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第02讲：指、对、幂函数高频考点突破
【考点梳理】
考点一：分数指数幂的意义
正分数指数幂
规定： ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
分数指数
负分数指数幂
幂 规定： ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂
幂 无意义
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ a r ＋ s，(ar)s＝ a r s，(ab)r＝ a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
考点二．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 00时， y >1 ； (5)当x>0时， 0< y <1 ；
性质
当x<0时， 0< y <1 当x<0时， y >1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
考点三：.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为
c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
考点四：对数
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其中
a
a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
考点五：对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①log (MN)＝log M ＋ log N；②log ＝log M － log N；③log Mn＝ n log M (n∈R)．
a a a a a a a a
(2)对数的性质① ＝ N ；②log aN＝ N (a>0且a≠1)．
a
(3)对数的换底公式
log b＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
a
考点六：对数函数的图象与性质
y=log x a>1 01时， y >0 ; (5)当x>1时， y <0 ;
性质 当00
(6)在(0，＋∞)上是增函 (7)在(0，＋∞)上是减函
数 数
考点七：反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
(1)y＝ax的定义域R就是y＝log x的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝log x的定义域．
a a
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝log x(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
a
(3)反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝log x(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
a
技巧归纳：
1、换底公式的两个重要结论
(1)log b＝； 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
a
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故00时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；
当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当 α <0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序
排列．
【题型梳理】
题型一：指对幂的运算
1．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）求下列各式的值：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值；
（2）利用对数运算法则化简求值.
【详解】（1）原式
（2）原式
2．（2023秋·四川成都·高一校考期末）化简求值：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值；
（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.
【详解】（1）解：原式 .
（2）解：原式
.
3．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）计算与化简：(1)
(2) .
(3)
(4) .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据对数的运算性质，代入计算即可；
（2）根据指数幂的运算性质，代入计算即可；
（3）根据指数幂的运算性质，代入计算即可；
（4）根据对数的运算性质，代入计算即可；
【详解】（1）原式 ；
（2）原式
（3）原式
（4）原式
题型二：比较大小
4．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，将 与0,1进行比较大小关系，即可得到答案.
【详解】因为 在 上单调递增，则 ，
因为 在 上单调递减，则 ，
因为 在 上单调递增，则 ，
故 ，
故选：A.
5．（2023春·河南焦作·高一统考期末）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得出 ， ，进而即可得到 ， ， 的大小关系．
【详解】由 ，且 ，即 ，
又 ，
所以c＜b＜a．
故选：A．
6．（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小可得答案.
【详解】 ， ，所以 ，
由 ，得 ，得 ，
综上所述： .
题型三：指数函数的综合7．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 恰有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简得 ，解出 的值，即可得到 值；
（2）设 ， ,则题意转化为直线 与函数 在图象上有两交点，利用数形结合的思想即可得
到答案.
【详解】（1）由题意得 ，
解得 或 ，因为 ，故 ，故 .
（2） ，
设 ，则 ，则 ， ，
令 ，则 ，
则 ，由题得直线 与函数 在图象上有两交点，
， ，令 ， 或0（舍）
作出图象如下图所示：则 ，解得 .
8．（2023秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）已知函数 为 上的奇函数.
(1)求函数 的解析式；
(2)判断函数 在 上的单调性并加以证明；
(3)解关于 的不等式 .
【答案】(1)
(2)函数 在 上的单调递减，证明见解析
(3)解集为 .
【分析】（1）根据奇函数性质可得 ，进而求解；
（2）根据单调性的定义判断并证明即可；
（3）根据指数函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为函数 为 上的奇函数，
所以 ，即 ，
此时 ， ，
所以 ，即函数 为奇函数，
所以 符合题意.故 .
（2）函数 在 上的单调递减.证明如下：
由（1）知， .
任取 ， ，且 ，
则 ，
因为 ， ，且 ，
所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
因此函数 在 上的单调递减.
（3）由（2）知 ，
由 ，即 ，
即 ，即 ，
即 ，即
所以 ，
所以等式 的解集为 .
9．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 .
(1)利用单调性定义证明： 在 上是增函数；
(2)解不等式
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用定义法即可证明；
（2）今 ，则 ，因为 在 上是增函数，所以 ，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）证明：任取 ，
，
因为 ，所以 ， ，
故 ，
所以 ，即 在 上是增函数；
（2）今 ，则 ，
因为 在 上是增函数，所以 ，
解得： ，即 ，解得 ，
故不等式得解集是 .
