文档内容
专题 24.8 弧长和扇形的面积
目 录
一.知识梳理与题型分类精析....................................................................................................1
知识点（一）弧长公式.........................................................................................................................1
【题型1】利用弧长公式进行计算.......................................................................................................1
知识点（二）扇形面积公式（1）.......................................................................................................4
【题型2】利用扇形面积公式进行计算...............................................................................................4
知识点（三）扇形面积公式（2）.......................................................................................................6
【题型3】扇形面积公式和弧长公式关系...........................................................................................6
知识点（四）不规则图形面积.............................................................................................................8
【题型4】求弓形面积..........................................................................................................................8
【题型5】求不规则图形面积............................................................................................................11
知识点（五）圆锥相关定义...............................................................................................................14
知识点（六）圆锥的侧面积...............................................................................................................14
【题型6】求圆锥侧面积....................................................................................................................15
【题型7】利用圆锥侧面积公式求值.................................................................................................16
【题型8】圆锥侧面最值问题............................................................................................................18
二. 同步练习.................................................................................................................................22
【基础巩固（16题）】......................................................................................................................22
【能力提升（16题）】......................................................................................................................32
一.知识梳理与题型分类精析
知识点（一）弧长公式
在半径为 的圆中，弧长 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
【题型1】利用弧长公式进行计算
【例题 1】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图， 是 的直径，点M，N均在 上，，弦 ．
（1）求直径 的长；
（2）求劣弧 的长．
【答案】（1） ；（2）
【分析】该题考查了圆周角定理，弧长公式，直角三角形的性质．
（1）根据圆周角定理得出 ， ，根据直角三角形的性质即可求
解．
（2）连接 ，求出 ，根据弧长公式即可求解．
解：（1）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的直径为 ；
（2）解：如图，连接 ，
则 ，
∴ 的长为 ．
【变式1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD
的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两
端点A与点B关于直线L对称，直线 于点O，O为 中点，测得直径 为 ，，则提梁 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查弧长的计算，根据题意得出 ，再由弧长公式计
算即可．
解： 隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线 于点O，O为 中点，直径 为
， ∵ ，
，
∴
的长为： ，
∴
故选：D．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，量角器的直径与直角三角板 的斜边 重
合，其中 ，量角器 刻度线的端点 与点 重合，射线 从 处出发沿顺时针方向以
每秒 度的速度旋转， 与量角器的半圆弧交于点 ，第 秒时，点 在量角器上对应划过的
的长度是 ．（结果保留 ）
【答案】【分析】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．连接 、 ，先
根据直角三角形斜边上的中线性质得到 ，即 点在以 为直径的圆上，再根据圆周
角定理得到 ，然后根据弧长公式计算即可．
解：连接 、 ，如图，
为量角器的直径，
为直角三角形 斜边上的中线，
，即 点在以 为直径的圆上，
，
，
，
，
故答案为： ．
知识点（二）扇形面积公式（1）
在半径为 的圆中，扇形面积 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
【题型2】利用扇形面积公式进行计算
【例题2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中，圆心角 ， ．
（1）求 的半径；
（2）求阴影部分拱形面积．（保留 ）【答案】（1）1；（2）
