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新授
教学时间 课题 《二次函数》小结与复习（3） 课型
课
知 识 1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
和 2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方
能 力 法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。
教
学 过 程
目 方 法
标
情 感
态 度
价值观
教学重点 利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
教学难点 将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、例题精析，引导学法，指导建模
1．何时获得最大利润问题。
例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地
销 售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－ (x－30)2＋10万
元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟
开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开
发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5
年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售
的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－(50－x)2＋ (50－x)＋308万元。
(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?
(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?
(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。
学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。
教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二
次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性
质来解决这类实际应用题。
教师精析：
(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－ (x－30)2＋10知道，只需从50
万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为
M＝10×10=100万元。
1
(2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：
P＝－ (25－30)2＋10=9.5(万元)
则前5年的最大利润为M=9.5×5=47.5万元
2
设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。
则由Q＝－ (50－x)＋(50－x)＋308知，将余下的(50－x万元全部用于外地销
售的投资．才有可能获得最大利润； 则后5年的利润是： M＝[－(x－30)2＋10]×5
3
＋(－x2＋x＋308)×5＝－5(x－20)2＋3500 故当x＝20时，M3取得最大值为
3500万元。
∴ 10年的最大利润为M＝M＋M＝3547.5万元
2 3
(3)因为3547.5＞100，所以该项目有极
大的开发价值。
强化练习：某公司试销一种成本单价为
500元/件的新产品，规定试销时的销售单价
不低于成本单价，又不高于800元/件，经试
销调查，发现销售量 y(件)与销售单价
x(元/件)可近似看做—次函数y＝kx＋b的关
系，如图所示。(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式，
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，①试用销售单
价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是
多少?此时的销售量是多少?
分析：(1)由图象知直线y＝kx＋b过(600，400)、(700，300)两点，代入可求解析
式
为y＝－x＋1000
(2)由毛利润S＝销售总价－成本总价，可得S与x的关系式。
S＝xy－500y＝x·(－x＋1000)－500(－x＋100)
＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500 (500＜x＜800)
所以，当销售定价定为750元时，获最大利润为62500元。
此时，y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250,即此时销售量为250件。
2．最大面积是多少问题。
例：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米
1000元，设矩形的边长为x，面积为S平方米。
(1)求出S与x之间的函数关系式；
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用；
(3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可
获得的设计费是多少?(精确到元) (参与资料：①当矩形的长是宽与(长＋宽)的
比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形，②≈2.236)
学生活动：让学生根据已有的经验，根据实际几何问题中的数量关系，建立恰当
的二次函数模型，并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。
教师精析：
(1)由矩形面积公式易得出S＝x·(6－x)＝－x2＋6x
(2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。
由S＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，知当x＝3时，即此矩形为边长为3的正方形
时，矩形面积最大，为9m2，因而相应的广告费也最多：为9×1000＝9000元。
(3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积，从而得到广告费用的大小。
设设计的黄金矩形的长为x米，则宽为(6－x)米。
则有x2＝6·(6－x)
解得x＝－3－3 (不合题意，舍去)，x＝－3＋3。
1 2
即设计的矩形的长为(3，3)米，宽为(9－3)米时，矩形为黄金矩形。
此时广告费用约为：1000(3－3)(9－3)≈8498(元)
二、课堂小结：让学生谈谈．通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转化为
二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积问题
作业
设计
教学
反思
