文档内容
2025-2026学年人教版数学九年级上学期期中押题检测卷01
考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考试范围：第21-23章
【全解全析】
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目
要
求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟知一个图形绕着某固定点旋转180°后能够与原来
的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折
后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
根据中心对称图形与轴对称图形的定义即可解答．
【规范解答】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．若x ，x 是方程x2+3x+2=0的两个根，则（）
1 2
A．x +x =2 B．x x =2 C．x +x =−2 D．x x =−2
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【思路引导】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键．
利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积．
【规范解答】解：∵方程x2+3x+2=0中，a=1，b=3，c=2，
b 3 c 2
∴x +x =− =− =−3，x x = = =2．
1 2 a 1 1 2 a 1只有选项B正确．
故选B．
3．抛物线y=−3(x−1) 2−2的顶点坐标是（ ）
A．(1,2) B．(−1,2) C．(−1,−2) D．(1,−2)
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了顶点式y=a(x−h) 2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h．
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【规范解答】解：由y=−3(x−1) 2−2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1,−2)．
故答案为：D．
1 1
4．将抛物线y= x2 平移后得到抛物线y= (x−1) 2 ，则平移的方式是（ ）
2 2
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【答案】D
【思路引导】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握抛物线顶点式y=a(x−h) 2+k（
a≠0）中，h的变化对应图象左右平移（h>0时向右平移，h<0时向左平移）．
1
先确定原抛物线与平移后抛物线的顶点坐标，原抛物线y= x2 的顶点为(0,0)，平移后抛物线
2
1
y= (x−1) 2 的顶点为(1,0)；对比两个顶点的横坐标变化，从0到1是增加1，据此判断平移方向．
2
1 1
【规范解答】解：原抛物线y= x2 可化为y= (x−0) 2+0，顶点坐标为(0,0)；
2 2
1 1
平移后抛物线y= (x−1) 2 ,可化为y= (x−1) 2+0，顶点坐标为(1,0)
2 2
顶点从(0,0)到(1,0)，横坐标增加1，即抛物线向右平移1个单位，与选项D一致．
故选：D．
5．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云
阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和
长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．x(30+x)=864 B．x(60−x)=864
60−x
C．x(60+x)=864 D．x⋅ =864
2
【答案】B
【思路引导】本题考查了列一元二次方程，根据宽与长的和为60步，得宽为(60−x)步，又因为矩形面积
是864平步，进行列式计算，即可作答．
【规范解答】解：依题意，设长为x步，
∵宽与长的和为60步，∴宽为(60−x)步，
则x(60−x)=864，
故选：B．
6．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标为x ，x ，与y轴正半轴的交点为C，
1 2
−10；④a+b>0
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用
了数形结合思想．根据函数图象即可判断①②；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴
的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，进而对结论③④进行判断．
【规范解答】解：由图象可知，当x=−1时，y=a−b+c<0，故①正确；
当x=3时，y=9a+3b+c<0，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∵抛物线与x轴的交点是(x ,0)和(2,0)，其中−10，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故③错误；
∵−1 ，
2a 2
∴b>−a，即a+b>0，故④正确．
故正确的有3个．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点
分别为B′,C′,B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．若AC=8,CD=6，则线段CC′的长为
（ ）48 32 24
A．10 B． C． D．
5 5 5
【答案】B
【思路引导】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知
识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接AD，交CC′于点O，先证出Rt△AC′D≌Rt△ACD，根
