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第03讲：三角函数性质图像和三角恒等式变换高频考点突破
【考点梳理】
考点一：任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
点P的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即
cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cos x，x∈R；
正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)．
考点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
考点三：公式一
sin(α＋2kπ)＝ sin α ，cos(α＋2kπ)＝ cos α ，tan(α＋2kπ)＝ tan α ，
其中k∈Z.终边相同的角的同一三角函数的值相等．
考点四：同角三角函数的基本关系
1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.
2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝ tan α 其中α≠kπ＋(k∈Z)．
考点五：同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .(2)商数关系：＝tan α.
考点六：六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α － sin α － sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α － cos α cos α － cos α sin α － sin α
正切 tan α tan α － tan α － tan α函数名不变 函数名改变
口诀
符号看象限 符号看象限
技巧归纳：
1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．
2．同角三角函数基本关系式的常用变形：
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos
α.
考点七．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
{x|x∈R且x≠＋kπ，
定义域 R R
k∈Z}
值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R
在[－＋2kπ，＋2kπ] 在[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增； (k∈Z)上递增； 在(－＋kπ，＋kπ)
单调性
在[＋2kπ，＋2kπ] 在[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递增
(k∈Z)上递减 (k∈Z)上递减
当x＝＋2kπ(k∈Z) 当x＝2kπ(k∈Z)时，
时，y ＝1； y ＝1；
max max
最值
当x＝－＋2kπ(k∈Z) 当x＝π＋2kπ(k∈Z)
时，y ＝－1 时，y ＝－1
min min
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)
对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
周期 2π 2π π
考点八.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：
考点九 两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin
两角差的余弦公式 C α，β∈R
(α－β)
β
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin
两角和的余弦公式 C α，β∈R
(α＋β)
β
考点十 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin
两角和的正弦 S α，β∈R
(α＋β)
β
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin
两角差的正弦 S α，β∈R
(α－β)
β
考点十一： 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
(α＋β)
两角差的正切 tan(α－β) ＝ T α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
(α－β)
考点十二：二倍角的正弦、余弦、正切公式
考点十三 半角公式
sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
考点十四 辅助角公式
辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).【题型梳理】
题型一：同角三角函数的基本关系
1．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知 ，则 =（ ）
A．-7 B． C． D．5
2．（2023秋·安徽马鞍山·高一统考期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）若 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型二：三角函数的诱导公式
4．（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知 为第二象限角，且 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知 为锐角，且 .
(1)化简 ；
(2)若 ，求 的值.6．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知第三象限角 满足 ，且 ，
为第三象限角，求下列各式的值.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
题型三：三角形的图像和性质
7．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）函数 的一个周期内的图象如图所示，
下列结论错误的是（ ）
A． 的解析式是
B．函数 的最小正周期是π
C．函数 的最大值是2
D．函数 的一个对称中心是
8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数 （ ， ，）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 的取值范围为
9．（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）设函数 （是常数， ， ），若 在区
间 上具有单调性，且 ，则函数是 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
题型四：函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换和综合性质
10．（2023秋·吉林·高一统考期末）将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函
数 的图象，则函数 的解析式为（ ）
A． B．C． D．
11．（2022·江苏·高一期末）已知函数 ，现将 的图象向右平移 个单位，再将所得图
象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 在 的值域为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）已知函数 ，将
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，已知 在 上恰有5个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：两角和与差的三角函数
13．（2023春·四川成都·高一成都实外校考期末）下列化简不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023秋·广东·高一校联考期末）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知 , 都是锐角, , ,则
（ ）A． B． C． D．
题型六：二倍角公式的应用
16．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）若 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．
18．（2022秋·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知 ，且 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
题型七：降幂公式的应用
19．（2022秋·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考期末）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
20．（2021秋·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）已知函数 在 上
有且只有四个零点，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
21．（2022春·河南南阳·高一校联考期末）化简 =（ ）
A．1 B． C． D．2
题型八：三角函数恒等式变换
22．（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知函数 ，有下述三个结论：
① 的最小正周期是 ；
② 在区间 上不单调；
③将 图象上的所有点向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
23．（2022春·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考期末）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
24．（2022春·陕西榆林·高一校考期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．题型九：三角函数的综合应用
25．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和对称轴方程；
(2)若函数 在 上的值域．
26．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 在 上存在最小值，求实数t的取值范围；
(3)方程 在 上的两解分别为 ，求 的值.
