文档内容
专题 06 反比例函数的图象与性质
题型1 求反比例函数值（常考点） 题型8 根据图形面积求比例系数(解析式)（重点）
题型2 判断(画)反比例函数图象 题型9 反比例函数、二次函数图象综合判断
题型10 一次函数与反比例函数图象综合判断（常考
题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
点）
题型4 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型11 一次函数与反比例函数的交点问题（重点）
题型5 已知反比例函数的增减性求参数（常考
题型12 反比例函数的实际应用
点）
题型6 比较反比例函数值或自变量的大小（重 题型13 一次函数与反比例函数的其他综合应用（重
点） 点）
题型7 已知比例系数求特殊图形的面积（常考
点）
题型一 求反比例函数值（共 4 小题 )
6
1．（25-26九年级上·重庆·期中）反比例函数 y=- 的图象一定经过的点是（ ）
x
A．(3,-2) B．(1,6) C．(2,3) D．(-6,-1)
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解
题的关键．
将各点坐标代入函数解析式验证是否满足即可．
6
【详解】∵ 反比例函数解析式为 y=- ，
x
6
对于选项A：当 x=3 时，y=- =-2，与点 (3,-2) 的纵坐标一致，
3
6
对于选项B：当 x=1 时，y=- =-6≠6，
1
6
对于选项C：当 x=2 时，y=- =-3≠3，
2
6
对于选项D：当 x=-6 时，y=- =1≠-1，
-6∴ 只有点 (3,-2) 在函数图象上，
故选A．
2
2．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）已知点P(2,*)在函数y= 的图象上，则“*”的值为（ ）
x
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了求反比例函数值．
2
直接将P(2,*)代入y= 计算即可．
x
2
【详解】∵点P(2,*)在函数y= 的图象上，
x
2
∴*= =1，
2
故选：B．
8
3．（24-25九年级上·全国·期末）对于反比例函数y=- ，当自变量x的值从2增加到8时，函数的值（
x
）
A．增加了6 B．减少了6 C．增加了3 D．减少了3
【答案】C
【分析】本题考查计算函数值，分别计算出x=2和x=8时的函数值，然后比较得到函数值的变化即可
解答．
【详解】解：当x=2时，y=-4；当x=8时，y=-1；
∵-1-(-4)=3，
∴当自变量x的值从2增加到8时，函数的值增加了3，
故选：C．
1
4．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）下列各点不在双曲线y=- 上的是（ ）
2x
( 1) ( 1) ( 1)
A． 1,- B．(1,-2) C． -1, D． -2,
2 2 4
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上点的坐标满足函数解析式是解答
的关键．将选项中的点的横坐标代入解析式中求出y值，若等于点的纵坐标，则该点在函数图象上，若
不等于则不在，进而可作出判断．1 ( 1) 1
【详解】解：A、当x=1时，y=- ，则 1,- 在双曲线y=- 上，不符合题意；
2 2 2x
1 1
B、当x=1时，y=- ，则(1,-2)不在双曲线y=- 上，符合题意；
2 2x
1 ( 1) 1
C、当x=-1时，y= ，则 -1, 在双曲线y=- 上，不符合题意；
2 2 2x
D、当x=-2时，y=- 1 = 1 ，则 ( -2, 1) 在双曲线y=- 1 上，不符合题意；
2×(-2) 4 4 2x
故选：B．
题型二 判断 ( 画 ) 反比例函数图象（共 4 小题 )
k2+1
1．（22-23九年级上·广西梧州·期末）函数y= 的图象分布在（ ）
x
A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
根据平方非负性得到k2+1≥1>0，由反比例函数图象与性质即可确定图象所在的象限．
【详解】解：∵k2≥0，
∴k2+1≥1>0，
k2+1
∴函数y= 的图象分布在第一、三象限，
x
故选：C．
8
2．（24-25九年级上·甘肃·期末）反比例函数y= 的图象不经过（ ）
x
A．第二、四象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第一、二象限
【答案】A
k
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y= (k是常数，k≠0)的图象是双曲线，
x
当k>0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当k<0，反比例函数图象的两个分支在第二、
四象限．
根据反比例函数的图象与性质作答即可．
【详解】解：∵k=8>0，
8
∴反比例函数y= 的图象经过第一、三象限，
x8
∴反比例函数y= 的图象不经过第二、四象限，
x
故选：A．
|k|+1
3．（23-24九年级上·广西·期末）函数y= 的图象分布在（ ）
x
A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限
【答案】C
k
【分析】本题考查反比例函数y= 0 (k ≠0)的图象性质，当k >0时，反比例函数图象经过第一、三
x 0 0
象限，当k <0时， 反比例函数图象经过第二、四象限．
0
|k|+1
【详解】解：∵由题意可知，函数解析式为y= ，
x
设k =|k|+1≥1>0，
0
k
∴反比例函数y= 0 (k >0)，经过第一、三象限，
x 0
|k|+1
∴函数y= 经过第一、三象限．
x
故选：C．
k
4．（24-25九年级上·广东清远·期末）若反比例函数y= 图象经过点(-4,-1)，该函数图象在（ ）
x
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直接根据反比例函数图象上点的坐标特征，得
到k的值，即可得到图象的位置．
k
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象经过点(-4,-1)，
x
∴k=(-4)×(-1)=4>0，
∴该函数图象在第一、三象限．
故选：B．
题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标（共 3 小题 )
