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第02讲：指、对、幂函数高频考点突破
【考点梳理】
考点一：分数指数幂的意义
正分数指数幂
规定： ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
分数指数
负分数指数幂
幂 规定： ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂
幂 无意义
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ a r ＋ s，(ar)s＝ a r s，(ab)r＝ a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
考点二．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 00时， y >1 ； (5)当x>0时， 0< y <1 ；
性质
当x<0时， 0< y <1 当x<0时， y >1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
考点三：.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为
c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
考点四：对数
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其中
a
a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
考点五：对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①log (MN)＝log M ＋ log N；②log ＝log M － log N；③log Mn＝ n log M (n∈R)．
a a a a a a a a关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
(2)对数的性质
① ＝ N ；②log aN＝ N (a>0且a≠1)．
a
(3)对数的换底公式
log b＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
a
考点六：对数函数的图象与性质
y=log x a>1 01时， y >0 ; (5)当x>1时， y <0 ;
性质 当00
(6)在(0，＋∞)上是增函 (7)在(0，＋∞)上是减函
数 数
考点七：反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
(1)y＝ax的定义域R就是y＝log x的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝log x的定义域．
a a
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝log x(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
a
(3)反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝log x(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
a
技巧归纳：
1、换底公式的两个重要结论
(1)log b＝； 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
a
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故00时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；
当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当 α <0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序
排列．
【题型梳理】
题型一：指对幂的运算
1．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）求下列各式的值：
(1) ；
(2) .
2．（2023秋·四川成都·高一校考期末）化简求值：关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
(1) ；
(2) .
3．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）计算与化简：
(1)
(2) .
(3)
(4) .
题型二：比较大小
4．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·河南焦作·高一统考期末）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
6．（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：指数函数的综合
7．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 恰有两个零点，求实数 的取值范围.关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
8．（2023秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）已知函数 为 上的奇函数.
(1)求函数 的解析式；
(2)判断函数 在 上的单调性并加以证明；
(3)解关于 的不等式 .
9．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 .
(1)利用单调性定义证明： 在 上是增函数；
(2)解不等式
题型四：幂函数的综合
10．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知幂函数 的图象经过点 ．
(1)求 的解析式，并指明函数 的定义域；关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
(2)设函数 ，用单调性的定义证明 在 单调递增．
11．（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数 为偶函数.
(1)求幂函数 的解析式；
(2)若函数 ，根据定义证明 在区间 上单调递增.
12．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数 是偶函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，求x的取值范围．
题型五：对数函数的综合
13．（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知函数f（x）＝ 是定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值；关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
(2)证明：函数f（x）在R上单调递增；
(3)记 ，对 x∈R，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
14．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数 （ 且 ）在 上的最大值为3.
(1)求 的值；
(2)假设函数 的定义域是 ，求关于 的不等式 的解集.
15．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知函数 是偶函数．
(1)求 的值；
(2)若 ， ， ，不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围．
题型六：函数的应用
16．（2023秋·广西玉林·高一统考期末）已知函数 为奇函数．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
(1)求实数 的值；
(2)证明函数 在 上的单调递增；
(3)若存在 使得函数 在区间 上的值域为 ，求实数 的取值范围．
17．（2023春·浙江杭州·高一统考期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量
与时间 间的关系为 （其中 是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.
(1)求 的值（精称到0.01）；
(2)求污染物减少 需要花的时间（精确到 ）？
参考数据： .
18．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数 为偶函数，函数 为奇函数，且满足
．
(1)求函数 ， 的解析式；
(2)若函数 ，且方程 恰有三个解，求实数k的取值范围．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【专题突破】
一、单选题
19．（2023春·湖南株洲·高一统考期末）已知函数 ，则 （ ）
A． B．1 C．-1 D．2
20．（2023秋·云南红河·高一统考期末）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间 与储藏温度
的关系为 （ 为常数）.若牛奶在 的冰箱中，保鲜时间约是 ，在 的冰箱中，保鲜时
间约是 ，那么在 的冰箱中保鲜时间约是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
22．（2023秋·山西大同·高一统考期末）若函数 在区间 上的最大值与最小值的差不小于
3，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且满足
．若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
24．（2023秋·广东清远·高一统考期末）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）已知函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在 上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在 上是减函数
26．（2023秋·吉林·高一统考期末）已知定义在 上的奇函数 和偶函数 满足 ，则下列
说法错误的是（ ）
A． 在区间 上单调递增 B． 在区间 上单调递增
C． 无最小值 D． 无最小值
27．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第七中学校考期末）定义在 上函数 满足 ，当
时， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
28．（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数 ，若方程 有四个不同的根
，则 的取值范围为（ ）
A． B．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
C． D．
二、多选题
29．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数 .则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在定义域上单调递增
D．若实数 ， 满足 ，则
30．（2023春·浙江杭州·高一统考期末）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的图象关于原点对称 B．函数 的图象关于 轴对称
C．函数 的值域为 D．函数 是减函数
31．（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知函数 （ ， 为自然对数的底数），则
（ ）
A．函数 至多有 个零点
B．当 时， ，总有 成立
C．函数 至少有 个零点
D．当 时，方程 有 个不同实数根
32．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数 ，则（ ）
A． 图象关于直线 对称 B． 的最大值为关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
C． 在 上单调递减 D． 的最小值为
33．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）下列命题正确的有（ ）
A．命题“ ， ”的否定“ ， ”
B．函数 单调递增区间是
C．函数 是 上的增函数，则实数a的取值范围为
D．函数 的零点所在区间为 且函数 只有一个零点
三、填空题
34．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知 （ 且 ），则实数 的取值范围为
____________.
35．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知幂函数 满足 ，则 ______.
36．（2023秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知函数
，若 ， ， ，则实数 的取值
范围是 ____.
37．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数 ， ．若 ， ，使
得 成立，则实数 的取值范围为______．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
四、解答题
38．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，函
数 （ 且 ）的图象经过点 .
(1)求函数 的值域；
(2)讨论函数 在区间 上的零点个数.
39．（2023秋·广西河池·高一统考期末）设 （ ，且 ）.
(1)若 ，求实数 的值及函数 的定义域；
(2)求函数 的值域.
40．（2023秋·甘肃白银·高一统考期末）已知函数 ，其中 且 .
(1)判断 的奇偶性；
(2)若 ，解关于x的不等式 .
41．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数 ．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
(1)讨论函数 的奇偶性；
(2)若函数 为偶函数，且 不为常数．
①求实数 ， 的值；
②判断并证明 的单调性．
42．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知函数 （ 且 ）在 上的最小值为-1．
(1)求a的值；
(2)若函数 满足： ， 且 ， ，求满足 的x的取值范围．
43．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知函数 （ 且 ）．
(1)若 为偶函数，求 的值；
(2)当 时， ，且函数 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
44．（2023秋·广东清远·高一统考期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细
菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养
时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.
2 3 5
3.5 4.5 5.5
(1)当 时，根据表中数据分别用模型 和 建立 关于 的函数解析式.关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估
计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这
类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：
）
(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.
45．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（ⅰ）求 的解析式；
（ⅱ）求方程 的所有根.
46．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数 .
(1)求函数 的值域；
(2)解关于 的不等式 ；
(3)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
