文档内容
2026年菁优中考数学解密之因式分解
一．选择题（共10小题）
1．（2025•台江区校级模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的
密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x
＝9，y＝9，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六
位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
2．（2025•云南模拟）若a+b＝4，则3a2+6ab+3b2﹣47的值为（ ）
A．16 B．4 C．2 D．1
3．（2025•雁塔区校级模拟）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3）
C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2+3x+2＝x（x+3）+2
4．（2025•曲靖模拟）已知a+b＝6，a﹣b＝2，则3a2﹣3b2＝（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
5．（2025•花山区校级一模）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
6．（2025•英山县校级模拟）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
7．（2025•路北区二模）把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）
8．（2025•仁寿县一模）已知三个实数a、b、c满足a﹣2b+c＝0，a2﹣c2＜0，则（ ）
A．b＜0，a＜c B．b＞0，a＞c C．b2＜ac D．b2＞ac
9．（2025•路北区二模）下列结果不正确的是（ ）
A．（﹣33）2＝35
B．32+32+32＝33
C．34÷3﹣2＝36
D．32025﹣32024能被2整除
10．（2025•绵竹市模拟）已知△ABC 的三边 a，b，c 满足 a|a+c|﹣bc﹣ab＝0，则△ABC 的形状为
（ ）
第1页（共20页）A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（共10小题）
11．（2025•广东校级模拟）已知x﹣2y＝﹣4，xy＝2，则2xy2﹣x2y＝ ．
12．（2025•南岗区校级模拟）将多项式x2y﹣2xy2+y3分解因式的结果是 ．
13．（2025•东昌府区二模）因式分解：3ab2+6a2b+3a3＝ ．
14．（2025•利川市模拟）若分解因式：m2+5m＝m（m+k），则k的值为 ．
15．（2025•山亭区一模）整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图
分解因式：a2+3ab+2b2＝ ．
16．（2025•祁阳市校级一模）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；
小芳看错了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正确分解为 ．
17．（2025•单县三模）若mn＝2，m﹣n＝﹣1，则代数式m2n﹣mn2的值是 ．
18．（2025•鼓楼区校级模拟）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ．
19．（2025•海淀区校级模拟）因式分解m3﹣4m2n+4mn2结果是 ．
20．（2025•韶关模拟）已知 a、b、c 满足 a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则 a+b+c＝
．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•丛台区校级模拟）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整
式．
（1）求整式M，P；
（2）将整式P因式分解．
第2页（共20页）22．（2025•湖北模拟）教材内容一
七年级下《不等式与不等式组》中的“阅读与思考”——用求差法比较大小．
两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a，b比较大小，那么
当a＞b时，一定有a﹣b＞0；
当a＝b时，一定有a﹣b＝0；
当a＜b时，一定有a﹣b＜0；
反过来也对，即
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
教材内容二
八年级上《整式的乘法与因式分解》中的“完全平方式”节选
你能根据图2和图3中图形的面积说明完全平方公式吗？
阅读以上材料完成下列任务：
问题探究
对于图2我们进一步的探讨．
（1）S +S ＝ ；S +S ＝ ；
1 2 3 4
（2）比较S +S 与S +S 的大小，并说明理由；
1 2 3 4
拓展运用
1
（3）应用以上结果，求x+ (x＞0)的最小值．
x
23．（2025•丰南区校级三模）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲：a2﹣2ab﹣4+b2 乙：a2﹣ab﹣a+b
＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组） ＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组）
＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式） ＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式）
第3页（共20页）＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）． ＝（a﹣b）（a﹣1）．
请在他们解法的启发下解答下列各题．
（1）已知a，b，c是△ABC的三条边长，且满足ab﹣ac+b2﹣bc＝0，请判断△ABC的形状，并说明理
由．
（2）已知a+b=10+√2，a-b=√2-2，求多项式a2﹣b2﹣8a+12b﹣20的值．
24．（2025•亭湖区校级三模）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算
法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数 m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大
数的和一定为较大数的平方．
（1）举例验证：当m＝4，n＝5，则q+n＝4×5+5＝25＝52
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设m＜n，m、n是连续的正整数，
∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝n2．
∴q+n一定是正数n的平方数．
【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．
请你举例验证及推理证明；
【深入思考】若p=√q+2n+√q-2m（m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，q＝mn），求证：p一定是