题型四：幂函数的综合
10．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知幂函数 的图象经过点 ．
(1)求 的解析式，并指明函数 的定义域；
(2)设函数 ，用单调性的定义证明 在 单调递增．【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）由待定系数法可得解析式，根据解析式有意义可得定义域；
（2）按照步骤：取值，作差，定号，下结论证明即可.
【详解】（1）设 ，则 ， ，
则 ，
的定义域是 ；
（2）由（1）知 ，任取 ，则
，
， ， ， ，
，即 ，
在 上单调递增．
11．（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数 为偶函数.
(1)求幂函数 的解析式；
(2)若函数 ，根据定义证明 在区间 上单调递增.
【答案】(1) ；
(2)见解析.
【分析】（1）根据幂函数的定义可得 ，结合函数的奇偶性即可求解；
（2）由（1）得 ，设 ,作差即可证明.【详解】（1）因为 是幂函数，
所以 ,解得 或 .
当 时， 为偶函数，满足题意；
当 时， 为奇函数，不满足题意.
故 .
（2）由（1）得 ，故 .
设 ,
则 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ,
所以 ，即 ，
故 在区间 上单调递增.
12．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数 是偶函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义求得 的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；
（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x的取值范围．
【详解】（1）已知幂函数 ，则 ，解得 或 ，所以 或 ，又函数 为偶函数，所以 ；
（2）由于幂函数 在 上单调递增，又函数 为偶函数，所以 在 单调递减，
若 ，则 ，平方后解得 ，
所以x的取值范围是 .
题型五：对数函数的综合
13．（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知函数f（x）＝ 是定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：函数f（x）在R上单调递增；
(3)记 ，对 x∈R，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)a＝0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数 是定义在R上的奇函数，由 求得a，再验证即可；
（2）利用函数的单调性定义和复合函数的单调性证明；
（3）先证得函数 在R上单调递增，将不等式 转化为 ，进而
得到 求解.
【详解】（1）解：由函数 是定义在R上的奇函数，
有 ，可得a＝0，
当a＝0时，由 ， ，
，此时 为奇函数，
又由 ，
可知函数 的定义域为R，故a＝0满足题意，
故实数a的值为0；
（2）证明：由（1）有 ，
①若 ，令
则 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，即 ，
所以 在 上递增，
又 在 上递增，
由复合函数的单调性得函数 在 上单调递增，
②若 ，由函数 为奇函数，得
，即
③若 ，则由①②得
综上，对于 ，总有 ，因此函数 在R上单调递增；
（3）由 ，可得函数 为奇函数．
又由函数 和 在R上单调递增，可得函数 在R上单调递增，
不等式 可化为不等式 ，
可化为 ，有 ，
可知对 ，不等式 恒成立，等价于对 ， 恒成立，
①当 时， ， ，不等式 显然成立；
②当 时，
Ⅰ．若x＝－1， ， ，不等式 显然成立，
Ⅱ．若 ，不等式 可化为 ，又由
（当且仅当x＝1时取等号），
故有 ；
Ⅲ．若 ，不等式 可化为 ，
又由 （当
且仅当x＝－3时取等号），
故有 ，
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可得 ，
由①②可知，实数m的取值范围为 ．
14．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数 （ 且 ）在 上的最大值为3.
(1)求 的值；
(2)假设函数 的定义域是 ，求关于 的不等式 的解集.【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据已知，利用对数函数的性质分类讨论，再进行计算求解
（2）根据已知，利用对数函数的性质以及一元二次函数、一元二次方程进行求解.
【详解】（1）当 时，函数 （ 且 ）在 上单调递减，
∴ ，解得 ；
当 时，函数 （ 且 ）在 上单调递增，
∴ ，解得 ，
综上所述， 或
（2）∵ 的定义域是 ，
∴ 恒成立，
则方程 的判别式 ，
即 ，解得
又 或 ，因此 ，
∴不等式 ，即 ，
即 ，解得
因此不等式 的解集为 .
15．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知函数 是偶函数．
(1)求 的值；(2)若 ， ， ，不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义结合对数运算可求得实数 的值；
（2）分析函数 在 上的单调性，令 ， ，则 对 恒成立，对实
数 的取值进行分类讨论，验证 对 能否恒成立，综合可得出 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
所以，
，
因为函数 为偶函数，则 ，即 ，
所以， ，解得 .