k
1．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，过原点的一条直线与反比例函数y= (k≠0)的图象分别
x
交于A、B两点，若A点的坐标为(3,-5)，则B点的坐标为（ ）A．(-3,5) B．(3,-5) C．(-3,-5) D．(-5,3)
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性．掌握反比例函数的图象关于原点成中心对称是解本题
的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，
∴反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∵A点的坐标为(3,-5)，
∴B点的坐标为(-3,5)，
故选A．
2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的边AO在x轴上，且
6 6
AO=3，反比例函数y=- 的图象经过点B，延长BO，与反比例函数y=- 的图象交于点P，则点
x x
P的坐标为 ．
【答案】(3,-2)
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键．
先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可．
6
【详解】解：∵Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO=3，反比例函数y=- 的图象经过点B，
x
∴点B的横坐标为-3，
6
将x=-3代入y=- 中，得y=2，
x∴点B坐标为(-3,2)，
6
∵延长BO，与反比例函数y=- 的图象交于点P，
x
∴点P与点B关于原点对称，
∴点P的坐标为(3,-2)，
故答案为：(3,-2)．
3a a+1
3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A，B两点分别在反比例函数y= (a≠0)和y= (a≠-1)的图象
x x
上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ．
1
【答案】-
4
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以
上知识点是关键．
( 3a) ( 3a)
根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为 m, ，则B m, ，代入解析式解出a值即
m -m
可．
( 3a) ( 3a)
【详解】解：设点A坐标为 m, ，则B m, ，
m -m
a+1 3a a+1
将点B坐标代入y= (a≠-1)得：- = ，
x m m
1
解得a=- ．
4
1
故答案为：- ．
4
题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 （共 3 小题 )
k-2
1．（2024·河北·中考模拟）若反比例函数y= 的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（ ）
x
A．k>2 B．k<2 C．k≥2 D．k≤2
【答案】A
k
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：对于y= ，当k>0时，图象分别位于第一、三象限；
x
当k<0时，图象分别位于第二、四象限，由此可解．k-2
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象位于第一、三象限，
x
∴ k-2>0，
解得k>2，
故选：A．
k
2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）若反比例函数y= (k≠0)的图象经过第二、四象限，则点(k,3)在
x
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，判断点坐标所在象限，根据反比例函数的图象分
布确定k的符号，进而判断点的象限．
k
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象分布在第二、四象限，
x
∴k<0，
∴点(k,3)的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点(k,3)在第二象限，
故选：B．
k-2
3．（24-25九年级上·全国·期末）若双曲线 y= 的一支位于第三象限，则 k 的取值范围是（ ）
x
A．k<2 B．k>2 C．00，即可得到答案．
k-2
【详解】解：∵双曲线 y= 的一支位于第三象限，
x
∴k-2>0，
∴k>2，
故选：B．
题型五 已知反比例函数的增减性求参数 （共 5 小题 )
m-5
1．（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数y= 的图象，当x>0时，y随x的增大而增大，
x
则m的取值可能为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得m-5<0，再解不等式即可．解题
k
的关键是掌握反比例函数y= (k≠0)的性质：（1）k>0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象
x
限内y随x的增大而减小；（2）k<0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大
而增大．
【详解】解：∵当x>0时，y随x的增大而增大，
∴m-5<0，
解得：m<5，
∴m的取值可能为4．
故选：A．
k+1
2．（24-25九年级上·安徽·期末）在反比例函数y= 的图象上，当x<0时，y随x的减小而增大，则k
x
的取值范围是（ ）
A．k>0 B．k<0 C．k>-1 D．k<-1
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．反比例
k
函数y= (k≠0)，当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象
x
限内，在每一象限内，y随x的增大而减小，据此即可求解．
【详解】解：∵当x<0时，y随x的减小而增大，
∴k+1>0，
解得：k>-1．
故选：C．