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，扇形面积公式及三角形的面积公式．
（1）根据已知条件得出 为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出半径的长度即可；
（2）先求出扇形 的面积，再减去等腰直角三角形 的面积即可．
解：（1）解：∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴ ，
即 的半径为1．
（2）解：∵ 的半径为1， ，
∴ ， ，
∴ ．
【变式1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，现有一块直径为10 的圆形玉料，要用
其刻出一个圆周角为 的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．根据
圆周角定理由 得 为 的直径，即 ，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．
解：连接 ，
∵ ，
为 的直径，即 ，
∵玉佩的形状是扇形，
∴ ，
，
，
．
故选：C．
【变式2】（23-24六年级上·上海·阶段练习）扇形的弧长为 厘米，圆心角为 ，则扇形的面
积为 平方厘米．
【答案】
【分析】本题主要考查了弧长公式和扇形的面积公式的综合应用，熟练掌握扇形的面积公式是解题
的关键．
先求出扇形的半径，再根据扇形的面积计算公式求值即可．
解：设圆的半径为r，
∵ ，
∴ ，
∴扇形的面积 ．
故答案为： ．
知识点（三）扇形面积公式（2）
在半径为 的圆中，扇形面积 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：【题型3】扇形面积公式和弧长公式关系
【例题3】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）一个扇形的弧长是 ，面积是
，求扇形圆心角的度数．
【答案】扇形圆心角的度数为 ．
【分析】本题考查了扇形的相关计算，设扇形的半径为 ，圆心角的度数为 ，根据扇形的面积公
式 ，代入数据即可求出半径 ，然后再根据弧长公式 ，求出圆心角即可，熟记
基本计算公式是解题的关键．
解：设扇形的半径为 ，圆心角的度数为 ，
根据扇形的面积公式 ，
∴ ，
解得： ，
由弧长公式可得： ，
∴ ，
∴扇形圆心角的度数为 ．
【变式1】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）一个扇形的弧长为 ，面积是 ，求
扇形的半径和圆心角的度数．
【答案】扇形的半径为 ，圆心角为
【分析】本题考查了扇形的面积计算和弧长的计算．设这个扇形的半径为 ，圆心角是 ，根据扇
形的面积公式求出 ，根据弧长公式求出 即可．
解：设这个扇形的半径为 ，圆心角是 ，
根据扇形面积公式 ，
可得 ，
解得 ．
再根据弧长公式 ，可得 ，
解得 ．
答：扇形的半径为 ，圆心角为 ．
【变式2】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则这个扇
形的面积是多少？
【答案】
【分析】根据弧长公式求出半径，再利用扇形的面积公式进行计算即可．
解：设圆的半径为 ，
由题意，得： ，
∴ ，
∴扇形的面积为 ．
【点拨】本题考查求扇形的面积．熟练掌握弧长和扇形的面积公式，是解题的关键．
知识点（四）不规则图形面积
解题思路：不规则图形面积转化为规则图形面积。方法：通过割补法、平移转化法
求面积
【题型4】求弓形面积
【例题3】（2024九年级·全国·专题练习）家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐
桌两边 和 平行且相等（如图②），小华用皮尺量出 米， 米，则阴影部分的
面积为（ ）
A． 平方米 B． 平方米C． 平方米 D． 平方米
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角
的三角函数关系是解题关键．设圆心为O，连接 ，过点O作 于点E，进而得出 ，
的长以及 的度数，进而由 得出弓形 的面积，进一步即可求得
阴影部分的面积．
解：设圆心为O，连接 ，过点O作 于点E，
由题意可得出： ，
∴ 是 的直径，
∵ 米， 米，
∴ ， 米，
∴ ，
∴ 米，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平方米，
∴阴影部分的面积为： 平方米．
∴故选：B．
【变式1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图是 的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A、B、C都是格点，连接 ，小明在网格中画出以 为直径的半圆，圆心为点O，点C在半
圆上，连接 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接 ，证明 ，进
而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解．
解：如图所示，连接 ，
∵小正方形的边长为2，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积是
故选：A．
【变式2】（2024·安徽蚌埠·三模）如图， 是 的直径，将弦 绕点 顺时针旋转 得到
，此时点 的对应点 落在 上，延长 ，交 于点 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）根据旋转的性质可得 ， ，根据等边对等角可得 ，
，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得 ，从而得证；
（2）根据扇形面积减三角形面积计算即可．
解：（1）证明：∵弦 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：设 的半径为 ，
由（1）知： 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴图中阴影部分的面积：
，
∴图中阴影部分的面积为 ．
【点拨】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，扇形和三角形面积的
计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积的计算是解题的关键．
【题型5】求不规则图形面积【例题5】（2025·山东滨州·模拟预测）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排
污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽 为1
米，则淤泥横截面的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点
作 于 ，由垂径定理得 ，由勾股定理得 ，又根据圆的
直径为 米可得 ，得到 为等边三角形，即得 ，再根据淤泥横截面
的面积 即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．
解：过点 作 于 ，则 ， ，
∵圆的直径为 米，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴淤泥横截面的面积 ，故答案为： ．
【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在 中， ，以点
为圆心、 为半径画弧交 ． 于点 ，连接 ，若 ，则图中弧 的长为
，阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难
度较易，掌握相关知识是解题关键．
过点D作 于点F，根据弧长公式可求出弧 的长；根据等腰直角三角形的性质求得