（2）由（1）可得
，
，
任取 、 ，且 ，则 ，
，当 时， ，则 ，
所以， ，即 ，
当 时， ，则 ，
所以， ，即 ，
所以，函数 在 上递减，在 上递增，
令 ，问题转化为： ，即 ，
再令 ，所以， 对 恒成立．
（i）当 时，左边 ，右边 ，不符合题意
（ii）当 时，
①当 时，则 ， ，
当 时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则 ，解得 ，此时 ；
②当 时，有 ，
所以， ，
当 ，则 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故 在 上的最大值为 ，
所以， ，此时， ；
③当 时， 恒成立，符合题意．综上所述， 的取值范围是 ， 的取值范围是 ．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
题型六：函数的应用
16．（2023秋·广西玉林·高一统考期末）已知函数 为奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)证明函数 在 上的单调递增；
(3)若存在 使得函数 在区间 上的值域为 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数 为奇函数，由 求解；
（2）利用函数单调性的定义求解；
（3）根据（2）知 在 上的单调递增，结合 在区间 上的值域为 ，
转化为 在 上有两个不同实根求解.【详解】（1）解： 函数 为奇函数，
，
即 ，
当 时显然不成立，
故 ， ．
（2）证明： 定义域 ，
任取 ，则 ，
， ， ，
，
，
， 在 上的单调递增．
（3）由（2）知 在 上的单调递增，
在区间 上的值域为 ，
，且 且 ，
即 ， 是方程 的实根，
问题等价于 在 上有两个不同实根，
令 ，显然 ，则 ，
即 ，解得 ，故 的范围 ．
17．（2023春·浙江杭州·高一统考期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量
与时间 间的关系为 （其中 是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.
(1)求 的值（精称到0.01）；
(2)求污染物减少 需要花的时间（精确到 ）？
参考数据： .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得 ，求解即可；
（2）由题意可得 ，求解即可.
【详解】（1）由 知，当 时， ；当 时， ；
即 ，所以 ，
即 ；
（2）当 时， ，即 ，
则 .故污染物减少 需要花的时间约为 .
18．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数 为偶函数，函数 为奇函数，且满足
．
(1)求函数 ， 的解析式；
(2)若函数 ，且方程 恰有三个解，求实数k的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由 及函数奇偶性得到 ，联立方程组求解即可；
（2）由（1）得到 的解析式，画出其图象，求出方程 的两个解，数形结合即可
得到实数k的取值范围．
【详解】（1）因为 是偶函数， 是奇函数，且 ，①
所以 ， ，
所以 ，即 ，②
由① ②解得 ，
① ②解得 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 ， ，
作出 的图象，如图所示：因为方程 恰有三个解，
即方程 恰有三个解，
所以 恰有三个解，
解得 或 ，
又因为 ，结合图形可得：
或 ，解得 或 ．
所以实数k的取值范围为 ．
【专题突破】
一、单选题
19．（2023春·湖南株洲·高一统考期末）已知函数 ，则 （ ）
A． B．1 C．-1 D．2
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式求函数值即可.
【详解】由条件可得 ，则 .故选：C.
20．（2023秋·云南红河·高一统考期末）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间 与储藏温度
的关系为 （ 为常数）.若牛奶在 的冰箱中，保鲜时间约是 ，在 的冰箱中，保鲜时
间约是 ，那么在 的冰箱中保鲜时间约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将对应温度和保鲜时长分别带入关系式，解出方程组即可得 ，再利用指数关系运算即可得结果.
【详解】由题得 ，解得 ，
因此在 的冰箱中的保鲜时间大约是 .
故选：B．
21．（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 ，可得 ，而 ，则可得 ，再由 ，易得 ，则可知
，由此即可选出答案.
【详解】 ，
由 ，有 ，可得 ．
又由 ，有 ，有 ，
可得 ．
故选：D．22．（2023秋·山西大同·高一统考期末）若函数 在区间 上的最大值与最小值的差不小于
3，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数 的单调性，从而可求出函数 在 上的最值，再
列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零.
【详解】令 ，则函数 为减函数，
又函数 为增函数，
所以函数 是减函数，
故 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，
由题设得 ，则 ，
所以 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
故选：A.
23．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且满足
．若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】首先利用方程组法求出 、 的解析式，再判断 的单调性，则问题转化为 恒成立，
参变分离求出 ，即可得解.
