文档内容
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
第03讲：三角函数性质图像和三角恒等式变换高频考点突破
【考点梳理】
考点一：任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
点P的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即
cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cos x，x∈R；
正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)．
考点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
考点三：公式一
sin(α＋2kπ)＝ sin α ，cos(α＋2kπ)＝ cos α ，tan(α＋2kπ)＝ tan α ，
其中k∈Z.终边相同的角的同一三角函数的值相等．
考点四：同角三角函数的基本关系
1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.
2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝ tan α 其中α≠kπ＋(k∈Z)．
考点五：同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .(2)商数关系：＝tan α.
考点六：六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α － sin α － sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α － cos α cos α － cos α sin α － sin α关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
正切 tan α tan α － tan α － tan α
函数名不变 函数名改变
口诀
符号看象限 符号看象限
技巧归纳：
1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．
2．同角三角函数基本关系式的常用变形：
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos
α.
考点七．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
{x|x∈R且x≠＋kπ，
定义域 R R
k∈Z}
值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R
在[－＋2kπ，＋2kπ] 在[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增； (k∈Z)上递增； 在(－＋kπ，＋kπ)
单调性
在[＋2kπ，＋2kπ] 在[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递增
(k∈Z)上递减 (k∈Z)上递减
当x＝＋2kπ(k∈Z) 当x＝2kπ(k∈Z)时，
时，y ＝1； y ＝1；
max max
最值
当x＝－＋2kπ(k∈Z) 当x＝π＋2kπ(k∈Z)
时，y ＝－1 时，y ＝－1
min min
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)
对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
周期 2π 2π π
考点八.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
考点九 两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin
两角差的余弦公式 C α，β∈R
(α－β)
β
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin
两角和的余弦公式 C α，β∈R
(α＋β)
β
考点十 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin
两角和的正弦 S α，β∈R
(α＋β)
β
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin
两角差的正弦 S α，β∈R
(α－β)
β
考点十一： 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
(α＋β)
两角差的正切 tan(α－β) ＝ T α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
(α－β)
考点十二：二倍角的正弦、余弦、正切公式
考点十三 半角公式
sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
考点十四 辅助角公式
辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【题型梳理】
题型一：同角三角函数的基本关系
1．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知 ，则 =（ ）
A．-7 B． C． D．5
【答案】C
【分析】利用弦切互化计算即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C．
2．（2023秋·安徽马鞍山·高一统考期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由诱导公式以及商数关系求解即可.
【详解】 ，则 .
故选：D
3．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）若 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可推出 ，进而可得出 .然后根据 的范围，开方即可求出.
【详解】因为， ，
所以， .
所以， .关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
又 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
题型二：三角函数的诱导公式
4．（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知 为第二象限角，且 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得出 的值，利用同角三角函数的基本关系可求得 的值，再利用诱导公式化简所
求代数式，代值计算即可得出所求代数式的值.
【详解】因为 ，则 ，
又因为 为第二象限角，则 ，
因此，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
.
故选：A.
5．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知 为锐角，且 .
(1)化简 ；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式化简计算即可；
（2）利用三角恒等变换计算即可.
【详解】（1）由诱导公式化简可得： ；
（2）∵ ， 为锐角，∴ .
又∵ ， 为锐角，∴
6．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知第三象限角 满足 ，且 ，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
为第三象限角，求下列各式的值.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，利用诱导公式可得 ，由诱导公式结合
可得答案.
（2）由（1）可得 ，后由 可得 ，即可得答案.
【详解】（1）由 得 ，
即 ，则 .
原式 ；
又 ，所以原式 .
（2）由 且 为第三象限角得 ，
因为 ，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
又 为第三象限角，则 ，
则 .
题型三：三角形的图像和性质
7．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）函数 的一个周期内的图象如图所示，
下列结论错误的是（ ）
A． 的解析式是
B．函数 的最小正周期是π
C．函数 的最大值是2
D．函数 的一个对称中心是
【答案】A
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式，即可
判断ABC,由验证法即可代入求解D.
【详解】由函数的最小值为 可得 ，由图象可知 ，解得 ，
再根据五点法作图可得 ，求得 ，故函数的解析式为 ，故A错
误，BC正确，
当 时，代入 中得 ，故 是 的对称中心，故D正确，
故选：A关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数 （ ， ，
）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 的取值范围为
【答案】D
【分析】根据题图得 ， ，由 可得 ，故 ，再逐项分析即可.