1-2m
3．（23-24八年级下·全国·期中）在反比例函数y= 的图象上有两点(x ,y ),(x ,y )，当x >x >0
x 1 1 2 2 2 1
时，有y >y ，则m的取值范围是（ ）
2 1
1 1
A．m<0 B．m>0 C．m< D．m>
2 2
【答案】D【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性，得到1-2m<0，进行求解即
可．
1-2m
【详解】解：∵(x ,y ),(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，且当x >x >0时，有y >y ，
1 1 2 2 x 2 1 2 1
∴反比例函数的图象经过第四象限，
∴1-2m<0，
1
∴m> ；
2
故选：D．
k-3
4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）反比例函数y= 的图象，当x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值
x
范围是（ ）
A．k<3 B．k≤3 C．k>3 D．k≥3
【答案】A
k
【分析】对于反比例函数y= (k≠0)，（1）k>0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，
x
y随x的增大而减小；（2）k<0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增
大而增大．根据反比例函数的性质解题．
【详解】解：∵当x>0时，y随x的增大而增大，
∴函数图象必在第四象限，
∴k-3<0，
∴k<3．
故选：A．
m-5
5．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）反比例函数y= 的图象在每一象限内y随x的增大而减小，
x
那么m的值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质；由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，即可判断．
【详解】解：根据题意，m-5>0，
解得m>5，
故选：D．题型六 比较反比例函数值或自变量的大小 （共 3 小题 )
4
1．（23-24九年级上·广西梧州·期末）若点A(-2,y )、B(-1,y )、C(1,y )都在反比例函数y=- 的
1 2 3 x
图象上，则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y 0，
x
∴双曲线在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵3>2>0，-3<0，
B(2,y )、C(3,y )在第一象限，A(-3,y )在第三象限，
2 3 1
∴y >y >0，y <0．
2 3 1
∴y 0)的图象上，过B分别向x轴，y
x
轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义．
根据反比例函数k的几何意义求解即可．
【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上，
∴x ⋅y =3，
B B
∵四边形是矩形，
∴矩形OABC的面积为3．
故选：C．
10
2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，点A为反比例函数y=- 的图象上一点，过A作AB⊥x轴
x
于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）
A．-10 B．10 C．-5 D．5
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴
1
作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变是解题的关键．直
2
接根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
10
【详解】解：∵点A为反比例函数y=- 的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，
x
1 1
∴S = ×|-10|= ×10=5．
△ABO 2 2
故选：D．
4
3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上任取一点A，过点A作
x
12
AB∥x轴交反比例函数y=- (x<0)的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接AC，BC，则
x
△ABC的面积为（ ）A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数，熟练利用反比例函数的解析式求点的坐标，运用三角形的面积公式是
解答此题的关键．
4
设点A的横坐标为a，代入反比例函数y= (x>0)中，可得到y ，由于AB∥x轴，可得y ，从而可
x A B
得AB的长，知道△ABC的底和高，即可得到答案．
【详解】解：设点A横坐标为a
4
点A在y= 上
x
∵
4 4
y = =
A x a
A
∴
AB∥x轴
∵ 4
y = y =
B A a
∴
12
B在y=- (x<0)上
x
∵
12
x =- =-3a，则AB=x -x =4a
B y A B
B
∴
1 1 4
S = ×AB×y = ×4a× =8．
△AOB 2 A 2 a
∴
故选：A．
12
4．（22-23九年级下·四川德阳·阶段练习）如图，点 ， 在反比函数y= 的图象上，A，B的纵坐标分别
x
是3和6，连接OA，OB，则△OAB的面积是（ ）A．1.5 B．3 C．9 D．13
【答案】C
【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，由题意求出A(4,3)，B(2,6)，则AC=4，BD=2，
CD=3，由反比例函数的几何意义可得S =S ，
△BOD △AOC
S =S +S -S =S 然后代入即可求值．
△OAB 四边形ABDC △AOC △BOD 四边形ABDC
本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，
由条件可知A(4,3)，B(2,6)，
∴AC=4，BD=2，CD=3，
