文档内容
第1讲：函数的基本性质（单调性、最值和奇偶性）高频考点突破
【考点梳理】
考点一：函数的有关概念
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中 任意一个数 x，按照某种
函数的定义 确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就
称f： A → B 为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法 y ＝ f ( x ) ，x∈A
定义域 x叫做自变量，x的 取值范围 A 叫做函数的定义域
值域 函数值的集合叫做函数的值域
考点二：函数的单调性
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的
任意两个自变量的值x，x
1 2
定义
当x f ( x )，那么
1 2 1 2 1 2 1 2
说函数f(x)在区间D上是增函数 就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
考点三．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I，都有 (3)对于任意的x∈I，都有
条件 f ( x ) ≤ M ； f ( x ) ≥ M ；
(2)存在x∈I，使得 f ( x ) ＝ M (4)存在x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
考点四．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
偶函数 关于 y 轴 对称
有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
奇函数 关于原点对称
有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做奇函数
【题型归纳】
题型一：函数的定义域
1．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）函数 的定义域为（ ）A．(0,1] B．(0,+∞) C．(1,+∞) D．[1,+∞)
2．（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·山东淄博·高一统考期末）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：复杂（根式、分式）函数的值域
4．（2023秋·山东德州·高一统考期末）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知函数 的值域为
的值域为 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10题型三：求解析式三大方法
7．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
8．（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）已知二次函数 ，
，且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在区间 上的值域．
9．（2023秋·吉林松原·高一校考期末）已知函数 .
(1)求函数 的解析式；
(2)判断 的奇偶性；
题型四：分段函数
10．（2023秋·甘肃白银·高一统考期末）已知函数 ，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．0
11．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数 ,若 ，且 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．12．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）已知函数 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． 或 C． D．
题型五：根据函数的单调性求参数范围
13．（2022秋·四川广安·高一统考期末）已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022·全国·高一期末）已知函数 ，若对任意的 ，且 恒
成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数 是 上的增函数，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型六：函数不等式恒成立问题
16．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知不等式 对任意上恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
17．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）若不等式 （ ，且 ）在 内恒成立，则实数
a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2019秋·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）定义在 上的函数 满足 ，且
当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最
大值是（ ）
A． B． C． D．
题型七：利用奇偶性求函数的解析式
19．（2022秋·上海闵行·高一校考期末）设函数 是R上的奇函数，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）若 分别为定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C． D．21．（2023秋·河南许昌·高一校考期末）已知函数 是奇函数， 是偶函数，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
题型八：抽象函数的奇偶性问题
22．（2022秋·重庆合川·高一重庆市合川中学校考期末）定义在R上的函数f（x）满足 ，
当 时， ，则f（x）满足（ ）
A．
B． 是偶函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（m）
D． 0的解集为
23．（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）已知函数 ， ， ，有
，其中 ， ，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． 是偶函数 D．存在非负实数T，使得
24．（2019秋·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且
f(2)=0，则不等式 ≤0的解集为（ ）
A．(-∞，-2]∪(0，2] B．[-2，0)∪[2，+∞)
C．(-∞，-2]∪[2，+∞) D．[-2，0)∪(0，2]
题型九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式25．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）已知 是定义域为 的偶函数，则 （ ）．
A．0 B． C． D．
26．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式
解集是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）已知函数 是R上的奇函数，且是 上的严格减函数，若
，则满足不等式 的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型十：函数性质的综合性问题
28．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）已知函数 ．
(1)用定义法证明 在 上单调递增；
(2)不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围．
29．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数 为奇函数.
(1)求实数 的值，判断函数 的单调性并用定义证明；
(2)求关于 的不等式 的解集.
30．（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校联考期末）已知函数 ，其中 且．
(1)求 的值并写出函数的解析式；
(2)判断并证明函数 的奇偶性；
(3)已知 在定义域上是单调递减函数，求使 的 的取值范围．
【强化精练】
一、单选题
31．（2023秋·云南红河·高一统考期末）下列函数中，既是奇函数又是在区间 上单调递增的函数为（ ）
A． B．
C． D．
32．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
33．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，且当
时， ，则 （ ）
A．2 B．0 C．1 D．
34．（2022秋·甘肃兰州·高一统考期末）设 为定义在 上的偶函数，且 在 上为增函数，则
的大小顺序为（ ）
A． B．C． D．
35．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且满足
．若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
36．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第四中学校考期末）已知函数 是偶函数，当 时，
恒成立，设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
37．（2023秋·江西南昌·高一统考期末）已知 ，若“ ，使得 ”是假命题，则下列说
法正确的是（ ）
A． 是R上的非奇非偶函数， 最大值为1
B． 是R上的奇函数， 无最值
C． 是R上的奇函数，m有最小值1
D． 是R上的偶函数，m有最小值
38．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知 是定义在 上的函数，且对于任意实数 恒有 ．
当 时， ．则（ ）
A． 为奇函数B． 在 上的解析式为
C． 的值域为
D．
39．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数 在 上单调递增，且 是偶函数，奇函数
在 上的图象与函数 的图象重合，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．函数 的图象关于y轴对称
C．函数 在 上是增函数
D．若 ，则
40．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数 下列叙述正确的是（ ）
A．
B． 的零点有3个
C． 的解集为 或
D．若a，b，c互不相等，且 ，则 的取值范围是
三、解答题
41．（2023秋·广西玉林·高一统考期末）已知 ．
(1)若 的解集为 或 ，求 的值；(2)若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
42．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
(1)求实数 ， 的值；
(2)判断函数 的单调性（不用证明），并解不等式 ；
(3)若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
43．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数 ．
(1)用定义证明 在定义域上是减函数；
(2)若函数 在 上有零点，求实数a的取值范围．
44．（2023秋·贵州黔西·高一统考期末）已知二次函数 的图像与直线 只有一个交点，且满足
， ．
(1)求二次函数 的解析式；
(2)若对任意 ， ， 恒成立，求实数m的范围．四、填空题
45．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数 满足 为奇函数，则函数
的解析式可能为______________（写出一个即可）．
46．（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当
时， ，则 ______.
47．（2023秋·贵州黔西·高一统考期末）已知定义域为 的函数 是奇函数且 .若对于任意
，不等式 恒成立，则 的取值范围为_______.
48．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数 ，若对
任意的 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的范围为__________.