【详解】由题意可得 , ，解得 .
由 ，得 .
因为 ，所以 ，所以 .
,所以函数 的图象关于点 对称，故A正确；关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
，故函数 的图象关于直线 对称，故B正确；
时， ，所以函数 在 上单调递增，故C正确；
时， ，所以 ,
所以 ，故D错误.
故选:D.
9．（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）设函数 （是常数， ， ），若 在区
间 上具有单调性，且 ，则函数是 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据单调性可求出 ，再根据题意得函数关于点 对称，关于直线 对称，得到等式组，
通过作差分析可得 ，最后检验即可.
【详解】若 在区间 上具有单调性,则 ，
则 的图象关于点 对称, 的图象关于直线 对称,
①，
且 ，②关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
两式相减,可得 ,又因为 ，故 .
当 时,则结合 和①式可得 ， .
所以 .
故它的最小正周期为 ，
故选：B.
题型四：函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换和综合性质
10．（2023秋·吉林·高一统考期末）将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函
数 的图象，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得平移后的函数解析式，即得答案.
【详解】由题意可得 ，
故选：B
11．（2022·江苏·高一期末）已知函数 ，现将 的图象向右平移 个单位，再将所得图
象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 在 的值域为（ ）
A． B． C． D．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【答案】A
【分析】由函数 ，根据函数图象的平移变换与伸缩变换法则，可得到函数
，由 ，可得到 ，利用正弦函数的单调性即可求出结果.
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上的值域为 ，
故选：A.
12．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）已知函数 ，将
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，已知 在 上恰有5个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得 ，换元转化为 在 上恰有5个不相等的实根，结合
的性质列出不等式求解.
【详解】 ，令 ，由题意 在 上恰有5个零点，即 在
上恰有5个不相等的实根，由 的性质可得 ，解得 ．
故选：D．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
题型五：两角和与差的三角函数
13．（2023春·四川成都·高一成都实外校考期末）下列化简不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.
【详解】A选项，
，所以A选项正确.
B选项，
，B选项正确.
C选项， ，C选项正确.
D选项， ，D选项错误.
故选：D
14．（2023秋·广东·高一校联考期末）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】 ，
，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
两式相加得 ，
.
故选：C.
15．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知 , 都是锐角, , ,则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意判断 的范围,从而求出 的值,将 写为
,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.
【详解】由于 , 都是锐角,则 , ,
因为 , ,
所以 , ,
所以 , ,
所以
.关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
故选:B
题型六：二倍角公式的应用
16．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式得到 ，再将 两边平方及二倍角的正弦
公式计算可得.
【详解】
，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
17．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）若 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】 ，
，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
故选：D
18．（2022秋·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知 ，且 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平方关系由 结合已知角的范围求出 的值，再代入二倍角公式和和角公式计算即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
则 .
故选：A.
题型七：降幂公式的应用
19．（2022秋·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考期末）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【分析】由题可得 ，从而可求出 ，即得.
【详解】∵
所以 ，又因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ， ．
故选：C．
20．（2021秋·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）已知函数 在 上
有且只有四个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先化简函数的解析式，然后利用 的范围求出 的范围，根据题意列不等式求解 .
【详解】 ，因为 ，得
，因为函数在 有且只有四个零点，则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】关于三角函数中求解 的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即 的范围，然后根据题意，
分析 范围所在的区间，列不等式求解，即可求出 .
21．（2022春·河南南阳·高一校联考期末）化简 =（ ）关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简即得.
【详解】
.
故选：C.
题型八：三角函数恒等式变换
22．（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知函数 ，有下述三个结论：
① 的最小正周期是 ；
② 在区间 上不单调；
③将 图象上的所有点向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】根据题意利用三角恒等变换将函数化简成 ，然后根据正弦型函数的单调新性，周期
和三角函数图像的平移即可求解.
【详解】因为函数
，
所以函数的最小正周期 ，故①正确；关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
当 时， ，由正弦函数的图像可知，函数 在 上先增后减，故②
正确；
将 图象上的所有点向右平移 个单位长度后，可得
，故③错误，
所以结论正确的为①②，
故选：C.
