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21.1 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的定义
1．（2025春•浙江期中）下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x+2y＝4 B．3x＝4 C．x＝2x3+6 D．x2﹣2＝9
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此逐项判断即
可．
【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、该方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元
二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
2．（2024秋•西安期末）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．±❑√3
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
{|m−1|=2)
【详解】解：由题意可知： ，
m−3≠0
解得：m＝﹣1，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
3．（2025春•高新区校级月考）（m﹣3）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m≠3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义知：m﹣3≠0，则可得m≠3，从而完成解答．
【详解】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
∵（m﹣3）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣3≠0，
∴m≠3，
故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，其一般形式为 ax2+bx+c＝0（a≠0）且a，b，c是常数，熟
记定义是解答本题的关键．
知识点2 一元二次方程的一般形式
4．（2025春•莱西市期中）将一元二次方程x2﹣2x＝6化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常
数项分别是（ ）
A．1，2，6 B．1，﹣2，6 C．1，﹣2，﹣6 D．1，2，﹣6
【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．
【详解】解：一元二次方程x2﹣2x＝6化为一般形式，得x2﹣2x﹣6＝0，
则二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成
如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项．
5．（2025春•淄川区期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值为（
）
A．1 B．﹣1 C．2 D．±1
【分析】在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一
次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，由此列关系式计算即可．
【详解】解：由题意，得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意
a≠0，这是在做题过程中容易忽视的知识点，还考查了解一元二次方程．
6．（2024秋•临高县期末）把一元二次方程（x+3）（x﹣5）＝2化成一般形式，得（ ）
A．x2+2x﹣17＝0 B．x2﹣8x﹣17＝0
C．x2﹣2x＝17 D．x2﹣2x﹣17＝0
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0，把原方程经过去括号，移项，合并同类项等步
骤整理后，即可得到答案．
【详解】解：（x+3）（x﹣5）＝2，
去括号得：x2﹣5x+3x﹣15＝2，
移项得：x2﹣5x+3x﹣15﹣2＝0，
合并同类项得：x2﹣2x﹣17＝0，故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
7．（2024秋•扎兰屯市期末）将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一
次项系数为 ﹣ 3 ．
【分析】根据题意正确得出一般式，即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，二次项的系数是2，
∴化成的一般形式为2x2﹣3x﹣4＝0，
∴一次项系数为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．其
中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
8．（2024秋•新会区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2a+1＝0，若一次项系数与常数项相
等，则a的值为 0 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别
叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
【详解】解：由关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2a+1＝0，若一次项系数与常数项相等，得
﹣2a+1＝1．
解得a＝0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是
常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2叫二
次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
知识点3 一元二次方程的根（解）
9．（2025春•浙江期中）若m是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则代数式2025+2m2﹣4m的值为 2033
．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得出 m2﹣2m＝4，再将要求的代数式变形为 2025+2（m2﹣
2m），然后代入求值即可．
【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣4＝0，
∴m2﹣2m＝4，∴2025+2m2﹣4m＝2025+2（m2﹣2m）＝2025+2×4＝2033，
故答案为：2033．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，正确计算是解题的关键．
10．（2025•鹤山市一模）若x＝1是方程2x2﹣3x+5﹣a＝0的根，则a的值是 4 ．
【分析】把x＝1代入方程求解即可．
【详解】解：把x＝1代入方程得：2×12﹣3×1+5﹣a＝0，
解得a＝4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
11．（2025春•蓬莱区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2025，则关于y
的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
1 1
A．2025 B．﹣2025 C． D．−
2025 2025
【分析】x＝2025代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，得20252a+2025b+c＝0，两边同时除以20252可确定
