文档内容
专题 09 二次函数常考几何模型专训（9 大题型）
题型一 二次函数中的旋转模型
题型二 二次函数中的翻折模型
题型三 二次函数中的平移模型
题型四 二次函数中的轴对称模型
题型五 二次函数中的最值模型
题型六 二次函数中的存在模型
题型七 二次函数中特殊角度模型
题型八 二次函数中面积关系模型
题型九 二次函数中新定义模型
【经典例题一 二次函数中的旋转模型】
【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，抛物线 的图像与x轴交于 ，B
两点，对称轴为直线 ，与y轴交于C点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当 时，直接写出y的取值范围________；
(3)若将此抛物线绕其顶点旋转 ，直接写出旋转后抛物线的表达式为________．
1．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W： 的对称轴在y轴左侧．
(1)求抛物线W经过的定点坐标；(2)将抛物线W绕原点旋转 后，得到抛物线 ．
①抛物线 的解析式为______（用含a的式子表示）；
②若抛物线 恰好经过抛物线W的顶点，求a的值．
2．（2025·河南周口·二模）已知抛物线 的顶点为 ．
(1)若抛物线经过原点，求 的值及顶点 的坐标．
(2)在 的条件下，把 时函数 的图象记为 ，将图象 绕原点旋转 ，得到新图
象 ，设图象 与图象 组合成的图象为 ．
图象 的解析式为 （写出自变量的取值范围）；
若直线 与图象 有 个交点，请直接写出 的取值范围．
3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交
于A、C两点，其中 ， ，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结 ，过点D作 于点E，延长 与直线
交于点F，求 的最大值及此时点D的坐标；
(3)若将原抛物线绕原点O旋转 得到新的抛物线 ，P是新抛物线 上的一个动点，H是直线 上
的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形 为正方形？请直接写出满足条件
的所有K的坐标．【经典例题二 二次函数中的翻折模型】
【例2】（2024·山东济南·一模）已知抛物线 过 ， 两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)如图1，若点P是线段 上的一动点，连接 、 ，将 沿直线 翻折，得到 ，当点
落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标；
(3)如图2，点M在直线 上方的抛物线上，过点M作直线 的垂线，分别交直线 、线段 于点
N、点E，过点E作 轴，求 的最大值．
1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，函数 的图象是由函数
的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，则下列结论：
① ；②将图象向上平移1个单位长度后与直线 有3个交点；③当 时，该图象与直线 有四个交点；④ （ 为实数）．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在
轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线
与新图象有4个交点时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，将抛物线 在x轴下方的图象沿 轴翻折，
翻折后得到的图象与抛物线 在 轴上方的图象记为 ，已知直线 与图象 有两个公共点，求
的取值范围为 ．【经典例题三 二次函数中的平移模型】
【例3】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，正方形 的顶点A在抛物线 上，顶点B，
C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为 ．
(1)求点D的坐标；
(2)将抛物线 沿x轴方向适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，并说
明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？
1．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交
于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线 与抛物线 关于 轴对称，抛物
线 与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）．
(1)用配方法求抛物线 的顶点坐标；
(2)求线段 的长；
(3)如果 ，平移抛物线 ，使所得新抛物线的顶点E在其关于 轴对称抛物线 的对称轴上，当 时，求平移后新抛物线的表达式．
2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于
，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线 ．
(1)求a，b的值，并根据图象写出 时x的取值范围；
(2)把点A向上平移m个单位得点 ．若点 向右平移n个单位，将与抛物线上的点 重合；若点 向右
平移 个单位，将与抛物线上的点 重合，其中 ， ，求m，n的值；
(3)抛物线上是否存在点P，使得 最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知抛物线 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)求抛物线 的顶点坐标；
(3)当 时，把抛物线 向下平移 个单位长度得到新抛物线 ，设抛物线 与 轴的一个交点
的坐标为 ，且 ，则 的取值范围是 ．
【经典例题四 二次函数中的轴对称模型】【例4】（2025·浙江湖州·三模）已知抛物线 的顶点坐标为 ．
(1)求a，c的值，并写出函数表达式．
(2)已知 在该抛物线上．
①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标．
②若 ， 时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．
1．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象为抛物线
G，抛物线G与抛物线 的图象关于x轴对称．
(1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线 ______；
(2)当 时，求抛物线 的表达式；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线 围成的中间封闭区域 不包括边界 为 ．