据全等三角形的性质可得C′D=CD=6，再证出AD垂直平分CC′，则可得CC′=2OC，AD⊥CC′，然
后利用勾股定理和三角形的面积公式求出OC的长，由此即可得．
【规范解答】解：如图，连接AD，交CC′于点O，
由旋转的性质得：AC′=AC=8，∠AC′B′=∠ACB=90°，
∴∠AC′D=90°，
在Rt△AC′D和Rt△ACD中，
{AD=AD)
，
AC′=AC
∴Rt△AC′D≌Rt△ACD(HL)，
∴C′D=CD=6，
∴AD垂直平分CC′，
∴CC′=2OC，AD⊥CC′，
∵∠ACB=90°，AC=8,CD=6，
∴AD=❑√AC2+CD2=10，
1 1
又∵S = AD⋅OC= AC⋅CD，
△ACD 2 2
AC⋅CD 8×6 24
∴OC= = = ，
AD 10 524 48
∴CC′=2× = ，
5 5
故选：B．
8．若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥−1且k≠0 B．k>−1 C．k≥−1 D．k>−1且k≠0
【答案】A
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负且二
次项系数不为零．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac≥0且k≠0，
其中a=k，b=2，c=−1，
∴Δ=22−4⋅k⋅(−1)=4+4k≥0，
即4+4k≥0，
∴4k≥−4，
∴k≥−1，
又∵k≠0，
∴k≥−1且k≠0．
故选：A．
9．如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(−1,0)，与y轴交于点C，其中−40；②2a+b=0；③3a+2c>0；④− 0，对称轴为直线x= =1，
2b
∴ x=− =1，即b=−2a<0，
2a
∵ −40，故①正确；
∵ b=−2a，
∴ 2a+b=0，故②正确；
∵当x=−1时，y=a−b+c=0，
∴ a−b+c=3a+c=0，即c=−3a，
∵ −43，则m+1<0，n−3>0，
又∵ a>0，
∴ a(m+1)(n−3)<0，故⑤正确；
∴正确的有①②④⑤，
故选：D．
10．如图，在△ABC中,∠A=30°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，延长AC分别交
BD,DE于点F,G，连接BG．下列结论：①∠FGE=120°；②AG⊥BD；③DG=BG；④
AG=DE+BE，其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】本题考查了图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形（SAS）的判定与性质
及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等，结合相关定理逐步推导各结论的正确性．
根据旋转性质得∠ABF=60°、∠A=∠D=30°，用三角形内角和求∠AFB=90°，判断②AG⊥BD
正确，再由∠DFG=90°求∠DGF=60°，得∠FGE=120°，判断①正确；连接AD，由AB=BD、
∠ABF=60°证△ABD为等边三角形，得∠DAG=∠BAG=30°，用SAS证△ABG≌△ADG，判
断③DG=BG正确；连接CE，由BC=BE、∠CBE=60°证△BCE为等边三角形，得CE=BE，结合
AG=DE+CG及三角形三边关系（CEax2+bx+c的解集是 ．
【答案】x<−1或x>4
【思路引导】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在二次函数
图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．【规范解答】解：由函数图象可得关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<−1或x>4，
故答案为：x<−1或x>4．
13．若关于x的一元二次方程mx2+4x+3=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
4
【答案】m< 且m≠0
3
【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用．根据题意得到m≠0，
Δ=42−4m×3>0，由此即可求解．
【规范解答】解：关于x的一元二次方程mx2+4x+3=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且Δ=42−4m×3>0，
4
解得，m≠0且m< ，
3
4
故答案为：m< 且m≠0．
3
14．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到
△AB′C′，若点P为BC上一动点，旋转后点P的对应点P′，则线段PP′的最小值是 ．
【答案】2❑√2
【思路引导】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段
最短，掌握旋转的性质是解题的关键．
连接AP′、AP，过点A作AH⊥BC于点H，由等腰三角形的“三线合一”得到
1 1 1
∠BAH= ∠BAC= ×120°=60°，从而∠ABH=90°−∠BAH=30°，进而得到AH= AB=2，
2 2 2
由旋转得到AP=AP′，∠PAP'=90°，根据勾股定理求得PP′=❑√2AP，求出AP的最小值，即可解答．
【规范解答】解：如图，连接AP′、AP，过点A作AH⊥BC于点H，∴∠AHB=90°，
∵在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，
1 1
∴∠BAH= ∠BAC= ×120°=60°，
2 2
∴∠ABH=90°−∠BAH=90°−60°=30°，
1 1
∴AH= AB= ×4=2，
2 2
∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，
∴AP=AP′，∠PAP′=90°，
∴PP′=❑√AP2+AP′2=❑√AP2+AP2=❑√2AP，
∵点P为BC上一动点，旋转后点P的对应点P′，
∴当点P与点H重合时，AP有最小值为2，
∴线段PP′的最小值是2❑√2．