所求方程的一个根．
【详解】解：由条件可得20252a+2025b+c＝0，
b c
两边除以20252，得a+ + =0，
2025 20252
1 1
∴ c+ b+a=0，
20252 2025
1
∴ 是一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）的一根．
2025
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．
12．（2024秋•凤城市期中）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程
﹣ax2+bx+2＝0的解是（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 …
A．x ＝0，x ＝1 B．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝﹣2
1 2 1 2
【分析】根据表格数据即可求解．
【详解】解：由数据可得，当x＝﹣1或2时，﹣ax2+bx＝﹣2，∴关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是x ＝﹣1，x ＝2．
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值和一元二次方程的解，关键是观察表格，理解代数式﹣ax2+bx值和一元二
次方程﹣ax2+bx+2＝0的解的关系．
知识点4 建立一元二次方程模型
13．（2024秋•江宁区校级月考）如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子
路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为x m，则下面所列方程正确的是（
）
A．（16﹣x）（8﹣x）+x2＝105
B．（16﹣x）（8﹣x）＝105
C．（16﹣2x）（8﹣x）+x2＝105
D．（16﹣2x）（8﹣x）＝105
【分析】设小路的宽为x m，则草坪的总长度为（16﹣x）m，总宽度为（8﹣x）m，根据题意列出方程
即可求出答案．
【详解】解：设小路的宽为x m，则草坪的总长度为（16﹣x）m，总宽度为（8﹣x）m，
根据题意，得：（16﹣x）（8﹣x）＝105．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键．
14．（2023秋•平山县期末）10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块
金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），
比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
1
A． x(x−1)=380 B．x（x﹣1）＝380
2
C．2x（x﹣1）＝380 D．x2＝380
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题
得解．【详解】解：根据题意得：x（x﹣1）＝380．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
【易错警示】
易错点：忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错。
15．（2021秋•湖口县期中）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m
的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3
【分析】把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能
使原方程对二次项系数为0．
【详解】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考
查了一元二次方程的概念．
{ a+b+c=0 )
16．（2024春•乳山市期末）若a，b，c满足 ，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的
4a−2b+c=0
两个根的平方和是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【分析】根据题意，得到方程的两个根为x＝1和x＝﹣2，进而求出两个根的平方和即可．
{ a+b+c=0 )
【详解】解：∵a，b，c满足 ，
4a−2b+c=0
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x＝1和x＝﹣2，
∴12+（﹣2）2＝5；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17．（2022春•丰泽区校级期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如 x（x+5）＝24的方程的
正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于
11−5
是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x= =3．小明
2
按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的
面积为4，则方程的正数解为（ ）
3
A．❑√3−1 B．❑√3+1 C． D．❑√5−1
2
【分析】把方程变形得到x（x+m）＝n，设图中长方形的长为（x+m），宽为x，则图中小正方形的边
长为x+m﹣ x ＝m＝2，大正方形的边长为x+m+ x ＝2x+m=❑√12，解得x＝2，然后计算x（x+2）即
可．
【详解】解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴图中长方形的长为（x+m），宽为x，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣ x ＝m=❑√4=2，
大正方形的边长为x+m+ x ＝2x+m=❑√12，
❑√12−2
∴x= =❑√3−1，
2
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．
18．（2023春•瑶海区期中）关于x的方程a（x+k）2+2023＝0的解是x ＝﹣2，x ＝1（a、k、b均为常数，
1 2
a≠0）．
问题：
（1）关于x的方程a（x+k+2）2+2023＝0的根是 x ＝﹣ 4 ， x ＝﹣ 1 ；
1 2（2）关于x的方程a（x﹣k+2）2+2023＝0的根为 x ＝ 0 ， x ＝﹣ 3 ．
1 2
【分析】（1）将x+2看作整体，由题意可知x+k＝﹣2，x+k＝1，可得x+2＝﹣2，x＝﹣4，x＝﹣1；
（2）仿照（1）计算即可．
【详解】解：（1）∵方程a（x+k）2+2023＝0的解是x ＝﹣2，x ＝1，
1 2
∵a（x+k+2）2+2023＝0，
∴x+2＝﹣2，x+2＝1，
解得x ＝﹣4，x ＝﹣1，
1 2
故答案为：x ＝﹣4，x ＝﹣1．
1 2
（2）∵方程a（x+k）2+2023＝0的解是x ＝﹣2，x ＝1，
1 2
∵a（x﹣k+2）2+2023＝0，
∴x+2＝﹣1，x+2＝2，
∴x ＝0，x ＝﹣3，
1 2
故答案为：x ＝0，x ＝﹣3．
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活变形是解题的关键．
19．（2024秋•鼓楼区期中）若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是 ﹣ 2 ．
【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1＝0，t2+t+m＝0，把两方程相减得到（m﹣1）t＝m﹣1，如果m＝
