.youyi100.com 第 58 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 32 7 41 8 【答案】（1）t=1或 时，△BPQ∽△BCA；（2）t= ． 【解析】 试题分析：（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时， BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据 △ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可． 62 82 试题解析：根据勾股定理得：BA= ＝10； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示： 则 PB=5t ， PM=3t ， MC=8-4t ， ∵ ∠ NAC+∠ NCA=90° ， ∠ PCM+∠ NCA=90° ， AC CQ 6 4t   CM MP 84t 3t ∴∠NAC=∠PCM，∵∠ACQ=∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴ ，∴ ， 7 8 解得t= ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．动点型；3．分类讨论． 22．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm， BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从 点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接 PQ． www.youyi100.com 第 59 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值． 32 7 41 8 【答案】（1）t=1或 时，△BPQ∽△BCA；（2）t= ． 【解析】 试题分析：（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时， BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示： 则 PB=5t ， PM=3t ， MC=8-4t ， ∵ ∠ NAC+∠ NCA=90° ， ∠ PCM+∠ NCA=90° ， AC CQ 6 4t   CM MP 84t 3t ∴∠NAC=∠PCM，∵∠ACQ=∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴ ，∴ ， www.youyi100.com 第 60 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 7 8 解得t= ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．动点型；3．分类讨论． 23．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线A B、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径 BD=6，连接CD、AO． （1）求证：CD∥AO； （2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若AO+CD=11，求AB的长． 18 x 6 2 【答案】（1）证明见解析．（2）y= ．0＜x＜6．（3） ． （2）解：∵CD∥AO，∴∠3=∠4．∵AB是⊙O的切线，DB是直径，∴∠DCB=∠ABO=90°． BD DC 6 x 18   AO OB y 3 x ∴△BDC∽△AOB．∴ ．∴ ．∴y= ．∴0＜x＜6； x y 11  xy 18 （3）解：由已知和（2）知： ，把x、y看作方程z2-11z+18=0的两根，解这个方程得 www.youyi100.com 第 61 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 x 2 x 9 1 2   z=2或z=9，∴  y 1 9 ，  y 2 2 （舍去），∴AB= 92 32  72 6 2 ． 考点：1．切割线定理；2．平行线的性质；3．相似三角形的判定与性质． 24．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线 BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若DE=2，BD=4，求AE的长． 2 5 3 【答案】（1）证明见试题解析；（2） ． 试题解析：（1）证明：连接OD，∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，∴BE是直径，点O是BE 的中点，∵∠C=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°，又BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC， ∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90° 又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．（方法不唯一，参照给分） www.youyi100.com 第 62 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2 5 5 （2）解：∵DE⊥DB，DE=2，BD=4，∴BE= ，OE= ，∴∠ABD=∠ADE，又∠A为公共角， AE ED 2   AD DB 4 ∴△ADB∽△AED，则有 ，∴AD=2AE，在Rt△AOD中，AO2=OD2+AD2，即（ 2 2 5 5 5 5 3 3 +AE）2=（ ）2+（2AE）2，解得AE= 或AE=0（舍去），所以AE= ． 考点：1．切线的判定与性质；2．角平分线的性质；3．相似三角形的判定与性质． 25．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC 于点D．求证：AB2=AD•AC； （2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交 AB BD AF  BC DC FC AC于点F． =1，求 的值； （3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线 AB BD AF  BC DC FC BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若 =n，请探究并直接写出 的所有可能的 值（用含n的式子表示），不必证明． 【答案】（1）见解析（2）2 （3）见解析． www.youyi100.com 第 63 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （2）解：方法一： 如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，∵BE⊥AD，∴∠CGD=∠BED=90°， CG∥BF． AB BD  BC DC ∵ =1，∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，又∵∠BDE=∠CDG，∴△BDE≌△CDG， 1 2 ∴ED=GD= EG． AE AB2 (2BD)2   DE BD2 BD2 由（1）可得：AB2=AD·AC，BD2=DE·AD，∴ =4，∴AE=4DE，∴ AE 4DE  DE 2DE =2． AF AE  FC EG C∵G∥BF，∴ =2． www.youyi100.com 第 64 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段BC上时，如图④所示： 过点D作DG∥BF，交AC边于点G． AB BD  BC DC ∵ =n，∴BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DC． FG BD n  D∵G∥BF，∴ GC DC =n，∴FG=nGC，FG= n1 FC． www.youyi100.com 第 65 页 共 66 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 AD AB2 n(n)DC2   DE BD2 (nDC)2 由（1）可得：AB2=AE·AD，BD2=DE·AD，∴ =（n+1）2； AF AE AE n AF  FC FG DE n1 FC D∵G∥BF，∴ =（n+1）2，即 =（n+1）2，化简得： =n2+n； （III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G． AF FC 同理可求得： =n﹣n2． 考点：1．相似形综合题；2．射影定理；3．动点型；4．探究型． www.youyi100.com 第 66 页 共 66 页