23．（2022春·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考期末）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 两边平方，即可求出 ，再根据同角三角函数的基本关系求出 ，最后利
用两角差的正弦公式计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，
又 ，
即 ，
因为 ，所以 ，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以
；
故选：D
24．（2022春·陕西榆林·高一校考期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简得出 ，等式两边平方可得出关于 的方程，结合 的取值范围可求
得 的值.
【详解】由 可得 ，则 ，
因为 ，
等式两边平方可得 ，即 ，
，解得 .
故选：A.
题型九：三角函数的综合应用
25．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和对称轴方程；关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
(2)若函数 在 上的值域．
【答案】(1)最小正周期为 ，对称轴为
(2)
【分析】（1）利用两角和差、二倍角和辅助角公式化简得到 ，由正弦型函数最小正周期、对
称轴方程的求法直接求解即可；
（2）利用整体代换法，结合正弦函数的性质可确定值域.
【详解】（1） ，
的最小正周期 ；
令 ，解得： ，
的对称轴方程为 .
（2）当 时， ， ，
即 在 上的值域为 .
26．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 在 上存在最小值，求实数t的取值范围；
(3)方程 在 上的两解分别为 ，求 的值.关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据差角的正弦公式及辅助角公式化简得 ，由 计
算得解.
（2）由题知 ， 在 上存在最小值，只需 ，继而得解.
（3）设 ，由题意求得 ， ， ，由两角
差的余弦公式可求出 的值，求出 的取值范围，进而利用二倍角余弦公式可求出 的
值.
【详解】（1）
，
由 ，得 ，
所以 的单调递增区间为： .
（2）当 时， ，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
因为 在 上存在最小值，所以 ，
所以 .
实数t的取值范围为 .
（3）设 ， ，则 ，
由于正弦函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
由 ，得 ，
因为方程 在 上的两解分别为 、 ，
则 ，必有 ， ，
所以， ，同理 ，
，
由于 ， 且 ， ，则 ，
由 ，可得 .
27．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）已知函数 ．
(1)求 的单调递减区间及最小正周期；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，讨论函数 在 上的零点个关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
数．
【答案】(1)单调递减区间为 ，最小正周期为
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到 ，利用整体代入法可求得 的单调递减区间；由正弦型
函数最小正周期的求法可得最小正周期；
（2）根据三角函数平移变换原则可得 ，分别在 、 的情况下，得到
的单调性和值域，通过分析最值可确定 不同取值范围时， 的零点个数.
【详解】（1） ，
令 ，解得： ，
的单调递减区间为 ，最小正周期 .
（2）由题意得： ；
当 时， ，
当 ，即 时， 单调递增，值域为 ；
当 ，即 时， 单调递减，值域为 ；
则当 ，即 时， 无零点；
当 ，即 时， 有且仅有一个零点；
当 ，即 时， 有两个不同零点；关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
当 ，即 时， 有且仅有一个零点；
当 ，即 时， 有且仅有一个零点；；
当 ，即 时， 无零点；
综上所述：当 时， 无零点；当 时， 有且仅有一个零点；
当 时， 有两个不同零点.
【专题突破】
一、单选题
28．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在平面直角坐标系 中，若角 以 轴的非负半轴为始边，
且终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得 ，再利用三角函数的定义即可求解.
【详解】 角 的终边经过点 ，
，
则 .
故选：A.
29．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知 ，则 （ ）关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件结合利用二倍角公式求 ，再利用诱导公式求 .
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
30．（2023春·江苏南通·高一校考期末）已知函数 在 内恰有 个最值点和
个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简得出 ，由 求出 的取值范围，根据函数 在
内恰有 个最值点和 个零点，可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】因为 ，
且当 时， ，
因为函数 在 内恰有 个最值点和 个零点，
所以， ，解得 ，
故选：B.
31．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）在平面直角坐标系 中， 为第四象限角，角 的终边与以10为半关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
径的圆 交于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用任意角的三角函数定义求得 ，根据 为第四象限角，判断 的范围，然后求出
的值，最后根据两角差的余弦公式求出 即可.