故答案为：2❑√2．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3cm，AC=5cm，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动
1
（运动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q运动到点C后停止，点P也随
2
15
之停止运动.若使△PBQ的面积为 cm2 ，则点P运动的时间是 s．
4
【答案】3
【思路引导】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练地建立方程求解是解
( 1 )
本题的关键．先求解AB，设运动时间为ts，可得BP= 4− t cm,BQ=tcm，再利用面积建立方程求解，
2
即可求出时间t．【规范解答】解：∵∠B=90°,BC=3cm,AC=5cm，
∴AB=❑√AC2−BC2=4cm，
设运动时间为ts，
( 1 )
∴BP= 4− t cm,BQ=tcm，
2
15
∵△PBQ的面积为
cm2
，
4
1 ( 1 ) 15
∴ t 4− t = ，
2 2 4
解得：t =5,t =3，
1 2
当t=5时，BQ=5cm>BC，不成立，舍去，
∴t=3．
故答案为：3．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y=x2．将x轴绕原点O逆时针旋转45°，交抛物线于
点A ，将直线OA 绕点A 顺时针旋转45°，交抛物线于点A ，将直线A A 绕点A 逆时针旋转45°，交抛
1 1 1 2 1 2 2
物线于点A ，将直线A A 绕点A 顺时针旋转45°，交抛物线于点A …，依次进行下去，则点A 的坐
3 2 3 3 4 2025
标为 ．
【答案】(1013,10132)
【思路引导】本题考查了点坐标规律探索，求一次函数解析式，一次函数和二次函数交点的坐标，根据坐
标的变化找出规律是解题的关键．根据二次函数性质可得出点A 的坐标，求得直线A A 的解析式，联立
1 2 3
方程求得A 的坐标，即可求得A 的坐标，同理求得A 、A 的坐标，根据坐标的变化找出规律，即可找出
3 4 5 6
点A 的坐标．
2025
【规范解答】解：设A (m,n)，直线OA 的解析式为y=kx(k≠0)，
1 1
∵将x轴绕原点O逆时针旋转45°，交抛物线于点A ，
1
∴m=n，
∴k=1，
∴直线OA 的解析式为y=x，
1{y=x)
∴
y=x2
{x=0) {x=1)
解得 或 ，
y=0 y=1
∴A (1,1)，
1
又∵将直线OA 绕点A 顺时针旋转45°，交抛物线于点A ，
1 1 2
∴A A ∥x轴，A A ∥OA ，
1 2 2 3 1
y=x2中，令y=1，则x=±1，
∴A (−1,1)，
2
设直线A A 的解析式为y=x+n，
2 3
∴1=−1+n，即n=2，
∴直线A A 的解析式为y=x+2，
2 3
{y=x+2)
∴
y=x2
{x=−1) {x=2)
解得 或 ，
y=1 y=4
∴A (2,4)
3
y=x2中，令y=4，则x=±2，
∴A (−2,4)，
4
同理，A (3,9)，
5
A (−3,9)，
6
…，
1+1 (1+1) 2
即A 的横坐标为 =1，纵坐标为 =1
1 2 2
3+1 (3+1) 2
A 的横坐标为 =2，纵坐标为 =4，
3 2 2
5+1 (5+1) 2
A 的横坐标为 =3，纵坐标为 =9，
5 2 2
…，
n+1 (n+1) 2
∴A 的坐标中，当n为奇数时，横坐标为 ，纵坐标为 ，
n 2 2
∴A 的横坐标为
2025+1
=1013，纵坐标为
(2025+1) 2
=10132 ，
2025 2 2
即A (1013,10132)
2025
故答案为：(1013,10132)．三．解答题（本大题有9小题，共72分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
17．（本题6分）用适当的方法解方程：
(1)(x+2) 2−9=0；
(2)4x2−3=12x；
【答案】(1)x =1,x =−5
1 2
3+2❑√3 3−2❑√3
(2)x = ,x =
1 2 2 2
【思路引导】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
（1）用直接开方法解决即可；
（2）用公式法解决即可．
【规范解答】（1）解：(x+2) 2−9=0
(x+2) 2=9
x+2=±3
x =1,x =−5
1 2
（2）解：4x2−3=12x
4x2−12x−3=0
−(−12)±❑√(−12) 2−4×4×(−3) 12±8❑√3 3±2❑√3
x= = =
2×4 8 2
3+2❑√3 3−2❑√3
x = ,x = ．
1 2 2 2
18．（本题6分）如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)(1,4)
【思路引导】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．
（1）理解题意，直接把A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)分别代入y=ax2+bx+c进行计算，即可作答．（2）把y=−x2+2x+3化为顶点式，即可得出顶点坐标，即可作答．
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)
{
a−b+c=0
)
∴ 9a+3b+c=0 ，
0+0+c=3
{a=−1
)
解得 b=2 ，
c=3
∴y=−x2+2x+3；
（2）解：由（1）得y=−x2+2x+3，
则y=−(x2−2x+1−1)+3=−(x2−2x+1)+1+3=−(x−1) 2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．
19．（本题8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标
系，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)．
(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A B C ．并写出点B的对应点B 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后的图形△A B C ；
