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第15章 分式 单元真题汇编培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．阿里巴巴数据显示，2017年天猫商城“双11”全球狂欢交易额超912亿元，数据912亿用科学
记数法表示为（ ）
A．912×108 B．91.2×109 C．9.12×1010 D．0.912×1010
【答案】C
【解析】【解答】912亿=91200000000=9.12×1010 ，
故答案为：C.
【分析】本题考查科学记数法的知识，绝对值较大的数的表示形式为：a 10n的形式，其中1 |a|
<10，n为正整数. 正确确定n的值是解题的关键，一般n的值为原数的数位-1.
2．2025年国庆中秋8天假期，宁波东钱湖旅游度假区共接待游客91.8万人次，同比增长11.76%。
数据91.8万用科学记数法表示为（ ）
A．91.8x104 B．9.18x105 C．0.918x15 D．9.18x104
【答案】B
【解析】【解答】解： 91.8万用科学记数法表示为9.18x105，
故答案为：B.
【分析】 科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要
看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数相同．
3．已知航天器速度为 米/秒，行星与地球距离为 千米，下列正确的是（ ）
A．航天器速度原数是79000米/秒
B． 的原数末尾有8个0
C．航天器飞完这段距离需 秒
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D． 小数点右移2位，结果为
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 航天器速度原数是 （米/秒），故选项错误，不符合题意；
B、 的原数为 末尾有6个0，故选项错误，不符合题意；
C、 根据题意， 千米= 米，航天器飞完这段距离需
秒，故选项正确，符合题意；
D、 小数点左移2位，结果为 ，不是向右，故选项错误，不符合题意.
故答案为：C．
【 分析】 将一个表示成a×10（n 1≤a＜10，n为正整数）形式的数还原，就是将a的小数点向右移动n
位，不足的则补0，据此可判断A、B选项；同一单位后，根据时间等于路程除以速度列出式子，进
而根据有理数除法法则及科学记数法表示数的方法“用科学记数法表示大于10的数，一般表示
成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1”可判断C选项；根据小数点左移将
原数缩小，右移将原数扩大，及科学记数法表示方法可判断D选项.
4．东台教育局为帮助全市贫困师生举行“一日捐”活动，甲、乙两校教师各捐款30000元，已知
“……”，设乙学校教师有x人，则可得方程 ，根据此情景，题中用
“……”表示的缺失的条件应补（ ）
A．乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%
B．甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且乙校教师的人数比甲校教师的人数多20%
C．甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%
D．乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且乙校教师的人数比甲校教师的人数多20%
【答案】A
【解析】【解答】设乙学校教师有x人，那么当甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%时，甲校教
师有（1+20%）x人．如果乙校教师比甲校教师人均多捐20元，那么可列出方程
．
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故答案为：A．
【分析】根据分式方程可知乙校老师人均比甲校老师多捐20元，且甲校老师的人数比乙校老师的
人数多20%.
5．关于 的方程 有增根，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【解析】【解答】解：等式两边同乘 得m-1-x=0，
∴x=m-1，
∴分式的增根为1，
∴m-1=1，
∴m=2，
故答案为：C.
【分析】先去分母后化简，再根据分式方程有增根，把增根值代入方程求解参数即可.
6．下列各式从左到右的变形正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A. ，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，故符合题意确；
D. ，故不符合题意
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故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变；先把原分式的分子
分母分解因式，化简为最简分式.