【详解】因为 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，
所以 ， ，
因为 ，①
所以 ，
所以 ，②
① ②得 ， ，
因为 在定义域 上单调递增， 在定义域 上单调递减，
所以 在 上单调递增，又 ，
若 恒成立，则 恒成立，
所以 恒成立，
所以 恒成立，
所以只需 ，
因为 ， ，所以 （当且仅当 ，即 时取等号），
所以 （当且仅当 时，取等号），
所以 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B．
24．（2023秋·广东清远·高一统考期末）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】若 在 上单调递增, 必有 ，求解即可.
【详解】根据题意, 函数 ，
若 在 上单调递增,
必有 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C
25．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）已知函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在 上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在 上是减函数
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性定义，即可判断奇偶性，根据函数单调性的定义，即可判断函数的增减性.
【详解】函数 的定义域为 ，
，所以函数 是奇函数，
且 是增函数， 是减函数，所以函数 在 上是增函数.
故选：A
26．（2023秋·吉林·高一统考期末）已知定义在 上的奇函数 和偶函数 满足 ，则下列
说法错误的是（ ）A． 在区间 上单调递增 B． 在区间 上单调递增
C． 无最小值 D． 无最小值
【答案】D
【分析】结合奇偶性定义可构造方程组求得 ，由指数函数单调性、复合函数单调性的判断方法可知AB
正误；由奇偶性可确定 单调性，进而确定CD正误.
【详解】由题意得： ，
由 得： ， ；
对于A， 在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，A正确；
对于B，设 ，则当 时， ；
在 上单调递增， 在 上单调递增，
在 上单调递增， 在 上单调递增，B正确；
对于C，由A知： 在 上单调递增，又 为定义在 上的奇函数，
在 上单调递增，又 为连续函数， 在 上单调递增，
无最小值，C错误；
对于D，由B知： 在 上单调递增，又 为定义在 上的偶函数，
在 上单调递减，又 为连续函数， ，D错误.
故选：D.
27．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第七中学校考期末）定义在 上函数 满足 ，当时， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据定义判断 在 上单调递增以及函数为奇函数.则原不等式可化为
.进而根据函数的单调性，即可列出不等式 ，求解不等式即可得出答案.
【详解】 ，且 .
则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增.
又 ，所以 为奇函数.
又 时，有 ，
所以， 时，有 .
由 可得，
.
因为 ，
所以由 可得， ，
整理可得 ，即 ，
显然 ，所以有 ，解得 .所以，不等式的解集为 .
故选：D.
28．（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数 ，若方程 有四个不同的根
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析给定的函数性质，画出函数 的部分图象，确定a的取值范围，进而求出 范围作答.
【详解】函数 ，当 时， 单调递增， ，
当 时， 单调递减， ，
当 时， 在 上递减，在 上递增， ，
作出函数 的部分图象，如图，
方程 有四个不同的根 ，不妨令 ，即直线 与函数 的图象有4个公共
点，
观察图象知， ， ，显然有 ，且 ，由 得 ，
即 ，则有 ，因此 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有
零点是解决问题的关键.
二、多选题
29．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数 .则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在定义域上单调递增
D．若实数 ， 满足 ，则
【答案】ABD
【分析】利用函数解析式，求解可得 ，即可判断A，利用 可判断B，根据函数的
奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D.
【详解】对于A选项， 故A正确；
对于B选项，对任意的 ， ，
所以函数 的定义域为 ，
，所以函数 的图象关于点 对称，故B正确；对于C选项，对于函数 ，该函数的定义域为 ，
，
即 ，所以函数 为奇函数，
当 时，内层函数 为减函数，外层函数 为增函数，
所以函数 在 上为减函数，故函数 在 上也为减函数，
因为函数 在 上连续，故函数 在 上为减函数，又因为函数 在 上为增函数，故函数 在
上为减函数，故C不正确；
对于D选项，因为实数a，b满足 ，则 ，
因为 在定义域上单调递减，可得 ，即 ，故D正确.
故选：ABD.
30．（2023春·浙江杭州·高一统考期末）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的图象关于原点对称 B．函数 的图象关于 轴对称
C．函数 的值域为 D．函数 是减函数
【答案】AC
【分析】求函数 的奇偶性可判断AB；分离参数可得 ，根据指数函数的值域可判断C；根据
单调性的定义可判断D.
