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2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（4分）比﹣2小1的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学
记数法表示为（ ）
A．40×108 B．4×109 C．4×1010 D．0.4×1010
3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行
走至点C处，则∠ABC等于（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
5．（4分）解分式方程 ＝ ﹣2时，去分母变形正确的是（ ）
A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）
C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）
6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是（ ）
第1页（共27页）A．0.6× +124 B．0.6× +124
C．0.6×5÷6+412 D．0.6× +412
7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A． B．2 C．2 D．6
8．（4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC
的面积为a，则△ABD的面积为（ ）
A．2a B． a C．3a D． a
9．（4分）若x +x ＝3，x 2+x 2＝5，则以x ，x 为根的一元二次方程是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
10．（4分）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，
则对应容器的形状为（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到
的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5
第2页（共27页）12．（4分）如图，△OA B ，△A A B ，△A A B ，…是分别以A ，A ，A ，…为直角顶点，一条直
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3
角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C（x ，y ），C（x ，y ），C（x ，
1 1 1 2 2 2 3 3
y ），…均在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上．则y +y +…+y 的值为（ ）
3 1 2 10
A．2 B．6 C．4 D．2
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.
13．（4分）单项式 a3b2的次数是 ．
14．（4分）分解因式：x3+5x2+6x＝ ．
15．（4分）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角 （0＜ ＜180°）得到格
点△A B C ，点A与点A ，点B与点B ，点C与点C 是对应点，α则 ＝α 度．
1 1 1 1 1 1
α
16．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的
“中国梦•青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 ．
17．（4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在
AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
第3页（共27页）如图1，当CD＝ AC时，tan ＝ ；
1
α
如图2，当CD＝ AC时，tan ＝ ；
2
α
如图3，当CD＝ AC时，tan ＝ ；
3
α
……
依此类推，当CD＝ AC（n为正整数）时，tan ＝ ．
n
α
三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（5分）解不等式 +1＞x﹣3．
19．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：
∠E＝∠C．
20．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚
洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了
解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市
民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形
统计图，如下所示：
组别 年龄段 频数（人数）
第1组 10≤x＜20 5
第2组 20≤x＜30 a
第3组 30≤x＜40 35
第4页（共27页）第4组 40≤x＜50 20
第5组 50≤x＜60 15
（1）请直接写出a＝ ，m＝ ，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是
度．
（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数
约有多少？
21．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧
洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利
润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
A B
成本（单位：万元/件） 2 4
售价（单位：万元/件） 5 7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，
以AE为直径的 O经过点D．
（1）求证： ⊙BC是 O的切线；
CD2＝CE•①CA；
⊙
②（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．
第5页（共27页）23．（9分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF
的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM⊥MG，并求 的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2（0＜ ＜90°），其它条件不变，问
α α
（1）中 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 的式子表示）；若无变化，说明理由．
α
24．（9分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y
轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若
不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设
△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
第6页（共27页）第7页（共27页）2019 年山东省淄博市中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（4分）比﹣2小1的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】1A：有理数的减法．
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【分析】用﹣2减去1，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：﹣2﹣1＝﹣（1+2）＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键．
2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学
记数法表示为（ ）
A．40×108 B．4×109 C．4×1010 D．0.4×1010
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：40亿用科学记数法表示为：4×109，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
第8页（共27页）【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；
B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；
C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长
方形，不符合题意；
D、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
在三视图中．