2 2 2
(3)连接CC ，C C ，C C，求出△CC C 的面积．
1 1 2 2 1 2
【答案】(1)图见解析，点B 的坐标为(−3,−4)
1
(2)图见解析
(3)8
【思路引导】本题主要考查了画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，写出直角坐标系中点的坐标
等知识点，熟练掌握旋转的性质、画旋转图形的方法是解题的关键．
（1）按照画中心对称图形的方法画出△A B C ，并写出点B 的坐标即可；
1 1 1 1
（2）按照画旋转图形的方法画出△A B C 即可；
2 2 2
（3）根据三角形的面积公式求面积即可．
【规范解答】（1）解：如图，△A B C 即为所求：
1 1 1点B 的坐标为(−3,−4)；
1
（2）解：如图，△A B C 即为所求：
2 2 2
（3）解：如图，连接CC ，C C ，C C，
1 1 2 2
1
∴△CC C 的面积为： ×4×4=8．
1 2 2
20．（本题8分）已知关于x的方程x2−(m+3)x+3m=0．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
(2)若等腰△ABC的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程x2−(m+3)x+3m=0的两个根，
请求出△ABC的周长．【答案】(1)证明过程见解析
(2)8或7
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和方程的解，准确计算是解题的关键．
（1）根据判别式判断即可；
（2）根据等腰三角形的边的性质分类讨论，当a，b为腰，则Δ=0；当2，a或2，b为腰，则x=2是方程的
解，代入求解即可．
【规范解答】（1）证明：∵ x2−(m+3)x+3m=0，
∴Δ=b2−4ac=(m+3) 2−12m
=m2−6m+9
=(m−3) 2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）∵等腰△ABC的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，
∴当a，b为腰时，a+b=m+3，ab=3m，且Δ=0，
∴(m−3) 2=0，
解得：m=3，
∴a+b=3+3=6，
∴△ABC周长=6+2=8；
当2，a或2，b为腰，则x=2是方程的解，
∴4−2(m+3)+3m=0，
∴m=2，
∴a+b=m+3=5，
∴b=5−a=2，
∴△ABC的周长=2+2+3=7；
∴△ABC的周长为8或7．
21．（本题8分）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万
元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出8辆．如果设每辆汽车降价x万
元，每辆汽车的销售利润为y万元．(销售利润=销售价−进货价)
(1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=−x+4（0≤x≤4）；
(2)每辆汽车的定价为27.5万元，平均每周的利润最大，最大利润为50万元．
【思路引导】本题考查了二次函数的应用．
（1）根据利润等于（29−进货价−降价）可得出y关于x的函数关系式，化简即可；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元，根据平均每周的销售利润等于每辆汽车的销售利润乘以
销售量，可得出S关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【规范解答】（1）由题意得：y=29−25−x=−x+4，
∴y=−x+4（0≤x≤4）；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元，
则S=(8x+8)(−x+4)
=−8x2+24x+32
=−8(x−1.5) 2+50，
∴x=1.5时，S最大为50．
∵29−1.5=27.5（万元），
∴每辆汽车的定价为27.5万元时，销售利润最大，最大利润为50万元．
22．（本题8分）在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD逆时针旋转
60°得到BD'，连接AD′，DD′．以点C为中心，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″，DD″．
(1)判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；
(2)求证：D′ A=DC；
(3)求证：四边形AD′DD″是平行四边形．
【答案】(1)∠D′BA=∠DBC；理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【思路引导】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角
等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和平
行四边形的判定；
（1）先根据旋转的性质得∠DBD′=60°，BD＝BD′，则可判断△BDD′为等边三角形，所以
∠DBD′=60°，DD′=BD，再利用△ABC为等边三角形得到∠ABC=60°，BA=BC，则可得到
∠D′BA=∠DBC；
（2）通过证明△ABD′≌△CBD得到D′ A=DC；
（3）先判断△DCD″为等边三角形得到DD″=DC，∠DCD″=60°，再与（2）的证明方法一样证明
△ACD″≌△BCD得到AD″=BD，所以DD′=AD″，加上DD″=DC=AD′，从而可判断四边形
AD′DD″是平行四边形．
【规范解答】（1）解：∠D'BA=∠DBC，理由如下：∵BD逆时针旋转60°得到BD′，
∴∠DBD′=60°，BD=BD′，
∴△BDD′为等边三角形，
∴DD′=BD，∠DBD′=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，BA=BC，
∵∠D′BA+∠ABD=60°，∠ABD+∠DBC=60°，
∴∠D'BA=∠DBC.
