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专题 02 巧用旋转进行计算
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度...............................................................1
题型二、利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度...................................................................3
题型三、利用旋转的性质求几何图形的面积..........................................................................................................6
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度
1.如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 恰好在边 上，则 的度数是 ．
【答案】 /50度
【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得 ，
， ，由等边对等角结合三角形内角和定理得出 ，从而得出
，即可得解．
【详解】解：由旋转的性质可得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2.如图， 是由 绕点 按逆时针方向旋转 得到的．若 ，则 的度数为 ．【答案】
【知识点】根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查图形旋转的性质，根据图形旋转的性质可得 ， ，结合
，即可求得答案．
【详解】由图形旋转的性质可得 ， ．
∵
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
3.如图，将△ 绕顶点 旋转得到 ，且点 刚好落在 上．若 ， ，则
的度数为
【答案】30°
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质求解、等边对等角
【分析】此题考查的是旋转的性质、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，由旋转的性质可得：
， ， ，根据等边对等角可得： ，根据三角形外角的性质
可得： ，从而求出 和 ，即可求出 ．
【详解】解：由旋转的性质可得： ， ， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
4.如图， 中， ，将 绕点 逆时针旋转 度（ ）后得到 ，点 恰
好落在 上， ，则 °．【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等边对等角
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出
，再根据旋转的性质得到 ，则 ，由此根据三角形内角和
定理求出 的度数即可得到答案．
【详解】解：由旋转的性质可得 ，
∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型二、利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度
5.如图，将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 （即 ），连接 ．若 ，则
．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等及等边三角形的性质和判定．
根据旋转的性质得 ，然后证明 是等边三角形即可．
【详解】解：∵ 绕点A按顺时针方向旋转 得到 ，
即 ， ，
是等边三角形，
，
．
故答案为：3．
6.如图，在 中， ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段CD，连接AD，若
，则线段AD的长度是为 ．【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的
性质求解
【分析】在 的上方作 ，且使 ，连接 ， ，根据 证明
得出 ， ，得出 ，进而勾股定理，即可推
出结论．
【详解】解：如图，在 的上方作 ，且使 ，连接 ， ．过点 作
于点
， ，
，
∴ ，
，
∴ ，
将 绕点 顺时针旋转 得到CD，
， ，
又 ，
，
，
， ．
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，含 度角的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，
作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7.如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点B(0,3)，连接 ，将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 的长度为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、坐标与图形
【分析】过点 作 轴的垂线，根据旋转性质以及角等量代换，证明 ，再结合点 ，
点B(0,3)，求出点 的坐标即可解决问题．本题考查坐标与图形变化 旋转，通过全等三角形求出点 的
坐标是解题的关键．
【详解】解：过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
，
，
又 ，
，
．
在 和 中，
，
，
， ．
又∵ ，B(0,3)，
， ，
所以点 坐标为 ，
则 ， ．
在 中，
．故答案为： ．
8.如图，在 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，使点 落
在 边上，连接 ．则 的长为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，先根据勾股定理求出 ，根据旋转得出 ，
，求出 ，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，
故 ，
由旋转的性质可知： ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
故 ．
故答案为： ．
题型三、利用旋转的性质求几何图形的面积
9.如图，在 中， ，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，则图中阴
影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，设 分别交 于点 ， 交 于
点 ，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理分别求出 的长，利用分割法求出阴影
部分的面积即可．
【详解】解：如图，设 分别交 于点 ， 交 于点 ，
绕点 顺时针旋转 得到 ， ，
，
∴ ，
，
， ， ，
．
故选A．
10.如图，两个边长相等的正方形 和 ，若将正方形 绕点O按逆时针方向旋转 ，则
两个正方形的重叠部分四边形 的面积（ ）
A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）
【分析】本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出 ，即得面积等于 的面积．
根据正方形性质得出 ，求出 ，根
据 证 ，推出两个正方形的重叠部分四边形 的面积等于 ，即
可得出选项．
【详解】解：∵四边形 、四边形 是两个边长相等正方形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴两个正方形的重叠部分四边形 的面积是 ，
即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于 ，
故选：A．