4．（4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行
走至点C处，则∠ABC等于（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【考点】IH：方向角．
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【分析】根据平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．
【解答】解：如图：
∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C
处，
∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝40°，
第9页（共27页）∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角
相等是解题的关键．
5．（4分）解分式方程 ＝ ﹣2时，去分母变形正确的是（ ）
A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）
C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）
【考点】B3：解分式方程．
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【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．
【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是（ ）
A．0.6× +124 B．0.6× +124
C．0.6×5÷6+412 D．0.6× +412
【考点】1G：有理数的混合运算；1N：计算器—有理数．
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【分析】根据科学计算器按键功能可得．
【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是0.6× +124，
故选：B．
【点评】本题主要考查计算器﹣有理数，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能．
7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为
（ ）
第10页（共27页）A． B．2 C．2 D．6
【考点】7B：二次根式的应用．
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【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为 ＝2 ，小正方形的边长为 ，
∴图中阴影部分的面积为： ×（2 ﹣ ）＝2，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用
数形结合的思想解答．
8．（4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC
的面积为a，则△ABD的面积为（ ）
A．2a B． a C．3a D． a
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．
【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ＝（ ）2，即 ＝ ，
解得，△BCA的面积为4a，
∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的
平方是解题的关键．
第11页（共27页）9．（4分）若x +x ＝3，x 2+x 2＝5，则以x ，x 为根的一元二次方程是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
【考点】AB：根与系数的关系．
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【分析】利用完全平方公式计算出x x ＝2，然后根据根与系数的关系写出以x ，x 为根的
1 2 1 2
一元二次方程．
【解答】解：∵x 2+x 2＝5，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝5，
1 2 1 2
而x +x ＝3，
1 2
∴9﹣2x x ＝5，
1 2
∴x x ＝2，
1 2
∴以x ，x 为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
1 2
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根
1 2
时，x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
10．（4分）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，
则对应容器的形状为（ ）
A． B． C． D．
【考点】E6：函数的图象．
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【分析】根据液面高度h随时间t的变化情况的图象可以看出，高度h随时间t的变化情况
是：先是高度随时间变化比较缓慢，然后逐渐变快，然后又变得比较缓慢，并且变慢的长
度越来越大，最后，又急速上升，可以推断这个容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐
渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C容器．
【解答】解：根据图象可知，容器大致为：容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，
最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C容器．
第12页（共27页）故选：C．
【点评】考查对变化过程中两个变量的变化关系的理解，即函数的意义的理解，根据图象
变化情况，推断容器形状，强化对函数的理解．
11．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到
的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】先利用配方法将y＝x2﹣4x+a化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律
得出平移后直线的解析式，将y＝2代入得到一元二次方程，然后根据判别式△＞0列出不
等式，求出a的取值范围．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，
∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数
解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，
将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，
由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数与一元二次方程的关系，一元一
次不等式的解法，正确求出平移后的解析式是解题的关键．
12．（4分）如图，△OA B ，△A A B ，△A A B ，…是分别以A ，A ，A ，…为直角顶点，一条直
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3
角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C（x ，y ），C（x ，y ），C（x ，
1 1 1 2 2 2 3 3
y ），…均在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上．则y +y +…+y 的值为（ ）
3 1 2 10
A．2 B．6 C．4 D．2
第13页（共27页）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据点C 的坐标，确定y ，可求反比例函数关系式，由点C 是等腰直角三角形的
1 1 1
斜边中点，可以得到OA 的长，然后再设未知数，表示点C 的坐标，确定y ，代入反比例函
1 2 2
数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C 的坐标，确定y ，……然后再求和．
3 3
【解答】解：过C 、C 、C …分别作x轴的垂线，垂足分别为D 、D 、D …
1 2 3 1 2 3
其斜边的中点C 在反比例函数y＝ ，∴C（2，2）即y ＝2，
1 1
∴OD ＝D A ＝2，
1 1 1
设A D ＝a，则C D ＝a 此时C （4+a，a），代入y＝ 得：a（4+a）＝4，
1 2 2 2 2
解得：a＝ ，即：y ＝ ，
2
同理：y ＝ ，
3
y ＝ ，
4
……
∴y +y +…+y ＝2+ + +…… ＝ ，
1 2 10
故选：A．
【点评】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角
形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.
