文档内容
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中
的实际意义，检验所得结果的合理性.
【过程与方法】
经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一
步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.
【情感态度与价值观】
通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数
学的兴趣.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】
构建一元二次方程解决实际问题.
【教学难点】
会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结
果的合理性.
五、课前准备
课件
六、教学过程
（一）导入新课
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平
均一个人传染了几个人？（出示课件2）
你能解决这个问题吗？（出示课件4）
（二）探索新知
出示课件5：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其
传染示意图如下：（1）第一轮传染后共有 人患了流感；
（2）第二轮传染后共 人患了流感.
根据示意图，列表如下：（出示课件6）
传染源人 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
数
1
最后师生共同完成解答过程：
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列方程为
1+x+(1+x)·x=121提取公因式，得(1+x)(1+x)=121,即(1+x)2=121.
∴x =10,x =-12(不合题意，应舍去)，
1 2
故平均一个人传染了10个人.
教师强调：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去.
想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?（出示课件
7）
师生共同分析：
第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数
生1口答：第1种做法：以1人为传染源,3轮传染后的人数是:
(1+x)3=(1+10)3=1331(人).
生2口答：第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后
就是:121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.
思考：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？（出示课
件8）
师生共同分析：
传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数第一轮
第二轮
第三轮
第n轮
达成共识：经过n轮传染后共有(1+x)n人患流感.
出示课件9:例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样
数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
师生共同分析后解答如下：
解：设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为
1+x+x2=91,即 x2+x-90=0.
解得x =9,x =-10(不合题意，应舍去),
1 2
答：每个支干长出9个小分支.
出示课件10:引导学生思考并解答如下问题：
1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？
答案：每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？
答案：（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
教师问：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？（出示课件
11）
学生自主思考后，教师归纳如下：
出示课件12:电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经
过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电
脑？
学生思考后自主解决.
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
依题意得6+6x+6x(1+x)=2400.
6(1+x)²=2400.
解得x =19或x =-21(舍去).
1 2
答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.出示课件13:例2 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，
则这个小组共多少人？
引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，最后师生共同
完成解答过程.
解：设这个小组共x人，根据题意列方程，得
x(x-1)=72.
化简，得x2-x-72=0.
解方程，得x =9，x =-8（舍去）.
1 2
答：这个小组共9人.
出示课件14:生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠
送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？
学生独立思考，自主探究，找出题目中的等量关系后自主解答：
解：全组有x名同学，根据题意，得
x（x-1）=182.
解得x =14，x =-13（不合题意，舍去）.
1 2
答：全组有14名同学.
（三）课堂练习（出示课件15-22）1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会
的人数为（ ）
A．9人B．10人 C．11人 D．12人
2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计
划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级
一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A.x2=1980 B.x(x+1)=1980
C.x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980
4.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的
小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据
题意可列方程为（ ）
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2=73 D.(1+x)²=73
5.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人
平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ）？
A.10 B.9 C.8 D.76.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设
计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡
议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以
此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
7.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求
初三有几个班？
8.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，
总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
参考答案：
1.C
2.C
3.D
4.B
5.D
6.10
7.解：初三有x个班，根据题意列方程，得化简，得x2-x-12=0.
解方程，得x1=4，x2=-3（舍去）.
答：初三有4个班.
8.分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌.
传染源 本轮分裂成有益菌数目 本轮结束有益菌总数
第一轮 60 60x 60(1+x)
第二轮 60(1+x) 60(1+x)x 60(1+x)2
第三轮
60(1+x)2 60(1+x)2x 60(1+x)3
解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌.
60+60x+60(1+x)x=24000.
x1=19，x2=-21（舍去）.
因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
三轮后有益菌总数为24000×(1+19)=480000.
（四）课堂小结通过这节课的学习，你对传播类的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈
谈你的看法.
（五）课前预习
预习下节课（21.3第2课时）的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一
元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的
步骤.
2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题.