（2）证明：在△ABD′和△CBD中，
{
BA=BC
)
∠ABD'=∠CBD ，
BD'=BD
∴△ABD′≌△CBD(SAS)，
∴D′ A=DC.
（3）证明：∵CD顺时针旋转60°得到CD″，
∴∠DCD″=60°，CD=CD″，
∴△DCD″为等边三角形，
∴DD″=DC，∠DCD″=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，CA=CB，
∵∠D″CA+∠ACD=60°，∠ACD+∠DCB=60°，
∴∠D″CA=∠DCB，
在△ACD″和△BCD中，
{
CA=CB
)
∠ACD''=∠BCD ，
CD''=CD
∴△ACD″≌△BCD(SAS)，
∴AD″=BD，
∴DD′=AD″，
∵DD″=DC=AD′，
∴四边形AD′DD″是平行四边形．
23．（本题8分）近年来越来越多的商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要
途径，为了在店庆期间扩大销量，某商家在直播间销售一种高档水果，将售价从原来的每千克40元经两次
降价后，调至每千克32.4元．
(1)若该商家两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；(2)现在店庆结束了，商家准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发
现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，则商品涨价多少元时，商家每
天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)10%
(2)商品涨价7.5元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是6125元
【思路引导】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，运用方程思想和二次函数性质是解题的关
键．
（1）通过设降价百分率列一元二次方程求解；
（2）设商品涨价m元，根据题意列出w与m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答．
【规范解答】（1）解：设每次降价的百分率为x．
根据题意得，40(1−x) 2=32.4，
解得x =0.1=10%，x =1.9（不符合题意，舍去），
1 2
答：每次降价的百分率为10%；
（2）设商品涨价m元，则每千克盈利(10+m)元，日销量为(500−20m)千克．
根据题意得，w=(10+m)(500−20m)=−20(m−7.5) 2+6125，
因为−20<0，
所以当m=7.5时，w有最大值6125，
答：商品涨价7.5元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是6125元．
24．（本题10分）在坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于
C(3,0)，点M是直线BC上的动点．
(1)求直线BC的解析式；
(2)如图，点M在运动过程中，当S =S 时，求点M的坐标；
△AMB △AOB
(3)若点N在平面直角坐标系内，则在直线BC上是否存在点M，使以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？
若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
4
【答案】(1)y=− x+4
3
(6 12) ( 6 28)
(2)M的坐标为 , 或 − ,
5 5 5 5
(6❑√5 8❑√5 ) ( 6❑√5 8❑√5 ) (12 4)
(3)存在，M坐标为 ,− +4 或 − , +4 或(3,0)或M ,
5 5 5 5 5 5
【思路引导】（1）先求出点A，B的坐标，然后再用待定系数法求直线BC的解析式即可；（2）先求出S 由题意可得S =S =4，那么
△AOB △AMB △AOB
1 1 1 1
S =S −S = AC⋅BO− AC⋅y 或S =S −S = AC⋅y − AC⋅BO，
△AMB △ABC △AMC 2 2 M △AMB △AMC △ABC 2 M 2
然后解方程即可求出点M的纵坐标，然后利用BC的解析式，求得点M的横坐标即可；
（3）分类讨论，利用两点距离公式求解即可．