【详解】 的定义域为 ， ，则 ，
所以 为奇函数， 的图象关于原点对称,A正确，B错误；
，因为 ,所以 , ，
所以 ,故 的值域为 ,C正确；设 ,则
,
因为 ，所以 ，
所以 ,即 ，
所以函数 是增函数，故D错误，
故选:AC.
31．（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知函数 （ ， 为自然对数的底数），则
（ ）
A．函数 至多有 个零点
B．当 时， ，总有 成立
C．函数 至少有 个零点
D．当 时，方程 有 个不同实数根
【答案】ABCD
【分析】分别解方程 、 ，取 ，可判断A选项；利用分段函数的单调性可判断B选
项；对实数 的取值进行分类讨论，确定函数 在 不同的取值下， 的零点个数，可判断C选项；当
时，解方程 ，可判断D选项.
【详解】对于A选项，令 可得 ，由 得 ，可得 .
故当 时，函数 有两个零点，所以，函数 至多有 个零点，A对；对于B选项，当 时，函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，且 ，
所以，故当 时，函数 在 上为增函数，
故当 时， ，不妨设 ，则 ，则 ，B对；
对于C选项，当 时，函数 在 上无零点，在 上有唯一零点 ；
当 时，函数 有两个零点；
当 时，函数 在 上有唯一零点 ，在 上无零点，
综上所述，函数 至少有一个零点，C对；
对于D选项，当 时， .
令 ，则方程 为 .
当 时，由 可得 ，解得 ；
当 时，由 可得 ，解得 .
当 时，由 可得 ，即 ，解得 ，
由 可得 ，即 ，解得 ；
当 时，由 可得 ，即 ，该方程无解，
由 可得 ，解得 .
综上所述，方程 的解集为 ，
所以，当 时，方程 有 个不同实数根，D对.
故选：ABCD.32．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数 ，则（ ）
A． 图象关于直线 对称 B． 的最大值为
C． 在 上单调递减 D． 的最小值为
【答案】AB
【分析】先求函数的定义域，然后由复合函数的单调性求解最值判断选项即可.
【详解】函数 的定义域为： ，
，
内层函数 为二次函数，其对称轴为直线 ，
所以 的图象关于直线 对称，故A正确；
当 时， 为增函数，当 时， 为减函数，
所以当 时， 有最大值 ，故B正确.
故选：AB.
33．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）下列命题正确的有（ ）
A．命题“ ， ”的否定“ ， ”
B．函数 单调递增区间是
C．函数 是 上的增函数，则实数a的取值范围为
D．函数 的零点所在区间为 且函数 只有一个零点
【答案】BD
【分析】对于A，由全称命题的否定为特称命题即可；
对于B，先求函数的定义域，再利用换元法结合复合函数单调性进行判断即可；
对于C，由分段函数为增函数，则每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，列出不等式求解即可；对于D，先判断函数 的单调性，再利用零点存在性定理判断即可.
【详解】对于A，命题“ ， ”的否定“ ， ”，故A选项错误；
对于B，由 ，得 ，令 ，则 ，
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在定义域内单调递减，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故B选项正确；
对于C，因为函数 是 上的增函数，
所以 ，解得： ，故C选项错误；
对于D，因为函数 和函数 在区间 上单调递减，
所以函数 在区间 上单调递减，
又因为 ，
所以函数 在区间 上只有一个零点，故D选项正确.
故选：BD.
三、填空题
34．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知 （ 且 ），则实数 的取值范围为
____________.【答案】
【分析】分 和 两种情况求解即可
【详解】①当 时， ，得 ；
②当 时， ，得 .
综上所述， 的取值范围为 ，
故答案为：
35．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知幂函数 满足 ，则 ______.
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可.
【详解】因为函数 为幂函数，
则 ，解得 或 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为： .
36．（2023秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知函数
，若 ， ， ，则实数 的取值
范围是 ____.
【答案】
【分析】依题意，在定义区间内， 的值域为 的值域的一个子集，列不等式求实数 的取值范围.
【详解】令 ， ，则 ，
， ，令 ， ，则 在 上单调递增， ，
则 ，即 的值域为 .
时， 在 上单调递增， ，即 ，即 的值域为
.
， ， ，则 的值域为 的值域的一个子集，
故 ，解得 ，实数 的取值范围是 .