7．分式方程 的解为（ ）
A．x＝1 B． C．无解 D．x＝2
【答案】C
【解析】【解答】解：
整理，得：
方程两边同时乘 ，得：
移项，得：
合并同类项，系数化1，得：x＝1
检验：当x＝1时， =0
∴x＝1是原分式方程的增根
原分式方程无解
故答案为：C．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
8．如果分式 无意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x=1
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：1﹣x=0，
解得：x=1，
故选：D．
【分析】根据分式无意义的条件可得1﹣x=0，再解即可．
9．端午节那天，“90时代”的粽子打9折出售，小马去该店买粽子花了54元钱，比平时多买了3
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个．求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x元，列方程为（ ） ．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】设平时每个粽子卖x元，
依题意，得： ．
故答案为：B．
【分析】根据 “90时代”的粽子打9折出售，小马去该店买粽子花了54元钱，比平时多买了3个
，列方程求解即可。
10．从﹣3，﹣1， ，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组
无解，且使关于x的分式方程 ﹣ =﹣1有整数解，那么这5个数中所
有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
【答案】B
【解析】【解答】解：不等式组整理得： ，
由不等式组无解，得到a≤1，即a=-3，-1，1， ，
①当a=-3时，分式方程
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去分母得：x-5=-x+3，
解得：x=4，
经检验x= 4是分式方程的解，且为整数解，满足题意；
②当a=-1时，分式方程为 ，
去分母得：x-3=-x+3，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，分式方程无解，不满足题意；
③当a=1时，分式方程为 ，
去分母得： x-1=-x+3，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，且为整数解，满足题意，
④当a= 时，分式方程为
去分母得： ，
解得：x= ，不满足题意；
则这5个数中所有满足条件的a的值之和为-3+1=-2.
故答案为：B
【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，由不等式组无解确定出a的值，代入分式方程判断，
求出满足条件a的值，求出之和即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若分式 的值为0，则x的值为 ．
【答案】-1
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【解析】【解答】解：由题意可得x2﹣1=0且x﹣1≠0，
解得x=﹣1．
故答案为﹣1．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此
可以解答本题．
12．张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本
图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书的数量
本.
【答案】20
【解析】【解答】解：设张明每分钟清点图书x本，则李强每分钟清点图书（x+10）本，依题意得：
，
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的解.
故答案为：20.
【分析】设张明每分钟清点图书x本，则李强每分钟清点图书（x+10）本，根据张明清点完200本图
书所用时间与李强清点完300本图书所用时间相同列方程，解得x的值，最后进行检验x值是否
符合题意
13．化简： ＝ ．
【答案】x
【解析】【解答】解：原式＝ ＝x．
故答案为：x．
【分析】把分子分解因式，然后利用分式的性质化简得出答案．
14．计算： .
【答案】a-1
【解析】【解答】解： ，
故答案为：a-1.
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【分析】先去括号，再利用分式乘法的计算方法分析求解即可.
15．2015年，合肥市户籍人口数约为801.4万人，将801.4万用科学记数法表示应是
．
【答案】8.014×106
【解析】【解答】解：合肥市户籍人口数约为801.4万人，将801.4万用科学记数法表示应是
8.014×106，
故答案为：8.014×106．
【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，a是一位整数，可得答案．
16．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、
摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会
增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ，
为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之
比是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅
店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，
设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为 x，
∵摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ，
∴ ，
解得x＝30m，
∴7月份摆摊增加的营业额为 ×30m＝12m，堂食、外买增加的营业额之和为30m﹣12m＝18m，
设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，
∵堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，
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∴ ，
解得y＝13m，
∴7月份外卖增加的营业额为18m﹣y＝5m，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ＝ ；
故答案为： ．
【分析】根据由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、
外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为 x，摆摊
的营业额将达到7月份总营业额的 ，列出分式方程解得7月份摆摊增加的营业额为12m，堂食、
外买增加的营业额之和为18m，设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，
根据堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，列出分式方程求出7月份外卖增加的营业额，进而得
到7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比，从而求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，
共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：（ ﹣3）0﹣ +（﹣1）2014+|﹣2|+（﹣ ）﹣2．
【答案】解：原式=1﹣3+1+2+9=10．
【解析】【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义化简，计算
即可得到结果．
18．解方程： ．
【答案】解：方程两边同乘以x（x-1），得x=2（x-1），
解得x=2，
检验，当x=2时，x（x-1）≠0，
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所以，x=2是原分式方程的根．
所以，原方程的根为x=2．
【解析】【分析】方程两边同乘以x（x-1）化为整式方程，再检验求解即可．
19．化简：
【答案】解：原式＝ ÷
＝ ÷
＝ ·
＝ .