【详解】在平面直角坐标系 中， 为第四象限角，角的终边与半径为10的圆 交于点 ．
故选：C．
32．（2023秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知 ，满足 ，若函数
在区间 上有且只有三个零点，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的周期性和对称性分析可得 为函数 的对称轴，再根据周期性分析零点即可.关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【详解】由题意可知：函数 的最小正周期 ，
因为 ，则 为函数 的对称轴，
则函数 在 之后的零点依次为 ，
若函数 在区间 上有且只有三个零点，则 .
故选：D.
33．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知当 时，函数 取得最
小值，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角函数的诱导公式，求出 ，再根据商数求解即可．
【详解】由函数 ，其中 ， ，
所以当 ，函数 取得最小值为 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ．
故选：B．
34．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）设函数 ，则下列结论错误的是 （ ）
A． 的一个周期为−2π B． 的值为关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
C． 的一个零点为 D． 在 上单调递减
【答案】D
【分析】根据周期的定义判断A，利用两角和余弦公式求 ，判断B，根据零点的定义判断C，根据余弦函数
的单调性求函数 的单调区间，判断D.
【详解】因为 ，
所以 是函数 的一个周期， A正确；
f ＝cos ，故B正确；
因为 ，
所以 的一个零点为 ，故C正确；
由 ，可得 ，
所以 在 上单调递减，
取 可得 在 上单调递减，
由 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，
取 可得 在 上单调递增，故D错误．
故选：D.
35．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值
（即黄金分割值 ，该值恰好等于 ），则下列式子的结果不等于 的是（ ）关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差公式和诱导公式依次化简各个选项即可.
【详解】对于A， ，A正确；
对于B， ，B正确；
对于C， ，C错误；
对于D， ，D正确.
故选：C.
36．（2023秋·河北邢台·高一邢台一中校考期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可求得 ，利用三角恒等变换化简所求代数式，可求得结果.
【详解】因为 ，则 ，
若 ，则 ，矛盾，故 .
因此，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
.
故选：C.
37．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为
一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的
名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点 离地面194cm.小南身
高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角 最大，小南离墙距离 应为（ ）
A． B．76cm C．94cm D．
【答案】D
【分析】由题意只需 最大，设小南眼睛所在的位置点为点 ，过点 做直线 的垂线，垂足为 ，求出 ，
，设 ，则 ，求出 ， ，代入
，利用基本不等式求解即可.
【详解】由题意可得 为锐角，故要使 最大，只需 最大，
设小南眼睛所在的位置点为点 ，过点 做直线 的垂线，垂足为 ，如图，
则依题意可得 （cm）， （cm）， ，
设 ，则 ，且 ，
，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
故
，当且仅当 即 时等号成立，
故使观赏视角 最大，小南离墙距离 应为 cm.
故选：D.
38．（2023秋·北京·高一清华附中校考期末）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
① 时， 的最大值为 ；
② 时，方程 在 上有且只有三个不等实根；
③ 时， 为奇函数；
④ 时， 的最小正周期为
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不
等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及
余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项.
【详解】因为 ，
所以当 时， ，此时函数 的最大值为 ，命题①为真命题；关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
当 时， ，方程 可化为 ，
当 时， ，故 ，由正弦函数性质可得方程 在 上有两个解，
当 时，原方程可化为 ，方程 在 上无解，
所以方程 在 上有且只有两个不等实根；命题②为假命题；
当 时， ， ，
，所以 ，所以 不为奇函数，命题③为假命题；
当 时， ，
所以 的最小正周期为 ，命题④正确；
故选：D.
二、多选题
39．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）已知某曲线 部分图象如图所示，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．一条对称轴方程为
C． 在 上单调递增关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
D． 图象可以由 图象向左平移 个单位长度得到
【答案】ABD
【分析】对于 .根据图象求得 ，再由 求解判断；对于B.由 求解判断；对于C：由
求解判断；对于D.利用平移变换求解判断.
【详解】对于A.因为 ，所以由图象知，
，所以 ，
又因为 ，且 在 的单调递减区间上，所以
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B. ，故对称轴方程为 ，当 时， ，故B正确；
对于C.由 知 ，
由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，故C错误；
对于D. 图象向左平移 个单位长度得到，
，故D正确．
故选：ABD．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
40．（2023秋·云南红河·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．已知角 的终边过点 ，则
D．已知扇形弧长为2，圆心角为 ，则该扇形的面积为
【答案】BCD
【分析】根据诱导公式可判定A，根据弧度与角度的转化可判定B，根据三角函数的定义可判定C，根据扇形的弧
长与面积公式可判定D.