27．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）已知函数 ．
(1)求 的单调递减区间及最小正周期；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，讨论函数 在 上的零点个
数．
【专题突破】
一、单选题
28．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在平面直角坐标系 中，若角 以 轴的非负半轴为始边，且终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
30．（2023春·江苏南通·高一校考期末）已知函数 在 内恰有 个最值点和
个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）在平面直角坐标系 中， 为第四象限角，角 的终边与以10为半
径的圆 交于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
32．（2023秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知 ，满足 ，若函数
在区间 上有且只有三个零点，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
33．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知当 时，函数 取得最
小值，则 （ ）A． B． C． D．
34．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）设函数 ，则下列结论错误的是 （ ）
A． 的一个周期为−2π B． 的值为
C． 的一个零点为 D． 在 上单调递减
35．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值
（即黄金分割值 ，该值恰好等于 ），则下列式子的结果不等于 的是（ ）
A． B．
C． D．
36．（2023秋·河北邢台·高一邢台一中校考期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
37．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为
一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的
名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点 离地面194cm.小南身
高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角 最大，小南离墙距离 应为（ ）A． B．76cm C．94cm D．
38．（2023秋·北京·高一清华附中校考期末）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
① 时， 的最大值为 ；
② 时，方程 在 上有且只有三个不等实根；
③ 时， 为奇函数；
④ 时， 的最小正周期为
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
二、多选题
39．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）已知某曲线 部分图象如图所示，则
下列说法正确的是（ ）A．
B．一条对称轴方程为
C． 在 上单调递增
D． 图象可以由 图象向左平移 个单位长度得到
40．（2023秋·云南红河·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．已知角 的终边过点 ，则
D．已知扇形弧长为2，圆心角为 ，则该扇形的面积为
41．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．将 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称
C．函数 的最小正周期为
D．若 在 上有且仅有3个零点，则 的取值范围为42．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函
数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数
，则（ ）
A．函数 图像的一个对称中心为
B．函数 图像的一条对称轴为直线
C．函数 在区间 上单调递增
D．将函数 的图像向左平移 个单位后的图像关于y轴对称
三、填空题
43．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）化简 _________.
44．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）若将函数
的图象向左平移 个单位长度，平移后的图象关于点 对称，则 ______．
45．（2023秋·山西大同·高一统考期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心
距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位：米）（在水面下则 为负数），
若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，且 与时间 （单位：分钟）之间的关系式为：
，则 与时间 之间的关系是______.46．（2023秋·河南三门峡·高一统考期末）若函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当
时， ，则 ______．
四、解答题
47．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）已知 ，且函数
，
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 的单调减区间；
(3)若函数 （其中 ）是 上的偶函数，求 的值，
48．（2023春·上海闵行·高一闵行中学校考期末）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 在区间 上的最小值和最大值及相应的 取值.49．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数 （其中
）
(1)求函数 的值域；
(2)若函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，且函数
的图象与 轴的相邻两交点间的距离为 ，求函数 的单调递增区间.
50．（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知函数 ，其中 ．
(1)若函数 的最大值是最小值的 倍，求 的值；
(2)当 时，函数 的正零点由小到大的顺序依次为 ， ， ， ，若 ，求 的值．
…
51．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 .
(1)求函数 取最大值时 的取值集合；
(2)若函数 在区间 上是增函数，求实数 的最大值.52．（2023秋·吉林·高一统考期末）如图，角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ，将
射线 绕点 按逆时针方向旋转 后与单位圆相交于点 ，设 ．
(1)求 的值；
(2)若函数 ，求 的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，函数 的最小值为 ，求实数 的值．
53．（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）如图，在扇形 中，
的平分线交扇形弧于点 ，点A是扇形弧 上的一点（不包含端点），过A作
的垂线交扇形弧于另一点 ，分别过 作 的平行线，交 于点 ．
(1)若 ，求 ；(2)设 ，求四边形 的面积的最大值．
