复数_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_十二章

MST老唐说题26版一轮 12 复数 考向 1 复数的概念及运算 一、复数的概念及运算 1．复数的概念 （1）定义：形如abi(a,bR)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单 位)．注意： 以 为周期，即 . （2）分类： 2 3 4 4+ =−1, =− , =1, 4 = 满足条件(a,bR) abi为实数b0 复数的分类 abi为虚数b0 abi为纯虚数a0且b0 2．复数相等与共轭复数 复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR) 共轭复数：abicdiac且bd(a，b，c，dR) 题型1 复数的概念 【例1】（2015•湖北）i为虚数单位，i607 ( ) A．i B．i C．1 D．1 2 【例2】（2024•上海）已知虚数z，其实部为1，且z m(mR)，则实数m为 ． z z 【例3】（2024•新高考Ⅰ）若 1i，则z( ) z1 A．1i B．1i C．1i D．1i 【例4】（2021•乙卷）设2(zz)3(zz)46i，则z( ) A．12i B．12i C．1i D．1iMST老唐说题26版一轮 题型2 复数的运算 1．复数的加、减、乘、除的运算法则 设z abi,z cdi(a,b,c,dR)，则 1 2 z acbd bcad （1）z z ac(bd)i ；（2）z z acbd (ad bc)i；（3） 1   i(z  0)． 1 2 1 2 z c2 d2 c2 d2 2 2 【例1】（2023•甲卷）若复数(ai)(1ai)2，aR，则a( ) A．1 B．0 C．1 D．2 1i 【例2】（2023•新高考Ⅰ）已知z ，则zz ( ) 22i A．i B．i C．0 D．1 【例3】（2024•甲卷）设z5i，则i(z z)( ) A．10i B．2i C．10 D．2 【例4】（2024•天津）i是虚数单位，复数( 5i)( 52i) ． 考向 2 复数的模 向量 的模叫做复数 的模，记作 或 ，表示点 到原点的距离， 即 = + ． | | | + | , 复数的模的速算技巧：2 2 | |=| + |= + ,| |=| | （1）若z  z z ，则 z  z  z ； 1 2 1 2 z z （2）若z  1 ，则 z  1 ； z z 2 2 （3）zz  z 2  z 2 .MST老唐说题26版一轮 【例1】（2024•新高考Ⅱ）已知z1i，则|z|( ) A．0 B．1 C． 2 D．2 2i 【例2】（2025•上海）已知复数z ，其中i为虚数单位，则|z| ． i 【例3】（2023•乙卷）|2i2 2i3|( ) A．1 B．2 C． 5 D．5 3i 【例4】（2019•新课标Ⅰ）设z ，则|z|( ) 12i A．2 B． 3 C． 2 D．1 z 【例5】（2022•甲卷）若z1 3i，则 ( ) zz 1 1 3 1 3 A．1 3i B．1 3i C．  i D．  i 3 3 3 3MST老唐说题26版一轮 考向 3 复数的几何意义 三、复数的几何意义  复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ (a，b)(a，bR)是一一对应关系． 注：复数加、减法的几何意义    以复数z ，z 分别对应的向量OZ ，OZ 为邻边作平行四边形OZ ZZ ，对角线OZ 表示的向量OZ 就是 1 2 1 2 1 2  复数z z 所对应的向量．z z 对应的向量是Z Z ． 1 2 2 1 2 1 即 若 ， = 1+ 2, 1 2= 2− 1. 1 = + , 2 = + (1) 表示 到 的距离，即 2 2 (2) | 1− 2| ( , )表示( 以, ) 为圆心， 1−为 半 2 径=的圆 . − + − . − 1 = ( >0) ( , ) 【例1】（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，(13i)(3i)对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了 几何意义．例如，|z||OZ|，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z 到原点的距离．在复平面 44i 内，若复数z  对应的点为Z ，Z 为曲线|z3|1上的动点，则Z 与Z 之间的最小距离为( ) 1 1i 1 1 A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（多选）已知复数z 1i，z 23i，i为虚数单位，下列说法正确的是( ) 1 2 A．z z 在复平面内对应的点位于第二象限 1 2    B．若向量OA,OB分别对应的复数为z ，z ，则向量AB对应的复数为34i 1 2 C．若z (ai) z bi(a,bR)，则ab3 1 2 D．若复数z  x yi(x，yR，i为虚数单位），且|z |1，则|z 3i|的最大值为4 3 3 3MST老唐说题26版一轮 考向 4 复数的三角形式 四、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数z abi都可以表示成 r(cosisin)形式，其中r是复数z 的模; 是以x轴  的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数zabi的辐角． r(cosisin) 叫做复数z abi的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍．规定在02范围内的 辐角的值为辐角的主值．通常记作argz，即0argz2．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角 形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和， 即 r(cos isin)r (cos isin)rr[cos(  )isin( )]． 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ②复数乘法运算的三角表示的几何意义     复数z ,z 对应的向量为OZ ,OZ ，把向量OZ 绕点O按逆时针方向旋转角 (如果 0，就要把OZ 1 2 1 2 1 2 2 1   绕点O按顺时针方向旋转角 )，再把它的模变为原来的r 倍，得到向量OZ ，OZ 表示的复数就是积z z ． 2 2 1 2 （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数 r(cos isin) r 的辐角所得的差，即 1 1 1  1 cos()isin()． r (cos isin) r 1 2 1 2 2 2 2 2 （6）复数三角形式的乘方运算 利用复数的乘法运算法则可推乘方的运算公式，即[r(cosisin)]n rn(cosnisinn) ． 2 【例1】（2004•陕西）设复数z的辐角的主值为 ，虚部为 3，则z2 ( ) 3 A．22 3i B．2 32i C．22 3i D．2 32i 【例2】（2007•山东）若zcosisin(i为虚数单位），则z2 1的值可能是( )     A． B． C． D． 6 4 3 2MST老唐说题26版一轮 3 1  【例3】复数Z 在复平面内对应的点为Z( , )，O为坐标原点，将向量OZ 绕点O逆时针旋转90后得到 2 2  向量OZ ，点Z 对应复数为Z ，则Z5 ( ) 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 A．  i B．1i C．  i D．  i 2 2 2 2 4 4