1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，Δ＜0，不符合题意；如果m≠1，解方程求出t的值，再根据方程解
的定义得出1+m+1＝0，解得m的值即可．
【详解】解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，
则t2+mt+1＝0①，
t2+t+m＝0②，
①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，
如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，不符合题意；
如果m≠1，那么t＝1，
把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．
故常数m的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元
二次方程的根．
20．（2023•拱墅区三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作Rt△ABC，BC＝1，再以A为圆心，AB为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别
表示m和n，我发现x＝m是一元二次方程x2+bx﹣4＝0的一个根，琮琮说x＝n一定不是此方程的根．
（1）写出m与n表示的数
（2）求出b的值
（3）你认为琮琮说得对吗？为什么？
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB=❑√5，则OE＝AE﹣OA=❑√5−1，OD＝AD+OA=❑√5+1，然后
表示出点D、E表示的数，从而得到m、n的值；
（2）把x=❑√5+1代入方程x2+bx﹣4＝0得（❑√5+1）2+（❑√5+1）b﹣4＝0，然后解关于b的方程即可；
（3）把x=−❑√5+1代入方程左边得（−❑√5+1）2﹣2（−❑√5+1）﹣4＝5＝0，所以可判断x＝n一定是
此方程的根，原式可判断琮琮说得不对．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝1，AC＝2，
∴AB ，
=❑√12+22=❑√5
∴AE＝AD＝AB=❑√5，
∵OA＝1，
∴OE＝AE﹣OA=❑√5−1，OD＝AD+OA=❑√5+1，
∴D点表示的数为❑√5+1，即m=❑√5+1，
E点表示的数为−❑√5+1，即n=−❑√5+1；
（2）把x=❑√5+1代入方程x2+bx﹣4＝0得（❑√5+1）2+（❑√5+1）b﹣4＝0，
解得b＝﹣2，
即b的值为﹣2；
（3）琮琮说得不对．
理由如下：
把x=−❑√5+1代入方程左边得（−❑√5+1）2﹣2（−❑√5+1）﹣4＝5﹣2❑√5+1+2❑√5−2﹣4＝0，
所以x＝n一定是此方程的根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．21．（2021秋•镇江期末）【阅读】
小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x ＝
1
﹣3，x ＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明
2
同学的具体做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0，
根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x ＝﹣3，x ＝2，
1 2
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y ＝﹣3，y ＝2．
1 2
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x ＝﹣4，x ＝1．
1 2
【理解】
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
（1）关于x的方程ax+b❑√x+c＝0（a≠0）的两根分别是 m 2 ， n 2 （用含有m、n的代数式表示）；
（2）方程 a x 2 + 2 b x + 4 c ＝ 0 的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
【猜想与证明】
观察下表中每个方程的解的特点：
方程 方程的解 方程 方程的解
x2+4x+3＝0 x ＝﹣3，x ＝﹣1 3x2+4x+1＝0 1
1 2 x =− ，x =−1
1 3 2
2x2﹣7x+3＝0 1 3x2﹣7x+2＝0 1
x = ，x =3 x ＝2，x =
1 2 2 1 2 3
x2﹣2x﹣8＝0 x ＝4，x ＝﹣2 8x2+2x﹣1＝0 1 1
1 2 x = ，x =−
1 4 2 2
… … … …
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 c x 2 + b x + a ＝ 0 的两个根
互为倒数；
（2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
【分析】【理解】（1）令y=❑√x，根据题意可得❑√x=m或❑√x=n，即可求解方程；
b c 2b
（2）由题意可知 m+n=− ，mn= ，由于方程的两个根分别是 2m，2n，则2m+2n=− ，am•2n
a a a4c
= ，即可写出符合条件的方程；
a
【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程 ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣
4ac≥0）的两个根互为倒数；
a b 1
（2）先将cx2+bx+a＝0变形为 + +c=0，设y= ，方程可变形为ay2+by+c＝0，设方程ax2+bx+c＝
x2 x x
1 1
0的解是x
1
＝m，x
2
＝n，则可得方程ay2+by+c＝0的解为y
1
＝m，y
2
＝n，把y＝m代入y= 得，x= ；
x m
1 1
把y＝n代入y= 得，x= ，即可证明．
x n
【详解】解：【理解】（1）令y=❑√x，
∴方程ax+b❑√x+c＝0（a≠0）可化为ay2+by+c＝0，
∵ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴y＝m或y＝n，
∴❑√x=m或❑√x=n，
∴x＝m2或x＝n2，
故答案为：m2，n2；
（2）∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴x＝m或x＝n，
b c
∴m+n=− ，mn= ，
a a
∵方程的两个根分别是2m，2n，
2b 4c
∴2m+2n=− ，am•2n= ，
a a
∴方程ax2+2bx+4c＝0的两个根为2m，2n，
故答案为：ax2+2bx+4c＝0；
【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程 ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣
4ac≥0）的两个根互为倒数，
故答案为：cx2+bx+a＝0；
a b
（2）证明：由cx2+bx+a＝0两边同除以x2，得 + +c=0，
x2 x1
设y= ，方程可变形为ay2+by+c＝0，
x
设方程ax2+bx+c＝0的解是x ＝m，x ＝n，
1 2
可得方程ay2+by+c＝0的解是y
1
＝m，y
2
＝n，
1 1 1 1
把y＝m代入y= 得，x= ；把y＝n代入y= 得，x= ，
x m x n
1 1
所以方程cx2+bx+a＝0的解是x = ，x = ，
1 m 2 n
即方程ax2+bx+c＝0的两个根与方程cx2+bx+a＝0的两个根互为倒数．
【点睛】本题考查无理方程的解，理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活运用换元法
解方程是解题的关键．