偶数．
25．（2025•赤峰模拟）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结
合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积
进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为a的正方形纸片，2号纸片是边长为b
的正方形纸片，3号纸片是长为a、宽为b的长方形纸片．
（1）由边长分别为a，b的两个小正方形和两个长为a、宽为b的长方形拼成如图2所示的大正方形，
可知大正方形的边长为（a+b），即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：
；
（2）如图 3，根据所拼图形的面积，可以把多项式 a2+4ab+3b2 分解因式，其结果是
；
第4页（共20页）（3）用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面
积为32，3号纸片的面积为24，求a，b的值．
第5页（共20页）2026年菁优中考数学解密之因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A B D A D A C
一．选择题（共10小题）
1．（2025•台江区校级模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的
密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x
＝9，y＝9，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六
位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
【考点】因式分解的应用；因式分解的意义．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】先提公因式x，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．
【解答】解：∵x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x+y）（x﹣y），
∵x＝52，y＝28，则各个因式的值为x＝52，x+y＝80，x﹣y＝24，
∴产生的密码不可能是522824，
故选：B．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
2．（2025•云南模拟）若a+b＝4，则3a2+6ab+3b2﹣47的值为（ ）
A．16 B．4 C．2 D．1
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝3（a2+2ab+b2）﹣47＝3（a+b）2﹣47，
∵a+b＝4，
第6页（共20页）∴原式＝3×42﹣47＝1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．
3．（2025•雁塔区校级模拟）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3）
C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2+3x+2＝x（x+3）+2
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据因式分解的方法进行计算即可判断．
【解答】解：A．因为x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故符合题意；
B．因为4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3），故不符合题意；
C．因为a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故不符合题意；
D．因为x2+3x+2＝（x+1）（x+2），故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．
4．（2025•曲靖模拟）已知a+b＝6，a﹣b＝2，则3a2﹣3b2＝（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先整理3a2﹣3b2＝3（a+b）（a﹣b），然后把a+b＝6，a﹣b＝2代入计算，即可作答．
【解答】解：∵a+b＝6，a﹣b＝2，
∴3a2﹣3b2
＝3（a2﹣b2）
＝3（a+b）（a﹣b）
＝36，
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式以及已知式子的值求代数式的值，掌握平方差公式是解题的关键．
5．（2025•花山区校级一模）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
第7页（共20页）【考点】因式分解的意义．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意可知x＝2是方程ax2﹣bx+2＝0的一个根，然后代入解题即可．
【解答】解：由条件可知当x＝2时，ax2﹣bx+2＝4a﹣2b+2＝0，
解得：2a﹣b＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2025•英山县校级模拟）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【解答】解：由条件可知：
a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a+b）2
＝1×32
＝9．
故选：D．
【点评】本题考查因式分解，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键．
7．（2025•路北区二模）把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【专题】因式分解；运算能力．
【答案】A
【分析】原式提取公因式即可．
【解答】解：原式＝a（a﹣4），
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
8．（2025•仁寿县一模）已知三个实数a、b、c满足a﹣2b+c＝0，a2﹣c2＜0，则（ ）
第8页（共20页）A．b＜0，a＜c B．b＞0，a＞c C．b2＜ac D．b2＞ac
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】先推出a+c＝2b，进而得到a2+2ac+c2＝4b2，再由a2﹣c2＜0得到2b（a﹣c）＜0，由此即可判
断A，B，求出4b2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0即可判断C，D．
【解答】解：由条件可知a+c＝2b，
∴a2+2ac+c2＝4b2，
∵a2﹣c2＜0，
∴（a+c）（a﹣c）＜0，
∴2b（a﹣c）＜0，
{ b＞0 { b＜0 {b＞0 {b＜0
∴ 或 ，即 或 ，
a-c＜0 a-c＞0 a＜c a＞c
故A，B结论错误，不符合题意；
∵4b2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＞0，