故答案为：
37．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数 ， ．若 ， ，使
得 成立，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【分析】设函数 在 , 上的值域为 ，函数 在 ， 上的值域为 ，若 , ， , ，使得
成立，则 ，即可得出答案．
【详解】设函数 在 , 上的值域为 ，函数 在 , 上的值域为 ，
因为若 , ， , ，使得 成立，所以 ，
因为 ， , ，
所以 ， ，
所以 在 , 上的值域为 , ，因为 ，
当 时， 在 , 上单调递减，
所以 ，
，
所以 在 , 上的值域为 ,
因为 ，
所以 ，解得 ，
又 ，
所以此时不符合题意，
当 时， 图象是将 下方的图象翻折到 轴上方，
令 得 ，即 ，
①当 时，即 时，
在 , 上单调递减，
， ，
所以 的值域 ，
又 ，
所以 ，解得 ，②当 时，即 时，
在 上单调递减，在 , 上单调递增，
，
或 ，
所以 的值域 , 或 , ，
又 ，
所以 或 ，
当 时，解得 或 ，
又 ，
所以 ，
当 时，解得 或 ，
又 ，
所以 ，
所以 的取值范围诶 , , ．
③当 时， 时，
在 ， 上单调递增，
所以 ，
，
所以 在 ,, 上的值域 ，
又 ，所以 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为： ．
四、解答题
38．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，函
数 （ 且 ）的图象经过点 .
(1)求函数 的值域；
(2)讨论函数 在区间 上的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出点 的坐标，代入函数 的解析式可得出 的值，求出 的取值范围，利用指数函数
的基本性质可求得 的值域；
（2）令 可得出 ，令 ，得 ，问题转化为直线 与函数
的图象的公共点个数，数形结合可得出结论.
【详解】（1）解：对于函数 （ 且 ），由 可得 ，则 ，故点 ，
因为函数 （ 且 ）的图象经过点 ，则 ，可得 ，
所以， ，
因为 ，则 ，所以， ，
因此，函数 的值域为 .
（2）解：易知 ，
函数 的零点个数与方程 的解的个数相同.
令 ，得 ，即 .
当 ，令 ，得 ，
令 ， ，该二次函数的对称轴为直线 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又当 时， ，当 时， ，且函数 在 上单调递减，
作出函数 与函数 的图象如下图所示：由图可知，当 或 时，直线 与函数 的图象没有公共点，
此时，函数 在 上没有零点；
当 或 时，直线 与函数 的图象只有一个公共点，
此时，函数 在 上只有一个零点；
当 时，直线 与函数 的图象有两个公共点，
此时，函数 在 上有两个零点.
综上所述，当 或 时，函数 在 上没有零点；
当 或 时，函数 在 上只有一个零点；
当 时，函数 在 上有两个零点.
39．（2023秋·广西河池·高一统考期末）设 （ ，且 ）.
(1)若 ，求实数 的值及函数 的定义域；
(2)求函数 的值域.
【答案】(1) ，定义域为 ；
(2)见解析【分析】（1）根据 ，解出 值，再根据对数真数大于0即可求出其定义域；
（2）对原函数化简得 ，再结合复合函数的单调性和值域对 进行分类讨论即可.
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 的定义域需满足 ，
解得 ，即函数 的定义域为 .
（2）因为
则 ，
由 ，当 或 时， ，
根据二次函数的性质可得 ，
①当 时， 在 上单调递增，函数 的值域为 ，
②当 时， 在 上单调递减，函数 的值域为 .
40．（2023秋·甘肃白银·高一统考期末）已知函数 ，其中 且 .
(1)判断 的奇偶性；
(2)若 ，解关于x的不等式 .
【答案】(1)奇函数
(2)
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后检验 与 的关系即可判断；（2）结合对数函数的单调性即可求解．
【详解】（1）因为 的定义域 关于原点对称，
因为 ，
所以 为奇函数；
（2）当 时，由 可得 ，
所以 ，
故 ，
故不等式的解集为 ．
41．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数 ．
(1)讨论函数 的奇偶性；
(2)若函数 为偶函数，且 不为常数．
①求实数 ， 的值；
②判断并证明 的单调性．
【答案】(1)答案见解析
(2)① ；②减函数，证明见解析
【分析】（1）分 、 、 三种情况讨论，分别判断函数的奇偶性；
（2）①利用特殊值 得到方程组，求出参数的值，再代入检验即可；
②由①得到函数解析式，再利用定义法证明函数在 上的单调性，即可得解.