由反比例函数的几何意义可得S =S ，
△BOD △AOC
1
∴S =S +S -S =S = ×(4+2)×3=9，
△OAB 四边形ABDC △AOC △BOD 四边形ABDC 2
故选：C．
k
5．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，已知反比例函数y= (k<0)的图象经过Rt△OAB斜边OA
x
的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为(-4,2)，则△AOC的面积为（ ）A．4 B．3 C．2.5 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义，根据题意得出点D坐标为(-2,1)，进而求得反比例
2
函数的解析式为y=- ，则S =1，根据S =S -S ，即可求解．
x △OBC △AOC △AOB △OBC
【详解】解：∵点A的坐标为(-4,2)，点D为OA的中点，
∴点D坐标为(-2,1)，
2
∴k=-2×1=-2，即反比例函数的解析式为y=- ，
x
∴S =1，
△OBC
1
∴S =S -S = ×4×2-1=3．
△AOC △AOB △OBC 2
故选：B．
题型八 根据图形面积求比例系数 ( 解析式 ) （共 5 小题 )
k
1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
5
AC交y轴于点B．若B是AC的中点，△AOB的面积为 ，则k的值为（ ）
2
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k
的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点C作CD⊥y轴于点D，得到
5
△ABO≌△CBD(AAS)，得出S =S = ，OB=BD，得到S =S +S =5，
△CDB △AOB 2 △COD △COB △CDB
1
继而得到 |k|=5，求出k=10．
2【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠CDB=∠AOB=90°
，
∵ B是AC的中点，
∴AB=CB，
∵∠ABO=∠CBD，
∴△ABO≌△CBD(AAS)，
5
∴S =S = ，OB=BD，
△CDB △AOB 2
5
∴S =S = ，
△COB △CDB 2
∴S =S +S =5，
△COD △COB △CDB
1
∴ |k|=5，
2
∴k=±10，
∵k>0，
∴k=10．
故选：D．
k
2.（24-25九年级上·重庆·期末）如图，点A在反比例函数y= 的图象上，作AB⊥x轴于点B，已知点B，
x
C关于原点对称，△ABC的面积为6，则比例系数k为（ ）
A．-3 B．-6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数k值的几何意义，根据点B，
C关于原点对称，△ABC的面积为6，则S =3，再利用|k|=2S =6求解即可．
△ABO △ABO【详解】解：∵点B，C关于原点对称，△ABC的面积为6，
1
∴S = S =3，
△ABO 2 △ABC
∵|k|=2S =6，且反比例函数图象在第二象限，
△ABO
∴k=-6．
故选：B．
k
3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数y= (k≠0)的图象，如图所示，点P,P 在反比例函
x 1
数的图象上，连接P,P 两点，PP 刚好经过原点，A为第四象限内一点，且PA与y轴平行，P A与
1 1 1
x轴平行，若S =12，则k的值为（ ）
△APP
1
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据对称性可得点P,P 关于原点对称，设P点坐标，
1
则可表示出P ；再根据“PA与y轴平行，P A与x轴平行”可知PA⊥P A，从而可得A的坐标，进
1 1 1
1
而可以表示出P A,PA，最后根据S = P A⋅PA=12列式求解即可．
1 △APP 1 2 1
【详解】解：∵点P,P 在反比例函数的图象上，连接P,P 两点，PP 刚好经过原点，
1 1 1
∴由反比例函数的对称性可知点P,P 关于原点对称，
1
( k) ( k)
设P p, ，则P -p,- ，
p 1 p
∵PA与y轴平行，P A与x轴平行，
1
∴PA⊥P A，
1
( k)
∴A p,- ，
pk (k) 2k
∴P A=p-(-p)=2p,PA= - = ,
1 p p p
1
∵S = P A⋅PA=12,
△APP 1 2 1
1 2k
∴ ⋅2p⋅ =12,
2 p
∴k=6,
故选：B．
k
4．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点P是反比例函数y= (k≠0, x<0)的图象上的一点，过点P作
x
PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为（ ）
A．18 B．-9 C．-18 D．-36
【答案】C
【分析】设点P(m,n)，根据题意，得PA=-m,OA=n，根据对称，得AB=2n，根据三角形的面积，
解答即可．
本题考查了反比例函数的解析式确定，三角形面积计算，熟练掌握面积计算是解题的关键．
【详解】解：设点P(m,n)，根据题意，得PA=-m,OA=n，
1 1
根据对称，得AB=2n，根据三角形的面积，得 PA·AB= ×(-m)×2n=18,
2 2
故mn=-18，
故选：C．
5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反
k
比例函数y= （x>0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=4 AD，且△ODE的面积是
x
24，则k的值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
( k ) ( k ) k
【分析】本题主要考查了反比例函数的k的意义，设点D m, ,则 B 5m, ,E(5m, )，然
m m 5m
后根据△ODE列关于k的方程解答即可．
( k ) ( k ) k
【详解】解：设点D m, ,则 B 5m, ,E(5m, )，
m m 5m
k k
∴BD=4m,BE= - ，
m 5m
∵△ODE的面积是24，
k 1 ( k k )
∴5m⋅ -k- ×4m× - =24，
m 2 m 5m
解得 k=10.