【详解】对于A选项， ，所以A错误；
对于B选项， ，所以B正确；
对于C选项，由三角函数的定义得， ，所以C正确；
对于D选项，扇形弧长为2，圆心角为 ，则该扇形的半径为 ，
扇形面积 ，所以D正确.
故选：BCD．
41．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．将 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称
C．函数 的最小正周期为关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
D．若 在 上有且仅有3个零点，则 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对A： 必有一个最大值和一个最小值可求 ；对B：求出平移后函数解析式判断是否
为偶函数；对C：化简 后求周期；对D：求出 的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等
式并求解.
【详解】由 ，故 必有一个最大值和一个最小值，
则 为半个周期长度，故 正确；
由题意 的图象关于 轴对称，B正确；
的最小正周期为 C错误.
，在 上 有且仅在3个零点，
结合正弦函数的性质知： ，则 ，D正确；
故选：ABD
42．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函
数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数
，则（ ）
A．函数 图像的一个对称中心为
B．函数 图像的一条对称轴为直线关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
C．函数 在区间 上单调递增
D．将函数 的图像向左平移 个单位后的图像关于y轴对称
【答案】AC
【分析】化简得到 ，根据对称中心对称轴判断A，B选项，根据单调性判断C选项，根据平移
判断D选项.
【详解】
，故A正确；
对选项B：当 时， ，故 的图像不关于 对称，B
错误；
，函数 在区间 上单调递增，C正确；
将函数 的图像向左平移 个单位后得到 ，D错误.
故选: AC.
三、填空题
43．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）化简 _________.
【答案】
【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可得解.
【详解】关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
.
故答案为： .
44．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）若将函数
的图象向左平移 个单位长度，平移后的图象关于点 对称，则 ______．
【答案】
【分析】先利用辅助角公式将函数 的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图
象关于点 对称，可得出 的表达式，结合 的范围可求出 的值.
【详解】 ,
将函数 的图象向左平移 个单位后，
所得图象的函数解析式为 ，
由于函数 的图象关于点 对称，则 ，
得 ， ， ， .
故答案为： .
45．（2023秋·山西大同·高一统考期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心
距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位：米）（在水面下则 为负数），
若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，且 与时间 （单位：分钟）之间的关系式为：关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
，则 与时间 之间的关系是______.
【答案】 ，
【分析】根据题意求出振幅、周期，利用正弦型三角函数的性质求解即可.
【详解】根据筒车模型中各量的物理意义及题意可知，筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，
所以筒车旋转的角速度 .筒车的半径为3米，
所以 .筒车的轴心 距离水面的高度为1.5米，所以 .
以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，此时 .
所以筒车上的某个盛水筒 到水面的距离 （单位：米）
（在水面下则 为负数）与时间的关系为 ， .
故答案为： ， .
46．（2023秋·河南三门峡·高一统考期末）若函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当
时， ，则 ______．
【答案】 /
【分析】由题意可得 的最小正周期为 ，由奇函数的定义和周期性，结合特殊角的三角函数值，计算可得所
求和．
【详解】函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
又满足 ，可得 的最小正周期为 ，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
所以 ，则函数 关于点 对称，即 ，
又当 时， ，
所以
．
故答案为： ．
四、解答题
47．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）已知 ，且函数
，
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 的单调减区间；
(3)若函数 （其中 ）是 上的偶函数，求 的值，
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示与三角函数的恒等变换化简 ，由此得解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解；
（3）利用诱导公式与三角函数的奇偶性即可得解.关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【详解】（1）因为 ，
所以
.
故 的最小止周期为 .
（2）由 ，得 ，
所以函数 的单调减区间为 .
（3）因为 ，
因为 是 上的偶函数，
所以 ，即 ，
又 ，所以 或 .
48．（2023春·上海闵行·高一闵行中学校考期末）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 在区间 上的最小值和最大值及相应的 取值.
【答案】(1)最小正周期为
(2) 时， 的最大值为 ；当 时， 的最小值为 .关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【分析】（1）化简函数为 ，结合最小正周期的公式，即可求解；
（2）由 ，可得 ，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ，
所以函数 的最小正周期为 .