，从而求得 ，最后由 结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、
三角形面积公式解题即可．
解：如图，过点D作 于点F，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴弧 的长为 ， ， ，
∴．
故答案为： ；
【变式2】（23-24九年级上·福建福州·月考）如图，C，D是以 为直径的半圆上的两点，
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到 ，根据 得到
，进而得到结论；
（2）连接 ，根据所求的阴影部分面积与扇形 的面积及 的关系即可求解．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 交线段 于点M．
∵ °，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，平行线的判定，掌握定理
以及扇形面积公式是解题的关键．
知识点（五）圆锥相关定义
母线：连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫做圆锥的母线，如图1，线段 是
圆锥的母线。
知识点（六）圆锥的侧面积
设圆锥的母线长为 ，圆锥的底面圆半径为【题型6】求圆锥侧面积
【例题6】（23-24九年级上·河北·期末）用硬纸片制作一个有底面的圆锥，已知圆锥的底面半径为
，母线长为 ．
（1）求出圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数，
（2）求出圆锥的表面积（结果保留 ）．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了圆的周长，圆的面积，扇形的面积，圆心角度数，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．
（1）先求得扇形的弧长，以及扇形所在圆的周长，通过计算其比例可以求得圆心角度数；
（2）利用扇形的面积加上底面圆的面积即可得出答案．
解：（1）解：
故圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数为 ．
（2）解：
故圆锥的表面积为 ．
【变式1】（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常
可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是 ，母线长 ，则圆锥的侧面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式： ，进行计算即可．
解：由题意，该斗笠的侧面面积为 ；
故选：C．
【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）“草帽当锅盖”是云南十八怪中之一，当地人制
作的草帽锅盖呈圆锥形，一个草帽锅盖的母线长为 ，底面圆的半径为 ，这个草帽锅盖的
侧面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面积公式 ，其中r是底面圆的半径，l是母线
长，据此进行解答即可．
解：根据圆锥的侧面积公式 可得：
（平方厘米），
故答案为： ．
【题型7】利用圆锥侧面积公式求值
【例题7】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）圆锥的母线长为 ，底面圆的半径为 ．
（1）侧面展开图的圆心角度数是 ．
（2）如图①，B为母线 的中点，点A在底面圆周上， 的长为 ，蚂蚁从点A爬行到点
B的最短路径是多少？（结果保留根号）．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开
图的弧长是解题的关键．
（1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式 即可求出圆心角的度数；（2）如图2，连接 ，先证明 为等边三角形，再证 ，最后根据勾股定理求
得 即可．
解：（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为 ，
∵底面圆的半径为 ，
∴侧面展开图的弧长 ，
，
，解得： ，
故答案为： ；
（2）解：如图2，连接 ，则线段 的长为蚂蚁爬行的最短距离，
的长为 ， ，令 ，
，解得 ，
，
，
∴ 为等边三角形，即 ，
，
，
在 中， ，
即蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【变式1】（25-26九年级上·云南·阶段练习）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为 ，
圆心角为 的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键是掌握：（1）圆锥的母线长等于侧
面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记
忆是解题的关键．据此解答即可．
解：∵半径为 ，圆心角为 的扇形纸板的弧长是： ，
∴用这个扇形纸板做成的圆锥形生日帽的底面圆的周长是 ．
故选：A．
【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，
已知圆锥的母线长为 ，扇形的弧长是 ，那么这个圆锥的高是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理，设圆锥底面圆的半径是 ，根据扇形的弧长可求
出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解．
解：∵扇形的弧长是 ，
∴圆锥的底面周长是 ，
设圆锥底面圆的半径是 ，
∴ ，解得：
∴圆锥的高是
故答案为： ．
【题型8】圆锥侧面最值问题【例题8】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半
径是2，母线长是6．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中 的度数；
（2）如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的
最短长度．
【答案】（1） ；（2）这根绳子的最短长度为
【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径， 为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为 的距离．
本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题．
解：（1）解： 设 的度数为 ，
底面圆的周长等于 ，
解得 ．
（2）解：连接 ，过 作 于 ，
∴ ，
∵由（1）得
∴
∵
则
由 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即这根绳子的最短长度是 ．【变式1】（23-24九年级下·湖北鄂州·月考）如图圆锥的横截面 ， ，
，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线 去，则蚂蚁行走的最短路线长为（ ）cm
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三
角函数值是解题的关键．
先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公
式求出 的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出 的长度．
解：圆锥的侧面展开图如下图：
作
圆锥的底面直径 ,
底面周长为 ，
设
，则有
解得 ，
，
在 中
，
∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为
故选：D.