故选： C．
题型九 反比例函数、二次函数图象综合判断 （共 4 小题 )
1．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数
a
y= 与一次函数y=cx-b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
xA． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与
y轴的交点可得c>0，根据抛物线开口向下可得a<0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b>0，
再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c>0，根据抛物线开口向下可得a<0，由对称轴在
y轴右边可得a、b异号，故b>0，
a
则反比例函数y= 的图象在第二、四象限，
x
一次函数y=cx-b经过第一、三、四象限，
故选：A．
ab
2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数y=ax2+bx和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中
x
的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查抛物线、反比例函数的图象性质，利用数形结合思想求解是解题的关键．
可先由二次函数y=ax2+bx的图象开口与对称得到字母系数的正负，得到ab的正负，再与反比例函ab
数y= 的图象所在象限得到ab的正负相比较是否一致，即可求解．
x
b
【详解】解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得a>0，- >0，所以a>0,b<0，则
2a
ab<0，由反比例函数图象在第一、三象限，则ab>0，故此选项不符合题意；
b
B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得a<0，- >0，所以a<0,b>0，则ab<0，由反比
2a
例函数图象在第一、三象限，则ab>0，故此选项不符合题意；
b
C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得a>0，- <0，所以a>0,b>0，则ab>0，由反比
2a
例函数图象在第二、四象限，则ab<0，故此选项不符合题意；
b
D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得a<0，- <0，所以a<0,b<0，则ab>0，由反比
2a
例函数图象在第一、三象限，则ab>0，故此选项符合题意；
故选：D．
k
3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知反比例函数y= 与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数
x
y=x2-bx+k的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的
k
关键．先根据一次函数、反比例函数的图象得到k、b的符号，从交点个数可以判断 =-x+b时有两
x
个不相同的实数根，进而由判断出抛物线与坐标轴的交点位置、对称轴位置，开口方向，即可求解．【详解】解：由反比例函数的图象可得k>0
由一次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上可得b>0
k
∵反比例函数y= 与一次函数y=-x+b的图象的交点有2个
x
k
∴ =-x+b有两个不相同的实数根
x
即x2-bx+k=0有两个不相同的实数根
∴ y=x2-bx+k的图象与x轴有两个交点
∵ y=x2-bx+k的图象与y轴的交点为(0,k)，k>0
∴二次函数与y轴的交点在y轴的正半轴上
b
∵抛物线的对称轴x= >0
2
∴抛物线的对称轴位于y轴的右侧
又∵a=1>0
∴抛物线开口向上
故选：B．
4．（24-25九年级上·山东青岛·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数
a
y= 与一次函数y=-bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象
的性质．
根据二次函数的图象开口向下可知a<0，c>0，b<0，则-b>0，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知-b和c的正负，即可得到答案．
【详解】解∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧，
b
∴a<0，c>0，- <0，
2a
∴b<0，
∴-b>0．
a
A、∵在反比例函数y= 中，a>0，在一次函数y=-bx+c中，-b<0，c>0，
x
∴A不符合：
a
B、∵在反比例函数y= 中，a<0，在一次函数y=-bx+c中，-b<0，c>0，
x
∴B不符合：
a
C、∵在反比例函数y= 中，a<0，在一次函数y=-bx+c中， -b>0，c>0，
x
∴C符合：
a
D、∵在反比例函数y= 中，a<0，在一次函数y=-bx+c中，-b>0，c<0，
x
∴D不符合．
故选：C．
题型十 一次函数与反比例函数图象综合判断 （共 4 小题 )
ab
1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在同一个平面直角坐标系中，函数y= 与y=ax+b的图象可能
x
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查反比例函数及一次函数图象的判断，根据a，b的符号判断两个函数图象经过的象限，
再判断即可
根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可．【详解】解：A.由一次函数的图象可知：a>0，b>0；由反比例函数的图象可知：ab<0，矛盾，故
不正确；