【规范解答】（1）解：直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当y=0时，得：2x+4=0，
解得：x=−2；
当x=0时，得：y=4，
∴A(−2,0)，B(0,4)，
设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0)，
{0=3m+n)
将点B(0,4)，C(3,0)分别代入得： ，
4=n
{ m=− 4 )
解得： 3 ，
n=4
4
∴直线BC的解析式为y=− x+4；
3
（2）解：∵A(−2,0)，B(0,4)，C(3,0)，
∴AC=3−(−2)=5，AO=2，BO=4，
1 1
∴S = AO⋅OB= ×2×4=4，
△AOB 2 2
∴S =S =4，
△AMB △AOB
∵点M在直线BC上，
1 1
∴S =S −S = AC⋅BO− AC⋅y 或
△AMB △ABC △AMC 2 2 M
1 1
S =S −S = AC⋅y − AC⋅BO，
△AMB △AMC △ABC 2 M 2
1 1
①当S =S −S = AC⋅BO− AC⋅y 时，
△AMB △ABC △AMC 2 2 M
1 1
得：4= ×5×4− ×5 y ，
2 2 M
12
解得：y = ，
M 5
12 4 12 4
将y = 代入y=− x+4得： =− x+4，
M 5 3 5 3
6
解得：x= ，
5(6 12)
∴M , ；
5 5
1 1
②当S =S −S = AC⋅y − AC⋅BO时，
△AMB △AMC △ABC 2 M 2
1 1
得：4= ×5 y − ×5×4，
2 M 2
28
解得：y = ，
M 5
28 4 28 4
将y = 代入y=− x+4，得： =− x+4，
M 5 3 5 3
6
解得：x=− ，
5
( 6 28)
∴M − , ，
5 5
(6 12) ( 6 28)
综上所述，点M的坐标为 , 或 − , ；
5 5 5 5
（3）解：平面内存在一点M，使得以点A、B、M、N四点为顶点形成的四边形是菱形；理由如下：
( 4 )
设AM，BN相交于点E，则AE=ME，NE=BE，设M t,− t+4 ，
3
①当四边形ABMN是菱形，如图1
∴BA=BM BA2=BM2
，即 ，
4 2
∴22+42=t2+(4+ t−4) ，
3
6❑√5
∴t=± ，
5
(6❑√5 8❑√5 ) ( 6❑√5 8❑√5 )
∴M ,− +4 或M − , +4 ；
5 5 5 5
②当四边形AMBN是菱形，如图2，此时MA=MB，即M A2=MB2，
4 2 4 2
∴t2+(4+ t−4) =(t+2) 2+(− t+4) ，
3 3
解得：t=3，
∴M(3,0)；
③当四边形ABNM是菱形时，过点M作MZ⊥x轴于点Z，如图3，
此时AB=AM，即AB2=AM2，
4 2
∴22+42=(t+2) 2+(− t+4) ，
3
12
解得：t=0(不合题意，舍去)或t= ，
5
(12 4)
∴M , ；
5 5
(6❑√5 8❑√5 ) ( 6❑√5 8❑√5 ) (12 4)
综上所述，M坐标为 ,− +4 或 − , +4 或(3,0)或M , .
5 5 5 5 5 5
【考点剖析】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象及性
质，菱形的性质，中点公式，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，采用分类讨论的
思想是解此题的关键．
1
25．（本题10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+bx+c（b，c是常数）与x轴交于A（－2，
2
0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐
标为m．(1)求b，c的值；
11
(2)如图，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得线段PD，且点D恰好落在直线l:x= 上，求点P
2
的坐标；
(3)若点M是OB的中点，以点O，M，C，P为顶点的四边形的面积为S．
①求S与m的函数解析式；
②根据S的不同取值，结合图象，直接写出S随m变化时自变量m的取值范围．
【答案】(1)b=1，c=4
( 9) ( 5)
(2)P 1, 或P 3,
2 2
{ −2m+4(−2