【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，圆锥底面圆直径 长是 ，母线 长
是 ，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到 的中点D，最短路径长是 ．
【答案】
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展
开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解
即可．
解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n，
根据题意有： ，
解得： ，如图，
∴ ，且 为最短路径．
∵ ， ，∴ ，
故最短路径长是 ．
故答案为： ．
二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为 的 中， 的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．直接使用弧长公式计算即可．
解：根据题意，半径为 的 中， 的圆心角所对的弧长为 ：
．
故选：C．
2．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为 的 中，劣弧 的长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关
键．
连接 、 ，根据弧长公式求出 的度数，根据圆周角定理解答即可．
解：连接 、 ，设 的度数为 ，
则 ，
解得， ，
，
故选：C．
3．（25-26九年级上·云南·阶段练习）用一个圆心角为 ，半径为 的扇形做一个圆锥的侧
面，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据扇形面积公式求出扇形面积，根据圆锥的侧面展开图
与原来的扇形之间的关系解答即可，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的
关键．
解：因为用一个圆心角为 ，半径为 的扇形做一个圆锥的侧面，
∴该圆锥的侧面积为 ，
故选： ．
4．（23-24九年级下·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给
出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积 （弦 矢 矢 ）．弧田（如图所示）由圆弧和其所
对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦 ，“矢”指半径长与圆心O到弦 的距离（d）之
差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（ ）
A．80 B．100 C．104 D．128【答案】D
【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形
利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可．
解：如图，过点O作 于点C，
由题意可知 ，
∴ ，
在 中， ，
∴矢 ，
∴该弧田的面积为 ，
故选：D．
5．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为 ，底面半径为 ，
制作这把遮阳伞至少需要用布料（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据侧面积公式，进行计算即可．
解：由题意，制作这把遮阳伞至少需要用布料 ；
故选B．
6．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为 的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将留下的
扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是
解此题的关键．
先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，
最后由勾股定理计算即可得解．
解：∵从半径为 的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，
∴剩下的扇形的角度为 ，
∴剩下的扇形的弧长为 ，
∴圆锥的底面半径为 ，
∴圆锥的高为 ，
故选：B．
二、填空题
7．（24-25九年级下·重庆·开学考试）一个扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则扇形半径是
．
【答案】3
【分析】此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用扇形的面积公式是解题关键．
根据扇形的面积公式进行计算．
解：设这个扇形的半径是r，
根据扇形面积公式，得 ，
解得 （负值舍去）．
所以扇形的半径是3．
故答案为：38．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针针尖扫
过的面积是 平方厘米．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积的计算．熟记公式 是解题的关键．一昼夜时针转过两圈
，根据弧长公式求出转过的弧长，再根据 可得面积．
解：一昼夜时针转过两圈 ，
所以 （平方厘米）．
故答案为： ．
9．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，已知 的半径为2， ，则图中阴影部
分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了不规则图形面积的计算，利用扇形面积减去三角形面积即可求解．
解：阴影部分面积为： ；
故答案为： ．
10．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正六边形 的边长为4，以顶点A为圆心，
的长为半径画圆，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，所做圆锥的底面半径为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，求弧长，圆锥的底面半径．根据正多边形的性质，求出
的度数，再根据弧长公式可得 的长，即可求解．解：∵正六边形 的边长为4，
∴ ，
∴ ，
∴所做圆锥的底面半径为 ．
故答案为：