①当 时，直接写出区域W内的整点个数；
②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，抛物线 经过点 ， ，连接
，点 是第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的表达式；
(2)过点 作 轴的垂线，交 于点 ，当以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点 的坐
标；
(3)点 与点 关于 轴对称，连接 ， ， ，当点 运动到什么位置时， 的面积最大？求
面积的最大值及此时点 的坐标．
3．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，且横坐标为1，点
与点 关于抛物线的对称轴对称，直线 与 轴交于点 ，点 为抛物线的顶点，点 的坐标为 ．
(1)求线段 的长；
(2)点 为线段 上方抛物线上的任意一点，当 的面积最大时，求此时 点坐标，并求出最大面积；
(3)在（2）的情况下，过点 作 的垂线交 于点 ，点 在 轴上一点，求 的最小值．【经典例题五 二次函数中的最值模型】
【例5】（2023·安徽宣城·一模）如图，抛物线 的对称轴为 ，过其顶点 的一条直线
与该抛物线的另一个交点为 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式．
(2)连接 ，求 的面积．
(3)要在 轴上找一点 ，使得 的周长最小，求点 的坐标．
1．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数 的图像与x轴交于A，B两点，其中A
点坐标为 ，与y轴交于点C，点 在抛物线上
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若 最小，求P的坐标；(3)在直线 下方的抛物线上是否存在动点Q，使得 的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，
及 的最大面积；若不存在，请明理由．
2．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知二次函数 的图象过点 ，对称轴
与 轴交于点 ．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)已知点 是二次函数图象上一点，
①若直线 ： 经过点 ，且点 关于直线 的对称点 恰好落在直线 上，求点 坐标．
②设直线 与二次函数图象另一交点为 ，过二次函数图象顶点作 轴的平行线 ，则直线 上是否存
在点 ，使得 最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如下图，正比例函数 的图象与抛物线 相交于点
．
(1)求 与 的值．
(2)已知抛物线的顶点是 ，若 是 轴上的一个动点，求当 最小时点 的坐标．【经典例题六 二次函数中的存在模型】
【例6】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于A， 两点，与y轴
交于点 ，直线 过B，C两点．
(1)求抛物线的表达式，并求出直线 的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直
接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线 轴交 于点D，过点P作 于点E，当
时，求点P的横坐标．
1．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两
点，点A在点B左侧．点B的坐标为 ， ．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)若点D是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值；
(4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以 为一边的平行四边形？若
存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数 的图象交 轴于点 ，点 两点，
交 轴于点 ．动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 方向运动，过点 作 轴交
直线 于点 ，交抛物线于点 ，连接 ，设运动的时间为 秒．
(1)求二次函数 的表达式；
(2)连接 ，当 时，求 的面积；
(3)在直线 上存在一点 ，当 是以 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 的坐标．
3．（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线 ，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐
标是 ，与y轴交于点(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P是抛物线上一点，连接 使得 ，求出点P坐标；
(3)如图3，连接 与 交于点D，是否存在点P，满足 ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【经典例题七 二次函数中特殊角度模型】
【例7】（2023·山西·模拟预测）如图，已知二次函数 与x轴交于A、B两点，点A的坐标
为 ，且与y轴交于点C，直线 经过点C，与x轴交于点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为 ，求 的面积的最大值及此时点
E的坐标．
(3)在抛物线上是否存在点P，使 ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．1．（24-25九年级上·重庆·期末）如图 ，已知抛物线 的图象与 轴交于 两点，与 轴
交于 点， 点的坐标为 ，且抛物线对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，连接 ， 为线段 下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴交 于点 ，作
轴交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图 ，连接 ，在直线 下方抛物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，抛物线 的图象与 轴交于点 和点 ，与 轴
交于点 ，过点 作 轴，交抛物线于点 ，且 ．
(1)求抛物线的表达式；(2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形，若存在，请求点 的坐标；若
不存在，请说明理由；
②在图2中，点 为抛物线上第四象限上一点，连接 交 轴于点 ，当 时，求点
的坐标．
