文档内容
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第1讲：函数的基本性质（单调性、最值和奇偶性）高频考点突破
【考点梳理】
考点一：函数的有关概念
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中 任意一个数 x，按照某种
函数的定义 确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就
称f： A → B 为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法 y ＝ f ( x ) ，x∈A
定义域 x叫做自变量，x的 取值范围 A 叫做函数的定义域
值域 函数值的集合叫做函数的值域
考点二：函数的单调性
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的
任意两个自变量的值x，x
1 2
定义
当x f ( x )，那么
1 2 1 2 1 2 1 2
说函数f(x)在区间D上是增函数 就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
考点三．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I，都有 (3)对于任意的x∈I，都有
条件 f ( x ) ≤ M ； f ( x ) ≥ M ；
(2)存在x∈I，使得 f ( x ) ＝ M (4)存在x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
考点四．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
偶函数 关于 y 轴 对称
有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
奇函数 关于原点对称
有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做奇函数
【题型归纳】
题型一：函数的定义域关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
1．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）函数 的定义域为（ ）
A．(0,1] B．(0,+∞) C．(1,+∞) D．[1,+∞)
【答案】D
【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则 ，解得 ，
即函数的定义域为 .
故选：D
2．（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数 的定义域为 ，即 ，可得 ，
∴函数 的定义域为 ，
令 ，解得 ，
故函数 的定义域为 .
故选：B.
3．（2022秋·山东淄博·高一统考期末）函数 的定义域为（ ）
A． B．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
C． D．
【答案】D
【分析】根据被开方数不小于零，对数的真数部分大于零列不等式组求解.
【详解】由已知得 ，解得 .
所以函数 的定义域为 .
故选：D.
题型二：复杂（根式、分式）函数的值域
4．（2023秋·山东德州·高一统考期末）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，求出 的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数 的值域.
【详解】令 ，由 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以函数
的值域为 .
故选：B
5．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.
【详解】由已知 值域为 ，故A错误；关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
时，等号成立，所以 的值域是 ，B错误；
因为定义域为 ， ，函数值域为 ，故C正确；
， ， ，所以 ，故D错误.
故选：C.
6．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知函数 的值域为
的值域为 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】分别利用 和 的取值范围求出参数 和 ，即可求出 的值
【详解】在函数 中，值域为
∴函数 的值域为 ，
∴ ，解得：
在 中，值域为
∴在 中，值域为 ，
∵ ，
∴ ，解得：
∴ ，
故选：C
题型三：求解析式三大方法
7．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【答案】A
【分析】分别令 ， ，然后解方程组可得.
【详解】分别令 ， ，则 ，解得 .
故选：A
8．（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）已知二次函数 ，
，且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在区间 上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数图象与 轴交点确定 值，函数 和函数 相等，对应系数相等确定 、
值.
（2）根据区间 上的单调性求出最值，即可得到区间 上的值域.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
（2）解：因为 ，所以 是开口向上，对称轴为 的抛物线．
因为 在 递减，在 递增，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 在 上的值域为 ．
9．（2023秋·吉林松原·高一校考期末）已知函数 .
(1)求函数 的解析式；
(2)判断 的奇偶性；
【答案】(1)
(2) 为奇函数，证明见解析
【分析】（1）利用换元法，可得函数 的表达式；
（2）根据奇函数定义判断可得答案．
【详解】（1）令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由 得 ，且 ，
所以 ；
（2）因为 ，
定义域关于原点对称，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
，
所以 为奇函数.
题型四：分段函数
10．（2023秋·甘肃白银·高一统考期末）已知函数 ，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】根据 的范围代入分段函数的解析式利用对数运算求值.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：A
11．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数 ,若 ，且 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出 的图象，得到 ，问题转化为 ，换元后进行
求解，得到答案.
【详解】作出 的图象，如图所示：关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
由 ，可得 ，
则 ，
令 ，
则 ，
故 ．
故选：D．
12．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）已知函数 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】根据已知得出函数 在定义域 上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.
【详解】函数 中，
在 上单调递减， 在 上单调递减，且 ，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
则函数 在定义域 上单调递减，
，
，解得： ，
即不等式 的解集为 .
故选：D.
题型五：根据函数的单调性求参数范围
13．（2022秋·四川广安·高一统考期末）已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.
【详解】由题意， ，
在 中，函数单调递增，
∴ ，解得： ，
故选：C.关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
14．（2022·全国·高一期末）已知函数 ，若对任意的 ，且 恒
成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不妨设 ，令 ，由题分析可得函数 在 上单调递减，讨论
和 时，要使 在 上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.
【详解】不妨设 ，则 ，根据题意，可得 恒成立，即
恒成立.令 ，
则 恒成立，所以函数 在 上单调递减.
当 时， 在 上单调递减，符合题意；
当 时，要使 在 上单调递减，
则 解得 .
综上所述，实数a的取值范围是 .
故选：D.
15．（2022秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数 是 上的增函数，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【分析】根据分段函数是 上的增函数，则每一段都为增函数，且 右侧的函数值不小于左侧的函数值
求解.
【详解】函数 是 上的增函数，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是
故选：A.
题型六：函数不等式恒成立问题
16．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知不等式 对任意上恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形给定的不等式，构造函数，结合指数函数的单调性及基本不等式求解作答.
