文档内容
2.3 直线的交点坐标与距离公式
【划重点】
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标
2．掌握两点间距离公式并会应用.
3．掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.
4．掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．
【知识梳理】
知识点一 两条直线的交点
1．两直线的交点
已知直线l：Ax＋By＋C ＝0；l：Ax＋By＋C ＝0. 点A(a，b)．
1 1 1 1 2 2 2 2
(1)若点A在直线l：Ax＋By＋C ＝0上，则有Aa＋Bb＋C ＝0 .
1 1 1 1 1 1 1
(2)若点A是直线l 与l 的交点，则有
1 2
2．两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l 与l 的公共点的个数 一个 无数个 零个
1 2
直线l 与l 的位置关系 相交 重合 平行
1 2
知识点二 两点间的距离
公式：点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
知识点三 点到直线的距离、两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长图示
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0 两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0
0 0 1 1 2 2
公式(或求法)
的距离d＝ 之间的距离d＝
【例题详解】
一、求相交直线的交点坐标
例1 (1)经过直线 与直线 的交点，且平行于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
(2)直线l ： 和l ： 的交点的坐标为 ．
1 2
跟踪训练1 (1)过原点和直线 与 的交点的直线的方程为（ ）
19x9y0 9x19y0
A． B．
19x3y0
C． D．
(2)已知直线l： 与l： 相交于点 ，则 ．
1 2二、两点间的距离
例2 (1)已知点 ，则 为（ ）
A．5 B． C． D．4
(2)点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
跟踪训练2 (1)光线从点 射到 轴上，经 轴反射以后过点 ，光线从A到B经过的路程为
（ ）
A． B． C． D．
(2)已知 三点，且 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
三、点到直线的距离
例3 (1)在平面直角坐标系中，原点 到直线 的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．3
(2)已知点 在直线 上的运动，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．跟踪训练3 (1)点P为直线 上任意一个动点，则P到点 的距离的最小值为 .
(2)若直线m经过直线 与直线 的交点，且点 到直线m的距离为1，则直线m的
方程为 ．
四、两平行线间的距离
例4 (1)两条平行线 ， 间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
(2)直线 与直线 平行，则 .
跟踪训练4 (1)已知直线 ， 相互平行，则 、 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
(2)若直线 与 之间的距离为 ，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
五、距离的综合应用例5 在平面直角坐标系中，从点 发出的光线射向x轴，经x轴反射到直线 上，再反射经过点
，则光线由P到Q经过的路程长为 ．
例6 已知直线 ： ．
（1）已知点 ，若点 到直线 的距离为 ，求 的最大值并求此时直线 的方程；
（2）若直线 交 轴负半轴于 ，交 轴正半轴于 ，求 的面积的最小值并求此时直线 的方程．
跟踪训练5 点 到直线 的距离的取值范围为 ．
跟踪训练6 已知光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，
（1）求反射光线所在的方程；
（2）在直线l上求一点P，使 ；
（3）若点Q在直线l上运动，求 的最小值．【课堂巩固】
1．斜率为2，且过直线 和直线 交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 、 ，点M在x轴上，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．若点 在 轴上，点 在 轴上，线段 的中点 的坐标是 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， 两点到直线 的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
5．（多选）与直线 平行且到 的距离等于 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选）对于直线 .以下说法正确的有（ ）A． 的充要条件是
B．当 时，
C．直线 一定经过点
D．点 到直线 的距离的最大值为5
7．三条直线 构成一个三角形，则 的取值范围是 ．
8．两条平行直线 与 之间的距离为 ．
9．已知直线l经过点 ， .
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且它们间的距离为4，求直线m的方程.
10．已知直线 .
(1)当a=1时，求两直线的距离；
(2)若 . 求a的值；
(3)写出原点到直线 的距离，并求出该距离的最大值.【课时作业】
1．若直线 与直线 的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
2．过直线 ： 与 ： 的交点，并与 垂直的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．直线 与直线 相交，则实数k的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 且
4．已知直线 ： 与直线 ： 的交点为 ，则点 与点 间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知三角形的三个顶点 ，则过A点的中线长为（ ）
A． B． C． D．
6．在直角坐标平面内，与点 距离为2，且与点 距离为3的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条7．已知点 到直线 的距离为1，则m的值为（ ）
A． 或 B． 或15 C．5或 D．5或15
8．已知实数x，y满足 ，那么 的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
9．(多选)已知三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一点，则k的值为（ ）
A．－ B．－1 C．1 D．
10．（多选）已知点 到直线 的距离相等，则实数m的值可以
是（ ）
A． B． C． D．
11．点 到直线 的距离为 .
12．若两条平行直线 ： 与 ： 间的距离为2，则 .
13．已知直线 ， ，则直线 与 之间的距离最大值为 .14．已知直线 在两坐标轴上的截距相等，且点 到直线 的距离为 ，则直线 的条数为 .
15．在 中，已知 ， ， .
（1）求边 所在的直线方程；
（2）求 的面积.
16．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为 ， ， .
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求四边形ABCD的面积.
(3)求 边AB上的高所在直线方程.17．已知两直线l 与l，直线l 经过点（0，3），直线l 过点（4，0），且l∥l．
1 2 1 2 1 2
(1)若l 与l 距离为4，求两直线的方程；
1 2
(2)若l 与l 之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
1 2
18．在平面直角坐标系xOy，已知△ABC的三个顶点 ．
(1)求BC边所在直线的一般式方程；
(2)BC边上中线AD的方程为x－2y＋t＝0（t∈R），且△ABC的面积为4，求点A的坐标．