11.将五个边长都为 的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块
阴影面积的和是 ．
【答案】9
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了中心对称和正方形的性质，熟记中心对称性的性质、判断出每一个阴影部分的面积等
于正方形的面积的 是解题的关键．证明 ，得到一个阴影部分的面积等于正方形面积的 ，
四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，然后列式计算即可．
【详解】解：如图，连接 、 ，，
，
， ，
，
，
一个阴影部分的面积等于正方形的面积的 ，
四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，
五个正方形的边长都为 ，
四块阴影面积的总和为 ，
故答案为：9．
12.如图， 中， ，对角线 绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角
度后，其所在直线分别交 于点E、F，若 ，则图中阴影部分的面积是
．
【答案】
【知识点】根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质是解题的
关键．
连接 ，先求出 的面积，根据平行四边形的性质求出 的面积，根据 求出
的面积，同理得到 的面积，得到答案．
【详解】解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
∵点O是 的中点，
∴点O在 上，且点O是 的中点，
∴ 的面积＝ 的面积 ，
∵ ，
∴ 的面积＝ 的面积 ，
再由旋转性质同理可得， 的面积 ，
∴图中阴影部分的面积
故答案为： ．
一、单选题
1．如图， 绕点 旋转到 ， ， ，则 的度数是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质的应用，根据旋转的性质得 ，继而得到
，根据三角形内角和定理求出 ，即可求出答案．掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 绕点 旋转到 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的度数是 ．
故选：A．
2．如图，将 绕点A逆时针旋转 得到 ．当点B，C， 在同一直线上， ，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质
是解题的关键．
根据图象旋转的性质，得 ， ，从而得 ，结合 ，
，即可求解．
【详解】解：∵将 绕点A逆时针旋转 得到 ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ；
故选：B
3．如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针方向旋转60°到 的位置，
则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】过点 作 于点D，根据旋转的性质可得到 是等边三角形， ，进而
得到阴影部分的面积等于 ，再由勾股定理求出 ，继而得到 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点D，
∵将 绕点A逆时针方向旋转 到 的位置，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，阴影部分的面积等于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即阴影部分的面积是 ．
故选B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转
的性质是本题的关键．
4．如图， 中， ， ，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接 ．点D恰好落在线段 上，则 的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得
；再由旋转的性质得 ，从而得
，故可得 ，从而可求出结论．
【详解】解：在 中， ，
∴ ；
由旋转可知 ，
∴ ，
由旋转得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
5．如图，在等腰直角 中， ， ，点D为斜边 上一点，将 绕点C逆时
针旋转 得到 ， ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】先根据等腰三角形和直角三角形的性质得到 ，再根据图形旋转的性质，求出
的长，及证明 ， ，最后根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解： ， ，
，
绕点C逆时针旋转 得到 ，
， ， ， ，
，，
在 中， ，
，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形
旋转问题的常用解法是解题的关键．
二、填空题
6．如图， 中， ，将 绕点O顺时针旋转 得到 ，边 与边 交于点C
（ 不在 上），则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质．根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状
与大小可得 ，根据旋转角求出 ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和计算即可得解．
【详解】解： 绕点 顺时针旋转 得到 ， ，
， ，
在 中， ．
故答案为： ．
7．如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转 后得到的 （点 的对应点
是点 ，点 的对应点是点 ），连接 ．若 ，则 ．
【答案】 /77度
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得 ， ， ，则可判
断 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得 ，然后利用三角形外角性质得 ，从而得到 的度数．
【详解】解：∵ 绕点 顺时针旋转 后得到的 ，
∴ ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．如图，在 中， ，将 绕顶点B顺时针旋转到 ，当 首次经过顶点C
时，旋转角 ．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质推出 ，由旋转的性质得到
，再结合等腰三角形的判定和性质得到 ，最后利用三角
形的内角和定理求解，即可解题．
【详解】解： 在 中， ，
，
由旋转的性质可知， ，
，
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质，以及三角形的内角和定
理，解题的关键在于灵活运用相关知识．
9．如图， 直角三角形 和直角三角形 中， ， ， ，点 D
在边 上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，
在第 秒时， 边 恰好与边 平行 ．【答案】5.5 或
【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的角度关系及直角三角形的角度计算，解题的关键是确定 和
的初始倾斜角，分析旋转过程中 倾斜角的变化规律，再根据平行线倾斜角相等或相差 的条件列
方程求解旋转时间．
以 为x轴建立坐标系，确定 与x轴的夹角（倾斜角）为 ；根据初始位置得出 的初始倾斜角为
；分析 顺时针旋转 度后倾斜角为 ；分别按同向平行（倾斜角相等）和反向平行
（倾斜角相差 列方程求 ，结合旋转速度计算时间，筛选旋转一周内的有效解．
【详解】解：设 为x轴（点O为原点），
∵ ，点D在 上，
∴ 为x轴， 即 与 垂直．
在 中， ，故 与 轴）的夹角为 ，即 的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）
为 ．