13．（4分）单项式 a3b2的次数是 5 ．
【考点】42：单项式．
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【分析】根据单项式的次数的定义解答．
【解答】解：单项式 a3b2的次数是3+2＝5．
第14页（共27页）故答案为5．
【点评】本题考查了单项式的次数的定义：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式
的次数．
14．（4分）分解因式：x3+5x2+6x＝ x （ x + 2 ）（ x + 3 ） ．
【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．
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【分析】先提公因式x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．
【解答】解：x3+5x2+6x，
＝x（x2+5x+6），
＝x（x+2）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，
并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
15．（4分）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角 （0＜ ＜180°）得到格
点△A B C ，点A与点A ，点B与点B ，点C与点C 是对应点，α则 ＝α 9 0 度．
1 1 1 1 1 1
α
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】作CC ，AA 的垂直平分线交于点E，可得点E是旋转中心，即∠AEA ＝ ＝90°．
1 1 1
【解答】解：如图， α
连接CC ，AA ，作CC ，AA 的垂直平分线交于点E，连接AE，A E
1 1 1 1 1
∵CC ，AA 的垂直平分线交于点E，
1 1
∴点E是旋转中心，
∵∠AEA ＝90°
1
∴旋转角 ＝90°
第15页（共27页）
α故答案为：90
【点评】本题考查了旋转的性质，确定旋转的中心是本题的关键．
16．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的
“中国梦•青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根
据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
∴恰好选中一男一女的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
17．（4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在
AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当CD＝ AC时，tan ＝ ；
1
α
如图2，当CD＝ AC时，tan ＝ ；
2
α
如图3，当CD＝ AC时，tan ＝ ；
3
α
……
第16页（共27页）依此类推，当CD＝ AC（n为正整数）时，tan ＝ ．
n
α
【考点】38：规律型：图形的变化类；KW：等腰直角三角形；PB：翻折变换（折叠问题）；T7：
解直角三角形．
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【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，
， 中的中间一个．
∴tan ＝ ＝ ．
n
α
故答案为： ．
【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（5分）解不等式 +1＞x﹣3．
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【分析】将已知不等式两边同乘以2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等
式的解集．
【解答】解：将不等式 两边同乘以2得，
x﹣5+2＞2x﹣6
解得x＜3．
【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或
整式不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变，
在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
19．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：
∠E＝∠C．
第17页（共27页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
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【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC
∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE
∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠C＝∠E
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠CAB＝∠EAD是本题的关键．
20．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚
洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了
解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市
民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形
统计图，如下所示：
组别 年龄段 频数（人数）
第1组 10≤x＜20 5
第2组 20≤x＜30 a
第3组 30≤x＜40 35
第4组 40≤x＜50 20
第5组 50≤x＜60 15
第18页（共27页）（1）请直接写出a＝ 2 5 ，m＝ 2 0 ，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是
126 度．
（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数
约有多少？
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形
统计图．
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【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以求得a、m的值和第3组人数在扇形统
计图中所对应的圆心角的度数；
（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据可以计算出40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多
少．
【解答】解：（1）a＝100﹣5﹣35﹣20﹣15＝25，
m%＝（20÷100）×100%＝20%，
第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°× ＝126°，
故答案为：25，20，126；
（2）由（1）值，20≤x＜30有25人，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）300× ＝60（万人），
答：40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题
的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
第19页（共27页）21．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧
洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利
润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
A B
成本（单位：万元/件） 2 4
售价（单位：万元/件） 5 7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
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【分析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；
由题意得： ，
解得： ；
答：A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方
程组是解题的关键．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，
以AE为直径的 O经过点D．
（1）求证： ⊙BC是 O的切线；
CD2＝CE•①CA；
⊙
②（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1） 证明DO∥AB，即可求解； 证明CDE∽△CAD，即可求解；
（2）证明△OF①D、△OFA是等边三角形，S阴②影 ＝S扇形DFO ，即可求解．
【解答】解：（1） 连接OD，
①
第20页（共27页）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是 O的切线；
连接D⊙E，
②∵BC是 O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，
∠C＝∠⊙C，∴△CDE∽△CAD，
∴CD2＝CE•CA；
（2）连接DE、OE、DF、OF，设圆的半径为R，
∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，
∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，
∵DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，
∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF＝OA＝OD，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴∠C＝30°，
∴OD＝ OC＝（OE+EC），而OE＝OD，
∴CE＝OE＝R＝3，
S阴影 ＝S扇形DFO ＝ × ×32＝ ．
π
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角
函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要
求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
23．（9分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF
第21页（共27页）的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM⊥MG，并求 的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2（0＜ ＜90°），其它条件不变，问
α α
（1）中 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 的式子表示）；若无变化，说明理由．
α
【考点】32：列代数式；L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）如图1中，延长DM交FG的延长线于H．证明△DMG是等腰直角三角形即
可，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2 a，BF＝ a，求出BM，MG即可解决问
题．
（2）（1）中 的值有变化．如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF
于O′．首先证明O，G，F共线，再证明点M在直线AD上，设BC＝m，则AB＝2m，想办法
求出BM，MG（用m表示），即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．
∵四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形，
∴DE∥AC∥GF，
∴∠EDM＝∠FHM，
∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，
∴△EDM≌△FHM（AAS），
第22页（共27页）∴DE＝FH，DM＝MH，
∵DE＝2FG，BG＝DG，
∴HG＝DG，
∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，
∴GM⊥DM，DM＝MG，
连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2 a，BF＝ a，
∵∠EBD＝∠DBF＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF＝ ＝ a，
∵EM＝MF，
∴BM＝ EF＝ a，
∵HM＝DM，GH＝FG，
∴MG＝ DF＝ a，
∴ ＝ ＝ ．
（2）解：（1）中 的值有变化．
理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．
∵DO＝OA，DG＝GB，
∴GO∥AB，OG＝ AB，
∵GF∥AC，
第23页（共27页）∴O，G，F共线，
∵FG＝ AB，
∴OF＝AB＝DF，
∵DF∥AC，AC∥OF，
∴DE∥OF，
∴OD与EF互相平分，
∵EM＝MF，
∴点M在直线AD上，
∵GD＝GB＝GO＝GF，
∴四边形OBFD是矩形，
∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，
∵OM＝MD，OG＝GF，
∴MG＝ DF，设BC＝m，则AB＝2m，
易知BE＝2OB＝2•2m•sin ＝4msin ，BF＝2BO°＝2m•cos ，DF＝OB＝2m•sin ，
α α α α
∵BM＝ EF＝ ＝ ，GM＝ DF＝m•sin ，
α
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三
角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，
学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
24．（9分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y
轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若
不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设
△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
第24页（共27页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．
（2）用配方法求抛物线顶点M，求AM2，设点P坐标为（0，p），用p表示AP2和MP2．
△PAM为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定
斜边后，可用勾股定理列方程，求得p的值即求得点P坐标．
（3）由点I是△ADG内心联想到过点I作△ADG三边的垂线段IE、IF、IH，根据内心到三
角形三边距离相等即有IE＝IF＝IH．此时以点I为圆心、IE为半径长的 I即为△ADG内
切圆，根据切线长定理可得AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG．设点I坐标为⊙（m，n），可用含
m、n的式子表示AG、DG的长，又由DA＝OA＝3，即可用勾股定理列得关于m、n的方程．
化简再配方后得到式子：（m﹣ ）2+（n+ ）2＝ ，从图形上可理解为点（I m，n）与定点Q
（ ，﹣ ）的距离为 ，所以点I的运动轨迹为圆弧．所以当点I在CQ连线上时，CI最
短．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）
∴ 解得：
∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3
（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点M（1，4）
∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20
设点P坐标为（0，p）
第25页（共27页）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2
若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2
①∴20+9+p2＝17﹣8p+p2
解得：p＝﹣
∴P（0，﹣ ）
若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2
②∴9+p2+17﹣8p+p2＝20
解得：p ＝1，p ＝3
1 2
∴P（0，1）或（0，3）
若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2
③∴20+17﹣8p+p2＝9+p2
解得：p＝
∴P（0， ）
综上所述，点P坐标为（0，﹣ ）或（0，1）或（0，3）或（0， ）时，△PAM为直角三角形．
（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H
∵DG⊥x轴于点G
∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°
∴四边形IEGH是矩形
∵点I为△ADG的内心
∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG
∴矩形IEGH是正方形
设点I坐标为（m，n）
∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n
∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m
∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m
∵DA＝OA＝3
∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m
第26页（共27页）∴DG＝DH+HG＝m+n
∵DG2+AG2＝DA2
∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32
∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0
配方得：（m﹣ ）2+（n+ ）2＝
∴点I（m，n）与定点Q（ ，﹣ ）的距离为
∴点I在以点Q（ ，﹣ ）为圆心，半径为 的圆在第一象限的弧上运动
∴当点I在线段CQ上时，CI最小
∵CQ＝
∴CI＝CQ﹣IQ＝
∴CI最小值为 ．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心的
定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程．第（3）题
的解题关键是由点I是内心用内心性质和切线长定理列式求得点I坐标的特征式子，转化
到点I到定点Q的距离相等，再转化到点和圆的位置关系．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/29 11:28:47；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
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