【详解】（1）①当 时，令 ，即 ，
所以 的定义域为 ，不关于原点对称，
所以 不具有奇偶性；
②当 时， ， ，为奇函数；③当 时， ，所以 不为奇函数，
又 ，所以 不为偶函数．
综上，当 时， 为奇函数；
当 时， 既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由（1）知，若 为偶函数，则 ，所以 的定义域为 ．
①因为 为偶函数，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
化简得 ，所以 或 ，
当 ， 时， ，不合题意；
当 ， 时， ，
所以 ， 为偶函数．
综上 .
②由①得 ，
在 为减函数，在 为增函数．
下面证明 在 为增函数：设 是 的任意两个数且 ，
，
因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 在 为增函数，
因为 为偶函数，所以 在 为减函数．
42．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知函数 （ 且 ）在 上的最小值为-1．
(1)求a的值；
(2)若函数 满足： ， 且 ， ，求满足 的x的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）对 进行分类讨论，根据 在区间 上的最小值求得 .
（2）根据 的单调性求得不等式 的解集.
【详解】（1）当 时， 在区间 上递减，；
当 时， 在区间 上递增，
；
综上所述， 的值为 或 .
（2）依题意，函数 满足： ， 且 ， ，
即 在 上递增，所以 ， .
由 得 ，
即 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以满足 的x的取值范围是 .
43．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知函数 （ 且 ）．
(1)若 为偶函数，求 的值；
(2)当 时， ，且函数 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义 可求答案；
（2）依题可得 ，利用换元法把目标转化为二次函数最值问题求解.
【详解】（1）因为 （ 且 ）为偶函数，所以 ，而 （ 且 ），
即 （ 且 ），解得 ．
（2）当 时， ，
由 ，得 ，解得 （舍）或 ，
在 上恒成立，可转化为：
，在 上恒成立．
，
令 ，则 在 上为增函数，所以 ，
，所以当 时， 取得最小值 ，
所以 的取值范围为 ．
44．（2023秋·广东清远·高一统考期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细
菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养
时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.
2 3 5
3.5 4.5 5.5
(1)当 时，根据表中数据分别用模型 和 建立 关于 的函数解析式.
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估
计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这
类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：
）
(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.
【答案】(1) ，(2)模型① 是“理想函数模型”，理由见解析
(3) （百万个
【分析】（1）根据代入法、平方法，结合对数的运算性质进行求解即可；
（2）结合代入法，结合题中理想函数模型的定义分类讨论进行求解即可；
（3）结合（2）的结论，利用代入法进行求解即可.
【详解】（1）当 时， ，
由图表数据可得 ，
， ，
联立上式，解方程可得 ， ，
则 ；
当 时， ，
由图表数据可得 ，
联立上式，解方程可得 ，
则 ；
（2）考虑① ，由 ，
可得 ，而
，
可得模型① 是“理想函数模型”；
考虑② ，由 ，可得而 ，
所以模型②不是“理想函数模型”；
（3）由（2）可得 时，
（百万个
45．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（ⅰ）求 的解析式；
（ⅱ）求方程 的所有根.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ） ；（ⅱ） ， ，
【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得；
（2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程 转化成曲线 与直线 的交点情况，结合
函数的图象和性质即得.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ， ，
由基本不等式，当 时， ，
即 ，
即 ；
（2）（ⅰ）依题意得，当 时， ，因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，代入上式成立，
即当 时， ，
设 ，则 ，所以 ，
所以 ；
（ⅱ）方程 转化成曲线 与直线 的交点情况，
当 时， 与 交于点 和点 ，
由（1）知 的图象总是向上凸的，所以除 外不会有其它交点，
同理，当 时，根据对称性，两个图象还有一个交点 ，
所以方程 有三个根 ， ， .
46．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数 .
(1)求函数 的值域；
(2)解关于 的不等式 ；
(3)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据对数的运算性质可化简 由换元法结合二次函数的性质即可求解，（2）由一元二次不等式以及对数不等式即可求解，
（3）分离参数，结合基本不等式求解最值即可求解.
【详解】（1）因为 定义域为 ，
则
设 ，则 ，
所以 值域为 .
（2）不等式可化为 ，即 解得 或
即 或 ，解得 或
所以不等式的解集为 或
（3）因为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
原问题化为对任意 ，
即 ，
因为 （当且仅当 即 时，取等号），
即 的最小值为0，
所以 .