【解析】【分析】通分计算括号内异分母分式的减法，接着将各个分式的分子、分母能分解因式的分
别分解因式，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简.
20．某游乐园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票、验票的等待时
间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600
名游客的入园时间还少5分钟，求游乐园原来平均每分钟接待游客的人数．
【答案】解：设该游乐园原来平均每分钟接待游客x人．
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：该游乐园原来平均每分钟接待游客20人．
【解析】【分析】 设该游乐园原来平均每分钟接待游客x人 ，可得先证平均每分钟接待游客的人
数为10x人，根据接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，列
出方程，求解并检验即可.
21．解方程： ．
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【答案】解：
方程两边同乘以x﹣2得：
1=x﹣1﹣3（x﹣2）
整理得出：
2x=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的根，故此方程无解．
【解析】【分析】首先找出最简公分母，进而去分母求出方程的根即可 ．
22． “绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化长春市环境，甲、乙两工程队承担基隆街河道
整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道 米，且甲工程队整治 米河道用的时间与乙
工程队整治 米所用的时间相等求甲、乙工程队每天整治河道各多少米．
【答案】解：设甲工程队每天整治河道 米，则乙工程队每天整治河道 米，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验得： 是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲工程队每天整治河道 米，乙工程队每天整治河道 米．
【解析】【分析】 设甲工程队每天整治河道 米，则乙工程队每天整治河道 米， 根据
“ 甲工程队整治 米河道用的时间与乙工程队整治 米所用的时间相等 ”列出方程并解
之即可.
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23．甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，
两厂各加工450套防护服，甲厂比乙厂要少用3天．
（1）求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？
（2）已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是180元和160元，疫情期间，某医院紧急
需要2400套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有安排，剩下任务只能由乙单独完成．如果
总加工费不超过6000元，那么甲厂至少要加工多少天？
【答案】（1）解：设乙厂每天加工 套防护服，则甲厂每天加工 套防护服，
根据题意，得 ．
解得 ．
经检验： 是所列方程的解．
则 ．
答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；
（2）解：设甲厂要加工 天，
根据题意，得 ．
解得 ．
答：甲厂至少要加工28天
【解析】【分析】（1）典型的用分式方程解决实际问题，先设未知数，根据甲乙两厂加工的天数差是
3天列等式，解分式方程即可，注意需要验根；
（2）由（1）已知甲、乙厂每天加工的数量，设所求加工天数是未知数，加工费=加工数量 加工天数，
根据甲的加工费+乙的加工费=总加工费不超过6000元列出不等式，求解不等式即可。
24．已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，两边同时平方得 ，
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即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
同理可得 ， ，
原式=
=
=
=
=
=
=
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=
=
=
=
= .
【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-
，同理得ac=b2- ，bc=a2- ，待求式可变形为 ，据此计算.
25．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产
20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙
车间每人每天生产30件.
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变.
方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期问另需一次性支付运输等费用1500元；乙车
间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开
支？请说明理由.
【答案】（1）解：设甲车间有x名工人，则乙车间有（50-x）名工人，根据题意得，
25x×20+30（50-x）×20=27000，
解得：x=30，则50-x=20，
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即甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名工人参与生产
（2）解：①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，
由题意， 得 ，
解得 . 经检验， 是原方程的解， 且符合题意
. 乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为： 18（天）
选择方案一需增加的费用为 +1500=17700（元）
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）
∵17700<18000，∴选择方案一更节省开支.
【解析】【分析】（1）设甲车间的工人为x名，则乙车间为（50-x）名，根据总生产任务为27000件产
品，列出方程，解方程即可；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，根据两种方案中企业完成生产任务的时间相同列
出分式方程，解方程，验根，即可求解；
②先计算出企业完成生产任务所需的时间，再分别计算方案一和方案二的费用，最后作比较，即
可求得方案一更节省开支.
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