B. 由一次函数的图象可知：a>0，b>0；由反比例函数的图象可知：ab>0，故正确；
C. 由一次函数的图象可知：a<0，b>0；由反比例函数的图象可知：ab>0，矛盾，故不正确；
D. 由一次函数的图象可知：a<0，b<0；由反比例函数的图象可知：ab<0，矛盾，故不正确；
故选B．
k
2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）正比例函数y=kx与反比例函数y=- 在同一直角坐标系内的大致
x
图象可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是熟练掌握相关函数图
象．
根据k值不同，正比例函数图象、反比例函数图象经过的象限不同对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A选项，该图象中正比例函数经过一、三象限，
∴k>0，则-k<0，此时反比例函数图象应经过二、四象限，跟图象不符，A选项错误；
B选项，该图象中正比例函数经过二、四象限，
∴k<0，则-k>0，此时反比例函数图象应经过一、三象限，跟图象不符，B选项错误；
C选项，该图象中正比例函数经过二、四象限，
∴k<0，则-k>0，此时反比例函数图象应经过一、三象限，跟图象相符，C选项正确；
D选项，该图象中不存在正比例函数，不符合题意，D选项错误．故选：C．
k
3．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+3与反比例函数y= 的
x
图象位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数
所在的象限．先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者
一致的即为正确答案．
k
【详解】解：当k>0时，y=kx+3的图象过一、二、三象限，反比例函数y= 的图象过一、三象限，
x
A正确；
由函数y=kx+3过点(0,3)，可排除B、C；
k
当k<0时，y=kx+3的图象过一、二、四象限，反比例函数y= 的图象过二、四象限，排除D．
x
故选：A．
a
4．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）一次函数y=ax-1与反比例函数y=- 在同一坐标系中的大致图
x
象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象，根据一次函数与反比例函数的图象特点进行判断即
可．
a
【详解】解：当a>0时，一次函数y=ax-1的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=- 经过第
x
二、四象限．故选项D的图象符合．a
当a<0时，一次函数y=ax-1的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y=- 经过第一、三象限．
x
故各选项的图象均不符合；
故选：D
题型十一 一次函数与反比例函数的交点问题 （共 5 小题 )
k
1．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，一次函数y =-2x+3和反比例函数y = 的图象相交于点
1 2 x
A(-1,5)，B(2.5,-2)，若y 2.5
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横
坐标即可得出结论．
k
【详解】解：∵一次函数y =-2x+3和反比例函数y = 图象相交于A(-1,5)，B(2.5,-2)，
1 2 x
∴根据函数图象可知：当-12.5时，一次函数图象在反比例函数图象下方，即y 2.5．
m
2．（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+b的图象交于
x
m
A，B两点，点A的坐标为(2,6)，点B的坐标为(n,1)． 结合图象，直接写出不等式 2的取值范围 ．
1 x
【答案】x<-2或0 2的取值范围是x<-2或0y 恒成立，则k的取值范
2 x 2 1
围是 ．
【答案】k≥1
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求出点A的坐标为(2,3)，得到b=3-2k，则
6
y =kx+3-2k，当x=-3时，y= =-2，把(-3,-2)代入y =kx+3-2k得到-2=-3x+3-2k，解
1 x 1
得k=1，当x<-3时，总有y >y 恒成立，根据函数图象的位置关系即可得到答案．
2 1
6
【详解】解：∵一次函数y =kx+b的图象与反比例函数y = 的图象交于点A,B，点A的横坐标为
1 2 x
2，
6
∴A的纵坐标为y= =3，
2
∴点A的坐标为(2,3),
∵一次函数y =kx+b的图象经过点A(2,3)，
1
∴3=2k+b，
∴b=3-2k，
∴y =kx+3-2k
1
6
当x=-3时，y= =-2 ，
x
把(-3,-2)代入y =kx+3-2k得到
1
-2=-3k+3-2k，
解得k=1，∵当x<-3时，总有y >y 恒成立，
2 1
∴由图象的位置关系可知k≥1．
故答案为：k≥1．
题型十二 反比例函数的实际应用 （共 7 小题 )
1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）
与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它们的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．该蓄电池的电压为36V
B．当R=10时，I=3.6
C．当电阻R(Ω)越大时，蓄电池的电流I也越大
D．当R<9时，I>4
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，求函数值，反比例函数的
性质，先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握
以上知识点是解题的关键．
k
【详解】解：设使用蓄电池时，电流I与电阻R的解析式为I= ，
R