在 中， ， ，点D在 上，初始时 的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）
为 （由题意可知）．
设旋转时间为t秒，三角形 顺时针旋转的角度为 度，旋转后 的倾斜角为 ．
当 与 平行时，分两种情况：
同向平行（倾斜角相等）： ，解得 ，则 秒；
反向平行（倾斜角相差 ： ，解得 （等效于顺时针旋转 ，因旋
转一周为 ，则 秒．两种情况均在旋转一周 秒）内，均为有效解．
故答案为： 或 ．
10．如图，在 中， ， ， ．将 绕点 逆时针旋转 度（
），得到 ， ， 的对应点分别为 ， ．边 ， 分别交直线 于 ， ，当
是直角三角形时，则 ．
【答案】4或
【分析】本题考查了旋转的性质，解含有 的直角三角形，勾股定理解三角形．由图形旋转可以得到旋
转前后边长和角度不变，结合勾股定理求解边长是解决本题的关键．
分类讨论 这个直角三角形的直角为 是直角和 是直角这两种情况，由含有 的直角三
角形求解边长，再结合勾股定理即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ， ，
∵ 是由 绕点 逆时针旋转得到，
∴ ， ， ，
∵ 是直角三角形，
∴当 时，如图，
，
即 ，
解得 ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ；
当 时，连接 ，如图，∵ ，
在 ， ，
综上， 的值为4或 ．
故答案为：4或 ．
三、解答题
11．如图，在 中， ， ，将 绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到 ，
当点B的对应点D恰好落在 边上时，求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理．先根据三角形的内角和定理求
得 ，再根据旋转性质得到 ，然后根据等边对等角求得 ，进而可求
解．
【详解】解： ， ，
∵，
∴将 绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴12．如图，在等边三角形 中，点P在其内部，且 ， ， ，将 绕点B
按逆时针方向旋转 得到 ．(1)求点P与点D之间的距离；
(2)求线段 的长．
【答案】(1)12
(2)13
【分析】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅
助线是解题关键．
（1）连接 ．根据等边三角形的判定和性质，旋转的性质得出 是等边三角形，即可求解；
（2）利用等边三角形的性质确定 是直角三角形，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ．
是等边三角形，
．
是 绕点B逆时针旋转得到的，
，
．
，
是等边三角形．
，即点P与点D之间的距离是12．
（2） ， 是等边三角形．
，
是直角三角形，
，
，
．
由（1）知 ．
．
13．如图，在 中， ，将 绕点C按逆时针方向旋转 度后，得到 ，点D刚好落在 边上．
(1)求n的值；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质以及勾股定理
等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）由旋转的性质，证明 是等边三角形，即可求得旋转角n的度数；
（2）易得 是含 角的直角三角形，则可求得 ．
【详解】（1）解：∵将 绕点C按逆时针方向旋转n度后得到 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
14．如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，点 的对应点为 ，
点 的对应点 落在线段 上， 与 相交于点 ，连接 ．(1)求证： 平分 ；
(2)试判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，证明见解析．
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形性质，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）由旋转性质可得 ， ，则 ，则有 ，从而得证；
（ ）由旋转性质可得 ， ， ，则 ，
，然后通过角度和差即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是由 旋转得到，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解： ，理由：
由旋转的性质可知， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
15．如图，在直角 中， ， ，将 绕B点逆时针旋转得到 ，连
接 ， ，直线 与直线 相交于点 ．
(1)如图，若P点为射线 与线段 交点时，
①求 的度数；②证明： ；
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1) ； 见解析
(2) 或
【分析】（1）①如图所示，延长 到点G使 ，连接 ，证明 ，得到
是等边三角形，得 ， ， ， ，故 和 都是等
腰三角形，得 ，故 ；
②延长 至H，使 ，连接 、 ．由 ，得 ， ，
，设 ，得 ，
，故 ，由 ，得 ，
，故 ；
（2）根据题意分两种情况讨论，当旋转角为 时，过A作 由 ， ，得
，故 ， ，故 为等腰直角三角形，得到
，由旋转得 ，故 为等腰直角三角形，得 ，
，勾股定理得 ，故 ，当旋转角为 时，
同理求解即可．
【详解】（1）①解：如图所示，延长 到点G使 ，连接
， ，
∵
∴
∵ ， ，
∴
∴
∴
∴ 是等边三角形
∴
由旋转的性质得， ，
和 都是等腰三角形，
，
；
②证明：延长 至H，使 ，连接 、
，
，
， ，
，
设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图所示，当旋转角为 时，过A作 ，
， ，
，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
由旋转 ，为等腰直角三角形，
，
，
，
∴
∵
∴
，
；
如图所示，当旋转角为 时，过A作 ，
， ，
，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
由旋转 ，
为等腰直角三角形，
，
，
∴
∵
∴
，
；
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含 角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，
16．在等腰 中， ，且 ．
（1）如图1，若 也是等腰直角三角形，且 ， 的顶点 在 的斜边 上，连
．
①线段 与 的关系为________，并证明你的结论．
②求证： ；
（2）如图2， 为 上一点， ，则 的长为________．
【答案】（1）① ， ，证明见解析；②证明见解析：（2）
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，
熟练掌握上述知识、证明三角形全等是解题的关键．
（1）①根据等腰直角三角形性质和 证明 得到 ，再导角可证明
，据此可得结论；②利用①的结论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可证得结论；
（2）如图，将 绕点C顺时针旋转到 的位置，连接 ，根据旋转的性质和等腰直角三角形的
性质以及勾股定理可求出 ，进而可得 ，即可求解．
【详解】解：（1）① ， ，证明如下：
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
，
，
在 和 ，
，
，
∵在 中， ，
．
，
∴ ，∴ ， ；
②由（1）①可知 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴在 中，由勾股定理得 ，即 ，
；
（2）如图，将 绕点C顺时针旋转到 的位置，连接 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得
在 中，由勾股定理可得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