3．（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）如图，二次函数 的图象与x轴交于点
两点，与y轴交于点C，点D为 的中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点E为直线 上方抛物线上一点，过点E作 轴，垂足为H， 与 、 分别交于点F、
G两点，设点E的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段 的长度；
②若 ，求此时点E的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使 ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
【经典例题八 二次函数中面积关系模型】
【例8】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线 经过 两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接 与 相交于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S，△BCQ的面积为S，求S﹣S 的最大
1 2 1 2
值，并求此时点P的坐标；
(3)过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N，设点D的横坐标为m，且 ，PD中点为
点M，AB中点为点E，若 ，求m的值．
1．（2025九年级·全国·专题练习）点A，B在抛物线y＝ax2（a＞0）上，AB交y轴于点C．
(1)过点C作DC⊥y轴交抛物线于点D，若AB∥OD，AB的解析式为y＝x＋2，求a的值；
(2)在（1）的条件下，过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，连接AG交y
轴于点K，求OK•BH的值；
(3)若a＝1，将抛物线平移后交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0）两点，点P为y轴正半轴上一点，AP，
BP交抛物线于点M，N，设△PNA的面积为S，△PMB的面积为S，△PBA的面积为S，若 ，
1 2 3求点P的坐标．
2．（2025九年级·全国·专题练习）抛物线y＝ax2＋c的顶点为C（0，1），与直线y＝kx＋3（k为常数）相
交于A（x，y），B（x，y）两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2（如图1）．
1 1 2 2
(1)求a、c的值；
(2)当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2＋2AP2，试判断△PAC的形状，并
说明理由；
(3)若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF（如图
2）．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S、S、S，是否存在常数t，使S2＝t•SS？若存在，求出t
1 2 3 2 1 3
的值；若不存在，请说明理由．
3．（2025·广东深圳·二模）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与
y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y＝mx+1与该抛物线交于点F，点P是直线AF上的一个动点，连接AE、PE、PB，记△PAE的面积为S，△PAB的面积为S，那么 的值是否是定值？如果是，
1 2
请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
(3)如图2，设直线AC与直线BD交于点M，点N是直线AC上一点，若∠ONC＝∠BMC，求点N的坐标．
【经典例题九 二次函数中新定义模型】
【例9】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下
定义：
点 是函数图像上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ ”称为点A的“纵横值”．函数图像上
所有点的“纵横值”中若存在最大值则称为函数的“最优纵横值”，若存在最小值则称为函数的“最劣纵
横值”．
【举例】已知点 在函数 图像上．
点 的“纵横值”为 ；
函数 图像上所有点的“纵横值”可以表示为 ，
当 时， 的最大值为 的最小值为 ，
所以函数 的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点 的“纵横值”为__________；
②求出函数 的“最优纵横值”和“最劣纵横值”；
(2)若二次函数 的对称轴为直线 ，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)已知二次函数 ，当 时，二次函数的最优纵横值为m，最劣纵横值为n，若，请直接写出t的值．
1．（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函
数值y ，都满足 ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函
数的上确界．例如，函数 是有上界函数，其上确界是 2 ．
(1)函数① 和② 中是有上界函数的为 （只填序号即可）， 其上确界为 ；
(2)若反比例函数 的上确界是 ，且该函数的最小值为 2 ，求 a、b的值；
(3)如果函数 是以 6 为上确界的有上界函数，且满足 ，求实数a的值．
2．（2025·云南昆明·三模）【定义】：已知y是x的函数．对于任意实数 ，当 时，函
数值y的取值范围是 ，则称m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”．
【举例】：对于函数 ，当 时，函数值y的取值范围是 ，我们称1到3（含1、3）这
段取值范围是函数 的一个“2倍取值范围”．
【问题】：已知二次函数 （b、c均为常数）的图象经过点 ，其对称轴为直线 ．
(1)求二次函数 的解析式；
(2)若对于实数 ，从m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”，求m
和n的值．
3．（2025·河南周口·三模）（1）写出下列二次函数的顶点坐标：
① 的顶点坐标为________；
② 的顶点坐标为________；③ 的顶点坐标为________．
（2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上
面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断 与 是不是“数轴函数”，并说
明理由．
（3）与 轴平行的直线交“数轴函数” 于 两点（ 点在 点的左侧）， ，
是直线 上方抛物线上一点，且点 到对称轴的距离大于2，请直接写出 点横坐标 的取值范围．