∴b2＞ac，故C结论错误，不符合题意，D结论正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，正确推出2b（a﹣c）＜0，4b2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0是解题
的关键．
9．（2025•路北区二模）下列结果不正确的是（ ）
A．（﹣33）2＝35
B．32+32+32＝33
C．34÷3﹣2＝36
D．32025﹣32024能被2整除
【考点】因式分解的应用；负整数指数幂．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据这些知识逐项计算即可判断．
【解答】解：A、根据幂的乘方可知（﹣33）2＝36，计算结果不正确，故符合题意；
B、根据同底数幂的乘法可知32+32+32＝3×32＝33，计算结果正确，故不符合题意；
C、根据同底数幂的乘法可知34÷3﹣2＝34﹣（﹣2）＝36，计算结果正确，故不符合题意；
D、∵32025﹣32024＝3×32024﹣32024＝32024×（3﹣1）＝2×32024，
第9页（共20页）而2×32024是2的倍数，
∴32025﹣32024能被2整除；
故计算结果正确，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法的正用与逆用等知识，熟练掌握以
上知识点是关键．
10．（2025•绵竹市模拟）已知△ABC 的三边 a，b，c 满足 a|a+c|﹣bc﹣ab＝0，则△ABC 的形状为
（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【考点】因式分解的应用；等腰三角形的判定．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据已知条件判断a+c＞0，然后根据绝对值的性质把a|a+c|﹣bc﹣ab＝0化简并分解因式，
然后求出a＝b，从而进行判断即可．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+c＞0，
∵a|a+c|﹣bc﹣ab＝0，
∴a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，
a2+ac﹣bc﹣ab＝0，
（a2﹣ab）+（ac﹣bc）＝0，
a（a﹣b）+c（a﹣b）＝0，
（a+c）（a﹣b）＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和几种常见的分解因
式的方法．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•广东校级模拟）已知x﹣2y＝﹣4，xy＝2，则2xy2﹣x2y＝ 8 ．
第10页（共20页）【考点】因式分解的应用；代数式求值．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将原式变形为﹣xy（x﹣2y），再将x﹣2y＝﹣4，xy＝2代入计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝﹣4，xy＝2，
∴原式＝2xy2﹣x2y
＝﹣xy（x﹣2y）
＝﹣2×（﹣4）
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．（2025•南岗区校级模拟）将多项式x2y﹣2xy2+y3分解因式的结果是 y （ x ﹣ y ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】计算题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2，
故答案为：y（x﹣y）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（2025•东昌府区二模）因式分解：3ab2+6a2b+3a3＝ 3 a （ b + a ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】3a（b+a）2．
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝3a（b2+2ab+a2）
＝3a（b+a）2．
故答案为：3a（b+a）2．
【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题的关键．
14．（2025•利川市模拟）若分解因式：m2+5m＝m（m+k），则k的值为 5 ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】5．
第11页（共20页）【分析】把原式提公因式法因式分解，对比即可得到答案．
【解答】解：由条件可得m2+5m＝m（m+k），
∴k的值为5，
故答案为：5．
【点评】此题考查了提公因式法因式分解．熟练掌握该知识点是关键．
15．（2025•山亭区一模）整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图
分解因式：a2+3ab+2b2＝ （ a + 2 b ）（ a + b ） ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
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【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（a+2b）（a+b）．
【分析】根据图形面积的两种表示方法求解即可．
【解答】解：∵矩形的长为a+2b，宽为a+b，
∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．
故答案为：（a+2b）（a+b）．
【点评】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握图形的面积的求法和利用拼图分解因式是解题关键．
16．（2025•祁阳市校级一模）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；
小芳看错了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正确分解为 （ x ﹣3 ）（ x +2 ）
．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
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【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（x﹣3）（x+2）．
【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值
确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．
【解答】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，
∵小刚看错了m的值，
∴n＝﹣6；
（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
∵小芳看错了n的值，
第12页（共20页）∴m＝﹣1．
∴x2+mx+n
＝x2﹣x﹣6
＝（x﹣3）（x+2）．