（2）解：由 ，可得 ，
当 ，即 时，函数 单调递增；
当 ，即 时，函数 单调递减，
所以当 时， 的最大值为 ；
又由 ，
所以当 时， 的最小值为 .
49．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数 （其中
）
(1)求函数 的值域；
(2)若函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，且函数
的图象与 轴的相邻两交点间的距离为 ，求函数 的单调递增区间.
【答案】(1)关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到 ，然后根据正弦函数的值域即可求解；
（2）先将函数进行平移，然后根据题意得到 的最小正周期为 ，进而求出 ，再利用正弦型函
数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意得
，
由于 ，得 ，所以函数 的值域为 ．
（2） 所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），可得 ，
由函数 的图象与 轴的相邻两交点间的距离为 ，可知 的最小正周期
为 ，
又由 ，得 ，即得 ，于是有 .
再由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 .
50．（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知函数 ，其中 ．
(1)若函数 的最大值是最小值的 倍，求 的值；
(2)当 时，函数 的正零点由小到大的顺序依次为 ， ， ， ，若 ，求 的值．
…关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，在结合正弦函数的性质求出 的最值，即可得到方程，解得即可；
（2）依题意可得 ，令 ，求出 ，即可求出 ， ，从而得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
由 ，解得 ，故 ；
（2）当 时， ，
令 ，有 ，有 或 ，
可得 或 ，
取 ，可得 ， ，
又由 ，有 ，解得 ，故 ．
51．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 .
(1)求函数 取最大值时 的取值集合；关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
(2)若函数 在区间 上是增函数，求实数 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数 ，根据正弦型三角函数的最大值取值情况即可求得 的取值集合；
（2）根据函数 的单调性，确定实数 的取值范围，即可得最大值.
【详解】（1）函数 ，
当 取最大值时， ，
此时满足 ，即 ，
所以 取最大值时 的取值集合为： ；
（2）由 ，
得 ，
所以 的单调增区间为 ，
当 时， 是 的一个单调增区间，
因为 ，所以 ，
因此，实数m的最大值为 .
52．（2023秋·吉林·高一统考期末）如图，角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ，将关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
射线 绕点 按逆时针方向旋转 后与单位圆相交于点 ，设 ．
(1)求 的值；
(2)若函数 ，求 的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，函数 的最小值为 ，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）由三角函数定义可得 ；方法一：将 直接代入即可求得 ；方法二：利用两角和差公
式和辅助角公式化简得到 ，代入 即可；
（2）由（1）可得 ，根据正弦型函数单调区间的求法可求得结果；
（3）结合诱导公式和二倍角公式，采用换元法可将 转化为关于 的二次函数的形式，讨论对称轴位置
即可利用最小值构造方程求得 的值.
【详解】（1）由题意知： ， ，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
方法一： ；
方法二： ，
.
（2）由（1）得： ，
令 ，解得： ，
的单调递增区间为 .
（3）由（2）得：
，
令 ，则 ，
是开口方向向下，对称轴为 的抛物线，
①当 ，即 时， ，解得： ；
②当 ，即 时， ，解得： ；
综上所述： 或 .
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数单调区间、与正弦函数有关的复合函数最值的求解问题；本题根据最
值求解参数值的关键是能够结合二倍角公式，将问题转化为关于变量 的二次函数的形式，进而利用含参数二次函
数最值的求法来进行讨论.
53．（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）如图，在扇形 中，
的平分线交扇形弧于点 ，点A是扇形弧 上的一点（不包含端点），过A作关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
的垂线交扇形弧于另一点 ，分别过 作 的平行线，交 于点 ．
(1)若 ，求 ；
(2)设 ，求四边形 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记 与 的交点分别为 ，求出 的长，即可求得答案;
（2）连接 ，记 与 的交点分别为 ，求出 的长，即可表示出四边形 的面积，结
合三角恒等变换以及正弦函数的性质化简求值，即得答案.
【详解】（1）由题意可知 关于 对称，连接 ，记 与 的交点分别为 ，
则 ，
故 ，
则 ，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
故 .
（2）连接 ，记 与 的交点分别为 ， ，
则 ，
， ，
，
所以四边形 的面积
，
因为 ， ，
所以当 ，即 时， 取到最大值1，
故 .