11．（2020·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆锥母线长 厘米，若底面圆的半径 厘米，则
侧面展开扇形图的圆心角为 ．
【答案】 /160度
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，圆心角公式，解决本题的关键是求解出侧面展开图的弧
长．
根据侧面展开图扇形的弧长即圆锥底面周长可求解弧长，再由圆心角公式代入求解即可．
解：由题意知：扇形的弧长为圆锥底面圆周长 （厘米），
设所求圆心角的度数为 ，
则 ，解得 ，
即侧面展开扇形图的圆心角为 ．
故答案为： ．
12．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）如图，扇形 的圆心角是90度，半径是 是弧
的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（ 取3.14）【答案】
【分析】本题考查不规则面积求法，涉及扇形面积公式、圆面积公式等知识，数形结合，准确表示
不规则图形面积是解决问题的关键．
如图所示， ， ，从而得到两个阴影部分的面积差是
，再由 代值求解即可得到答案．
解：如图所示：
， ，
， ，
，
故答案为： ．
三、解答题
13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知 是 的直径，过点 的弦 平行于
半径 ，若 ．
（1）求 的度数；
（2） 的长度为__________．【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，熟知圆周角定理是解题的关键．
（1）由圆周角定理可得 的度数，再由平行线的性质可得答案；
（2）连接 ，由圆周角定理可得 的度数，再由弧长计算公式求解即可．
解：（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长度 ．
故答案为：
14．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图， 是 的直径，弦 于点E，连结
．
（1）求证： ；（2）若 ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见分析；（2）4π
【分析】本题主要考查了求扇形面积、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
（1）根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据圆周角定理求出 ，进而可得 ，根据正弦的定义求出 ，利用扇形面积公
式计算即可．
解：（1）证明：∵ 是 的直径，弦 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，弦 ，
∴ ，
在 中， ，
∴扇形 （阴影部分）的面积 ，
答：阴影部分的面积为 ．
15．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是
2，母线长是6．（1）求这个圆锥的侧面展开图中 的度数；
（2）如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的
最短长度．
【答案】（1） ；（2）这根绳子的最短长度为
【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径， 为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为 的距离．
本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题．
解：（1）解： 设 的度数为 ，
底面圆的周长等于 ，
解得 ．
（2）解：连接 ，过 作 于 ，
∴ ，
∵由（1）得
∴
∵
则
由 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即这根绳子的最短长度是 ．16．（2022九年级下·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方
田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积 （弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦
所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式
计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角 为 ，弦长 的弧
田．
（1）计算弧田的实际面积．
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平
方米?（取 近似值为3， 近似值为1.7）
【答案】（1）弧田的实际面积为 ；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所
得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差 ．
【分析】（1）先利用勾股定理及含 的直角三角形的性质求解AO与AB的长度，接着算出
的面积，再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面积．
（2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（1）中的结果相减，求出两者之差．
解：（1）解： 弦AB，
由垂径定理可知： 平分AB，并且OD还平分 ．，
在 中， 对应的角的为
设 ，则 ．
由勾股定理可知：
解得 （ 舍去）
， ．
，扇形AOB的面积为
弧田实际面积为 ．
（2）解：由题（1）可得圆心到弦的距离等于1，故矢长为1．
按照题中弧田的面积公式得：弧田面积为 ，
∴两者之差面积之差为 ．
【点拨】本题主要是考查了扇形面积公式以及圆和直角三角形的相关性质，注意此题利用了割补法
求解弧田面积，这是初中数学求解面积常用的方法之一，一定要熟练掌握．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（2025·福建厦门·二模）如图， 切 于点 ，弦 ，若 ，劣弧 的
弧长为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质；连接 ，根据切线的性质得出 ，根据含 度角的直角三角形的性质得出
，进而得出 是等边三角形，则 ，根据劣弧 的弧长为 ，设
，得出 ，进一步即可求解．
解：如图，连接 ，