故答案为：（x﹣3）（x+2）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定 m、n的
值是解决本题的关键．
17．（2025•单县三模）若mn＝2，m﹣n＝﹣1，则代数式m2n﹣mn2的值是 ﹣ 2 ．
【考点】因式分解的应用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【解答】解：∵mn＝2，m﹣n＝﹣1，
∴m2n﹣mn2＝mn（m﹣n）＝2×（﹣1）＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查代数式求值．熟练掌握因式分解的方法是关键．
18．（2025•鼓楼区校级模拟）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ （ y ﹣ z ）（ 2 a + 3 b ） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用提公因式法分解即可．
【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
19．（2025•海淀区校级模拟）因式分解m3﹣4m2n+4mn2结果是 m （ m ﹣2 n ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】计算题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取m，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m2﹣4mn+4n2）＝m（m﹣2n）2，
故答案为：m（m﹣2n）2
第13页（共20页）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（2025•韶关模拟）已知a、b、c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b+c＝ 3 ．
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．
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【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用已知结合完全平方公式将原式变形求出答案．
【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，
∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝7﹣1﹣17，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2﹣11＝﹣11，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a＝3，b＝﹣1，c＝1，
∴a+b+c＝3+1﹣1＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用以及偶次方的性质，正确将原式变形是解题关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•丛台区校级模拟）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整
式．
（1）求整式M，P；
（2）将整式P因式分解．
【考点】因式分解﹣运用公式法；整式的加减．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）M＝5x﹣20，P＝4x2﹣16；（2）4（x+2）（x﹣2）．
【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3）
＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x
＝5x﹣20；
第14页（共20页）P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2
＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4
＝4x2﹣16；
（2）P＝4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解本题的关键．
22．（2025•湖北模拟）教材内容一
七年级下《不等式与不等式组》中的“阅读与思考”——用求差法比较大小．
两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a，b比较大小，那么
当a＞b时，一定有a﹣b＞0；
当a＝b时，一定有a﹣b＝0；
当a＜b时，一定有a﹣b＜0；
反过来也对，即
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
教材内容二
八年级上《整式的乘法与因式分解》中的“完全平方式”节选
你能根据图2和图3中图形的面积说明完全平方公式吗？
阅读以上材料完成下列任务：
问题探究
对于图2我们进一步的探讨．
（1）S +S ＝ a 2 + b 2 ；S +S ＝ 2 a b ；
1 2 3 4
（2）比较S +S 与S +S 的大小，并说明理由；
1 2 3 4
第15页（共20页）拓展运用
1
（3）应用以上结果，求x+ (x＞0)的最小值．
x
【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景；完全平方式．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）能，a2+b2，2ab（2）S +S ≥S +S （3）2．
1 2 3 4
【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上 2个长方形的面积，得到完全平方公
式，直接利用面积公式求出S +S ，S +S 即可；
1 2 3 4
（2）作差法比较S +S 与S +S 的大小即可；
1 2 3 4
1 1 2
（3）利用（2）的结论，利用x+ =(√x- ) +2≥2，即可得出结果．
x √x
【解答】解：（1）能，图2：大正方形的面积＝（a+b）2＝a2+b2+2ab；
图3：a2＝（a﹣b）2+b2+2（a﹣b）b，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
由图可知：S +S =a2+b2 ，S +S =ab+ab=2ab；
1 2 3 4
故答案为：a2+b2；2ab；
（2）由（1）知：S +S =a2+b2 ，S +S =ab+ab=2ab，
1 2 3 4
∴S +S -(S +S )=a2+b2-2ab=(a-b) 2≥0，
1 2 3 4
∴S +S ≥S +S ；
1 2 3 4
1 1 2
（3）由条件可知x+ =(√x- ) +2≥2，
x √x
1
∴x+ (x＞0)的最小值为2．
x
【点评】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，分式的求值，熟练掌握以上知识点是关键．
23．（2025•丰南区校级三模）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲：a2﹣2ab﹣4+b2 乙：a2﹣ab﹣a+b
＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组） ＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组）
＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式） ＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式）
＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）． ＝（a﹣b）（a﹣1）．
请在他们解法的启发下解答下列各题．
（1）已知a，b，c是△ABC的三条边长，且满足ab﹣ac+b2﹣bc＝0，请判断△ABC的形状，并说明理
第16页（共20页）由．
（2）已知a+b=10+√2，a-b=√2-2，求多项式a2﹣b2﹣8a+12b﹣20的值．
【考点】因式分解的应用；二次根式的化简求值．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）对ab﹣ac+b2﹣bc＝0因式分解得（b﹣c）（a+b）＝0，由此得到b＝c，则△ABC是等
腰三角形；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式对多项式a2﹣b2﹣8a+12b﹣20进行化简，然后代入求值即可．
【解答】解：（1）∵ab﹣ac+b2﹣bc＝0，
∴（b﹣c）（a+b）＝0，
∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴a+b＞0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）a2﹣b2﹣8a+12b﹣20
＝a2﹣8a+16﹣（b2﹣12b+36）
＝（a﹣4）2﹣（b﹣6）2
＝（a﹣4+b﹣6）（a﹣4﹣b+6）
＝（a+b﹣10）（a﹣b+2）
∵已知a+b=10+√2，a-b=√2-2，
∴原式＝（a+b﹣10）（a﹣b+2）
=√2×√2
＝2．
【点评】本题考查的是因式分解的应用和二次根式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关
键．
24．（2025•亭湖区校级三模）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算
法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数 m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大
数的和一定为较大数的平方．
（1）举例验证：当m＝4，n＝5，则q+n＝4×5+5＝25＝52
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
第17页（共20页）设m＜n，m、n是连续的正整数，
∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝n2．
∴q+n一定是正数n的平方数．
【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．
请你举例验证及推理证明；
【深入思考】若p=√q+2n+√q-2m（m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，q＝mn），求证：p一定是
偶数．
【考点】因式分解的应用；不等式的性质；实数大小比较．
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【答案】见试题解答内容
【分析】类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可；
深入思考：由m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，可得n＝m+2，q＝mn＝m2+2m，然后代入计算即可．
【解答】解：类比猜想：（1）举例验证：当 m＝4，n＝5，则 q﹣m＝4×5﹣4＝16＝42．
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设m＜n，m、n是连续的正整数，
∴n＝m+1；
∵q＝mn，
∴q﹣m＝mn﹣m＝m（n﹣1）＝m2．
∴q﹣m一定是正数m的平方数．
深入思考：∵m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，
∴n＝m+2，
∴q＝mn＝m2+2m，
∴p=√m2+2m+2(m+2)+√m2+2m-2m=√(m+2) 2+√m2=m+2+m=2(m+1)，
∴p一定是偶数．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简，理解题意、依照顺序逐次解答是解题的关键．
25．（2025•赤峰模拟）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结
合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积
进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为a的正方形纸片，2号纸片是边长为b
的正方形纸片，3号纸片是长为a、宽为b的长方形纸片．
第18页（共20页）（1）由边长分别为a，b的两个小正方形和两个长为a、宽为b的长方形拼成如图2所示的大正方形，
可知大正方形的边长为（a+b），即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式： （ a + b ） 2 ＝
a 2 +2 ab + b 2 ；
（2）如图 3，根据所拼图形的面积，可以把多项式 a2+4ab+3b2分解因式，其结果是 （ a + b ）
（ a + 3 b ） ；
（3）用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面
积为32，3号纸片的面积为24，求a，b的值．
【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）（a+b）（a+3b）；
（3）a＝8；b＝3．
【分析】（1）根据面积相等的两次计算可得结论；
（2）根据多项式a2+4ab+3b2的几何背景是边长为（a+b），（a+3b）的长方形的面积解答；
（3）根据阴影面积＝总面积﹣两个三角形的面积求解即可．
【解答】解：（1）根据图形可知（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）根据所拼图形的面积把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是（a+b）（a+3b），
故答案为：（a+b）（a+3b）；
（3）图形的总面积为：a2+ab+b2，
1 1 1 1 1
三角形面积分别为： b(a+2b)= ab+b2 ； a(a+b)= a2+ ab，
2 2 2 2 2
1 1 1 1
∴S阴影
=a2+ab+b2-
2
ab-b2-
2
a2-
2
ab=
2
a2=32，
∴a＝8（负数舍去），
∵ab＝24，
∴b＝3．
第19页（共20页）【点评】本题考查此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思
想是解本题的关键．
第20页（共20页）