【详解】 ， ，
令 ， ，当且仅当 ，即 时取等号，
因此当 时， 取得最小值4，则 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：C
17．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）若不等式 （ ，且 ）在 内恒成立，则实数关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析出 时，不成立，当 时，画出 ， 的图象，数形结合得到实数a
的取值范围.
【详解】若 ，此时 ， ，而 ，故 无解；
若 ，此时 ， ，而 ，
令 ， ，
画出两函数图象，如下：
故要想 在 内恒成立，
则要 ，解得： .
故选：B.
18．（2019秋·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）定义在 上的函数 满足 ，且
当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最
大值是（ ）
A． B． C． D．关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
【答案】C
【分析】由已知条件可知，当 时， 为减函数，再由偶函数的性质将 ，可化为
，进而可得 ，化简得 ，从而得 ，可求出
的范围，从而可得其最大值
【详解】因为在 上的函数 满足 ，
所以 为偶函数，
因为当 时， ，
所以 在 上为减函数，
因为 ， 为偶函数，
所以 ，所以 ，
两边平方化简得， ，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
所以 ，解得 ，
所以实数 的最大值为 ，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查偶函数性质的应用，解题的关键是利用偶函数的性质将对任意的 ，不
等式 恒成立，转化为 ，从而可得结果.关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
题型七：利用奇偶性求函数的解析式
19．（2022秋·上海闵行·高一校考期末）设函数 是R上的奇函数，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递
减区间，分析可得答案.
【详解】根据题意，设 ，则 ，
所以 ，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
所以 ，
即 时， ，此时函数在 上单调递减，在 单调递增；
当 时， ，此时函数在 上单调递增，在 单调递减；
所以函数 在 上单调递减，
若 ，即 ，又由 ，且 ，必有 时，
，
解得： ，所以不等式 的解集为 .
故选： .
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调
性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
20．（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）若 分别为定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由奇偶性的定义求得 与 的表达式，然后求函数值．
【详解】 （1），则 ，
又 分别为定义在 上的奇函数和偶函数，
∴ （2），
（1）（2）两式相加除以2得 ，相减除以2得 ，
∴ ， ，∴ ，
故选：D．
21．（2023秋·河南许昌·高一校考期末）已知函数 是奇函数， 是偶函数，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于 、 的等式组，由此可解得函数 的解析式.
【详解】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ， ．
所以， ，即 ，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
因此， .
故选：D.
题型八：抽象函数的奇偶性问题
22．（2022秋·重庆合川·高一重庆市合川中学校考期末）定义在R上的函数f（x）满足 ，
当 时， ，则f（x）满足（ ）
A．
B． 是偶函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（m）
D． 0的解集为
【答案】C
【分析】先对 赋值计算得 ，再根据定义判断 为奇函数，结合当 时， 判断 单调递
减，逐一结合选项判断正误即可.
【详解】令 ，则 ，得 ，
令 ，则 ，故 为R上的奇函数，故B错误；
任取 ，则 ，则 ，
，
故函数f（x）在R上单调递减，则 ，故A错误；
故f（x）在[m，n]单调递减，有最大值f（m），故C正确；
，又函数f（x）在R上单调递减，故 ，
得 ，故D错误.
故选：C.关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
23．（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）已知函数 ， ， ，有
，其中 ， ，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． 是偶函数 D．存在非负实数T，使得
【答案】D
【分析】利用特殊函数可判断ABC的正确，利用赋值法可证明 为周期函数，从而可得正确的选项.
【详解】取 ，则 ，
，
因此 成立，
此时 ， ，故 为偶函数，故A错误，B错误.
取 ，则 ，
，
因此 成立，
此时 为奇函数，故C错误.
令 ，则 ，
令 ，则 ，
若 ，
令 ，则 ，关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
且 ，而 ，故 .
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
整理得到： ，而 ，
故 ，此时令 ，则 ，
故 或 .
若 ，则 ，故 为偶函数，
故 即 ，
所以 为周期函数且周期为 .
若 ，则 ，故 为奇函数，
故 即 ，
故
所以 为周期函数且周期为 .
若 ，则 ，
此时 ，故 或 .
若 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 .关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 即 ，
故 为周期函数且周期为 .
若 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 .
令 ，则 ，
令 ，
则 ，
故 即 ，
故 为周期函数且周期为 .
综上， 为周期函数，故D正确.
故选：D.
【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题，可以根据抽象函数的运算性质寻找具体的函数来辅助考虑，此处需要
对基本初等函数的性质非常熟悉.另外，在研究抽象函数的性质时，注意通过合理赋值来研究抽象函数的对称性、
周期性.
24．（2019秋·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且
f(2)=0，则不等式 ≤0的解集为（ ）
A．(-∞，-2]∪(0，2] B．[-2，0)∪[2，+∞)
C．(-∞，-2]∪[2，+∞) D．[-2，0)∪(0，2]
【答案】D
【分析】由给定条件可得函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+∞)上的函数值为负，利用奇函数的性质化简不关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等
等式，解出不等式即得.
【详解】因函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，即函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+∞)上的
函数值为负，
又f(x)是奇函数，于是得 ，
因此，当x>0时， ，则有0