∵ 切 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∵劣弧 的弧长为 ，设 ，
∴
解得：
∴ ，
故选：B．
2．（2015·浙江杭州·一模）如图，在 中， ， ， ，点A，B在
直线l上．将 沿直线l向右作无滑动翻滚，则 翻滚一周时点A经过的路线长是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质．
根据题意得出 翻滚一周时点A经过的路线长，进而求出即可．
解：如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 翻滚一周时点A经过的路线长是： ．
故选：C．
3．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，已知 ， ， ，半径为 的
从点A出发，沿 方向滚动到点 时停止．则在此运动过程中， 扫过的面积是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方
法．
解：根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可．
【点拨】解：如图， 扫过的面积为 ，
∵ ， ， ， 半径为 ，∴ ， ， ， ，
∴ ，
故选： ．
4．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，正六边形 的边长为3，分别以点A，D为圆
心，以 的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形和圆的有关计算，解题关键是熟练运用扇形面积公式和等边三角形的
性质．
根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．
解：∵正六边形 的边长为3，连接 ，把六边形分成6个全等的等边三角形，
等边三角形的边长为3，
过点O作 ，如图所示：∴ ，
∴ ，
∴每个等边三角形的面积为： ，
∴正六边形 的面积是： ， ，
∴图中阴影部分的面积是： ，
故选：B．
5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点C为扇形 的半径 上一点，将 沿 折
叠，点O恰好落在 上的点D处，且 ，若将此扇形 围成一个圆锥，则圆锥的底
面半径与母线长的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是扇形，折叠的性质，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关
键．
连接 ，求出 ，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可．
解：连接 交 于 ．
由折叠的知识可得： ， ，
，，
，
∴
设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
根据题意得， ，
．
故选：D．
6．（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面
直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝ ．现有一只蚂蚁，沿圆
锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．3 B．4 C． D．2
【答案】B
【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定
理求得CD的长即可．
解：如图:
∵ ，
∴设弧 所对的圆心角的度数为n，
∴ ，
解得 ，∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间
的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．
二、填空题
7．（2025九年级上·北京·专题练习）如图， 的顶点 在半径为9的 上， ，边
， 分别与 交于D，E两点，则劣弧 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是利用圆周角定理求出圆心角的度数，再
结合弧长公式计算．
连接 、 ，根据圆周角定理得出 ，再代入弧长公式 （其中 为圆心
角度数， 为半径）计算劣弧 的长度．
连接 、 ，得出 ，由弧长公式即可得出答案．
解：连接 、 ，如图所示：
，
，
，
∴劣弧 的长 ．
故答案为： ．8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为 的圆中，长为 的弧所对的圆周角的度数为
．
【答案】 /30度
【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含
义．
根据弧长的计算公式： （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角
的度数．
解：根据弧长的公式 ，
得到： ，
解得 ，
∴圆周角为 ，
故答案为： ．
9．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在菱形 中, ，点O是对角线 的中点，
以点O为圆心, 长为半径作圆心角为 的扇形 ，点D在扇形 内，则图中阴影部分的
面积为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及扇形面
积公式的应用，解题的关键是通过构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为扇形面积与规则三角形面积的差来计算．
先利用菱形性质得 、 ，点 为 中点，故 ，进而得
；构造等边 ，结合 证 ，将 转化为 ；再用
勾股定理算 、 （即扇形半径）；最后用扇形面积公式算 ，减去 得阴
影面积．
解：如图，连接 ，在 上取点 ，使 ，连接 ，
在菱形 中， ，点O是对角线 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵
∴∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知 是 的直径，C，D是 上的点， 且
与 交于点E，连接 ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据 是 的直径，得
，因为 得 ， ，运用圆周角定理得
， ，则 ， ，即可算出阴影部分的
面积．
解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
，
则 .