根据图象可得：k=9×4=36，
36
∴电流I与电阻R的解析式为I= ，
R
∴A、该蓄电池的电压为36V，原说法正确，不符合题意；
B、当R=10时，I=3.6，原说法正确，不符合题意；
C、当电阻R(Ω)越大时，蓄电池的电流I越小，原说法错误，符合题意；
D、当R<9时，I>4，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．
如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，若矩形ABOC的面积为6，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
2 3 6 6
A．I= B．I= C．I= D．I=-
R R R R
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数在其他学科中的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．由矩形的
面积可得反比例函数的系数k=6，即可得到答案．
【详解】解：∵矩形ABOC的面积为6，
∴OC⋅AC=6，
6
∴ I= ，
R
故选：C
3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我
们知道，在压力不变的情况下，压强p（单位：Pa）是受力面积S（单位：m2）的反比例函数．已知
某推土机对地面压力恒定，当受力面积为3m2时，压强为50000Pa．
(1)求p与S的函数表达式；
(2)若某工地地面压强超过40000Pa时会发生塌陷事故，为确保安全，施工过程中受力面积应不小于多
少？
150000
【答案】(1)p=
S
(2)施工时地面受力面积至少为3.75m2．
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意，利用反比例函数的性质求解即可．k
【详解】（1）解：设p= ，代入S=3，p=50000，
S
得k=150000，
150000
所以p= ；
S
（2）解：当p=40000时，解得S=3.75，
150000
∵在p= 中，当S>0时，p随S增大而减小，
S
所以当p≤40000时，S≥3.75，
∴施工时地面受力面积至少为3.75m2．
4．（24-25八年级下·江苏常州·期末）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察
前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为60km/h时，视野为80度，如果视野f（单位：
度）是车速v（单位：km/h）的反比例函数．
(1)求f与v之间的函数关系式：
(2)计算当车速为120km/h时视野的度数：
(3)若在某山区弯道行车时，考虑交通安全，综合环境的影响，视野的度数至少要求是160度，求车速
最多是多少km/h？
4800
【答案】(1)f =
v
(2)40°
(3)最多30km/h
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后
利用待定系数法求出它们的关系式．
（1）根据题意，用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）代入v=120进一步求解即可；
4800
（3）根据题意得f = ≥160，求解即可．
v
k
【详解】（1）解：设f，v之间的关系式为f = (k≠0)，
v
∵v=60时，f =80度，
k
∴80= ，
60
解得k=4800，4800
所以f = ，
v
4800
（2）当v=120时，f = =40（度）．
120
4800
（3）根据题意得：f = ≥160，
v
∴v≤30，
∴车速最多30km/h．
5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）综合与实践
问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中
AB，BC是线段，CD为双曲线在第一象限内的一部分．
问题解决：
(1)求线段AB和双曲线CD所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围．
(2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意
力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加
集中．
(3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，
老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间
段．（默认为在时间段内能讲完）
1000
【答案】(1)y=2x+30(0≤x≤10)；y= (x≥20)
x
(2)学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中
(3)5≤x≤25
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设出对应的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出x=3和x=30时的函数值即可得到答案；
（3）分别求出两个函数的函数值等于40时x的值结合图象即可得到答案．【详解】（1）解：设线段AB的函数表达式为y=kx+b，
将A(0,30)，B(10,50)代入，得¿，
解得¿，
∴线段AB的函数表达式为y=2x+30(0≤x≤10)．
m
设曲线CD的函数表达式为y= ，将C(20,50)代入，得m=50×20=1000，
x
1000
∴曲线CD的函数表达式为y= (x≥20)．
x
（2）把x=3代入y=2x+30，得y=2×3+30=36，
1000 1000 100
把x=30代入y= ，得y= = ．
x 30 3
100
∵36> ，
3
∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中．
（3）解：当2x+30=40，解得x=5，
1000
当 =40，解得x=25，
x
结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是5≤x≤25，
∴安排在第5分钟至第25分钟．
6．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将
其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧25cm处，重量G=10N．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下
拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是x(cm)，弹簧秤的示数是y(N)．（根据
杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即G⋅d= y⋅x)
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数y的最小值．
250
【答案】(1)y=
x
(2)弹簧秤的示数y的最小值为5N
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解；
（2）根据反比例函数图形的性质即可求解．
k
【详解】（1）解：由题意设y= ，把x=25，y=10代入，得k=25×10=250，
x
250
∴y关于x的函数解析式为y= ．
x
250
（2）解：由（1）可知，y关于x的函数解析式为y= ，k=250>0，x表示弹簧秤与中点O的距离，
x
最大值是50cm，
∵x>0，
∴y随x的增大而减小，
250
∴把x =50代入y= ，得y =5，
max x min
∴弹簧秤的示数y的最小值为5N．
7．（2025·浙江温州·二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y(℃)与时间
x(min)的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；
自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
(1)求材料加热到90℃的时间．
(2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式．
(3)已知该工艺品操作时温度需保持在60~90℃（包括60℃，90℃），为节约能源，工厂设计了两
种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），
请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
方案 恒温60℃工作 间歇加热工作
①从30℃加热到60℃； ①从30℃加热到90℃；
过程
②保持60℃进行加工． ②自然降温到60℃；③再次加热到90℃；
循环②③两个阶段．
加热成 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然
本 降温阶段不产生成本）
【答案】(1)20分钟
1800
(2)y=
x
(3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，计算见解析
【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出解析式，然后把y=90时代入即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由图可知加热时，y关于x的函数为一次函数，
∴可设解析式为y=kx+b，
将点(0,30)，(10,60)代入，得
¿，解得¿，
∴y关于x的函数解析式为y=3x+30，
当y=90时，3x+30=90，解得x=20，
∴第一次加热到90°时间为20分钟；
m
（2）解：由题意可设加热后y关于x的表达式为y= ，
x
将(20,90)代入，得m=1800，
1800
∴y关于x的表达式为y= ；
x
（3）解：由题意可知，加热时长为10分钟．
恒温阶段8×60-10=470（分钟），
费用为：10×100+470×60=29200（元），
1800
间歇加热工作：对于y= ，令y=60，得x=30，
x
除第一次加热到60℃需要10分钟，后续60℃加热到90℃，自然降温到60℃一轮需要20分钟，一
天8小时中，加热时间为10+23×10+10=250（分钟），
费用为：250×100=25000（元），∵25000<29200，
∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
题型十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用 （共 4 小题 )
k
1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知反比例函数y= (k≠0)的图象与一次函数y=x+b的图
x
象交于点A(1,3)，点B(-3,n)．
(1)求n和b的值；
(2)求△OAB的面积；
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
【答案】(1)n=-1，b=2
(2)4
(3)x>1或-31或-30)的图象交于点C(m,2)和点D．
2 x(1)求反比例函数的解析式和点D的坐标；
(2)当y >y 时，直接写出x的取值范围；
1 2
(3)连接OC，OD，求△COD的面积；
(4)点P是反比例函数上一点，PQ∥x轴交直线AB于Q且PQ=3，请直接写出点P的坐标．
2
【答案】(1)数的解析式为y = (x>0)和点D的坐标为(2,1)
2 x
(2)10)，
2 x2
∴ =-x+3，
x
解得：x =1，x =2，
1 2
经检验：x =1，x =2是此方程的根，
1 2
∴y=-2+3=1，
∴D(2,1)；
2
故反比例函数的解析式为y = (x>0)、点D的坐标为(2,1)；
2 x
（2）解：由图象得
当y >y 时，
1 2
1