故答案为： ．
11．（24-25九年级下·湖南永州·阶段练习）如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为
其主视图，其中 ， ，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为
．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，先证明 为等腰直角三角形得到 ，
再证明 为等边三角形得到 ，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧
面积与下面圆锥的侧面积的比等于 ，从而得到下圆锥的侧面积．
解：∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于 ，
∴下面圆锥的侧面积 ．
故答案为： ．
12．（24-25九年级上·全国·期末）在数学实践活动中，某同学用一个扇形纸片制作了一个圆锥形纸
帽，若扇形的圆心角为 ，半径为8，则圆锥的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周
长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了弧长公式和勾股定理．
先利用弧长公式得到圆心角为 ，半径为8的扇形的弧长为 ，根据圆锥的侧面展开图为扇
形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为4，然后根据勾股定
理可计算出圆锥的高．
解： 圆心角为 ，半径为 的扇形的弧长 ，
圆锥的底面周长为 ，
圆锥的底面圆的半径为4，
圆锥的高为 ．
故答案为： ．
13．（24-25九年级上·广东湛江·期末）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为 ，相当于
排开 的水．若已知圆锥体体积可近似看成 ，那么当这些水恰好充满高为 的圆
锥时，该圆锥展开后的扇形弧长为 ．（ 取3）
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算，圆锥端点体积公式等知识，利用公式求出 ，可得结论．
解： ， ， ，∴ ，
圆锥展开后的扇形弧长 ．
故答案为：300．
三、解答题
14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在 中，已知弦 ， 相交于点E，连接 ，
．
（1）求证： ．
（2）若 ， 的半径为4，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题
的关键．
（1）根据等弦对等弧即可证明；
（2）连接 ，根据垂直的定义得到 ，则有 ，利
用圆周角定理得到 ，则有 ，根据
得到 ，最后利用弧长公式即可求解．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得， ，
∴ ，
又∵ 的半径为4，
∴ ．
15．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图， 是 的外接圆，半径为 ，连接 ，
， ，
（1）过点 作 ，交 于点 ，若 ，求 的长；
（2）若 ，求阴影部分的面积．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用垂径定理得出 ，再结合勾股定理求出 ，进而得到 ．
（2）先根据圆周角定理求出圆心角 的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积．
解：（1）解： ， ，，
在 中， ， ，
∴ ，
；
（2）解： ，
，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和
公式是解题的关键．
16．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，扇形 是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线
，底面圆的半径 ．
（1）当 时，求 的度数；
（2）当 时，分别求 的度数；（直接写出结果）
（3）当 （n为大于1的整数）时，猜想 的度数（直接写出结果）．
【答案】（1）180度；（2）120度；90度；（3）
【分析】本题主要考查扇形弧长公式．注意对弧长公式的运用，注意区分公式中的各个量之间的关
系．
（1）运用弧长公式计算即可；
（2）运用弧长公式计算即可；
（3）由（1）、（2）可得规律为 ．
解：（1）解：设 的度数为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，即 ．（2）解：设 的度数为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
同理：当 时， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（2）可得： ，
∴ ，
∴ ．
17．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在 中， ，O是 上一点，以 为
半径的 与 相切，切点为D，连接 ， 与 相交于点E．
（1）求证： 是 的角平分线；
（2）若 ， ．
①求 的半径；
②设 与 边的另一个交点为E，求线段 、 与劣弧 所围成的阴影部分的图形面积．
（结果保留根号和π）
【答案】（1）见分析；（2）① ；②阴影部分的图形面积为 ．
【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角， 度角的性质，扇形面积公式，勾股定理．
（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，进而证明 ，得到 ，根
据等边对等角得到 ，进而得到 ，即可证明 是 的角平分线；
（2）①设 ，根据 度角的性质得到 ， ，可得 ，求解即
可；
②根据扇形面积公式求出 ，根据勾股定理求出 ，根据三角形面积公式求出
，即可得到阴影部分的图形面积．
解：（1）证明：连接 ，
∵直线 与 相切，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）①解：设 ，在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
②解：在 中， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴所求图形面积为 ．
